八年级(上)第一章 轴对称图形 课时练习：第9课时 等腰三角形的轴对称性(3)
八年级(上)第一章 轴对称图形 课时练习：第8课时 等腰三角形的轴对称性(2)
八年级数学(上)第一章轴对称图形第8课时等腰三角形的轴对称性(二)（附答案）1．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：1：2，则△ABC是________三角形．2．在△ABC中，∠A=50°，则当∠B=________时，△ABC是等腰三角形．3．在Rt△ABC中，如果斜边上的中线CD=3 cm，那么斜边AB=________，理由是______ _______________________________________________．4．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是BC、AC的中点．△DEC是等腰三角形吗?为什么?5．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°．找出图中的一个等腰三角形，并给予证明．6．在△ABC中，∠C=50°，∠A=65°，则△ABC是__________三角形．7．如图，在△ABC中，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD=________．8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D、E为边BC上的点，且∠BAD=∠DAE= ∠EAC，则图中等腰三角形的个数是( ) A．2 B．4 C．6 D．89．给出下列四组条件：①已知两腰；②已知底边与顶角；③已知底角与顶角；④已知底边和底边上的高．其中能确定一个等腰三角形的是( ) A．①和②B．③和④C．②和④D．①和④10．(1)如图①，若AD平分∠BAC，CE∥DA，则△_________是等腰三角形；(2)如图②，若AD平分∠BAC，DE∥BA，则△_________是等腰三角形；(3)如图③，若AD平分∠BAC，CF∥AB，交AD的延长线于点E，则△_______是等腰三角形；(4)如图④，若AD平分∠BAC，且AD∥EG，EG交AB于点F，则△_________是等腰三角形．11．如图，在△ABC中，BD、CE是高，M是BC的中点．请说明MD=ME．12．如图，AB=AC，∠B=∠C．试说明BD=CD．13．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作BC的平行线，分别与边AB、AC相交于点M、N．(1)试说明△MBO和△NCO都是等腰三角形．(2)试说明MN—MB+NC．14．数学课上，同学们探索下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．(1)如图①，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，直线BD平分∠ABC，交AC于点D．试说明△ABD与△DBC都是等腰三角形．(2)在说明了该命题后，小颖发现：下面两个等腰三角形(如图②、图③所示)也具有这种特性，请你在图②、③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数．参考答案1．等腰直角2．50°、65°或80°3．6 cm 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4．△DEC是等腰三角形∵AB=AC，D是BC的中点，∴A D⊥BC．又∵E为AC的中点，∴DE=12AC．∴DE=EC．∴△DEC是等腰三角形5．△ABC或△BDC或△ADB证明略6．等腰7．3 8．C 9．C 10．(1)ACE (2)ADE (3)ACE (4)AEF11．∵ME=12BC，MD=12BC．∴MD=ME．12．连接BC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．又∵∠ABD=∠ACD，∴∠ABD－∠ABC=∠ACD－∠ACB．即∠DBC=∠DCB．∴BD=DC 13．(1)∵BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线．∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB．又∵MN∥BC．∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB．∴∠MOB=∠MBO，∠NOC=∠NCO．∴BM=OM，ON=CN．即△MBO与△NCO都是等腰三角形(2)∵MO=MB，ON=NC．∴MN=OM+ON=MB+NC 14．(1)∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°．∵直线BD 平分∠ABC，∴∠1=∠2=36°=∠A．∴AD=BD．∵∠3=1+∠A=72°=∠C，∴BD=BC．∴△ABD与△DBC都是等腰三角形(2)如图所示。
等腰三角形的轴对称性质
化学实验
生物学实验
在生物学实验中，等腰三角形可用于 模拟生物体的形态和结构，如细胞结 构和生物体的平衡。
在化学实验中，等腰三角形可用于表 示化学反应中的物质变化和能量转化。
04
等腰三角形与其他几何图形的关系
与直角三角形的关系
直角三角形可以是等腰的，即两个锐 角相等，两腰也相等。
等腰直角三角形是一种特殊的等腰三 角形，它的两个锐角都是45度，两腰 相等，并且斜边是两腰的平方和的平 方根。
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感谢聆听
角度判定
如果一个三角形有两个底角相 等，则它是等腰三角形。
综合判定
如果一个三角形同时满足边长 相等和角度相等，则它是等腰 三角形。
02
等腰三角形的轴对称性
轴对称的定义
轴对称
如果一个平面图形关于某一直线对称 ，那么这个图形叫做轴对称图形，这 条直线叫做对称轴。
轴对称的性质
轴对称图形是全等图形，对称轴两侧 的图形可以完全重合。
角度相等
等腰三角形的两个底角相等，顶角与底角也相等。
等腰三角形的性质
80%
轴对称
等腰三角形是轴对称图形，其对 称轴是穿过顶角的高线。
100%
角度恒定
等腰三角形的角度恒定，即两个 底角相等，顶角与底角也相等。
80%
面积恒定
等腰三角形的面积恒定，可以通 过底和高计算面积。
等腰三角形的判定
边长判定
如果一个三角形有两边长度相 等，则它是等腰三角形。
绘画和雕塑
等腰三角形在绘画和雕塑 中常被用来表现形式美感 和立体感，如人体结构和 自然形态。
服装设计
在服装设计中，等腰三角 形可以作为设计元素，用 于服装的款式和图案设计。
八上 轴对称 第5节 等腰三角形的轴对称性(3)含答案
第5节等腰三角形的轴对称性(3)一、选择题1．下列说法：①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②等腰三角形的两腰上的中线长相等；③等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；④等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40．其中不正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．42．如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形一定是( ) A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．以上答案都不对3．如图，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：(1)∠PBC ＝5°；(2)AD∥BC；(3)直线PC与AB垂直；(4)四边形ABC，D是轴对称图形．其中正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝30°，∠EDC是( ) A．10°B．12.5°C．15°D．20°5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BD，其中D为BC边上的点，则∠1与∠2的大小关系是( )A．∠1＝2∠2 B．2∠1＋∠2＝180°C．3∠2－∠1＝180°D．3∠1－∠2＝180°二、填空题6．在等边三角形、角、长方形这三个图形中，对称轴最多的是_______，它共有_______条对称轴，最少的是_______，有_______条对称轴．7．周长为13，各边长均为整数的等腰三角形共有_______个，它们的底边长分别是_________．8．如图，在△ABC中，∠B＝∠A，D是AB上任意一点，DE∥BC，DF∥AC，AC＝4 cm，则四边形DECF的周长是_________．9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是45°，这个等腰三角形的顶角是_________．10．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则对△ADE的形状的判断是_________．三、解答题11．如图，请你用三种方法，将一个等边三角形分割成四个等腰三角形．12．如图，△ABC是等边三角形，P为△ABC内部一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP'重合．如果AP＝3．求PP'的长．13．已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．试说明：BD＝DE．14．已知△ABC为等边三角形，在图①中，点M是线段BC上任意一点，点N线段CA 上任意一点．且BM＝CN，直线BN与AM相交于Q点．(1)请猜一猜：图①中∠BQM等于多少度？(2)若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其他条件不变，如图②所示，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．参考答案1．C2．B3．D 4．C 5．C6．等边三角形3角 1 7．3个1、3、58．8 cm9．45°或135°10．等边三角形11．12．313．略14．(1) 60°(2)略。
八上第一章 第9课时 等腰三角形的轴对称性(3)
八年级数学(上)第一章轴对称图形第9课时等腰三角形的轴对称性(三)1．在等边△ABC中，AD是边BC上的中线，则∠ADB=_________，∠BAD=_________．2．如图，在△ABC中，∠A=60°，B D⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，CE=BD，则△ABC 是_________三角形．3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD⊥AC于点D，D G∥AB交BC于点G，点E在BC的延长线上，且CE=CD，则(1)∠E=________，∠BDE=________；(2)图中的等边三角形有__________个，它们是____________________．4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CD是斜边AB的中线．△BCD是等边三角形吗?为什么?5．如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且AD=BE=CF．试说明△DEF是等边三角形．6．在△ABC中，AB=AC，下列说法：①若∠A=60°，则△ABC是等边三角形；②若∠B=60°，则△ABC是等边三角形；③若∠C=60°，则△ABC是等边三角形．其中正确的是( ) A．①B．②C．③D．①②③7．如图，在等边△ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是( ) A．4 B．5 C．6 D．78．如图，若正方形ABCD内的一点P与点A、B组成等边三角形，则△PCD的三个内角度数分别为________、________、__________．9．用一块等边三角形的硬纸片(如图①)做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子(边缝忽略不计，如图②)，需在△ABC的每个顶点处各剪掉一个四边形，则在四边形AMDN，中，∠MDN=__________．10．如图，在等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE=_________．11．如图，BD是等边△ABC边AC上的高，延长BC至点E，使CE=CD．(1)试比较BD与DE的大小，并说明理由．(2)若将BD改为△ABC的角平分线或中线，能否得出同样的结论?试说明理由．12．如图，在等边△ABC中，求作一点P，使△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，这样的点P有________个，并在图中标出来．13．如图①，点C为线段AB上一点，△ACM、ACBN是等边三角形，直线AN、MC相交于点E，直线BM、CN相交于点F．(1)试说明AN=BM．(2)试说明△CEF是等边三角形．(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图②中补出符合要求的图形，并判断(1)、(2)两小题结论是否成立(不要求说明)．14．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．(1)说明△COD是等边三角形．(2)当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．(3)当a为多少度时，△AOD是等腰三角形?参考答案1．90°30°2．等边3．(1)30°120°(2)2 △ABC和△DGC 4．△BCD是等边三角形∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠B=60°．∵CD是斜边AB的中线．∴CD=BD．∴△BCD是等边三角形5．点拔：可证△ADF≌△BED≌△CFE，则DF=DE=EF 6．D 7．D 8．150°15°15°9．120°10．60°11．(1)BD=DE ∵CE=CD，∴∠CDE=∠E．∵△ABC是等边三角形，∴∠DCB=60°=∠CDE+∠E=2∠E．∴∠E=30°=∠DBC．∴BD=DE (2)可以得出同样的结论，将BD改为△ABC的角平分线或中线时，实际上也是等边△ABC边AC上的高12．10 图略13．(1)∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，CN=CB，∠CAN=∠BCN=60°．∴∠MCN=60°．∴∠CAN=∠BCM．∴△CAN≌△BCM．∴AN=BM (2)在△NCE与△BCF中，CN=CB，∠ENC=∠FBC，∠ECN=∠NCB=60°，∴△NC E≌△BCF．∴EC=CF．又∵∠ECF=60°，∴△CEF为等边三角形(3)AN=BM成立，△CEF为等边三角形不成立14．(1)∵CO=CD，∠OCD=∠ACB=60°，∴△COD是等边三角形(2)当a=150°，即∠BOC=150°时，△AOD是直角三角形∵△BO C≌△ADC，∴∠BOC=∠ADC=150°．又∵△COD是等边三角形．∴∠ODC=60°．∴∠ADO=90°．即△AOD是直角三角形(3)①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO ∵∠AOD=190°－a，∠ADO=a－60°，∴190°－a=a－60°．∴a=125°②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO ∵∠OAD=180°－(∠AOD+∠ADO)=50°，∴a－60°=50°．∴a=110°③要使OD=AD，则∠OAD=∠AOD．∴190°－a=50°．∴a=140°．综上所述，当a的度数为125°、110°、140°时，△AOD是等腰三角形。
等腰三角形的轴对称性3
1 解：BC＝ AB． 2
2.5 等腰三角形的轴对称性（3）
证明：作斜边上的中线CD， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°． ∵∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线， 1 ∴CD＝ AB＝BD（直角三角形斜边
巩固练习：
如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°， M、N分别是AC、BD的中点，试说明： （1）MD＝MB；（2）MN⊥BD．
2.5 等腰三角形的轴对称性（3）
交流：
2.5 等腰三角形的轴对称性（3）
活动一 操作•观察
1．任意剪出一张直角三角形纸片（如图1）．
你还有其 他发现吗？
图1
图2
图3
2．剪得的纸片是否能折成图2的形状？ 3．△ACD与△BCD为什么是等腰三角形？请说明 理由．
2.5 等腰三角形的轴对称性（3）
活动二 探索•说理
A
直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半．
D
B
C
2.5 等腰三角形的轴对称性（3）
如图，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD平 分∠EAC吗？试证明你的结论．
E.5 等腰三角形的轴对称性（3）
如图，如果AB＝AC，AD平分∠EAC， 那么AD∥BC吗？
E
A
D
B
C
2.5 等腰三角形的轴对称性（3）
活动一 操作•观察
你能用折纸的方法将一个直角三 角形分成两个等腰三角形吗？
B D C A
CD=BD=AD， CE=AE，
∠A=∠ACD， ∠B=∠BCD，
∠ACB=∠DEA=∠DEC=90°．
2.5等腰三角形的轴对称性 课件 2023--2024学年苏科版八年级数学上册
问题1：AB与AC是否重合？
问题2：本实验的条件与结论
如何用文字语言加以叙述？
.
B
D
C
已知：在△ABC中，∠B＝∠C
求证：AB＝AC．
A
证明：（1）作∠A的平分线交BC于T．
1 2
在△BAT和△CAT中，
∠1＝∠2(角平分线定义)，
∠B＝∠C(已知)，
AT＝AT(公共边) ，
∴△BAT≌△CAT(AAS)，
2.在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这
两个角所对的边的大小有什么关系？
请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实
验，按以下方法进行操作：
1．在半透明纸上画一条长为6cm的线段BC．
2．以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，用量
角器画两个相等的锐角，两角终边的交点为A．
3．找出BC的中点D，连接AD，然后沿AD对折．
∠ = ∠,
= ,
∴△ABD≌△ACD(AAS).∴AB=AC.
如图,DB=DC,∠ABD=∠ACD.求证:AB=AC.
证明:连接BC,如图.
∵DB=DC,∴∠DBC=∠DCB.
又∵∠ABD=∠ACD,
∴∠DBC+∠ABD=∠DCB+∠ACD,
即∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.
60°的等腰三角形是等边三角形）．
1
∴ BC＝CD＝ AB．
2
【小结】
定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边
的一半。
谢谢观看
C
A
A
性质2：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的
中线、底边上的高互相重合（三线合一）
《等腰三角形的轴对称性》课件苏科版八年级上
解析
由于AB=AC，我们可以得到 ∠B=∠C。又因为BD=AD，我们可 以得到∠ADB=∠ADC。由于 BE=AC，我们可以得到 ∠BEC=∠ACB。通过计算∠AEB和 ∠AEC，我们可以得到AE=CE。
知识点
本题主要考查了等腰三角形的判定， 包括两边相等的三角形是等腰三角 形、等角对等边等知识点。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
因为D是BC的中点，所以 BD=CD。由于AE=AD，我们可 以得到∠ADE=∠AED。通过计算
外角∠ADC，我们可以得到 ∠EDC的度数。
知识点
本题主要考查了等腰三角形的性 质，包括等腰三角形的两底角相 等、等腰三角形底边上的中线与
底边上的高重合等知识点。
例题二：等腰三角形的判定应用
题目
在三角形ABC中，AB=AC，D为 BC上一点，且BD=AD，E为AD
等腰三角形的顶角平分线，底边 上的中线，底边上的高相互重合
（简写成“三线合一”）。
等腰三角形是轴对称图形，只有 一条对称轴，顶角平分线所在的 直线是它的对称轴，等边三角形
有三条对称轴。
等腰三角形性质的应用
01
利用等腰三角形的性质进行 证明和计算，如证明角相等 、线段相等、求角度等。
02
03
04Leabharlann 在实际生活中，等腰三角形 的性质也有广泛应用，如建 筑设计、道路规划等。
《等腰三角形的轴对称性》课件苏 科版八年级上
目 录
• 引言 • 等腰三角形的性质 • 等腰三角形的判定 • 轴对称性与等腰三角形的关系 • 典型例题解析 • 练习与巩固
01 引言
课件背景与目的
八年级上册数学等腰三角形的轴对称性(3)
学案1.5 等腰三角形的轴对称性班级姓名学号教学目标：1、知道等腰梯形的概念，等腰梯形的轴对称性极其相关性质能够画出简单的轴对称图形.2、等边三角形性质的运用教学重点：等腰梯形的轴对称性极其相关性质；教学难点：能利用等腰梯形的性质进行有条理的说理；教学过程：一、复习提问：1．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，它们分别是_______．2．等边三角形ABC中，AD是BC•边上的中线，•那么∠ADB=•_____•°，•∠BAD=_____°．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CD是AB边上的中线，△BCD•是等边三角形吗？为什么？二、探索新知：1、等边三角形的概念三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形.2、那么等边三角形具有什么性质？等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴.等边三角形都等于0603、探索活动思考：（1）3个角相等的三角形是等边三角形吗？为什么？（2）有两个角等于060的三角形是等边三角形吗？为什么？（3）有一个角等于060的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？（对于问题2要引导学生借助于两块相同的含060直角三角板进行拼图实验；对于问题3要引导分类思考.）CDEBA三、例题示范：例1. 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？ 分析：应分两情况讨论，一是当这个角是底角时；二是当这个角是顶角时.例2如图,在△ABC 中,AB=AC ，∠BAC=120°, AD ⊥AB,AE ⊥AC. ⑴图中,等于30°的角有__ _,等于60°的角有 ; ⑵△ADE 是等边三角形吗?为什么?⑶在Rt △ABD 中, ∠B=_____,AD=_____BD;在Rt △ACE 中,有类似结论吗?五、课堂小结：等边三角形是底和腰相等的等腰三角形，有3条对称轴，每个角都是600. 六、课后作业： 七、教学后记：【课后作业】1、底角等于顶角一半的等腰三角形是____________三角形.2、剪四个同样大小的等边三角形，你能将这四个三角形拼成一个三角形吗?是一个什么三角形?3、在等边三角形、角、线段这三个图形中，对称轴最多的是 ，它共有 条对称轴，最少的是 ，有 条对称轴．4、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是45°，这个等腰三角形的顶角是________°．ABCMNP Q5、下列说法：（1）等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；（2）等腰三角形的两腰上的中线长相等；（3）等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；（4）等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40．其中不正确．．．的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．46、如图，在△ABC 中，AB=AC ， B F 与CF 是角平分线且交于点F ，DE ∥BC ，若B D+CE=9，则线段DE 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．97、如图，在△ABC 中，PM 、QN 分别是AB 、AC 的垂直平分线， ∠BAC=110°，那么∠PA Q 等于 °．8、如图，在等边三角形ABC 的边BC 、AC 上分别取点D 、E ，使BD=CE ，AD 与BE 相交于点F ．求∠AFE 的度数．（第7题）ABCD E FEF DC BAABCP ′P9．如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 的延长线上，•且BD=CE=AF ．△DEF 也是等边三角形吗？为什么？F CB A10、如图，△ABC 是等边三角形，P 为△ABC 内部一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ˊ重合，如果A P=3，求PP ˊ的长．11、在两个三角形中，它们的内角分别为：（1）20°，40°，120°；（2） 20°，60°，100°，怎样把每个三角形分成两个等腰三角形？试画出图形．。
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八年级数学(上)第一章轴对称图形
第9课时等腰三角形的轴对称性(三)（附答案）
1．在等边△ABC中，AD是边BC上的中线，则∠ADB=_________，∠BAD=_________．2．如图，在△ABC中，∠A=60°，B D⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，CE=BD，则△ABC 是_________三角形．
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD⊥AC于点D，D G∥AB交BC于点G，点E在BC的延长线上，且CE=CD，则(1)∠E=________，∠BDE=________；(2)图中的等边三角形有__________个，它们是____________________．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CD是斜边AB的中线．△BCD是等边三角形吗?为什么?
5．如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且AD=BE=CF．试说明△DEF是等边三角形．
6．在△ABC中，AB=AC，下列说法：①若∠A=60°，则△ABC是等边三角形；②若∠B=60°，则△ABC是等边三角形；③若∠C=60°，则△ABC是等边三角形．其中正确的是( )
A．①B．②C．③D．①②③
7．如图，在等边△ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是( ) A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，若正方形ABCD内的一点P与点A、B组成等边三角形，则△PCD的三个内角度数分别为________、________、__________．
9．用一块等边三角形的硬纸片(如图①)做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子(边缝忽略不计，如图②)，需在△ABC的每个顶点处各剪掉一个四边形，则在四边形AMDN，中，∠MDN=__________．
10．如图，在等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE=_________．11．如图，BD是等边△ABC边AC上的高，延长BC至点E，使CE=CD．
(1)试比较BD与DE的大小，并说明理由．
(2)若将BD改为△ABC的角平分线或中线，能否得出同样的结论?试说明理由．
12．如图，在等边△ABC中，求作一点P，使△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，这样的点P有________个，并在图中标出来．
13．如图①，点C为线段AB上一点，△ACM、ACBN是等边三角形，直线AN、MC相交于点E，直线BM、CN相交于点F．
(1)试说明AN=BM．
(2)试说明△CEF是等边三角形．
(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图②中补出符合要求
的图形，并判断(1)、(2)两小题结论是否成立(不要求说明)．
(1)说明△COD是等边三角形．
(2)当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．
(3)当a为多少度时，△AOD是等腰三角形?
参考答案
1．90°30°2．等边3．(1)30°120°(2)2 △ABC和△DGC 4．△BCD是等边三角形∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠B=60°．∵CD是斜边AB的中线．∴CD=BD．∴△BCD是等边三角形5．点拔：可证△ADF≌△BED≌△CFE，则DF=DE=EF 6．D 7．D 8．150°15°15°9．120°10．60°11．(1)BD=DE ∵CE=CD，∴∠CDE=∠E．∵△ABC是等边三角形，∴∠DCB=60°=∠CDE+∠E=2∠E．∴∠E=30°=∠DBC．
∴BD=DE (2)可以得出同样的结论，将BD改为△ABC的角平分线或中线时，实际上也是等边△ABC边AC上的高12．10 图略13．(1)∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，CN=CB，∠CAN=∠BCN=60°．∴∠MCN=60°．∴∠CAN=∠BCM．∴△CAN≌△BCM．∴AN=BM (2)在△NCE与△BCF中，CN=CB，∠ENC=∠FBC，∠ECN=∠NCB=60°，∴△NC E≌△BCF．∴EC=CF．又∵∠ECF=60°，∴△CEF为等边三角形(3)AN=BM成立，△CEF为等边三角形不成立
14．(1)∵CO=CD，∠OCD=∠ACB=60°，∴△COD是等边三角形(2)当a=150°，即∠BOC=150°时，△AOD是直角三角形∵△BO C≌△ADC，∴∠BOC=∠ADC=150°．又∵△COD是等边三角形．∴∠ODC=60°．∴∠ADO=90°．即△AOD是直角三角形(3)①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO ∵∠AOD=190°－a，∠ADO=a－60°，∴190°－a=a －60°．∴a=125°②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO ∵∠OAD=180°－(∠AOD+∠ADO)=50°，∴a－60°=50°．∴a=110°③要使OD=AD，则∠OAD=∠AOD．∴190°－a=50°．∴a=140°．综上所述，当a的度数为125°、110°、140°时，△AOD是等腰三角形。