二次函数结合定值及等面积问题
2023年中考数学总复习专题5二次函数与面积最值定值问题(学生版)
专题5二次函数与面积最值定值问题面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。
有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。
解决这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法.面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．二是先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下：如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．图1 图2 图3计算面积长用到的策略还有：如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图5，同底三角形的面积比等于高的比．如图6，同高三角形的面积比等于底的比．图4 图5 图6【例1】（2022•青海）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足S△P AB＝6的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（请在图2中探讨）【例2】（2022•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形P ABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】（2022•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'．（1）当k＝2时，求A，B两点的坐标；（2）连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；（3）试探究直线AB'是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【例4】（2022•岳阳）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线F1的解析式；（2）如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；（3）如图3，将（2）中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．①求点C和点D的坐标；②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边形CMDN面积的最大值．1．（2022•金坛区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx﹣2的图象与x轴交于点A （3，0），B（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，作直线AD．（1）填空：b＝；（2）将△AOC平移到△EFG（点E，F，G依次与A，O，C对应），若点E落在抛物线上且点G落在直线AD上，求点E的坐标；（3）设点P是第四象限抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交AC于点T．若∠CPT+∠DAC＝180°，求△AHT与△CPT的面积之比．2．（2022•罗城县模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+b经过点A（2，6），B（﹣4，0），其中E、F（m，n）为抛物线上的两个动点．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若C（x，y）是抛物线上的一点，当﹣4＜x＜2且S△ABC最大时，求点C的坐标；（3）若EF∥x轴，点A到EF的距离大于8个单位长度，求m的取值范围．3．（2022•老河口市模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2mx的顶点为A，直线l：y＝x﹣1与x轴交于点B．（1）如图，已知点A的坐标为（2，4），抛物线与直线l在第一象限交于点C．①求抛物线的解析式及点C的坐标；②点M为线段BC上不与B，C重合的一动点，过点M作x轴的垂线交x轴于点D，交抛物线于点E，设点M的横坐标t．当EM＞BD时，求t的取值范围；（2）过点A作AP⊥l于点P，作AQ∥l交抛物线于点Q，连接PQ，设△APQ的面积为S．直接写出①S 关于m的函数关系式；②S的最小值及S取最小值时m的值．4．（2022•新吴区二模）如图，已知抛物线y＝+bx过点A（﹣4，0）、顶点为B，一次函数y＝x+2的图象交y轴于M，对称轴与x轴交于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）已知P是抛物线上一动点，点M关于AP的对称点为N．①若点N恰好落在抛物线的对称轴上，求点N的坐标；②请直接写出△MHN面积的最大值．5．（2022•开福区校级二模）如图，抛物线y＝（x+1）（x﹣a）（其中a＞1）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．（1）直接写出∠OCA的度数和线段AB的长（用a表示）；（2）如图①，若a＝2，点D在抛物线的对称轴上，DB＝DC，求△BCD与△ACO的周长之比；（3）如图②，若a＝3，动点P在线段OA上，过点P作x轴的垂线分别与AC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△BPM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．6．（2022•官渡区二模）抛物线交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于点C，对称轴为直线．（1）如图1，若点C坐标为（0，2），则b＝，c＝；（2）若点P为第二象限抛物线上一动点，在（1）的条件下，求四边形ABCP面积最大时，点P坐标和四边形ABCP的最大面积；（3）如图2，点D为抛物线的顶点，过点O作MN∥CD别交抛物线于点M，N，当MN＝3CD时，求c 的值．7．（2022•徐州二模）如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，动点P从A点出发，沿边AB运动到点B，动点Q同时由A点出发，沿折线AD﹣DC﹣CB运动点B停止，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，已知y与x之间函数关系如图②，其中MN为线段，曲线OM，NK为抛物线的一部分，根据图中信息，解答下列问题：（1）图①AB＝，BC＝；（2）分别求线段MN，曲线NK所对应的函数表达式；（3）当x为何值，△APQ的面积为6？8．（2022•茌平区一模）如图，已知二次函数的图象交x轴于点B（﹣8，0），C（2，0），交y轴点A．（1）求二次函数的表达式；（2）连接AC，AB，若点P在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点P作PD∥AC，交AB于点D，试猜想△P AD的面积有最大值还是最小值，并求出此时点P的坐标．（3）连接OD，在（2）的条件下，求出的值．9．（2022•碑林区校级模拟）抛物线W1：y＝a（x+）2﹣与x轴交于A（﹣5，0）和点B．（1）求抛物线W1的函数表达式；（2）将抛物线W1关于点M（﹣1，0）对称后得到抛物线W2，点A、B的对应点分别为A'，B'，抛物线W2与y轴交于点C，在抛物线W2上是否存在一点P，使得S△P A′B′＝S△P A'C，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．10．（2021秋•钦北区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+6与直线y＝x+2相交于A（，）、B（4，6）两点，点P是线段AB上的动点（不与A、B两点重合），过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C，点E是直线AB与x轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点C是抛物线的顶点时，求△BCE的面积；（3）是否存在点P，使得△BCE的面积最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．11．（2022•保定一模）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y＝x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0），B （1，﹣5），D（4，0）．（1）求c，b（含t的代数式表示）；（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式．并求t为何值时，△MPN的面积为．12．（2022•黄石模拟）如图，已知抛物线与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣4），直线与x轴交于点D，点P是抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x 轴，垂足为E，交直线l于点F．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P是抛物线上位于第三象限的一动点，设点P的横坐标是m，四边形PCOB的面积是S．①求S 关于m的函数解析式及S的最大值；②点Q是直线PE上一动点，当S取最大值时，求△QOC周长的最小值及FQ的长．13．（2022•哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴的负半轴交于点A，与x的正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，OB＝2OA．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第四象限内抛物线上一点，连接AD交y轴于点E，过C作CF⊥y轴交抛物线于点F，连接DF，设四边形DECF的面积为S，点D的横坐标的t，求S与t的函数解析式；（3）在（2）的条件下，过F作FM∥y轴交AD于点M，连接CD交FM于点G，点N是CE上一点，连接MN、EG，当∠BAD+2∠AMN＝90°，MN：EG＝，求点D的坐标．14．（2022•利川市模拟）如图，等腰直角三角形OAB的直角顶点O在坐标原点，直角边OA，OB分别在y 轴和x轴上，点C的坐标为（3，4），且AC平行于x轴．（1）求直线AB的解析式；（2）求过B，C两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式；（3）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为D，试判定OC与BD的大小关系；（4）若点M是抛物线上的动点，当△ABM的面积与△ABC的面积相等时，求点M的坐标．15．（2021•襄阳）如图，直线y＝x+1与x，y轴分别交于点B，A，顶点为P的抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A．（1）求出点A，B的坐标及c的值；（2）若函数y＝ax2﹣2ax+c在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；（3）连接AP，过点A作AP的垂线交x轴于点M．设△BMP的面积为S．①直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；②结合S与a的函数图象，直接写出S＞时a的取值范围．16．（2021•辽宁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．17．（2021•贺州）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（x P，y P），当1≤x P≤a，1≤a≤5时，求△PCD面积的最大值（可含a表示）．18．（2021•常德）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于E点，F是AD 的中点，B、C、D的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（13，10）．（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；（3）设过F与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，当△PBQ的面积最大时，求P的坐标．19．（2021•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴只有一个公共点．（1）若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值；（2）已知点P1（﹣2，1），P2（2，﹣1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上．①求抛物线的解析式；②设直线l：y＝kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y＝﹣1上，且∠MAN＝90°，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C．求证：△MAB与△MBC的面积相等．20．（2021•柳州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，过点B作BE⊥OD，垂足为E，若BE＝2OE，求点D的坐标；（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM，交BC于点N，连接BM，记△BMN的面积为S1，△ABN的面积为S2，求的最大值．21．（2021•聊城）如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，﹣2），连接AC，BC．（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；（2）将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D 在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标．22．（2020•贺州）如图，抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2与y轴交于点A（0，2），顶点为B．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P（t，y1），Q（t+3，y2）都在抛物线上，且y1＝y2，求P，Q两点的坐标；（3）在（2）的条件下，若点C是线段QB上一动点，经过点C的直线y＝﹣x+m与y轴交于点D，连接DQ，DB，求△BDQ面积的最大值和最小值．。
重难点 二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题(解析版)--2024年中考数学
重难点二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题目录题型01利用二次函数解决单线段的最值问题题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题题型03利用二次函数解决两条线段之差的最值问题题型04利用二次函数解决三条线段之和的最值问题题型05利用二次函数解决三角形周长的最值问题题型06利用二次函数解决四边形周长的最值问题题型07利用二次函数解决图形面积的最值问题类型一利用割补、拼接法解决面积最值问题类型二利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题类型三构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题题型08利用二次函数解决定值问题题型01利用二次函数解决单线段的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意：①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确．1(2022·辽宁朝阳·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，-3)，连接BC．(1)求抛物线的解析式及点B 的坐标．(2)如图，点P 为线段BC 上的一个动点(点P 不与点B ，C 重合)，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，求线段PQ 长度的最大值．(3)动点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点C 向点B 运动，同时动点M 以每秒1个单位长度的速度在线段BO 上由点B 向点O 运动，在平面内是否存在点N ，使得以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3，(-3，0)(2)94(3)-3,-32或(-2，1)或0,3-32【分析】(1)将A ，C 两点坐标代入抛物线的解析式求得a ，c 的值，进而得出解析式，当y =0时，求出方程的解，进而求得B 点坐标；(2)由B ，C 两点求出BC 的解析式，进而设出点P 和点Q 坐标，表示出PQ 的长，进一步得出结果；(3)要使以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，只需△PMB 是等腰三角形，所以分为PM =BM ，PM =PB 和BP =BM ，结合图象，进一步得出结果．【详解】(1)解：把点A (1，0)，C (0，-3)代入y =ax 2+2x +c 得：c =-3a +2×1+c =0 ，解得：c =-3a =1 ，∴抛物线解析式为y =x 2+2x -3；令y =0，则x 2+2x -3=0，解得：x 1=1,x 2=-3，∴点B 的坐标为(-3，0)；(2)解：设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B (-3，0)，C (0，-3)代入得：b =-3-3k +b =0 ，解得：k =-1b =-3 ，∴直线BC 的解析式为y =-x -3，设点P m ,-m +3 ，则Q m ,m 2+2m -3 ，∴PQ =-m -3 -m 2+2m -3 =-m 2-3m =-m +322+94，∴当m =-32时，PQ 最大，最大值为94；(3)解：存在，根据题意得：PC =2t ,BM =t ，则PB =32-2t ，如图，当BM =PM 时，∵B (-3，0)，C (0，-3)，∴OB =OC =3，∴∠OCB =∠OBC =45°，延长NP 交y 轴于点D ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ∥x 轴，BN ∥PM ，即DN ⊥y 轴，∴△CDP 为等腰直角三角形，∴CD =PD =PC ⋅sin ∠OCB =2t ×22=t ，∵BM =PM ，∴∠MPB =∠OBC =45°，∴∠PMO =∠PDO =∠MOD =90°，∴四边形OMPD 是矩形，∴OM =PD =t ，MP ⊥x 轴，∴BN ⊥x 轴，∵BM +OM =OB ，∴t +t =3，解得t =32，∴P -32,-32，∴N -3,-32；如图，当PM =PB 时，作PD ⊥y 轴于D ，连接PN ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ⊥BM ，NE =PE ，∴BM =2BE ，∴∠OEP =∠DOE =∠ODP =90°，∴四边形PDOE 是矩形，∴OE =PD =t ，∴BE =3-t ，∴t =2(3-t )，解得：t =2，∴P (-2，-1)，∴N (-2，1)；如图，当PB =MB 时，32-2t =t ，解得：t =6-32，∴PN =BP =BM =6-32，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，∴PE ⊥PM ，∴∠EON =∠OEP =∠EPN =90°，∴四边形OEPN 为矩形，∴PN =OE ，PN ⊥y 轴，∵∠OBC =45°，∴BE =PE =PB ⋅sin ∠OBC =6-32 ×22=32-3，∴OE =OB -BE =3-32-3 =6-32，∴点N 在y 轴上，∴N 0,3-32 ，综上所述，点N 的坐标为-3,-32或(-2，1)或0,3-32 ．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形．2(2021·西藏·统考中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点．与y 轴交于点C ．且点A 的坐标为(-1，0)，点C 的坐标为(0，5)．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图(甲)．若点P 是第一象限内抛物线上的一动点．当点P 到直线BC 的距离最大时，求点P 的坐标；(3)图(乙)中，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2+4x +5；(2)P 52，354；(3)存在，M 的坐标为：(3，8)或(-3，-16)或(7，-16)．【分析】(1)将A 的坐标(-1，0)，点C 的坐(0，5)代入y =-x 2+bx +c ，即可得抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，由y =-x 2+4x +5可得B (5，0)，故OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，可证明△PHQ 是等腰直角三角形，即知PH =PQ2，当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B (5，0)代入得直线BC 解析式为y =-x +5，设P (m ，-m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q (m ，-m +5)，PQ =-m -52 2+254，故当m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC的距离最大，此时P 52，354 ；(3)抛物线y =-x 2+4x +5对称轴为直线x =2，设M (s ，-s 2+4s +5)，N (2，t )，而B (5，0)，C (0，5)，①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，可列方程组s +22=5+02-s 2+4s +5+t 2=0+52，即可解得M (3，8)，②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，同理可得s +52=2+02-s 2+4s +4+02=t +52，解得M (-3，-16)，③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，则s +02=2+52-s 2+4s +5+52=t +02，解得M (7，-16)．【详解】解：(1)将A 的坐标(-1，0)，点C 的坐(0，5)代入y =-x 2+bx +c 得：0=-1-b +c 5=c ，解得b =4c =5 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，如图：在y =-x 2+4x +5中，令y =0得-x 2+4x +5=0，解得x =5或x =-1，∴B (5，0)，∴OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，∴∠CBO =45°，∵PD ⊥x 轴，∴∠BQD =45°=∠PQH ，∴△PHQ 是等腰直角三角形，∴PH =PQ2，∴当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B (5，0)代入得0=5k +5，∴k =-1，∴直线BC 解析式为y =-x +5，设P (m ，-m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q (m ，-m +5)，∴PQ =(-m 2+4m +5)-(-m +5)=-m 2+5m =-m -52 2+254，∵a =-1<0，∴当m =52时，PQ 最大为254，∴m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC 的距离最大，此时P 52，354；(3)存在，理由如下：抛物线y =-x 2+4x +5对称轴为直线x =2，设M (s ，-s 2+4s +5)，N (2，t )，而B (5，0)，C (0，5)，①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，如图：∴s +22=5+02-s 2+4s +5+t2=0+52，解得s =3t =-3 ，∴M (3，8)，②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，如图：∴s +52=2+02-s 2+4s +4+02=t +52，解得s=-3t =-21 ，∴M (-3，-16)，③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，如图：s +02=2+52-s 2+4s +5+52=t +02，解得s =7t =-11 ，∴M (7，-16)；综上所述，M 的坐标为：(3，8)或(-3，-16)或(7，-16)．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．3(2021·山东泰安·统考中考真题)二次函数y =ax 2+bx +4(a ≠0)的图象经过点A (-4,0)，B (1,0)，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ．(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC ，当∠DPB =2∠BCO 时，求直线BP 的表达式；(3)请判断：PQQB是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理由．【答案】(1)y =-x 2-3x +4；(2)y =-158x +158；(3)PQ QB有最大值为45，P 点坐标为(-2,6)【分析】(1)将A (-4,0)，B (1,0)代入y =ax 2+bx +4(a ≠0)中，列出关于a 、b 的二元一次方程组，求出a 、b 的值即可；(2)设BP 与y 轴交于点E ，根据PD ⎳y 轴可知，∠DPB =∠OEB ，当∠DPB =2∠BCO ，即∠OEB =2∠BCO ，由此推断△OEB 为等腰三角形，设OE =a ，则CE =4-a ，所以BE =4-a ，由勾股定理得BE 2=OE 2+OB 2，解出点E 的坐标，用待定系数法确定出BP 的函数解析式即可；(3)设PD 与AC 交于点N ，过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标可得AC 所在直线表达式，求得M 点坐标，则BM =5，由BM ⎳PN ，可得△PNQ ∽△BMQ ，PQ QB=PN BM =PN5，设P (a 0,-a 20-3a 0+4)(-4<a 0<0)，则N (a 0,a 0+4)PQ QB =-a 20-3a 0+4-(a 0+4)5=-a 20-4a 05=-(a 0+2)2+45，根据二次函数性质求解即可．【详解】解：(1)由题意可得：a ⋅(-4)2+b ⋅(-4)+4=0a +b +4=0解得：a =-1b =-3 ，∴二次函数的表达式为y =-x 2-3x +4；(2)设BP 与y 轴交于点E ，∵PD ⎳y 轴，∴∠DPB =∠OEB ，∵∠DPB =2∠BCO ，∴∠OEB =2∠BCO ，∴∠ECB =∠EBC ，∴BE =CE ，设OE =a ，则CE =4-a ，∴BE =4-a ，在Rt △BOE 中，由勾股定理得BE 2=OE 2+OB 2，∴(4-a )2=a 2+12解得a =158，∴E 0,158，设BE 所在直线表达式为y =kx +e (k ≠0)∴k ⋅0+e =158,k ⋅1+e =0.解得k =-158,e =158. ∴直线BP 的表达式为y =-158x +158．(3)设PD 与AC 交于点N ．过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标分别为(-4,0)，(0,4)可得AC 所在直线表达式为y =x +4∴M 点坐标为(1,5)，BM =5由BM ⎳PN ，可得△PNQ ∽△BMQ ，∴PQ QB=PN BM =PN 5设P (a 0,-a 20-3a 0+4)(-4<a 0<0)，则N (a 0,a 0+4)∴PQ QB=-a 20-3a 0+4-(a 0+4)5=-a 20-4a 05=-(a 0+2)2+45，∴当a 0=-2时，PQQB 有最大值0.8，此时P 点坐标为(-2,6)．【点睛】本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题．4(2020·辽宁阜新·中考真题)如图，二次函数y =x 2+bx +c 的图象交x 轴于点A -3,0 ，B 1,0 ，交y 轴于点C ．点P m ,0 是x 轴上的一动点，PM ⊥x 轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)①若点P 仅在线段AO 上运动，如图1．求线段MN 的最大值；②若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3；(2)①94，②存在，Q 1(0,-32-1),Q 2(0,32-1)【分析】(1)把A (-3,0),B (1,0)代入y =x 2+bx +c 中求出b ，c 的值即可；(2)①由点P m ,0 得M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ，从而得MN =(-m -3)-m 2+2m -3 ，整理，化为顶点式即可得到结论；②分MN =MC 和MC =2MN 两种情况，根据菱形的性质得到关于m 的方程，求解即可．【详解】解：(1)把A (-3,0),B (1,0)代入y =x 2+bx +c 中，得0=9-3b +c ,0=1+x +c .解得b =2,c =-3. ∴y =x 2+2x -3．(2)设直线AC 的表达式为y =kx +b ，把A (-3,0),C (0,-3)代入y =kx +b ．得，0=-3k +b ,-3=b . 解这个方程组，得k =-1,b =-3. ∴y =-x -3．∵点P m ,0 是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴．∴M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ． ∴MN =(-m -3)-m 2+2m -3 =-m 2-3m=-m +32 2+94．∵a =-1<0，∴此函数有最大值．又∵点P 在线段OA 上运动，且-3<-32<0∴当m =-32时，MN 有最大值94． ②∵点P m ,0 是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴．∴M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ． ∴MN =(-m -3)-m 2+2m -3 =-m 2-3m(i )当以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形，则有MN =MC ，如图，∵C (0，-3)∴MC =(m -0)2+(-m -3+3)2=2m 2∴-m 2-3m =2m 2整理得，m 4+6m 3+7m 2=0∵m 2≠0，∴m 2+6m +7=0，解得，m 1=-3+2，m 2=-3-2∴当m =-3+2时，CQ =MN =32-2，∴OQ =-3-(32-2)=-32-1∴Q (0，-32-1)；当m =-3-2时，CQ =MN =-32-2，∴OQ =-3-(-32-2)=32-1∴Q (0，32-1)；(ii )若MC =2MN ，如图，则有-m 2-3m =22×2m 2整理得，m 2+4m =0解得，m 1=-4，m 2=0(均不符合实际，舍去)综上所述，点Q 的坐标为Q 1(0,-32-1),Q 2(0,32-1)【点睛】本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(2)的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解(3)的关键是利用菱形的性质得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．5(2020·天津·中考真题)已知点A (1,0)是抛物线y =ax 2+bx +m (a ,b ,m 为常数，a ≠0,m <0)与x 轴的一个交点．(1)当a =1,m =-3时，求该抛物线的顶点坐标；(2)若抛物线与x 轴的另一个交点为M (m ,0)，与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l 平行于x 轴，E 是直线l 上的动点，F 是y 轴上的动点，EF =22．①当点E 落在抛物线上(不与点C 重合)，且AE =EF 时，求点F 的坐标；②取EF 的中点N ，当m 为何值时，MN 的最小值是22？【答案】(1)抛物线的顶点坐标为(-1,-4)；(2)①点F 的坐标为(0,-2-7)或(0,-2+7)；②当m 的值为-32或-12时，MN 的最小值是22．【分析】(1)根据a =1,m =-3，则抛物线的解析式为y =x 2+bx -3，再将点A (1，0)代入y =x 2+bx -3，求出b 的值，从而得到抛物线的解析式，进一步可求出抛物线的顶点坐标；(2)①首先用含有m 的代数式表示出抛物线的解析式，求出C (0,m )，点E (m +1,m ).过点A 作AH ⊥l 于点H ,在Rt △EAH 中，利用勾股定理求出AE 的值，再根据AE =EF ，EF =22，可求出m 的值，进一步求出F 的坐标；②首先用含m 的代数式表示出MC 的长，然后分情况讨论MN 什么时候有最值.【详解】解：(1)当a =1，m =-3时，抛物线的解析式为y =x 2+bx -3．∵抛物线经过点A (1,0)，∴0=1+b-3．解得b=2．∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3．∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4，∴抛物线的顶点坐标为(-1,-4)．(2)①∵抛物线y=ax2+bx+m经过点A(1,0)和M(m,0)，m<0，∴0=a+b+m，0=am2+bm+m，即am+b+1=0．∴a=1，b=-m-1．∴抛物线的解析式为y=x2-(m+1)x+m．根据题意，得点C(0,m)，点E(m+1,m)．过点A作AH⊥l于点H．由点A(1,0)，得点H(1,m)．在Rt△EAH中，EH=1-(m+1)=-m，HA=0-m=-m，∴AE=EH2+HA2=-2m．∵AE=EF=22，∴-2m=22．解得m=-2．此时，点E(-1,-2)，点C(0,-2)，有EC=1．∵点F在y轴上，∴在Rt△EFC中，CF=EF2-EC2=7．∴点F的坐标为(0,-2-7)或(0,-2+7)．②由N是EF的中点，得CN=12EF=2．根据题意，点N在以点C为圆心、2为半径的圆上．由点M(m,0)，点C(0,m)，得MO=-m，CO=-m．∴在Rt△MCO中，MC=MO2+CO2=-2m．当MC≥2，即m≤-1时，满足条件的点N落在线段MC上，MN的最小值为MC-NC=-2m-2=22，解得m=-3 2；当MC<2，-1<m<0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC-MC=2-(-2m)=22，解得m=-1 2．∴当m的值为-32或-12时，MN的最小值是22．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．．6(2023·重庆·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF 为腰的△QEF 是等腰三角形的点Q 的坐标，并把求其中一个点Q 的坐标的过程写出来．【答案】(1)y =14x 2+14x -3(2)PD 取得最大值为45，P -2,-52 (3)Q 点的坐标为92,-1 或92,5 或92,74．【分析】(1)待定系数法求二次函数解析式即可求解；(2)直线AC 的解析式为y =-34x -3，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点Q ，设P t ,14t 2+14t -3 ，则Q t ,-34t -3 ，则PD =45PQ ，进而根据二次函数的性质即可求解；(3)根据平移的性质得出y =14x -92 2-4916，对称轴为直线x =92，点P -2,-52 向右平移5个单位得到E 3,-52 ，F 0,2 ，勾股定理分别表示出EF 2,QE 2,QF 2，进而分类讨论即可求解．【详解】(1)解：将点B 3,0 ，C 0,-3 ．代入y =14x 2+bx +c 得，14×32+3b +c =0c =-3解得：b =14c =-3 ，∴抛物线解析式为：y =14x 2+14x -3，(2)∵y =14x 2+14x -3与x 轴交于点A ，B ，当y =0时，14x 2+14x -3=0解得：x 1=-4,x 2=3，∴A -4,0 ,∵C 0,-3 ．设直线AC 的解析式为y =kx -3，∴-4k -3=0解得：k =-34∴直线AC 的解析式为y =-34x -3，如图所示，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点Q ，设P t ,14t 2+14t -3 ，则Q t ,-34t -3 ，∴PQ =-34t -3-14t 2+14t -3 =-14t 2-t ，∵∠AQE =∠PQD ，∠AEQ =∠QDP =90°，∴∠OAC =∠QPD ，∵OA =4,OC =3，∴AC =5，∴cos ∠QPD =PD PQ =cos ∠OAC =AO AC=45，∴PD =45PQ =45-14t 2-t =-15t 2-45t =-15t +2 2+45，∴当t =-2时，PD 取得最大值为45，14t 2+14t -3=14×-2 2+14×-2 -3=-52，∴P -2,-52 ；(3)∵抛物线y =14x 2+14x -3=14x +12 2-4916将该抛物线向右平移5个单位，得到y =14x -92 2-4916，对称轴为直线x =92，点P -2,-52 向右平移5个单位得到E 3,-52 ∵平移后的抛物线与y 轴交于点F ，令x =0，则y =14×92 2-4916=2，∴F 0,2 ,∴EF 2=32+2+52 2=1174∵Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．则Q 点的横坐标为92，设Q 92,m ，∴QE 2=92-3 2+m +52 2，QF 2=92 2+m -2 2，当QF =EF 时，92 2+m -2 2=1174，解得：m =-1或m =5，当QE =QF 时，92-3 2+m +522=92 2+m -2 2，解得：m =74综上所述，Q 点的坐标为92,-1 或92,5 或92,74．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.【常见模型一】(两点在河的异侧)：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
二次函数中的面积问题
二次函数中的面积问题是一个广泛应用的数学概念。通过深入研究二次函数， 我们可以探索其标准式、图像、交点、对称轴以及顶点等属性，进而应用面 积公式解决各种实际问题。
什么是二次函数
二次函数是一个以x的二次项为特征的函数。它的标准形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数。二次函数的 图像通常呈现开口向上或向下的抛物线形状。
二次函数的变形及面积问题的 应用
通过对二次函数进行平移、缩放和翻转等变形操作，可以解决更加复杂的面 积问题，例如计算部分面积的问题。
二次函数的导数是代表函数斜率的函数，可以通过求导得到。导函数即为二 次函数的一阶导数。
求二次函数的最小值及最大值
二次函数的最小值或最大值是函数的极值点。可以通过求导数和解方程得到 最小值或最大值的坐标。
二次函数与勾股定理
二次函数与勾股定理有一定的联系。通过勾股定理，我们可以计算二次函数 的斜边长度或直角边长。
要计算二次函数与坐标轴的交点，可以将函数等于零得到二次方程，然后使 用求根公式解方程。交点包括x轴与y轴的交点。
二次函数的对称轴
对称轴是二次函数的一个重要属性，通过对称轴可以找到抛物线的对称中心。对称轴的公式为x=-b/2a。
求二次函数的顶点及最值
顶点是二次函数的极值点，可以通过求导数或通过对称轴的坐标计算得出。最值可以是极大值或极小值，具体 取决于抛物线的开口方向。
二次函数与坐标系围成的面积
二次函数与坐标系围成的面积可以通过计算二次函数与x轴、y轴围成的矩形 面积和差值的方式得到。
求二次函数与x轴围成的面积
要求二次函数与x轴围成的面积，可以将函数转化为标准形式，计算定积分， 或通过求解二次方程得到交点坐标进而计算面积。
专题09 二次函数中的面积定值与等值问题(学生版)
专题09 二次函数中的面积定值与等值问题【典型例题】母题：如图，已知抛物线过A （4,0）、B （0,4）、C （-2，0）三点，P 是抛物线上一点（1）若S △PAB =S △BCO ，求P 点坐标（2）（☆）若△PAB 面积为4，求P 点坐标（3）点D 坐标为（-1,1），P在第一象限，若△PCD 面积为4，求P 点坐标54x【模型解读】二次函数中的等值问题或定值问题【问题描述】如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC，若△PBC面积为3，求点P坐标．思路1：铅垂法列方程解．根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=-x+3，设点P坐标为，过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，则点Q坐标为（m，-m+3），，，分类讨论去绝对值解方程即可得m的值．思路2：构造等积变形同底等高三角形面积相等．取BC作水平宽可知水平宽为3，根据△PBC面积为3，可知铅垂高为2，在y轴上取点Q使得CQ=2，过点Q作BC的平行线，交点即为满足条件的P点．当点Q坐标为（0,5）时，PQ解析式为：y=-x+5，联立方程：，解之即可．当点Q坐标为（0,1）时，PQ解析式为：y=-x+1，联立方程：，解之即可．P QA B C223y x x=-++()2,23m m m-++()()222333PQ m m m m m=-++--+=-+213332PBCS m m=⨯⨯-+=V2235x x x-++=-+2231x x x-++=-+【模型实例】1．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（1，1）是函数y＝x+的图象的“等值点”．（1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数y＝（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M．（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于时，求E点的坐标；3．抛物线y＝x2﹣1交x轴于A，B两点（A在B的左边）．▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上；如图，若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12，求点E的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B（3，0），C （0，﹣3），连接BC，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）当△PAB的面积为8时，求点P的坐标．5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上的动点（与点B，C不重合），连接AP并延长AP交抛物线于点Q，连接CQ，BQ，设点Q的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）当△BCQ的面积等于2时，求m的值；6．二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；（2）如图，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．7．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是时，求△ABD的面积；8．如图，已知二次函数y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6．（1）求a的值；（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC．若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当△BCD的面积为3时，求点D的坐标；11．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的，求点R的坐标；。
二次函数解析式求法及图形面积问题
注：任何求抛物线解析式的问题，都可以使用一般式.
练习1： 二次函数 的图象经过点（4，3）， （3，0），求二次函数的解析式
二次函数解析式特点： +k 2、顶点式：y=a（x-h）²
(a≠0)， 这种形式易得顶点坐标和对称轴，顶 点坐标是 （h，k） ，对称轴是直 线 x=h .
注：一般情况下，已知抛物线的顶点坐标求其解析 式时，选用顶点式比较方便。
中考链接
(2017济南 )如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标 分别为(4，0)，(0，6)，直线AD交B C于点D， tan∠OAD＝2，抛物线M1：y＝ax² ＋bx(a≠0)过A， D两点． （1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；
y D C B C E
O 图1
A
xห้องสมุดไป่ตู้
O
二、二次函数中面积问题常见解决方法： 一、直接计算法
水平宽 铅锤高 二、运用 S 2
三、割补法
例1. 如图所示，二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0）， 另一个交点为B，且与y轴交于点C． （1）求m的值； （2）求点B的坐标； （3）该二次函数图象上有一点D，使S△ABD =S△ABC，求点D的坐标．
铅垂高法； 如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两 条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内 部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积 的新方法：S△ABC=ah/2，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 一
例2.如图，在平面直角坐标系中，已知点C(0，4），点A、B在x轴 上，并且OA=OC=4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P，使得Δ PAC的面积最大？ 若存在，求出P点坐标及Δ PAC面积的最大值；若不存在，请说明理 由. (3)在x轴上是否存在点Q，使得Δ ACQ是等腰三角形？若存在，请直 接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
二次函数三角形面积定值问题
二次函数三角形面积定值问题二次函数三角形面积定值问题是高中数学中的一个重要概念，也是考试中常考的难点之一。
本文将从三个方面进行探讨，分别是二次函数的定义和性质、三角形面积公式以及如何利用二次函数求解三角形面积定值问题。
一、二次函数的定义和性质二次函数是一种以 x 的平方为自变量的函数，通常的表达式为y=ax²+bx+c。
其中，a、b、c 分别是常数，a 不等于零。
二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线，其中顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。
二次函数具有以下性质：1. 对称轴：二次函数的对称轴是过顶点的直线，方程为 x=-b/2a。
2. 零点：二次函数的零点是函数图像与 x 轴交点的横坐标，方程为 ax²+bx+c=0。
3. 单调性：当 a 大于零时，二次函数开口朝上，图像在顶点处取得最小值；当 a 小于零时，二次函数开口朝下，图像在顶点处取得最大值。
4. 范围：当 a 大于零时，二次函数的值域为 [c-b²/4a, +∞)；当a 小于零时，二次函数的值域为 (-∞, c-b²/4a]。
二、三角形面积公式三角形面积公式是计算三角形面积的基本公式，其表达式为S=1/2bh，其中S 表示三角形面积，b 和h 分别表示底边和高。
此外，还有两个重要的推论：1. 海伦公式：当已知三角形的三边长 a、b、c 时，可以利用海伦公式求出三角形面积 S=sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=(a+b+c)/2。
2. 正弦定理：当已知三角形的一个角度和两边长时，可以利用正弦定理求出第三边长，从而进一步计算出三角形面积。
正弦定理的表达式为 a/sinA=b/sinB=c/sinC。
三、利用二次函数求解三角形面积定值问题在高中数学中，经常会遇到给定三角形底边和两条高的长度，求解三角形面积的问题。
此类问题通常可以通过构建二次函数来解决。
以一个例子来说明：已知三角形底边长为 8，两条高分别为 6 和 10，求解该三角形的面积。
二次函数中面积问题
专题10 二次函数中面积问题方法1 割补法求面积1．如图，直线l ：33y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线()2240y ax ax a a =-++<经过点B ．(1)求该抛物线的函数表达式：(2)已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）21252528S m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭;当52m =时，S 取得最大值258．【解析】 【分析】（1）根据题意先求出点B 的坐标，然后代入二次函数解析式求解即可；（2）由题意可求点A 坐标，连接OM ，由题意知，点M 的坐标为2(,23)m m m -++，则有03m <<，然后根据割补法求面积即可．【详解】解：（1）把0x =代入33y x =-+得3y =， △(0,3)B ．把(0,3)B 代入224y ax ax a =-++， 得34a =+，△1a =-．△抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++；（2）令0y =，则2230x x -++=，解得1x =-或3， △抛物线与x 轴的交点横坐标分别为1-和3． △点M 在抛物线上，且在第一象限内， △03m <<．将0y =代入33y x =-+，得033x =-+，解得1x =， △(1,0)A ．如解图，连接OM ，由题意知，点M 的坐标为2(,23)m m m -++，则2111(31)2223132AOBOBMOAMAOBOAMB S S SSSSm m m =-=+-=⨯⨯+⨯-⨯-++⨯⨯四边形 2215122522528m m m ⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭， △102-<，且03m <<， △当52m =时，S 取得最大值258． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．方法2 铅锤高水平宽求面积2．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过A （0，3）、B （﹣1，0）、D （2，3），抛物线与x 轴的另一交点为E,点P 为直线AE 上方抛物线上一动点，设点P 的横坐标为t ． （1）求抛物线的表达式；（2）当t 为何值时，△PAE 的面积最大？并求出最大面积；解：（1）由题意得：4233a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：123abc=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，△抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）△A（0，3），D（2，3），△抛物线对称轴为x＝1，△E（3，0），设直线AE的解析式为y＝kx+3，△3k+3＝0，解得，k＝﹣1，△直线AE的解析式为y＝﹣x+3，如图1，作PM△y轴，交直线AE于点M，设P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），△PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，△12PAE PMA PMES S S PM OE=+=⋅＝()21332t t⨯⨯-+＝23327228t⎛⎫--+⎪⎝⎭，△t＝32时，△PAE的面积最大，最大值是278．方法3 △=0时求面积最大3．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，已知点（－1，0），点C(0，－2)．（1）求抛物线的函数解析式； （2）若点是线段下方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标．（1）将A （－1，0）、点C(0，－2)．代入232y ax x c =-+ 求得：213222y x x =-- （2）已求得：B （4，0）、C （0，-2），可得直线BC 的解析式为：y=12x -2； 设直线l△BC ，则该直线的解析式可表示为：y=12x+b ， 当直线l 与抛物线只有一个交点时，可列方程：12x+b=12x 2-32x -2，即：12x 2-2x -2-b=0，且△=0； △4-4×12（-2-b ）=0，即b=-4； △直线l ：y=12x -4．所以点M 即直线l 和抛物线的唯一交点，有： 213222{142y x x y x =--=-，解得：2{3x y ==-即 M （2，-3）．过M 点作MN△x 轴于N ，S△BMC=S 梯形OCMN+S△MNB -S△OCB=12×2×（2+3）+12×2×3-12×2×4=4． △点M （2，﹣3），△MBC 面积最大值是4. 考点：二次函数综合题．类型拓展1 求四边形面积4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝12x ﹣2的图象与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 的图象经过B 、C 两点，且与x 轴的负半轴交于点A ． （1）求二次函数的表达式；（2）若点D 在直线BC 下方的抛物线上，如图1，连接DC 、DB ，设四边形OCDB 的面积为S ，求S 的最大值；解：（1）对于y ＝12x ﹣2，令y ＝12x ﹣2＝0， 解得：x ＝4； 令x ＝0，则y ＝﹣2，故点B 、C 的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2）；将点B 、C 的坐标代入抛物线表达式得2116402c b c =-⎧⎪⎨⨯++=⎪⎩，解得：322b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， 故抛物线的表达式为213222y x x =--①； （2）连接OD ，点D 的坐标为（x ，213222x x --），则S ＝S △ODC ＋S △ODB ＝12×OC ×D x ＋12×BO ×（﹣D y ）＝12×2×x ＋12×4×（213222x x -++）＝﹣x 2＋4x ＋4，△﹣1＜0，故S 有最大值， 当x ＝2时，S 有最大值8；5．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，直线3y x =-+经过B ，C 两点，连接AC ．(1)求抛物线的表达式；(2)点E 为直线BC 上方的抛物线上的一动点（点E 不与点B ，C 重合），连接BE ，CE ，设四边形BECA 的面积为S ，求S 的最大值； (1)解：（1）将(1A -，0)(3B ，0)代入2y x bx c =-++，∴10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，223y x x ∴=-++；(2)（2）过E 作EF x ⊥轴于点F ，与BC 交于点H ，(1A -，0)(3B ，0)，4AB ∴=当0x =时，3y =，(0,3)C ∴，3OC ∴=，设2(,23)F a a a -++，则(,3)H a a -+，222333EH a a a a a ∴=-+++-=-+，ABC BCE BECA S S S ∆∆=+四边形，21143(3)322S a a ∴=⨯⨯+-+⨯ 236(3)2a a =+-+23375()228a =--+，∴当32a =时，S 的最大值为758；类型拓展2 抛物线上有且只有三个点6．如图1，已知抛物线y ＝ax 2+2x +c （a ≠0），与y 轴交于点A （0，6），与x 轴交于点B （6，0）．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）设点P 是抛物线上的动点，若在此抛物线上有且只有三个P 点使得△P AB 的面积是定值S ，求这三个点的坐标及定值S ．解：(1)△抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0），与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0）．△603612ca c=⎧⎨=++⎩△126 ac⎧=-⎪⎨⎪=⎩△抛物线解析式为：y＝﹣12x2+2x+6，△y＝﹣12x2+2x+6＝﹣12（x﹣2）2+8，△顶点坐标为（2，8）(2)△点A（0，6），点B（6，0），△直线AB解析式y＝﹣x+6，当x＝2时，y＝4，△点D（2，4）如图1，设AB上方的抛物线上有点P，过点P作AB的平行线交对称轴于点C，且与抛物线只有一个交点为P，设直线PC解析式为y＝﹣x+b，△﹣12x2+2x+6＝﹣x+b，且只有一个交点，△△＝9﹣4×12×（b﹣6）＝0△b ＝212， △直线PC 解析式为y ＝﹣x +212， △当x ＝2，y ＝172， △点C 坐标（2，172）， △CD ＝92，△﹣12x 2+2x +6＝﹣x +92，△x ＝3， △点P （3，152） △在此抛物线上有且只有三个P 点使得△P AB 的面积是定值S ，△另两个点所在直线与AB ，PC 都平行，且与AB 的距离等于PC 与AB 的距离， △DE ＝CD ＝92，△点E （2，﹣12），设P 'E 的解析式为y ＝﹣x +m ， △﹣12＝﹣2+m ， △m ＝32△P 'E 的解析式为y ＝﹣x +32，△﹣12x 2+2x +6＝﹣x +32，△x ＝△点P '（，﹣32﹣，P ''（3﹣，﹣32，△S ＝12×6×（152﹣3）＝272．7．如图，直线334y x =-+与 x 轴交于点 C ，与 y 轴交于点 B ，抛物线 234y ax x c =++经过 B 、C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点 E 是抛物线上的一动点（不与 B ，C 两点重合），△BEC 面积记为 S ，当 S 取何值时，对应的点 E 有且只有三个？【答案】（1）233384y x x =-++；（2）3【解析】 【分析】（1）先利用一次函数解析式确定B （0，3），C （4，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）由于E 点在直线BC 的下方的抛物线上时，存在两个对应的E 点满足△BEC 面积为S ，则当E 点在直线BC 的上方的抛物线上时，只能有一个对应的E 点满足△BEC 面积为S ，所以过E 点的直线与抛物线只有一个公共点，设此时直线解析式为34y x b =-+，利用方程组23433384y x b y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩只有一组解求出b 得到E 点坐标，然后计算此时S △BEC ． 【详解】（1）当x=0时，y=-34x+3=3，则B （0，3），当y=0时，-34x+3=0，解得x=4，则C （4，0），把B （0，3），C （4，0）代入y=ax 2+34x+c 得383a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 所以抛物线解析式为233384y x x =-++；（2）当E 点在直线BC 的下方的抛物线上时，一定有两个对应的E 点满足△BEC 面积为S ， 所以当E 点在直线BC 的上方的抛物线上时，只能有一个对应的E 点满足△BEC 面积为S ， 即此时过E 点的直线与抛物线只有一个公共点，设此时直线解析式为34y x b =-+， 方程组23433384y x b y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩只有一组解， 方程23333844x x x b -++=-+有两个相等的实数解， 则△=122-4×3×（-24+8b ）=0，解得b=92，解方程得x 1=x 2=2， E 点坐标为（2，3）， 此时1343322BEC S ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 所以当S=1时，对应的点E 有且只有三个．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．8．如图，直线4y x =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线223y x bx c =-++经过B 、C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 是抛物线上的一动点(不与B ，C 两点重合)，当14BEC BOC S S =△时，求点E 的坐标；（3）若点F 是抛物线上的一动点，当BFC S △为什么取值范围时，对应的点F 有且只有两个？【答案】（1）225433y x x =-++；（2）1E ⎝⎭，2E ⎝⎭，34222E ⎛-+ ⎝⎭，44222E ⎛+- ⎝⎭；（3）当163BFC S >△时，对应的点F 有且只有两个．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；（2）过点E 作x 轴的垂线交BC 于点N ，设点225,433E a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，点(,4)N a a -+，根据12BEC B C S EN x x =-△，14BEC BOC S S =△，列出方程，即可求解； （3）当F 点在直线BC 的下方的抛物线上时，一定有两个对应的F 点满足BCF △面积为S ，当F 点在直线BC 的上方的抛物线上时，无F 点满足BCF △面积为S 才符合题意，故只需要求出当点F 在直线BC 的上方时，BFC S △的最大值，即可得到结论 ．【详解】（1）△直线4y x =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，△(0,4)B ，(4,0)C ，将(0,4)B ，(4,0)C 代入223y x bx c =-++， 可得2424403c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩，解得534b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， △225433y x x =-++； （2）如图，过点E 作x 轴的垂线交BC 于点N ， 设点225,433E a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则点(,4)N a a -+， △2212541624423333BEC B C S EN x x a a a a a =-=-+++-=-+△， △182BOC S BO OC =⋅=△，14BEC BOC S S =△， △2416233a a -+=，解得：1x =2x =3x =4x = 将1x ，2x ，3x ，4x代入抛物线解析式，可得：1y =，2y =3y =4y =△1E ⎝⎭，2E ⎝⎭，34222E ⎛ ⎝⎭，44222E ⎛ ⎝⎭； （3）当点F 在直线BC 上方的抛物线上时，设点225,433F m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭， 由（2）同理可得：22416416(2)3333BFC S m m m =-+=--+△， △当2m =时，BFC S △的最大值为163， △当BFC S △＞163时，在直线BC 的上方的抛物线上无法找到F 点， 综上所述：当163BFC S >△时，对应的点F 有且只有两个．【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，掌握待定系数法，函数图像上的点的坐标特征以及三角形的面积=铅垂高×水平宽，是解题的关键．类型拓展3 综合运用9．综合与实践 如图，二次函数234y x bx c =++的图象与x 轴交于点A 和B ，点B 的坐标是()4,0，与y 轴交于点()0,3C -，点D 在抛物线上运动．(1)求抛物线的表达式；(2)如图2，当点D 在第四象限的抛物线上运动时，连接BD ，CD ，BC ，当BCD △的面积最大时，求点D 的坐标及BCD △的最大面积；(1)解：点B ()4,0和点()0,3C -代入二次函数234y x bx c =++， 得：01243b c c=++⎧⎨-=⎩ 解得943b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩． △抛物线的表达式是239344y x x =--． (2) 解：如图，连接OD ，过点D 作DM x ⊥轴，作DN y ⊥轴．设点D 的坐标是239,344m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．△239344DM m m =-++，DN m =． △()4,0B ，()0,3C -，△4OB =，3OC =．△BCD OCD OBD OBC S S S S =+-△△△△111222OC DN OB DM OB OC =⋅+⋅-⋅ 2113913434322442m m m ⎛⎫=⨯+⨯-++-⨯⨯ ⎪⎝⎭ 2362m m =-+ 23(2)62m =--+． △302-<， △当2m =时，BCD △的面积最大且为6．当2m =时，2239399322344442m m --=⨯-⨯-=-． △点D 的坐标是92,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，BCD △的最大面积是6． 10．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，且点B 与点C 的坐标分别为()()3,0,0,3B C ，点M 是抛物线的顶点．(1)求二次函数的关系式；(2)点P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，若OD m =，PCD 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求当S 取得最大值时，点P 的坐标；(1)解：将点B （3，0），C （0，3）代入y =-x 2+bx +c ，得09333b c =-++⎧⎨=⎩；解得23b c =⎧⎨=⎩， △二次函数的解析式为y =-x 2+2x +3；(2)△y =-x 2+2x +3=-（x -1）2+4，△顶点M （1，4），设直线BM 的解析式为y =kx +b ，将点B （3，0），M （1，4）代入，得304k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得26k b =-⎧⎨=⎩， △直线BM 的解析式为y =-2x +6，△PD △x 轴且OD =m ，△P （m ，-2m +6），△S =S △PCD =12PD •OD =12m （-2m +6）=-m 2+3m ，即S =-m 2+3m ，△当点P 与点B 重合时，不存在以P 、C 、D 为顶点的三角形，△1≤m <3，△S =-m 2+3m =-（m -32）2+94， △-1＞0，△当m =32时，S 取最大值94；此时点P 的坐标为332⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2x =，与y 轴交于点A 与x 轴交于点E 、B ，且点(0,5)A ，(5,0)B ，过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的点，且在AC 的上方，作PD 平行于y 轴交AB 于点D ．(1)求二次函数的解析式；(2)当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；(1) 解：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2x =， △22b a-=， 4b a ∴=-，∴抛物线解析式为24y ax ax c =-+，点(0,5)A ，(5,0)B ，∴52550c a b c =⎧⎨-+=⎩， ∴15a c =-⎧⎨=⎩， ∴二次函数的解析式为245y x x =-++；(2)解：//AC x 轴，点(0,5)A ，当5y =时，2455x x -++=，10x ∴=，24x =，(4,5)C ∴，4AC ∴=，设直线AB 的解析式为y mx n =+，(0,5)A ，(5,0)B ，由点A 、B 的坐标得，直线AB 的解析式为5y x =-+；设2(,45)P m m m -++，,5()D m m ∴-+，224555PD m m m m m ∴=-+++-=-+，4AC =， △()221525252222APCD S AC PD m m m ⎛⎫=⋅=-+=--+ ⎪⎝⎭四边形 ∴当52m =时，四边形APCD 的面积最大， ∴即点5(2P ，35)4时，四边形APCD 的面积最大为252； 12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝﹣x 2＋bx ＋c 的图象与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中点B 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），点D 的坐标为（0，2），点P 为二次函数图象上的动点．（1）求二次函数的解析式和直线AD 的解析式；（2）当点P 位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AD ，AP ，以AD ，AP 为邻边作平行四边形APED ，设平行四边形APED 的面积为S ，求S 的最大值．【答案】（1）y ＝－x 2－3x ＋4，122y x =+；（2）814【解析】【分析】 （1）利用待定系数法将B （1，0），C （0，4）代入二次函数y ＝﹣x 2＋bx ＋c 即可求出二次函数的解析式，令y ＝0，可求出A 点坐标，然后设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b ，利用待定系数法将A 点坐标和D 点坐标代入y ＝kx ＋b 即可求出直线AD 的解析式；（2）连接PD ，作PG y 轴交AD 于点G ，根据题意设出点P 和点G 的坐标，然后表示出线段PG 的长度，进而根据2APD S S ∆=表示出平行四边形APED 的面积，最后根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：（1）将B （1，0），C （0，4）代入y ＝－x 2＋bx ＋c 中，得014b c c =-++⎧⎨=⎩，解得34b c =-⎧⎨=⎩， △二次函数的解析式为y ＝－x 2－3x ＋4在y ＝－x 2－3x ＋4中，令y ＝0，即2340x x --+=，解得x 1＝－4，x 2＝1，△A （－4，0）．设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b'．△D （0，2），△04'2'k b b =-+⎧⎨=⎩， 解得：12'2k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ △直线AD 的解析式为122y x =+． （2）连接PD ，作PG y 轴交AD 于点G ，如图所示．设P （t ，－t 2－3t ＋4）（－4＜t ＜0），则G （t ，122t +）， △2217342222PG t t t t t =--+--=--+， △2122||41482APD D A S S PG x x t t ∆==⨯⋅-=--+， 27814()44t =-++． △－4＜0，－4＜t ＜0，△当74t =-时，S 有最大值814．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数和一次函数表达式，二次函数中有关面积的综合题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数表达式，根据题意设出点的坐标表示出平行四边形APED的面积．。
初中数学 上海中考压轴题中二次函数与几何面积问题的方法和题型总结
24题-- 二次函数与面积问题求解方法总结刘国杰前言：关于二次函数与几何图形面积问题，上海中考一模或者二模24题压轴题，每年都会有1-2个区（郊区为主）会考察。
所占比例不高，主要原因就是这类问题难度不大，玩不出高深的技巧。
我们用神的视角来看，首先从考察的图形来分析，要么是求三角形面积，要么求四边形面积，都是不规则的图形，当然三角形会更多一点；其次从图形的形成特点来分，有这么几种：固定形状的、由动点产生的面积、由动线产生的面积、由动图形产生的面积。
虽然看似不同，变化多端，但不管如何变化，归纳总结之后，大多考察的形式就分为以下3点：1、求面积最大值问题；2、已知面积大小求其它条件；3、已知面积比求其它条件。
那么我们只要牢牢掌握这三类问题的解决方法，顺应题型和条件灵活调整，就可视它为蝼蚁，轻松碾压。
牛逼吹过了，来看看解决的方法，两大主要思想是：直接根据面积公式代入求值和割补法。
【题型一】：求面积最大值问题【典型例题】如图，已知抛物线经过点(1,0)C三点．A-，(3,0)B，(0,3)（1）求抛物线的解析式；（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作//MN y轴交抛物线于N点，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，当m为何值时，BNC∆的面积最大．【典型例题】如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C 三点，对称轴与抛物线相交 于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB ． （1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点Q ，使QMB ∆与PMB ∆的面积相等？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ，使RPM ∆与RMB ∆的面积相等？若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由．【典型例题】1．已知抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ； （2）如图，连接OP 交BC 于点D ，当:1:2CPD BPD S S ∆∆=时，请求出点D 的坐标；2．在平面直角坐标系中，过点(3,4)A 的抛物线24y ax bx =++与x 轴交于点(1,0)B -，与y 轴交于点C ，过点A 作AD x ⊥轴于点D ． （1）求抛物线的解析式．（2）如图，点P 是直线AB 上方抛物线上的一个动点，连接PD 交AB 于点Q ，连接AP ，当2AQD APQ S S ∆∆=时，求点P 的坐标．3．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ，将OBC ∆沿BC 所在的直线翻折，得到DBC ∆，连接OD ． （1）用含a 的代数式表示点C 的坐标．（2）设OBD ∆的面积为1S ，OAC ∆的面积为2S ，若1223S S =，求a 的值．。
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二次函数结合定值及等面积问题
1. 已知二次函数23
8
-322+=
x x y 的图像与x 轴交于A 、B 两点，A 在B 点的左边，与y 交于点C ，点P 在第一象限的抛物线上，且在对称轴右边，4=ΔPAC S ，求点P 的坐标。
y
x
2．抛物线y=－x 2
+bx+c 经过点A 、B 、C ，已知A （－1，0），C （0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P 为抛物线上一点，且PBC S =3，请求出此时点P 的坐标。
3.如图，已知直线AB ：42++=k kx y 与抛物线2
2
1x y =
交于A 、B 两点. （1）直线AB 总经过一个定点C ，请直接写出点C 的坐标 （2）当2
1
-=k 时，在直线AB 下方的抛物线上求点P ，使5=ΔABP S
4．如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2。
（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；
（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求△EAC 面积的最大值。
5.如图，抛物线的顶点为A（-3，-3），此抛物线交X轴于O，B两点
（1）求此抛物线的解析式
（2）求△AOB的面积
（3）若抛物线上另有一点P满足S∆POB=S∆AOB，请求出P点的坐标
6.已知二次函数c bx x y ++=2，其图像抛物线交x 轴的于点A （1，0）、B （3，0），交y 轴于点C.
(1)求此二次函数关系式；
(2)试问抛物线上是否存在点P(不与点B 重合)，使得2BCP ABC S S ∆∆=？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请通过计算说明理由．
(第26题图)。