拉氏变换

于是 L[ f (t )] e
skT
所以
对周期函数来说，求广义积分就转化为求
0
1 L[ f (t )] 1 e sT
k 0

T
T
0
1 f (t ) e dt 1 e sT
st

T
0
f (t ) e st dt
f (t ) e st dt
在一个周期区间[0, T]上的定积分，上式就是周期函数的拉氏变换公式．
15
故
1 1 2 sb 1 1 sb sb 2 L[ f (t )] [ ( e 2 e 1 )] [ ( 1 e )] 2 sb 2 st 2 2 1 e s 1 (e ) s 1 e sb 1 sb 2 2 th( ) sb s (1 e ) s 2
0
f (t ) e st dt
st ( k 1)T kT
f (t ) e dt f (t ) e dt ..........
k 0 ( k 1)T kT
2T
f (t ) e st dt ......
f (t ) e st dt
kt kt st ( s k )t
所以
1 L[e ] sk
kt
(s k )
为了简便起见，求拉氏变换时，可以不再指出收敛区域。
7
二、常用函数的拉氏变换我们已经求了常值函数，指数函数的拉氏变
换，下面我们再求其它常用函数的拉氏变换。
例3 求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的拉氏变换。
19
2.求下列函数的拉氏变换 (1) 0t 4 1

拉氏变换

)
=
⎧0(t
⎨ ⎩
t
(t
< ≥
0) 0)
L[t] =
1 s2
4.加速度函数
f
(t )
=
⎪⎧ ⎨ ⎪⎩
0(t < 0) 1 t 2 (t ≥ 0) 2
L[ 1 2
t2] =
1 s3
5
时间域：δ(t)→ 1(t)→t→ t2/2 复数域： 1→1/s→1/s2→1/s3
4.指数函数
f (t) = e−at (t ≥ 0)
t →0+
s→∞
证明方法同上。只是要将s→∞取极限。
15
(6) 衰减定理若f2(t)=e-at f1(t), 则
F2(s) =F1(s+a)
L[e−at f (T )] = F (s + a)
16
8
(7) 延迟定理（处理复杂时间函数）若 f2(t)=f1(t-a), 则 F2(s)=e-as F1(s)
=
f (t) ∞ 0
= lim t→∞
f (t) −
f (0)
右边 = lim [sF (s) − f (0)] = lim sF (s) − f (0)
s→0
s→0
∴ lim f (t ) = lim sF (s)
t→∞
s→0
14
7
(5)初值定理
若 f(t) 在t=0+处有初值f(0+)，则
lim f (t) = f (0+ ) = lim sF (s)
1
= 1 (1 − 1)
(s + a)(s + b) b − a s + a s + b

拉氏变换

控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。

一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。

f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。

2)当时，，M，a为实常数。

2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。

—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。

二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。

注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表序号 F(s) f(t) 序号 F(s) f(t)11 1121(t) 123t13414511+Ts Tte T-1 156)(1a s s +ate --1167)1(1+Ts sTt e--117)1sin(122ϕξωξωξω----t e n t nn8189191020三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。

2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。

拉氏变换

L[k1f1 (t ) k 2 f 2 (t )] k1F1 (s) k 2 F2 (s)
质
此式可由定义证明。
机械控制理论
实数域的位移定理
若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,
L[f ( t a )] e as F(s)
其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t) 延迟时间a.
对于象函数F(s),常可写成如下形式：
B(s) b m s m b m 1s m 1 b 0 F(s) A(s) a n s n a n 1s n 1 a 0 k(s z1 )(s z 2 ) (s z m ) (s p1 )(s p 2 ) (s p n )
机械控制理论
拉普拉斯反变换
在已知象函数F(s),求f(t)时，对于简单的象函数，可直接查拉氏变换表，但对于复杂的，可利用部分分式展开法，即通过代数运算将一个复杂的象函数化为数个简单的部分分式之和，再求出各个分式的原函数，从而求出总的原函数。
部分分式展开法
机械控制理论
s 2
1
解二
2 1 F(s) s 1 s 2
A '(s) 2s 3 A '( 1) 1 B( 1) 2 A '( 2) 1 B( 2) 1
f (t) 2e t e 2t
k1 B(1) 2 A '(1) k2 B( 2) 1 A '( 2)
其中f(0+)由正向使 t 0时的f(t)值。
L f ( t ) s F ( s ) f ( k 1 ) ( 0) s n k

拉氏变换

确定。可对应于平面上的点 (x, y)，这样表示复数的
平面称为复平面或 z 平面。其中 x 轴称为实轴，y
轴称为虚轴。
y
Z（a，b）
z=a+bi uuur OZ (a,b)
O
x
复数的表示
• 代数形式： z x iy
• 三角形式： z r(cos i sin ) r | z | Arg z
例1
求 : f (t) sin( t)的象函数
解
F(s)
sin(t )

1

2
j
(e j t

e j t
)

1 2j

S
1
j

S
1
j

S2 2
注：欧拉公式 re jt r[cos(t) sin(t)]
2）. 微分性质
➢ 斜坡信号（Ramp Function）
r(t)

R

t

u(t)

Rt 0
r（t）
t0 t0
u(t)-----单位阶跃函数
Rt t g（）=R

时间 t
斜坡信号为匀速信号，适于测试匀速系统。
➢抛物线信号（Parabolic Function）
r
(t
)

0.5R

t
2

u(t
)

0.5R 0
t
s0
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
证：
df (t) dt

sF (s)

拉氏变换

1 1 1 2 = − + 2 2 s ⎛ 3⎛ ⎞ 1⎞ ⎛ 3 ⎜ ⎟ ⎜s+ ⎟ +⎜ ⎜s+ ⎟ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎝ s+
3 2 ⎞ 1⎞ ⎛ 3 ⎜ ⎟ ⎟ +⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ 2 ⎠
2
2
续
⎡ s+1 ⎤ 所以f (t ) = L ⎢ 2 ⎥ s s + s + 1 ⎣ ⎦
−1
(
)
－ 1 式中，L 是表示进行拉氏反变换的符号
常用函数拉氏变换对照表
s s 2 + w2
拉氏变换续表
典型函数的拉氏变换
单位阶跃函数1 （ t） ⎧0( t < 0) 1( t ) = ⎨ ⎩1( t ≥ 0)
F ( s ) = L[1( t )] = ∫
∞
0
1 − st ∞ 1( t )e dt = − e s 0
A3 A1 s + A2 + = (s + p1 )(s + p2 ) s + p3
1
系数求法：
An + ... + s + pn
s=− p [F ( s )(s + p1 )(s + p2 )]或 s=− p
2
⎡ A1 s + A2 A3 An ⎤ =⎢ + + ... + ⎥ (s + p1 )(s + p2 ) s = − p1 ( )( ) s + pn ⎦ s + p3 ⎣ s + p1 s + p2 或s = − p2
s −s+2 F (s ) = s s2 − s − 6

信号与系统第6章拉氏变换

s 3 s 3 5s 2 9s 7 F ( s ) s 2 F ( s) (s 1)(s 2) (s 1)(s 2) 则展开后应有：
F ( s) s 2 2 1 s 1 s 2 f (t ) ' (t ) 2 (t ) 2e t e 2t
6.1 引言

19世纪末，英国工程师赫维赛德采用了一种算子解决电子工程计算中的问题。但由于当时缺乏数学证明遭到一些数学家的指责。而另外一些人如卡尔逊、布罗姆维奇等坚信这一方法的正确性。后来，法国数学家拉普拉斯从数学上重新给予该算法严格的数学定义和证明，称之为拉普拉斯变换或拉氏变换
k 1
E (s)(s p1 ) k D(s)
上式两边对 s 求微分：
d [( s p1 ) k F ( s)] E ( s)(s p1 ) k k 2 K12 (k 1) K1k ( s p1 ) d [ ] / ds 有： ds D( s )
d[( s p1 ) k F (s)] 显然 K12 ds s p
1 d 2 F1 (s) ， K13 2 ds2 s1 2
于是 F (s)
3 2 2 2 (s 1)3 (s 1) 2 s 1 s
于是
3 f (t ) t 2e t 2tet 2e t 2 t 0 2
6.6 双边拉氏变换
对信号 f ( t ) ，
K1 sF ( s) |s 0 100 / 3
， K 2 (s 1) F (s) |s 1 20 ， K3 (s 3) F (s) |s 3 10 / 3
t 0
f (t ) 100 / 3 20e t 10 / 3e 3t

拉氏变换详细解读

φ = arctan
1− 1 1−ζ
2
ζ
e−ζωnt sin ωn 1 − ζ 2 t + φ 1−ζ 2
(
18
φ = arctan
2 ωn 2 s ( s2 + 2ζωn s + ωn )
ζ
根据表格直接写出结果
L [δ (t )] = 1, L e
− at
1 L [1(t )] = , s
ω s L [sin ωt ] = 2 , L [ cos ωt ] = 2 2 2 s +ω s +ω
e sinωt →
−at
1 = s+a,
1 L [t ] = 2 s 1 at L e = s−a
s + a ) + ω2 (
2
ω
e cosωt →
−at
s + a ) + ω2 (
3
2
5s3Y (s) + 6s2Y (s) + sY (s) + 2Y (s) = 4sX(s) + X(s) (5s3 + 6s2 + s + 2)Y (s) = (4s + 1) X(s)
Y (s) 4s + 1 = 3 X (s) 5s + 6s2 + s + 2
3.积分定理积分定理
f (t )dt = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) L ∫ s s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0