拉氏变换与反变换
拉氏变换与反变换
拉氏变换与反变换机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。
按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。
拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间 t 为自变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，那么 ()t f 的拉普拉斯变换定义为()()()0e d st F s L f t f t t ∞-=∆⎡⎤⎣⎦⎰式中， s 是复变数， ωσj +=s （σ、ω均为实数）， ⎰∞-0e st称为拉普拉斯积分； )(s F 是函数 )(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，而称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数)(s F 。
几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数 )(1t 的拉氏变换单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为⎩⎨⎧≥<∆)0(1)0(0)(1t t t单位阶跃函数如图所示，它表示在 0=t 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。
单位阶跃函数的拉氏变换式为0e 1d e )(1)](1[)(0∞-===-∞-⎰stst st t t L s F 当 0)Re(>s ，则 0e lim →-∞→st t 。
所以[]s s s t L st 1)1(00e 1)(1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∞-=-（）图 单位阶跃函数 2.指数函数的拉氏变换指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中 是常数。
令则与求单位阶跃函数同理，就可求得（）3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换 设，，则由欧拉公式，有所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∞--∞⎰⎰t t s F st t stt d e e d e e j 21)(0j 0j 1ωω ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∞+-∞--⎰⎰t t stt s t s d e e d e j 210)j (0)j (ωω⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∞+-∞--=+---0e j 10e j 1j21)j ()j (t s t s s s ωωωω22j 1j 1j 21ωωωω+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=s s s） 同理）4.单位脉冲函数 δ(t ) 的拉氏变换单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。
拉氏变化及反变换
t 0
1
2 单位阶跃函数
f (t )
1
0, t 0 1(t ) 1, t 0
0
t
L[1(t )]
0
1 st 1 1(t )e dt e 0 s s
st
3 单位斜坡函数
f (t )
f (t )
0, t 0 f (t ) t, t 0
1 1 1(t ) 1(t T ) T T
L[ f (t )]
1 1 sT 1 e (1 e sT ) Ts Ts Ts
T T f (t ) f1 (t ) f1 (t ) f1 (t ) f1 (t T ) 2 2 4 4 T 4 T 4 2 t 2 (t ) 2 (t ) 2 (t T ) T T 2 T 2 T
1 jt sin t (e e jt ) 2j
st
Hale Waihona Puke e j cos j sin e j cos j sin
L[sin t ] sin t e dt
0
0
1 jt jt st e e e dt 2j
10.像函数的微分性质
设L[ f (t )] F (s)
dF ( s) Ltf (t ) ds
11.像函数的积分性质
设L[ f (t )] F (s)
1 L f (t ) F ( s)ds t s
例 求图示方波和三角波的拉氏变换
方波： f (t ) f1 (t ) f1 (t T )
1 1 1 s 2 2 s j s j s 2
拉普拉斯变换及反变换1
——不常用解
方法二： 方法二：查拉氏变换表求解 ——对简单的象函数适用 方法三： 方法三：部分分式法——象函数为有理分式函数时适用
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控制工程基础
应用部分分式展开式计算拉氏逆变换的 一般步骤 ： 的极点； （1）计算有理分式函数F（s）的极点； （2）根据极点把F（s）的分母多项式进行因 式分解、 展开成部分分式； 式分解、并进一步把F（s）展开成部分分式； （3）对F（s）的部分分式展开式两边同时进 行拉氏逆变换。 行拉氏逆变换。
（11）卷积定理 11）
f (t ) * g (t ) = ∫
+∞
−∞
f (τ ) g (t − τ )dτ
= ∫ f (τ ) g (t − τ )dτ
0
t
L[ f (t ) * g (t )] = F ( s ) ⋅ G ( s ) = G ( s ) F ( s )
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s +1 c2 = ( s + 3) ( s + 2)( s + 3)
s = −3
（2）对F（s）的分母多项式进行因式分解、并把 （s）展开 ） （ ）的分母多项式进行因式分解、并把F（ ） 成部分分式
=2
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s +1 1 2 F ( s) = 2 =− + s + 5s + 6 s+2 s+3
− st
单位阶跃函数，记作 单位阶跃函数，记作1( t )
t<0 t≥0
1 L[1(t )] = s
拉氏变换及拉氏反变换
t dt 1 ，且δ(t)有如下
t f t dt f 0
式中f(0)——t=0时刻的f(t)的函数值。
由拉氏变换的定义得
L t t e st dt e st
0
t 0
1
2.2.2 几种典型函数的拉氏变换
L f at
1 s F a a
2.2.3 拉氏变换主要定理
微分定理
设f(n)(t)表示f(t)的n阶导数，n=1，2，3，……正整数， f(t)的拉氏变换为F(s)，则
L f t s F s sf 0 f 0
F s
s 1 s 1 k k 1 2 s 2 5s 6 s 2s 3 s 2 s 3
s 1 s 2 s 1 1 k1 s 2s 3 s 2 s 3 s 2 s 1 s 3 s 1 2 k2 s 2s 3 s 3 s 2 s 3 2 1 1 1 2 f t L1 F s L1 L1 L 2e 3t e 2t s 2 s 3 s 2 s 3
拉氏变换亦与此相似，即把微分方程变换为代数方程 求解。
2.2.1 拉氏变换的定义
定义
对于时间函数f（t），如果满足
当t<0时，f（t）=0； 当t≥0时，实函数f（t）的积分
f t e
0
st
dt 在s的某一域内收敛，则定义f（t）的拉氏变换
为
F s f t e st dt
附-拉氏变换与拉氏反变换_图文
件求解微分方程的方法------拉氏变换法。
2、 拉普拉斯变换的定义
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设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边
函数，且积分
在s的某一域内收敛，则
由此积分所确定的函数可记为：
式中：s = + jω (复数)，称为复频率或拉氏算
子
f(t) 称为原函数，是 t 的函数。 F(s) 称为象函数，是s 的函数。
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b)拉氏变换和拉氏反变换可以利用公式和图表简 化其运算，而不必求上述积分运算。
3、拉氏变换存在定理
若函数f(t)满足下列条件， 1）当t ＜0时，f(t)=0； 2）f(t)是连续的或只有有限个极值点，并且能找 到适当的s=σ +jω 值，使下述积分存在。
控制工程中常见的一些函数一般都能满足上述条件。
利用此定理可求信号的稳态值。
例如：求信号
的稳态值。
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拉氏变换的基本性质（1）
线性
微分 积分
时移 频移
四、拉普拉斯反变换
1、一般公式
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上式可由傅里叶变换推导而得，是由F(s)求 f(t)的一般公式，右边积分称为拉氏反演积分，是 一种复变函数积分，计算较困难，但当F(s)满足一 定条件时，可以用留数的方法来计算这个反演积 分，特别当F(s)为有理函数时，就是将F(s)展开为 部分分式，再利用 拉氏变换表确定其原 函数。
，则上式右边只
若对上式对s求 右边只剩下
次导，并令 。
，则上式
解：
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自测题：
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五、利用拉氏变换求解常系数微分方程
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拉氏变换及反变换
2. f (t) eatu(t) (指数函数)
f
(t)
0
（t 0）
et （t 0）
F(s)= ℒ [eat ] eatestdt 0 ℒ [ejt ] 1 s j
1
e(sa)t
sa
0
1 sa
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
3. f (t) (t) （单位脉冲函数）
(t)
t
s0
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
例1
u(t) t0
lim s 1 s s
1
例2 I(s) 5 2 s1 s2
i(0 ) lim s( 5 2 ) lim( 5 2 ) 3 s s 1 s 2 s 1 1/ s 1 2 / s
例3
I (s) ℒ [1 e-t ] 1 1 s s1
Ui(s) H(s) I(s)
I(s)=Ui(s)H(s)= ℒ[ui(t)] H(s)
=ℒ eat (t)
（5）作Laplace反变换得
1 R Ls
s
1
a
1 L
s
1 R
L
零状态响应电流
i(t)= ℒ-1[I(s)]
1
(e a t
Rt
e L )
(t)
L ( R a)
L
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
的
拉
t
1/s2
普 拉
n!
tn
sn+1
1
斯
e-at
s+a
变 换
1
te-at
(s+a)2
表
tne-at
n!
(s+a)n+1
第3讲 拉氏反变换
用拉氏变换解常系数线性微分方程
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
(s 2)(s 3) F ( s) s 1
练习：
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
（2）有共轭复数极点。
[ F ( s)( s s1 )(s s2 )]|ss1 ( s s2 ) (k1s k2 ) |s s1 ( ss2 ) k3 F ( s)( s s3 ) |s s 3 kn F ( s)( s sn ) |s s n
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
解
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
f (t ) L
1
F (s) 1 e
0.5t
3 3 0.5t 3 cos t e sin t 2 3 2
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
解
2( s 1) 10 F ( s) 2 ( s 1) 4 ( s 1) 2 4 2( s 1) 2 5 ( s 1) 2 4 ( s 1) 2 4 f (t ) 2e t cos 2t 5e t sin 2t
复
习
求系统的微分方程 拉氏变换的求法 拉氏变换的性质
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
二、拉氏反变换及其计算方法
1.定义
2.计算方法 查表法与部分分式法相结合的方法。
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
（1）极点为互不相同的的实数。
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
2.2拉氏变换及反变换
n 1
x
s
n!
n 1
应记住的 一些简单函数的 拉氏变换
原函数 1t
t
象函数 1 s
e
1t
1 s -
sin t 1 t cos t 1 t
n
s
2 2
s s
2 2
t
1t
dt
s
e
s t
0
s
3、正弦函数 和余弦函数
根据欧拉公式：
j
sin t 1 t cos t 1 t
e
j
cos j sin cos j sin
sin 则 cos
1 , 0 t t0 lim t t 0 0 t 0 0 , t 0或 t t0
1 t0
1t 1t t 0 1 1 t 1 t t 0 解： t lim lim0 t0 0 t0 t0 t0 t0
s 0
使 用 条 件 ：x t 的 终 值 存 在 ， 即 x t 有 稳 态 解 。
例 ：求
lim s in t
t
当 t 时 ，s in t 的 值 也 始 终 在 1 之 间 不 定
s in t 无 终 值 。
例2-1 求单位脉冲函数的象函数
1 1 1 2 s j s j
2
4 .幂函数
设 ( ) 则 ( n 1)
n
t
e
x
1t
0
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机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。
按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。
拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间为自变量的实变函数，它的定义域是，那么的拉普拉斯变换定义为式中，是复变数，（σ、ω均为实数），称为拉普拉斯积分；是函数的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称为的象函数，而称为的原函数；L是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数。
几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数的拉氏变换单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为单位阶跃函数如图所示，它表示在时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。
单位阶跃函数的拉氏变换式为当，则。
所以（）图单位阶跃函数2.指数函数的拉氏变换指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中是常数。
令则与求单位阶跃函数同理，就可求得（）3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换设，，则由欧拉公式，有所以）同理）4.单位脉冲函数δ(t)的拉氏变换单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。
其幅值和作用时间的乘积等于1，即。
如图所示。
图单位脉冲函数单位脉冲函数的数学表达式为其拉氏变换式为此处因为时，，故积分限变为。
5.单位速度函数的拉氏变换单位速度函数，又称单位斜坡函数，其数学表达式为见图所示。
图单位速度函数单位速度函数的拉氏变换式为利用分部积分法令则所以当时，,则（）6.单位加速度函数的拉氏变换单位加速度函数的数学表达式为如图所示图单位加速度函数其拉氏变换式为（）拉氏变换的主要定理根据拉氏变换定义或查表能对一些标准的函数进行拉氏变换和反变换，但利用以下的定理，则对一般的函数可以使运算简化。
1.叠加定理拉氏变换也服从线性函数的齐次性和叠加性。
（1）齐次性设，则（）式中——常数。
（2）叠加性设,，则（）两者结合起来，就有这说明拉氏变换是线性变换。
2.微分定理设则式中——函数在时刻的值，即初始值。
同样，可得的各阶导数的拉氏变换是（）式中,，…——原函数各阶导数在时刻的值。
如果函数及其各阶导数的初始值均为零（称为零初始条件），则各阶导数的拉氏变换为（）3.复微分定理若可以进行拉氏变换，则除了在的极点以外，（）式中，。
同样有一般地，有（）4.积分定理设，则（）式中——积分在时刻的值。
当初始条件为零时，（）对多重积分是（）当初始条件为零时，则（）5.延迟定理设，且时，，则（）函数为原函数沿时间轴延迟了，如图所示。
图函数6.位移定理在控制理论中，经常遇到一类的函数，它的象函数只需把用代替即可，这相当于在复数坐标中，有一位移。
设，则（）例如的象函数，则的象函数为7.初值定理它表明原函数在时的数值。
（）即原函数的初值等于乘以象函数的终值。
8.终值定理设，并且存在，则（）即原函数的终值等于乘以象函数的初值。
这一定理对于求瞬态响应的稳态值是很有用的。
9.卷积定理设，，则有（）即两个原函数的卷积分的拉氏变换等于它们象函数的乘积。
式（）中，为卷积分的数学表示，定义为10.时间比例尺的改变（）式中——比例系数例如,的象函数 ,则的象函数为11.拉氏变换的积分下限在某些情况下,在处有一个脉冲函数。
这时必须明确拉普拉斯积分的下限是还是，因为对于这两种下限，的拉氏变换是不同的。
为此，可采用如下符号予以区分：若在处包含一个脉冲函数，则因为在这种情况下显然，如果在处没有脉冲函数，则有拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换的公式为（）式中——表示拉普拉斯反变换的符号通常用部分分式展开法将复杂函数展开成有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数。
1.部分分式展开法在控制理论中，常遇到的象函数是的有理分式为了将写成部分分式，首先将的分母因式分解，则有式中，，，…，是的根的负值，称为的极点，按照这些根的性质，可分为以下几种情况来研究。
2. 的极点为各不相同的实数时的拉氏反变换（）式中，是待定系数，它是处的留数，其求法如下（）再根据拉氏变换的迭加定理，求原函数[例 ] 求的原函数。
解: 首先将的分母因式分解，则有即得3.含有共轭复数极点时的拉氏反变换如果有一对共轭复数极点 , ，其余极点均为各不相同的实数极点。
将展成式中, 和可按下式求解即（）因为(或）是复数，故式（）两边都应是复数，令等号两边的实部、虚部分别相等，得两个方程式，联立求解，即得，两个常数。
[例 ] 已知,试求其部分分式。
解: 因为（）含有一对共轭复数极点, 和一个极点，故可将式（）因式分解成（）以下求系数、和。
由式（）和式（）相等，有（）用乘以上式两边，并令，得到上式可进一步写成由上式两边实部和虚部分别相等，可得联立以上两式，可求得为了求出系数,用乘方程（）两边，并令,将代入，得 <![endif]>将所求得的 ,, 值代入（），并整理后得的部分分式查拉氏变换表便得，结果见式（）。
[例 ] 已知求。
解: 将的分母因式分解，得利用方程两边实部、虚部分别相等得解得，所以这种形式再作适当变换：查拉氏变换表得4.中含有重极点的拉氏反变换设有r个重根，则将上式展开成部分分式（）式中，，，…，的求法与单实数极点情况下相同。
，，…，的求法如下：……则）[例 ] 设，试求的部分分式。
解: 已知（）含有2个重极点，可将式（）的分母因式分解得（）以下求系数、和。
将所求得的、、值代入式（），即得的部分分式查拉氏变换表可得。
[例 ] 求的拉氏反变换。
解: 将展开为部分分式上式中各项系数为于是查拉氏变换表，得5.用MATLAB展开部分分式(1) 概述MATLAB是美国Math Works公司的软件产品，是一个高级的数值分析、处理与计算的软件，其强大的矩阵运算能力和完美的图形可视化功能，使得它成为国际控制界应用最广的首选计算机工具。
SIMULINK是基于模型化图形的动态系统仿真软件，是MATLAB的一个工具箱，它使系统分析进入一个崭新的阶段，它不需要过多地了解数值问题，而是侧重于系统的建模、分析与设计。
其良好的人机界面及周到的帮助功能使得它广为科技界和工程界所采用。
(2) 用MATLAB进行部分分式展开MATLAB有一个命令用于求B(s)/A(s)的部分分式展开式。
设s的有理分式为式中（i=）和(j=）的某些值可能为零。
在MATLAB的行向量中，num和den分别表示F(s)分子和分母的系数，即num=[]den=[1 ]命令[r,p,k]=residue(num,den)MATLAB将按下式给出F(s)部分分式展开式中的留数、极点和余项：上式与式（）比较，显然有p(1)=-p1，p(2)=-p2，…，p(n)=-p n；r(1)=A1,r(2)=A2，…，r(n)=A n；k（s）是余项。
[例] 试求下列函数的部分分式展开式解：对此函数有num=[1 11 39 52 26]den= [1 10 35 50 24]命令[r,p,k]=residue(num,den)于是得到下列结果[r,p,k]=residue(num,den)r=p=k= 1则得如果F(s)中含重极点，则部分分式展开式将包括下列诸项式中，p(j)为一个q重极点。
[例] 试将下列函数展开成部分分式解：对于该函数有num=[0 1 4 6]den =[1 3 3 1]命令[r,p,k]=residue(num,den)将得到如下结果：[r,p,k]=residue(num,den)r=p=k=[ ]所以可得注意，本例的余项k为零。
应用拉氏变换解线性微分方程应用拉氏变换解线性微分方程时，采用下列步骤：(1) 对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使微分方程变为的代数方程；(2) 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；(3) 用拉氏反变换得到微分方程的时域解。
整个求解过程如图所示。
设系统微分方程为若，初始条件分别为、，试求。
解: 对微分方程左边进行拉氏变换利用迭加定理将上式逐项相加，即得方程左边的拉氏变换对方程右边进行拉氏变换得写成一般形式应该强调指出是微分方程的特征方程，也是该系统的特征方程。
利用部分分式将展开为求待定系数、、、、:代入原式得查拉氏变换表得当初始条件为零时，得。