第四节 用拉氏反变换解常微分方程
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-16：求如下函数的拉氏反变换
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-17：求如下函数的拉氏反变换
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-18：求如下函数的拉氏反变换
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-19：求如下函数的拉氏反变换
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-20：求如下函数的拉氏反变换
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-21：求如下函数的拉氏反变换
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-22：求如下函数的拉氏反变换
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-23：求如下函数的拉氏反变换
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-24：求如下函数的拉氏反变换
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
A3 A1 A2 S S 2 S 3
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
S 0
1 A1 S S S 2S 3
1 6
1 1 S 2 S 2 A2 S S 2S 3 2 1 S 3 S 3 1 S S 2S 3 3 1 1 1 Y (S ) 6 2 3 1 1 2 t 1 3t y t e e S S 2 S 3 6 2 3 A3
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程； 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；
应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。
机械工程控制基础
例2-19:
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-22：求如下函数的拉氏反变换
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-23：求如下函数的拉氏反变换 练习2-24：求如下函数的拉氏反变换
练习2-25：求如下函数的拉氏反变换
练习2-26：求如下函数的拉氏反变换
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-15：求如下函数的拉氏反变换
1 2 t 1 3t e e 2 3
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练 习
练习2-15：求如下函数的拉氏反变换
练习2-16：求如下函数的拉氏反变换
练习2-17：求如下函数的拉氏反变换
练习2-18：求如下函数的拉氏反变换
练习2-19：求如下函数的拉氏反变换 练习2-20：求如下函数的拉氏反变换 练习2-21：求如下函数的拉氏反变换
练习2-25：求如下函数的拉氏反变换
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-26：求如下函数的拉氏反变换
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
常微分方程-拉氏变换法求解常微分方程
03 拉普拉斯变换的逆变换
定义与性质
定义
逆变换是拉普拉斯变换的逆过程，将 拉普拉斯变换后的函数还原为原函数。
性质
逆变换具有线性性、时移性、微分性、 积分性和相似性等性质，这些性质在 求解常微分方程时具有重要作用。
逆变换的求解方法
表格法
通过查表或计算公式，将拉普拉 斯变换后的函数还原为原函数。 这种方法适用于已知拉普拉斯变 换函数的简单情况。
幂级数法
通过幂级数展开，将拉普拉斯变 换后的函数展开为无穷级数，然 后逐项积分得到原函数。这种方 法适用于较为复杂的拉普拉斯变 换函数。
积分法
通过积分运算，将拉普拉斯变换 后的函数进行积分，得到原函数。 这种方法需要熟练掌握积分运算 和拉普拉斯变换的性质。
04 拉普拉斯变换法的优缺点
优点
高效性
对于一些复杂或难以直接求 解的常微分方程，拉普拉斯 变换法能够提供一种简洁、 高效的求解方法。
普适性
拉普拉斯变换法适用于各种 类型的初值问题，具有广泛 的适用性。
易于计算
拉普拉斯变换的逆变换相对 容易计算，使得求解过程相 对简单。
可处理多变量问题
通过引入偏导数，拉普拉斯 变换法可以处理多变量微分 方程，这是其他方法难以做 到的。
缺点
不易理解物理意义
拉普拉斯变换将原始的微分方程转换为复 平面上的函数，这使得初学者不易理解其
性质
拉普拉斯变换具有线性性、时移性、 微分性、积分性和复共轭性等性质， 这些性质使得求解常微分方程变得更 为简便。
拉普拉斯变换的应用
求解常微分方程
通过拉普拉斯变换，可以将常微分方程转化为代数方程，从而简化求 解过程。
系统分析
在控制工程和信号处理等领域，拉普拉斯变换被广泛应用于系统分析 和系统设计。
(完整word版)现代控制原理习题答案
第一章自动控制的一般概念一．是非题1．开环控制是一种反馈控制（×）2．开环控制的稳定性比闭环控制的稳定性要好（×）3．线形系统的主要特点是具有齐次性和叠加性(√)4．线性定常系统的各项系数是与时间有关的 (×）5．闭环控制的控制精度在很大程度上由形成反馈的测量元件的精度决定的（√)6．自动控制就是采用控制装置使被控对象自动的按给定的规律运行,使被控对象的一个或数个物理量能够在一定的精度范围内按给定的规律变化（√)7．自动控制系统有两种最基本的控制形式即开环控制，闭环控制(√）二．选择题1．下述(D）不属于对闭环控制系统的基本要求。
(A)稳定性（B）准确性（C）快速性 (D）节能性2．自动控制系统一般由(D）组成（A）输入和输出（B）偏差和反馈 (C）控制量和扰动（D）控制器和被控对象3．在组成系统的元件中，（A）,即为非线形系统(A)只要有一个元、器件的特性是非线形的（B）有且只有一个元、器件的特性是非线形的（C）两个及两个以上的元、器件的特性是非线形的（D）所有的元器件的特性都是非线形的4．古典控制理论形成于(D）（A）2000年前 (B)1000年前（C）100年前（D）20 世纪20—40年代 5．对于一个自动控制、系统的性能要求可以该概括为三个方面：(A）快速性和准确性（A）稳定性（B）定常性（C）振荡性（D）抗干扰性6．传递函数的概念除了适用于定常系统之外，还可以描述(A）系统（A）线形时变（B）非线性定常（C）非线形时变（ D )以上都不是 7．在控制系统中被控制的物理量是被控量,直接改变被变量的元件称为（A)(A）执行元件 (B)控制元件（C）调节器（D）测量元件8．在通常的闭环控制系统结构中，系统的控制器和控制对象共同构成了(B）(A）开环传递函数（B）前向通道（C）反馈通道（D）闭环传递函数 9．下面数学模型中（D）是线形定常系统的外部描述（A）传递函数（B)微分方程 (C）频率特性（D）前面三种都是三．填空题1．自动控制系统的两种最基本形式即开环控制 ,闭环控制。
7.4 拉氏变换的应用举例
由例7-19可知，用拉氏变换解常系数线性
微分方程的方法的运算过程如图7-6：
常系数线性 微分方程 作拉氏变换 象函数的 代数方程 解代数方程 象原函数 求拉氏逆变 （微分方程的解） 换 图7-6 象函数
例7-20 求微分方程 y 3 y 2 y 2e
t
满足初值条件 y(0) 2，y(0) 1 的解． 解 对所给微分方程的两边分别作拉氏变
第4节 拉氏变换应用举例
下面举例说明拉氏变换在解常微分方程中
的应用．
例7-19 求微分方程 x(t ) 2 x(t ) 0 满足 初值条件x(0)=3的解． 解 第一步 ,对方程两边取拉氏变换,并设 L[x(t)]=X(p).
L[ x' ( t ) 2 x(t )] L[0]
L[ x(t )] 2 L[ x(t )] 0 pX( p) x(0) 2 X ( p) 0
将初始条件x(0)=3代入上式，得
( p 2) X ( p) 3
这样，原来的微分方程经过拉氏变换 后，就得到了一个像函数的代数方程．
第二步
3 . 解出X(p): X ( p) p2
第三步 求象函数的拉氏逆变换： 3 1 1 x( t ) L [ X ( p)] L [ ] 3e 2 t p2 这样就得到了微分方程的解 x(t ) 3e
1 t 7 2t t y( t ) e 4e e 3 3
用拉氏变换还可以解常系数线性微分 方程组．
2 2 p 5p5 2 即( p 3 p 2)Y p1
解出 Y ，得
2 p2 5 p 5 Y ( p 1)( p 2)( p 1)
将上式分解为部分分式
常微分方程-拉氏变换法求解常微分方程
x (n1) 0
a1[s n1 X
(s)
sn2 x0
s n3 x0
x (n2) 0
]
an1[sX (s) x0 ] an X (s) F (s)
(sn a1sn1 an1s an ) X (s) F (s) B(s)
X (s) F(s) B(s) A(s)
x(t) L1[ X (s)] L1[ F (s) B(s)] A(s)
拉普拉斯变换法.. /Laplace Transform /
1
拉普拉斯变换 ..
含义：..
简称拉氏变换 .. 从实变量函数到复变量函数间的一种函数变换
用途与优点
对一个实变量函数作拉氏变换， 并在复数域中进行运算， 再将运算结果作拉普拉斯反变换 来求得实数域中的相应结 果，往往比直接在实数域计算容易得多。
s2
s 1
19
例 7 求 x 3x 3x x 1 满足初始条件
0
L[x(t)] sX (s) x0
L[x(n) (t)]
sn
X
(s)
sn1x0
s n2 x0
sx0(n2)
x (n1) 0
17
x(n) a1x(n1) an1x an x f (t)
给(4.32)两端施行Laplace Transform
sn
X
(s)
s n1 x0
sn2 x0
sx0(n2)
应用：
求解线性微分方程 在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合…
2
拉普拉斯变换法用于求解常微分方程的基本思路： ..
对常微分方程进行拉氏变换法， 得代数方程，求解 再反变换获取原方程的解 ..
问题： 1. 什么是拉氏变换 2. 拉氏变换的基本性质 3. 什么是拉氏逆变换 4. 如何用拉氏变换求解微分方程….
(整理)拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程
拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。
拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。
因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。
拉普拉斯拉斯变换的定义一个定义在区间的函数,其拉氏变换定义为L[f(t)]=F(s)=式中：s=б+jω为复数，有时称变量S为复频域。
应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。
通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。
拉普拉斯变换的基本性质本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。
一、唯一性定义在区间的时间函数与其拉氏变换存在一一对应关系。
根据可以唯一的确定其拉氏变换；反之，根据，可以唯一的确定时间函数。
唯一性是拉氏变换非常重要的性质，正是这个性质，才是我们有可能将时域中的问题变换为复频域中的问题进行求解，并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。
唯一性的证明从略。
二、线性性质若和是两个任意的时间函数，其拉氏变换分别为和，和是两个任意常数，则有证根据拉氏变换的定义可根据拉氏变换的定义可得例求的拉氏变换。
解三、时域导数性质（微分性质）例应用时域导数性质求的象函数。
四、时域积分性质（积分规则）例：求单位斜坡函数及的象函数。
五、时域平移性质（延迟性质）作业：书后习题1、2、3、4。
课后记事：注意板书层次，因为内容很多，不要太乱。
常用时间函数的象函数一览表，见教材221页。
8-2、8-3拉普拉斯反变换和运算电路图（4学时）（教材第221页）教学目的：具有单根、复根、重根三种情况下用部分分式及分解定理求待定系数法，运算电路图的画法。
教学重点：具有单根、复根时求待定系数法，熟练掌握反变换的求法，熟练掌握运算电路图的画法。
常微分方程拉氏变换法求解常微分方程课件
求解得到的代数方程，得到$F(s)$的表达式。
解出常微分方程的解
要点一
反变换求解
通过反拉氏变换将$F(s)$还原为$f(t)$，从而得到常微分方 程的解。
要点二
验证解的正确性
将得到的解代入原常微分方程进行验证，确保解的正确性。
06
总结与展望
总结
拉氏变换法的优势
拉氏变换法在求解常微分方程时 具有明显的优势，它可以将复杂 的微分方程转化为代数方程，大 大简化了求解过程。
通过逐一求解一阶常微分方程，拉氏变换法可以应用于高阶微分方程的求解。
拉氏变换法的缺点
计算量大
在应用拉氏变换法求解常微分方程时，需要进行复 杂的积分和代数运算，计算量较大。
对初值条件敏感
对于某些常微分方程，初值条件的微小变化可能导 致拉氏变换法的失效。
不易理解
拉氏变换法的概念较为抽象，不易被初学者理解。
与其他方法的结合
可以考虑将拉氏变换法与其他数值方法或解析方法结合，以更有效 地求解各种类型的微分方程。
实际应用价值
随着科学技术的不断发展，常微分方程在各个领域的应用越来越广 泛，因此拉氏变换法在实际应用中也将发挥更大的作用。
感谢观 看
THANKS
信号处理中，拉氏变换法可以用于分析信号的滤波、调制 和解调等过程，优化信号处理效果。
04
拉氏变换法的优缺点
拉氏变换法的优点
求解过程简化
拉氏变换法可以将复杂的常微分方程转化为简 单的代数方程，从而简化了求解过程。
适用于多种初值条件
拉氏变换法可以处理多种初值条件，使得该方 法具有更广泛的适用性。
可应用于高阶微分方程
拉氏变换法求解一阶常微分方程
拉普拉斯变换求解微分方程
拉普拉斯变换求解微分方程拉普拉斯变换可以把微分方程转化为代数方程。
由于现在是在利用拉氏变换求解微分方程，所以我们暂时不关注拉普拉斯变换中比较细节的方面。
利用拉氏变换解微分方程的基本方法就是把以 t 为变量的函数变换到以 s 为变量的代数函数，而这个过程会把微分项转换为代数式，这样我们就可以求解不含微分项的方程了。
最后再利用拉普拉斯逆变换，把关于 s 的函数变换回关于 t 的函数，就完成了微分方程的求解。
不过我们要先有几样趁手的工具——常用函数的拉普拉斯变化对以及微分的拉普拉斯变换：L[f(t)]=F(s) 表示对 f(t) 进行拉普拉斯变换的结果是 F(s) ，反之， L−1[F(s)]=f(t)表示的是对 F(s) 进行拉普拉斯逆变换得到了函数 f(t) .常用函数的拉普拉斯变换（对应的逆变换也成立）：L[1]=1sL[tm]=m!sm+1L[eat]=1s−aL[cosat]=ss2+a2L[sinat]=as2+a2L[eatf(t)]=F(s−a)拉普拉斯变换是具有线性性质的，也就是说， L[αf(t)+βg(t)]=αL[f(t)]+βL[g(t)] . 逆变换也具有线性性质。
对公式两侧同时进行拉普拉斯逆变换就可以得到逆变换的公式，比如第一个式子： L−1[L[1]]=L−1[1s] ，整理一下就能得到 L−1[1s]=1 .微分的拉普拉斯变换（需要知道原函数已经各阶导数在0处的值）：L[f(n)(t)]=snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−...−s0f(n−1)(0)式中的 F(s) 是一个未知的函数，是需要我们解出来的。
百闻不如一见，来看例题。
先来一个简单的例题。
例1：求解微分方程 yt′=t,y(0)=1解：第一步，对方程两侧同时进行拉普拉斯变换，即 L[yt′]=L[t] 得到 sY(s)−y(0)=1s2 .第二步，带入初值 y(0)=1 ，得到 sY(s)−1=1s2 .第三步，求解 Y(s) .这时候我们把第二步得到的式子看成一个普通的代数式就可以，很容易解得 Y(s)=1s3+1s 。
自动控制原理--用拉氏变换求解线性微分方程
R
u0 uc (t)
u0
C uc uc0
u0 1et Rc
uc(0) et Rc t
应用拉a)氏变换法求解微分b方) 程的步骤归纳如下：
（1）对线性微分方程的每一项进行拉氏变换，将微分方 程变成关于的代数方程；
（2）整理代数方程，求得待求函数的拉氏变换表达式；
（3）对拉氏变换式进行反变换得到待求函数的时域表达 式，即微分方程的解。
压
uc
(0)，求开关瞬时闭合后T 电容R 的端电压u0uc
t 。
uc (t)
u0
C uc uc0
u0 1et Rc
uc(0) et Rc
解：网络的微分方程为 RC 两边进行拉氏变换得 sRCU
cd(aus)dc)t(t)RCuucC(t()0)uU0
C
(s)
1 s
U
0
(s)b)
t
所以
U (s) U0 RC U (0)
1．线性性质
设F1(s) L f1(t) ，F2(s) L f2(t)，a，b 均为常数，则有
Laf1(t) bf2(t) aL f1(t)bL f2(t) aF1(s) bF2(s)
2．微分性质
若L f (t) F(s) ，则有 L f '(t) sF (s) f (0)
3．积分性质
F (s)
s1）m1
s s1 s sm1
s sn
… cm1
lim
s s1
d ds
(s
s1 ) m
F (s)
cm j
1 dj lim
j! ss1 ds j
(s s1)m F(s)
…
c1
1
常微分方程-拉氏变换法求解常微分方程
(sn a1sn1 an1s an ) X (s) F (s) B(s)
X (s) F(s) B(s) A(s)
x(t) L1[ X (s)] L1[ F (s) B(s)] A(s)
18
用拉氏变换求微分方程实例
例5 求 dx x e2t 满足初始条件 x(0) 0的特解
或
L[ f (n) (t)] sn L[ f (t)] sn1 f (0)
sn2 f (0) f (n1) (0)
10
3 象函数的微分性质
F(s) L[ f (t)]
F (s) test f (t)dt
0
F (n) (s) (1)n t nest f (t)dt
F (s)
s2
s3 3s
的Laplace
2
反变换
解
F (s)
s2
s3 3s
2
(s
s3 1)(s
2)
2 1 s 1 s 2
f (t) L1[F (s)] L1[ 2 ] L1[ 1 ]
s 1
s2
2et e2t t 0
14
F (s) F1 (s) Fn (s)
并假定 Fi (s) 的拉普拉斯变换容易求得，即
Fi (s) L[ fi (t)] 则 L1[F (s)] L1[F1(s)] L1[Fn (s)]
f1(t) fn (t)
13
拉普拉斯逆变换实例
例3 求
应用：
求解线性微分方程 在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合
2
信号系统第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的
举例4.4:
已 知 F (s)s(s s 2 1 )3, 求 其 逆 变 换
解 ： F (s)(sk 1 1 1 )3 (sk 1 2 1 )2 (s k 1 3 1 ) k s 2 令 F 1(s)(s1)3F(s)s s2
举例4.4:
解：其中k11 F1(s) s p1
s2
3
s s1
k12
d ds
F1 ( s )
s p1
s (s 2) 1
s2
s 1
2
举例4.4:
解 ： k13
1 2
d2 ds2
F1 ( s )
s p1
k2
sF (s) s0
1 2
4s s4
s 1
2
s2 ( s 1) 3 s 0 2
F (s)(s３ 1 )3(s２ 1 )2(s２ １ )－ ２ s
其 中 K1i (i 11)!d dsii 11F1(s)sp1
得 多 重 根 部 分 的 逆 变 换 L 1 ：
fc(t) (kK111)!tk1ep1t L
K1i t e ki p1t (k i)!
L K1kep1t u(t)
例题4－4
三、留数法
f(t)21j
jF(s)estds,
1j2 5
s 1j2
即 k 1 , 2A jB ,(A 1 5 ,
B 2 ) 5
k０(s1js2 2) (s31j2)
7 5
s2
举例4.3:
1j2 1j2 解 ： F(s) 5 5 5 5
7
s1j2 s1j2 5(s2)
Q1,2
A1, B 2
5
5
f(t) 2 e t 1 5 c o s(2 t) 5 2 sin (2 t) 7 5 e 2 t u (t)