二次函数综合复习
中考复习必备-二次函数总复习
字母符号
a>0 a
a<0 b＝0 b b与a同号 b与a异号 c＝0
c>0
c c＜0 b2 b2－4ac＝0 － b2－4ac>0 4a c b2－4ac<0
图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 经过原点
与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 与x轴有唯一交点(顶点) 与x轴有两个交点 与x轴没有交点
⑤解析式的求法： 确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三 个待定系数a，b，c(或a，h，k或a，x1，x2)，因而确定二次函数解析式需要 已知三个独立的条件： a．已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式比较方便． b．已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式比较方便． c．已知抛物线与x轴两个交点的坐标(或横坐标x1，x2)时，选用交点式比 较方便．
命题点4 二次函数的实际应用
3．(2016·丹东24题10分)某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果 园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单 棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y(千克)，增种果树x(棵)，它们 之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式； (2)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750 千克？ (3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(千克)最大？最大产量是多少？
命题点1 二次函数的图象与性质 1．(2015·锦州5题3分)在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋2与二次函数y＝x2＋a 的图象可能是( C )
2．(2016·阜新10题3分)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列选项中正 确的是( B ) A．a>0 B．b>0 C．c<0 D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根
二次函数知识点复习
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质
1、开口方向：当a>0时，函数开口方向向上；
当a<0时，函数开口方向向下；
2、增减性：
v 当a>0时，在对称轴左侧，y随着x的增大
而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；
v 当a<0时，在对称轴左侧，y随着x的增大
2. 抛物线与x轴交于（2，0）、（5，0）
9
两点，其顶点到x轴的距离是 ，则抛物
4
线的解析式为____________。 y x2 7x 10或y x2 7x 10
的下巴非常离奇。这巨神有着仿；无极3登录：/ ；佛螺栓样的肩胛和特像鼓锤般的翅膀，这巨神彪悍的银橙色熏鹅一般的胸脯闪着冷光，如同馄饨般的 屁股更让人猜想。这巨神有着极似软管形态的腿和海蓝色蒲扇样的爪子……笨拙的亮黄色蘑菇一般的六条尾巴极为怪异，青古磁色木瓜样的皮箱银兽肚子有种野蛮的霸气。银
橙色银剑般的脚趾甲更为绝奇。这个巨神喘息时有种天蓝色桃核一般的气味，乱叫时会发出葱绿色花生一样的声音。这个巨神头上鹅黄色面条般的犄角真的十分罕见，脖子上 活似狮子般的铃铛的确绝对的稀有和绚丽！蘑菇王子和知知爵士见情况突变，急忙变成了一个巨大的包子峰皮魔！这个巨大的包子峰皮魔，身长八十多米，体重二十多万吨。 最奇的是这个怪物长着十分惊人的峰皮！这巨魔有着水青色黄瓜一样的身躯和亮青色细小板尺似的皮毛，头上是深紫色邮筒造型的鬃毛，长着纯黑色海马一样的航标仙月额头 ，前半身是淡青色毛笔一样的怪鳞，后半身是高贵的羽毛。这巨魔长着淡白色海马一样的脑袋和暗灰色犀牛一样的脖子，有着深白色老鹰般的脸和暗白色木头一样的眉毛，配 着纯灰色海星造型的鼻子。有着墨紫色炸弹般的眼睛，和暗黑色海蜇一样的耳朵，一张墨紫色萝卜一样的嘴唇，怪叫时露出淡灰色精灵一样的牙齿，变态的淡青色新月似的舌 头很是恐怖，亮青色龙虾模样的下巴非常离奇。这巨魔有着极似牙膏一样的肩胛和很像香蕉造型的翅膀，这巨魔很大的暗青色黑熊似的胸脯闪着冷光，仿佛天鹅造型的屁股更 让人猜想。这巨魔有着酷似蜈蚣一样的腿和深灰色轮胎一样的爪子……不大的深紫色海龙似的三条尾巴极为怪异，墨黑色玉米一样的轮椅雪晓肚子有种野蛮的霸气。暗青色布 条造型的脚趾甲更为绝奇。这个巨魔喘息时有种纯灰色鸡窝似的气味，乱叫时会发出纯白色霉菌般的声音。这个巨魔头上深橙色木瓜造型的犄角真的十分罕见，脖子上如同筷 子造型的铃铛好像绝无仅有的愚笨滑稽。这时那伙校霸组成的巨大穿山甲兽腮神忽然怪吼一声！只见穿山甲兽腮神转动绝种的羽毛，一嚎，一道淡青色的奇影酷酷地从低沉的 葱绿色花生一样的声音里面滚出！瞬间在巨穿山甲兽腮神周身形成一片白杏仁色的光栅！紧接着巨大的穿山甲兽腮神最后穿山甲兽腮神颤动威风的仿佛螺栓样的肩胛一声怪吼 ！只见从天边涌来一片棉际的恐怖恶浪……只见棉际的恐怖轰鸣翻滚着快速来到近前，突然间密如蜂群的才子在一个个小穿山甲兽腮神的指挥下，从轰鸣翻滚的恐怖中冒了出 来！“这有什么艺术性？！咱俩也玩一个让他们看看！”蘑菇王子一边说着一边抛出法宝。“就是！就是！”知知爵士一边说着一边念动咒语。这时蘑菇王子和知知爵士变成 的巨大包子峰皮魔也怪吼一声！只见包子峰皮魔摇动傻傻的肚子，摇，一道亮青色的鬼光威猛地从花哨的皮毛里面流出！瞬间在巨包子峰皮魔周身形成一片白象牙色的光墙！ 紧接着巨大的包子峰皮魔功底深厚的强劲腹部瞬间抖出魔奇雨烟色的油花嫩摇味……呆板古旧、像神徒一样的墨黑色学究服渗出怪哼瘟神声和嘀嘀声……乌光闪闪、两头尖尖 的飞艇菱角鞋忽亮忽暗跃出飘渺美动般的飞舞。最后包子峰皮魔抖动肥大的犄角一声怪吼！只见从天边涌来一片棉际的海潮巨浪……只见棉际的狂流轰鸣翻滚着快速来到近前 ，突然间麻密如虾的大副在一个个小包子峰皮魔的指挥下，从轰鸣翻滚的狂流中冒了出来！无比壮观的景象出现了，随着恐怖和海潮的高速碰撞！翻滚狂舞其中的所有物体和 碎片都被撞向十几万米的高空，半空中立刻形成一道杀声震天、高速上升的巨幕，双方的斗士一边快速上升一边猛烈厮杀……战斗结束了，校霸们的队伍全军覆灭，垂死挣扎 的穿山甲兽腮神如同蜡像一样迅速熔化……双方斗士残碎的肢体很快变成金币和各种各样的兵器、珠宝、奇书……纷纷从天落下！这时由Ｒ．布基希大夫和另外四个校霸怪又 从地下钻出变成一个巨大的野猪缸须神！这个巨大的野猪缸须神，身长八十多米，体重二十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分疯狂的缸须！这巨神有着中灰色海星般的身躯 和淡黑色细小香肠样的皮毛，头上是碳黑色烟囱模样的鬃毛，长着嫩黄色邮筒般的哑铃水云额头，前半身是钢灰色手杖般的怪鳞，后半身是闪闪发光的羽毛。这巨神长着深红 色邮筒般的脑袋和银橙色木偶般的脖子，有着亮红色馅饼造型的脸和亮橙色画笔般的眉毛，配着火橙色恐龙模样的鼻子。有着粉红色砂锅造型的眼睛，和米黄色门扇般的耳朵 ，一张粉红色海豹般的嘴唇，怪叫时露出土黄色火舌般的牙齿，变态的钢灰色灵芝样的舌头很是恐怖，淡黑色怪藤形态的下巴非常离奇。这巨神有着酷似竹竿般的肩胛和活像 麦穗模样的翅膀，这巨神轻灵的土灰色秤砣样的胸脯闪着冷光，极似怪石模样的屁股更让人猜想。这巨神有着活似鲜笋般的腿和烟橙色火苗般的爪子……瘦瘦的碳黑色路灯样 的八条尾巴极为怪异，水绿色豆包般的药罐流光肚子有种野蛮的霸气。土灰色茄子模样的脚趾甲更为绝奇。这个巨神喘息时有种火橙色手电筒样的气味，乱叫时会发出暗红色 小路造型的声音。这个巨神头上蓝宝石色玉米模样的犄角真的十分罕见，脖子上仿佛章鱼模样的铃铛的确绝对的酷帅但又带着几分正点！蘑菇王子和知知爵士见情况突变，急 忙变成了一个巨大的古树闪臂魔！这个巨大的古树闪臂魔，身长八十多米，体重二十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分美妙的闪臂！这巨魔有着暗黄色粉条造型的身躯和鹅 黄色细小弯月一样的皮毛，头上是暗绿色镜子形态的鬃毛，长着亮紫色驴肾造型的警灯雪川额头，前半身是深黄色玩具造型的怪鳞，后半身是神气的羽毛。这巨魔长着深蓝色 驴肾一般的脑袋和暗青色蒜头造型的脖子，有着亮蓝色水牛模样的脸和海蓝色柴刀一般的眉毛，配着天青色铁塔形态的鼻子。有着葱绿色奖章模样的眼睛，和紫红色枕木造型 的耳朵，一张葱绿色牛屎造型的嘴唇，怪叫时露出湖青色花灯一般的牙齿，变态的深黄色灯柱一样的舌头很是恐怖，鹅黄色钉子一样的下巴非常离奇。这巨魔有着活似长号一 般的肩胛和美如柳叶形态的翅膀，这巨魔摇晃的亮黄色胶卷一样的胸脯闪着冷光，酷似香肠形态的屁股更让人猜想。这巨魔有着如同扫帚造型的腿和亮青色榴莲一般的爪子… …紧缩的暗绿色熊胆一样的五条尾巴极为怪异，紫宝石色花豹一般的地图枫翠肚子有种野蛮的霸气。亮黄色樱桃形态的脚趾甲更为绝奇。这个巨魔喘息时有种天青色馄饨一样 的气味，乱叫时会发出墨蓝色贝壳模样的声音。这个巨魔头上墨绿色豆包形态的犄角真的十分罕见，脖子上极似扫帚形态的铃铛好像极品的潇洒同时还隐现着几丝风趣……这 时那伙校霸组成的巨大野猪缸须神忽然怪吼一声！只见野猪缸须神颤动极似怪石模样的屁股，一吼，一道淡绿色的流光快速从深红色邮筒般的脑袋里面涌出！瞬间在巨野猪缸 须神周身形成一片银橙色的光盔！紧接着巨大的野猪缸须神最后野猪缸须神扭动粗犷的牙齿一声怪吼！只见从天边涌来一片无垠无际的指示恶浪……只见无垠无际的指示轰鸣 翻滚着快速来到近前，突然间满天乱舞的毒瘤在一个个小野猪缸须神的指挥下，从轰鸣翻滚的指示中冒了出来！“这有什么狂的？！咱俩也玩一个让他们看看！”蘑菇王子一 边说着一边抛出法宝。“就是！就是！”知知爵士一边说着一边念动咒语。这时蘑菇王子和知知爵士变成的巨大古树闪臂魔也怪吼一声！只见古树闪臂魔抖动傻傻的额头，甩 ，一道墨绿色的妖影变态地从虔诚的暗绿色镜子形态的鬃毛里面喷出！瞬间在巨古树闪臂魔周身形成一片橙白
二次函数专题复习
(5) y=2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到
函数解析式是 y=2(x+2)2-3。
（6）已知二次函数y=x2-4x-5 ， 求下列问题
△PAB，求P的坐标；
（4）第（3）题改为在直线y= -x+3上是否存在 点坐P标，；使若S不△PA存C=在，12说S明△P理AB？由若。存答在案，一求样出吗点？P的
P
y
（0，3） C
A
Q
o
y
（0，3） CP
B（3，0） A
x
oQ
（B 3，0） x
再见
得的图象解析式是 y=3x2
。
4、已知二次函数y=a（x-h）2+k的图象过原点， 最小值是-8，且形状与抛物线y=0.5x2-3x-5的形
状相同，其解析式为 y=0.5（x-16。）2-8
5、若x为任意实数，则二次函数y=x2+2x+3的函
数值y的取值范围是 y≥2 。
6、抛物线y=2x2-4x-1是由抛物线y=2x2-bx+c向
1.已知一个二次函数的图象经过点 （0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）。
2.已知二次函数的图象的顶点坐标为 （－2，－3），且图象过点（－3，－2）。
3.已知二次函数的图象的对称轴是直线x=3, 并且经过点(6,0),和(2,12)
4.矩形的周长为60，长为x，面积为y，则y关于
x的函数关系式
。
如何判别a、b、c、b2-4ac，2a+b，a+b+c的符 号
初高中数学衔接知识复习二次函数
初、高中数学衔接知识复习：二次函数一．要点回顾1． 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)配方得：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋b x a＋224b a )＋c －24b a 224()24b b ac a x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以由函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移而得到。
2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的性质：[1] 当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向 ；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当x 时，y 随着x 的增大而 ；当x 时，y 随着x 的增大而 ；当x 时，函数取最小值 ．[2] 当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向 ；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当x 时，y 随着x 的增大而 ；当x 时，y 随着x 的增大而 ；当x 时，函数取最大值 ．3．二次函数的三种表示方式[1]二次函数的三种表示方式：(1)．一般式： ； (2)．顶点式： ； (3)．交点式： ． 说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：①给出三点坐标可利用一般式来求；②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．③给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x .)0,(2x 时可利用交点式来求．2 二次函数图像的变换----------平移二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”． 选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）（A ）y ＝2x 2 （B ）y ＝2x 2－4x ＋2（C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2－4x（2）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2（ ）（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（3）把函数y ＝－(x －1)2＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为 （ ）（A ）y ＝ (x ＋1)2＋1 （B ）y ＝－(x ＋1)2＋1（C ）y ＝－(x －3)2＋4 （D ）y ＝－(x －3)2＋二．题型演练例1．抛物线()21252y x =--+的顶点坐标是_________，对称轴是_________，开口向_____，当x =_______时，y 有最______值，最大值为 ________。
2025年中考数学复习：二次函数综合压轴题常考热点试题汇编 解析版
2025年中考数学复习：二次函数综合压轴题常考热点试题汇编1.如图，已知抛物线y =-x 2+bx +c 与一直线相交于A -1，0 ，C 2，3 两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．(1)求抛物线及直线AC 的函数表达式；(2)设点M 3，m ，求使MN +MD 的值最小时m 的值；(3)若点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ，求PQ 的最大值．【答案】(1)解：由抛物线y =-x 2+bx +c 过点A -1，0 ，C 2，3 得-1-b +c =0-4+2b +c =3，解得b =2c =3 ，∴抛物线为y =-x 2+2x +3；设直线为y =kx +n 过点A -1，0 ，C 2，3 ，得-k +n =02k +n =3，解得k =1n =1 ，∴直线AC 为y =x +1；(2)解：∵y =-x 2+2x +3=-x -1 2+4，∴D 1,4 ，令y =0，则0=-x 2+2x +3，解得x =-1或x =3，即抛物线与x 轴的另一个交点为3，0 ，作直线x =3，作点D 关于直线x =3的对称点D ，得D 坐标为5，4 ，如图，连接ND 交直线x =3于点M ，此时N 、M 、D 三点共线时，NM +MD 最小，即NM +MD 最小，设直线ND 的关系式为：y =ax +b ，把点N 0,3 和D 5,4 代入得b =35a +b =4 ，1∴直线NM 的函数关系式为：y =15x +3，当x =3时，y =185，∴m =185；(3)解：如图，∵PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ，∴设Q x ，x +1 ，则P x ，-x 2+2x +3 ，∴PQ =-x 2+2x +3 -x +1 =-x 2+x +2=-x -12 2+94，∵-1<0，∴PQ 有最大值，最大值为94．2.如图，在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为-1,0 ，且OA =OC =5OB ，抛物线y =ax 2+bx +c a ≠0 图象经过A ，B ，C 三点．(1)求A ，C 两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD ⊥AC 于点D ，当PD 的值最大时，求此时点P 的坐标及PD 的最大值．【答案】(1)解：∵点B 的坐标为-1,0 ，∴OB =1，∵OA =OC =5OB ，∴OA =OC =5，∴点A 5,0 ,C 0,-5 ；把点C0,-5代入得：-5a=-5，解得：a=1，故抛物线的表达式为：y=x+1x-5=x2-4x-5；(3)解：∵直线CA过点C0,-5，∴可设其函数表达式为：y=kx-5，将点A5,0代入得：5k-5=0解得：k=1，故直线CA的表达式为：y=x-5，过点P作y轴的平行线交CA于点H，∵OA=OC=5，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵PH∥y轴，∴∠PHD=∠OCA=45°，∴PD=PH，∵PD⊥AC，∴PD=22PH，设点P x，x2-4x-5，则点H x,x-5，∴PD=22x-5-x2+4x+5=-22x2+522x=-22x-522+2528，∵-22<0，∴PD有最大值，当x=52时，其最大值为252 8，此时点P52,-354 ．3.如图抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0)，点C(0,3)，且OB=OC．(1)求抛物线的解析式及其对称轴；(2)点D、E是直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小(3)点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBP A 的面积分为3:5两部分，求点P 的坐标．【答案】(1)解：∵OB =OC ，点C (0,3)，∴点B (3,0)，则抛物线的表达式为：y =a (x +1)(x -3)=a (x 2-2x -3)=ax 2-2ax -3a ，将点C (0,3)代入得，故-3a =3，解得：a =-1，故抛物线的表达式为：y =-x 2+2x +3，∵y =-x 2+2x +3=-x -1 2+4，函数的对称轴为：x =1；(2)四边形ACDE 的周长=AC +DE +CD +AE ，其中AC =AO 2+CO 2=12+32=10、DE =1是常数，故CD +AE 最小时，周长最小，取点C 关于直线x =1对称点C (2,3)，则CD =C D ，如图所示，取点A -1,1 ，则A D =AE ，点C 与C 关于x =1对称，则C 2,3 ，∴A C =32+22=13，∴CD +AE =A D +DC ，则当A 、D 、C 三点共线时，CD +AE =A D +DC 最小，周长也最小，四边形ACDE 的周长的最小值=AC +DE +CD +AE=10+1+A D +DC=10+1+A C 10+1+13；(3)如图，设直线CP 交x 轴于点E ，直线CP 把四边形CBP A 的面积分为3：5两部分，又∵S △PCB ：S △PCA =12EB ×(y C -y P )：12AE ×(y C -y P )=BE ：AE ，则AE=52或32，即：点E的坐标为32,0或12,0，∵C0,3，设直线CP的表达式：y=kx+3，将点E的坐标代入直线CP的表达式：y=kx+3，解得：k=-6或-2，故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3，联立y=-x2+2x+3y=-2x+3，y=-x2+2x+3y=-6x+3，解得：x=4或x=8(x=0舍去)，故点P的坐标为(4,-5)或(8,-45)．4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0)，与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线在第四象限上一个动点(点P不与点B,C重合)，连结PB，PC，以PB，PC为边作▱CPBD，点P的横坐标为m．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)当▱CPBD有两个顶点在x轴上时，则点P的坐标为；(3)当▱CPBD是菱形时，求m的值．(4)当m为何值时，▱CPBD的面积有最大值？【答案】(1)解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0)，∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)，即y=x2-2x-3，(2)解：∵抛物线的解析式为y=x2-2x-3，令x=0，则y=-3，∴C(0,-3)，∵▱CPBD有两个顶点在x轴上时，∴点D在x轴上，∵四边形CPBD是平行四边形，∴CP∥BD，∴点P和点C为抛物线上的对称点，∵抛物线y=x2-2x-3的对称轴为x=--22×1=1，C(0,-3)，∴P(2,-3)，故答案为：(2,-3)；(3)解：设点P的坐标为(m,y)，∵B(3,0)，C(0,-3)，∴BP2=(3-m)2+y2，CP2=m2+(m+3)2，∵▱CPBD 是菱形，∴BP =CP ，∴BP 2=CP 2，∴(3-m )2+y 2=m 2+(y +3)2，9-2m +m 2+y 2=m 2+y 2+6y +9，m +y =0，∵y =m 2-2m -3，∴m +m 2-2m -3=0，m 2-m -3=0，m =-(-1)±(-1)2-4×1×(-3)2×1=1±132，即m 1=1+132，m 2=1-132，∵点P 是抛物线在第四象限上一个动点(点P 不与点B ,C 重合)，∴0<m <3，∴m =1+132；(4)解：如图所示，过点P 作PE ∥y 轴交直线BC 于点E ，设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0)，将B (3,0)，C (0,-3)代入得，3k +b =0b =-3 ，解得，k =1b =-3 ，∴直线BC 的解析式为y =x -3，设P (m ,m 2-2m -3)，则E (m ,m -3)，∴PE =-m 2+3m ，∴S △PBC =12×3(-m 2+3m )，∵S ▱CPBD =2S △PBC=2×12×3(-m 2+3m )=-3m 2+9m=-3m -32 2+274，∴当m =32时，平行四边形CPBD 的面积有最大值．5.二次函数y =ax 2+bx +4a ≠0 的图象经过点A -4,0 ,B 1,0 ，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ．(1)求二次函数的表达式；(2)在对称轴上是否存在一个点M ，使MB +MC 的和最小，存在的话，请求出点M 的坐标．不存在的话请说明理由．(3)连接BC ，当∠DPB =2∠BCO 时，求直线BP 的表达式．【答案】(1)解：把A -4,0 ,B 1,0 代入y =ax 2+bx +4a ≠0 得：16a -4b +4=0a +b +4=0 ，解得a =-1b =-3 ，∴二次函数的表达式为y =-x 2-3x +4；(2)在对称轴上存在一个点M ，使MB +MC 的和最小，理由如下：连接AC 交对称轴于M ，则MB +MC 的和最小，如图：∵MA =MB ，∴MB +MC =MA +MC ，而C ，M ，A 共线，∴此时MB +MC 最小，在y =-x 2-3x +4中，令x =0得y =4，∴C 0,4 ，设直线AC 的表达式为y =rx +s ，由A -4,0 ，C 0,4 可得-4r +s =0s =4解得r =1s =4 ∴直线AC 解析式为y =x +4，由y =-x 2-3x +4=-x +32 2+254知抛物线对称轴为直线x =-32，在y =x +4中，令x =-32得y =52，∴M -32,52；(3)设BP 交y 轴于K ，如图：∵PD⊥x轴，∴∠DPB=∠OKB，∵∠DPB=2∠BCO，∴∠OKB=2∠BCO，∴∠CBK=∠BCO，∴BK=CK，设OK=m，则CK=BK=4-m，∵OB2+OK2=BK2，∴12+m2=4-m2，解得m=15 8，∴K0,158，设直线BP的表达式为y=px+q，由B1,0，K0,15 8得到p+q=0q=158解得p=-158 q=158∴直线BP的表达式为y=-158x+158．6.如图，抛物线y=14x2-32x交x轴正半轴于点A，M是抛物线对称轴上的一点，过点M作x轴的平行线交抛物线于点B，C(B在C左边)，交y轴于点D，连结OM，已知OM=5．(1)求OD的长．(2)P是第四象限内抛物线上的一点，连结P A，AC，OC，PO．设点P的横坐标为m，四边形OCAP的面积为S．①求S关于m的函数表达式．②当∠POC=∠DOC时，求S的值．【答案】解：(1)抛物线对称轴为x=-b2a=3，∴DM=3，OA=6；∵OM =5，∴OD =OM 2-DM 2=52-32=4．(2)过点P 作PN ⊥OA 于N ,①由y =0得，0=14x 2-32x解得：x =0(舍去)，x =6∴OA =6，∴S 四边形OCAF =S △OAC +S △OAP=12⋅OA ⋅OD +12⋅OA ⋅PN=12×6×4+12×6-14m 2-32m=12+3-14m 2+32m=-34m 2+92m +12所以，S 关于m 的表达式为：S =-34m 2+92m +12②MC =CD -DM =5=OM ，∴∠MOC =∠MCO ．∵BC ∥x 轴，∴∠AOC =∠MCO =∠MOC ．∵∠POC =∠DOC ，∴∠POC -∠AOC =∠DOC -∠MOC ，∴∠POE =∠DOM ，∴tan ∠POA =tan ∠DOM =34，∴-y p x P =34∴y P =-34x p ，代入抛物线解析式得-34x p =14x 2p -32x p解得x P =0(舍去)或x P =3，∴y P =-34x p =-34×3=-94∴S 四边形OCAF =S △OAC +S △OAP=12⋅OA ⋅OD +12⋅OA ⋅PN =18.757.如图，已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过B -3,0 ,C 0,3 两点，与x 轴的另一个交点为A ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上找一点E ，使得AE +CE 的值最小，求点E 的坐标；(3)设点P 为x 轴上的一个动点，写出所有使△BPC 为等腰三角形的点P 的坐标，并把求其中一个点P 的坐标的过程写出来．【答案】(1)解：将点B -3,0 ,C 0,3 代入抛物线解析式得-9-3b +c =0c =3，解得b =-2c =3 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2-2x +3；(2)解：∵抛物线解析式为y =-x 2-2x +3=-x +1 2+4，∴抛物线的对称轴为直线x =-1，∵点A 、B 关于对称轴对称，∴BE =AE ，∴AE +CE =BE +CE ，∴当B 、C 、E 三点共线时，BE +CE 最小，即此时AE +CE 最小，∴BC 与对称轴的交点即为点E ，如下图，设直线BC 解析式为y =mx +n ，∴-3m +n =0n =3，解得m =1n =3 ，∴直线BC 的解析式为y =x +3；当x =-1时，y =x +3=2，∴E -1，2 ；(3)解：∵B -3,0 ,C 0,3 ，∴OB =OC =3，∴BC =32+32=32，当B 为顶点时，则PB =BC =32，∴点P 的坐标为32-3,0 或-32-3,0 ；当C为顶点时，则PC=BC，∴点P与点B关于y轴对称，∴点P的坐标为3，0；当BC为底边时，则PC=PB，设点P的坐标为m，0，∴-3-m2=m2+32，解得m=0∴点P的坐标为0，0；综上，点P的坐标为0，0或3，0或32-3,0或-32-3,0．8.如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=12x2平移，使平移后的抛物线仍经过原点O，新抛物线的顶点为M(点M在第四象限)，对称轴与抛物线y=12x2交于点N，且MN=4．(1)求平移后抛物线的表达式；(2)如果点N平移后的对应点是点P，判断以点O、M、N、P为顶点的四边形的形状，并说明理由；(3)抛物线y=12x2上的点A平移后的对应点是点B，BC⊥MN，垂足为点C，如果△ABC是等腰三角形，求点A的坐标．【答案】(1)解：由题意得，平移后的抛物线表达式为：y=12x2+bx，则点M的坐标为：-b,-1 2 b2，当x=-b时，y=12x2=12b2，即点N-b,12b2，则MN=12b2+12b2=4，解得：b=2(舍去)或b=-2，则平移后的抛物线表达式为：y=12x2-2x；(2)解：四边形OMPN是正方形，根据题意可得O0,0，M2,-2，N2,2，P4,0，记MN与OP交于点G，则G2,0，∴OG=GP=2，MG=NP=2，MN=OP=4，NO=NP=22，∴四边形OMPN是平行四边形，∵MN=OP=4，∴四边形OMPN是矩形，∵NO=NP=22，∴四边形OMPN是正方形；(3)解：设A a ,12a 2 ，B a +2,12a 2-2 ，C 2,12a 2-2 ，可得AB =22，AC =a -2 2+22，BC =a 2，①AB =AC ，22=a -2 2+22，即a 2-4a =0，解得a 1=4，a 1=0(舍去0)，∴A 4,8 ；②AB =BC ，22=a 2，解得a 1=22，a 1=-22，∴A 22,4 或A -22,4 ；③AC =BC ，a -2 2+22=a 2，解得a =2，∴A 2,2 ；综上，点A 的坐标是4,8 、22,4 、-22,4、2,2 ．9.综合与探究如图，抛物线y =12x 2-32x -2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．过点A 的直线与抛物线在第一象限交于点D 5,3 ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线AD 的函数表达式．(2)点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ，交直线AD 于点F ．试探究是否存在一点P ，使线段EF 最大．若存在，请求出EF 的最大值；若不存在，请说明理由．(3)若点M 在抛物线上，点N 是直线AD 上一点，是否存在以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是以BD 为边的平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)解：令y =0，则12x 2-32x -2=0，解得x =4或x =-1，∴A -1,0 ，B 4,0 ，令x =0，则y =-2，∴C 0,-2 ，设直线AD 的函数表达式为y =kx +b ，将A -1,0 ，D 5,3 的坐标代入得，-k +b =05k +b =3 ，解得：k =12b =12，∴y =12x +12；(2)解：存在，理由如下：设P a ,0 ，则E a ,12a 2-32a -2 ，F a ,12a +12，∵P 线段AB 上的一个动点，∴E 在x 轴下方，∴EF =12a +12-12a 2-32a -2 =-12a 2+2a +52=-12a -2 2+92，∵-12<0，∴当a =2时，EF 有最大值，最大值为92；(3)解：存在，点M 的坐标为0,-2 ，2+14,4+142 或2-14,4-142；设M m ,12m 2-32m -2 ，N n ,12n +12，∵B 4,0 ，D 5,3 ，①当平行四边形对角线为BN 和DM 时，则4+n 2=5+m 20+12n +122=3+12m 2-32m -22 ，解得：m =0n =1 或m =4n =5 (当m =4时，M 4,0 与B 点重合，不符合题意，舍去)∴点M 的坐标为0,-2 ；②当平行四边形对角线为BM 和DN 时，则4+m 2=5+n 20+12m 2-32m -22=3+12n +122 ，解得：m =2+14n =1+14 或m =2-14n =1-14 ，∴点M 的坐标为2+14,4+142 或2-14,4-142，综上所述，点M 的坐标为0,-2 ，2+14,4+142 或2-14,4-142 ．10.如图，已知直线y =34x +3与x 轴交于点D ，与y 轴交于点C ，经过点C 的抛物线y =-14x 2+bx +c 与x 轴交于A -6，0 、B 两点，顶点为E ．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)连接DE ，求tan ∠CDE 的值；(3)设P 为抛物线上一动点，Q 为直线CD 上一动点，是否存在点P 与点Q ，使得以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)解：对于y =34x +3，由x =0，得y =3，∴C 0，3 ，∵抛物线过点A -6，0 、C 0，3 ，-14×-6 2-6b +c =0c =3 ，解得：b =-1c =3 ，∴该抛物线为y =-14x 2-x +3；(2)解：由y =-14x 2-x +3=-14x +2 2+4得顶点E -2，4 ，过点E 分别作EF ⊥x 轴于F ，作EG ⊥y 轴于G ，连接EC ，则EF =4，DF =2，EG =2，CG =1，∴DF EF =12=CG EG，∵∠DFE =∠CGE =90°，∴△DFE ∽△CGE∴∠DEF =∠CEG ，EC DE =CG DF=12．∵∠CEG +∠CEF =90°，∠DEF +∠CEF =90°，∴∠DEC =90°，∴tan ∠CDE =EC DE =12；(3)设Q m ，34m +3 ①若DE 为平行四边形的一边，且点P 在点Q 的上方，∵D -4，0 ，E -2，4 ，Q m ，34m +3 ，∴P m +2，34m +7 ，代入抛物线得：34m +7=-14m +2 2-m +2 +3，解得m 1=-7，m 2=-4(舍去)∴Q -7，-94；②若DE 为平行四边形的一边，且点P 在点Q 的下方，∵D -4，0 ，E -2，4 ，Q m ，34m +3 ，∴P m -2，34m -1 ，同理得Q -3+892,15+3898或Q -3-892,15-3898 ，③若DE 为平行四边形的对角线∵∵D -4，0 ，E -2，4 ，Q m ，34m +3 ，∴P -m -6，-34m +1 代入抛物线得：-34m +1=-14-m -6 2--m -6 +3，解得m 1=-1，m 2=-4(舍去)∴Q -1,94，综上所述，点Q 的坐标为-7，-94 Q -3+892,15+3898 或Q -3-892,15-3898或-1,94 ．11.如图，已知抛物钱经过点A (-1，0)，B (3，0)，C (0，3)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)点M 是线段BC 上的点(不与B ，C 重合)，过M 作MN ∥y 轴交抛物线于点N ．若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MN 的长；(3)在(2)的条件下，连接NB 、NC ，当m 为何值时，△BNC 的面积最大，最大面积是多少？【答案】(1)解：根据题意，抛物钱与x 轴交于点A (-1，0)，B (3，0)设抛物线解析式为y =a x +1 x -3将C (0，3)代入可得：-3a =3，解得a =-1即y =-x +1 x -3 =-x 2+2x +3；(2)设直线BC 的解析式为y =kx +b将B (3，0)、C (0，3)代入可得：3k +b =0b =3 ，解得k =-1b =3即y =-x +3，则M (m ,-m +3)，N (m ,-m 2+2m +3)，MN =-m 2+2m +3--m +3 =-m 2+3m ；(3)由题意可得：S △BNC =S △BNM +S △MNC =12×MN ×OB =32-m 2+3m =-32m 2+92m∵-32<0，开口向下，∴m =-92-2×32=32时，S △BNC 面积最大，∴最大面积为S △BNC =-32×32 2+92×32=278．12.如图，已知抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，顶点为D ，其中A 1,0 ，C 0,3 ．直线y =mx +n 经过B ，C 两点．(1)求直线BC 和抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上找一点M ，使MA +MC 最小，直接写出点M 的坐标；(3)连接BD ，CD ，求△BCD 的面积．【答案】解:(1)将点A 1,0 ，C 0,3 代入y =-x 2+bx +c ，得-1+b +c =0,c =3,解这个方程组，得b =-2,c =3.∴抛物线的解析式为y =-x 2-2x +3.当y =0时，0=-x 2-2x +3=-x +3 x -1 ，解得x 1=-3，x 2=1，∴点B 的坐标为-3,0 ，∵直线y =mx +n 经过B ，C 两点，∴-3m +n =0n =3，解得m =1n =3 ，∴直线BC 解析式为y =x +3；∴当点M是直线BC和对称轴的交点时，MA+MC取得最小值，∵抛物线y=-x2-2x+3=-x+12+4，∴点D的坐标为-1,4，对称轴为直线x=1，将x=1代入直线y=x+3，得：y=-1+3=2，∴点M的坐标为-1,2；(3)∵点D-1，4，点M-1,2，∴DM=4-2=2，∵点B-3，0，∴BO=3，∴S△BCD=S△DMB+S△DMC=12DM⋅BO=12×2×3=3．13.抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)与x轴交于点A-2,0和B4,0，与y轴交于点C，连接BC．点P是线段BC下方抛物线上的一个动点(不与点B,C重合)，过点P作y轴的平行线交BC于M，交x轴于N，设点P的横坐标为t．(1)求该拋物线的解析式；(2)用关于t的代数式表示线段PM，求PM的最大值及此时点M的坐标；(3)过点C作CH⊥PN于点H,S△BMN=9S△CHM，①求点P的坐标；②连接CP，在y轴上是否存在点Q，使得△CPQ为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2∴4a-2b-4=016a+4b-4=0，即2a-b=24a+b=1，∴a=12 b=-1∴抛物线的解析式为：y=12x2-x-4；(2)解：令x=0得y=-4，∴C0,-4设直线BC的解析式为y=kx+b，∴b=-44k+b=0∴k=1b=-4 ，∴直线BC的解析式为：y=x-4 ∵P的横坐标为t，PM∥y轴，∴P t,12t2-t-4，M t,t-4，∴PM=t-4-12t2-t-4=-12t2+2t=-12t-22+2，∵-12<0，∴当t=2时，PM有最大值2，此时M2,-2；(3)解：①∵B4,0、C0,-4，∴OB=OC=4，∵∠BOC=90°，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵PN∥y轴∴∠NMB=∠OCB=45°，∠MNB=∠COB=90°，∴∠NBM=∠NMB，∴BN=MN，∴S△BMN=12BN2，又∠CMH=∠NMB=45°，∠CHM=90°，∴△CHM是等腰直角三角形∴S△CHM=12CH2∵S△BMN=9S△CHM∴12BN 2=9×12CH 2∴BN =3CH ，∵BN +CH =OB =4，∴CH =1∴P 1,-92 ；②设Q 0,m ，则CQ 2=4+m 2，CP 2=1+-4+92 2=54，PQ 2=1+m +92 2，(Ⅰ)当∠CQP =90°时，54=4+m 2+1+m +92 2，解得：m =-4(舍去)或m =-92，∴Q 0,-92 ；(Ⅱ)当∠CPQ =90°时，54+1+m +92 2=4+m 2，解得：m =-132， ∴Q 0,-132(Ⅲ)当∠PCQ =90°时54+4+m 2=1+m +92 2解得：m =-4(舍去)综上所述，存在点Q 0,-132 或Q 0,-92使得△CPQ 为直角三角形．14.如图，抛物线y =ax 2+bx +c a >0 交x 轴于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，交y 轴于点C ．(1)若A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)，①求抛物线的解析式；②若点P为x轴上一点，点Q为抛物线上一点，△CPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，求出点P的坐标；(2)若直线y=bx+t t>c与抛物线交于点M、N(点M在对称轴左侧)，直线AM交y轴于点E，直线AN交y轴于点D．试说明点C是线段DE的中点．【答案】解：(1)①把A(-1,0)，B(3,0)，C(0,-3)分别代入y=ax2+bx+c，得a-b+c=09a+3b+c=0c=-3，解得a=1b=-2 c=-3 ，∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3．②设P(m，0)，过Q作QH⊥x轴于H，则∠PHQ=90°，∵△CPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴PC=PQ，∠CPQ=90°，∴∠OPC+∠HPQ=90°，∠HQP+∠HPQ=90°，∴∠OPC=∠HQP，在△POC和△QHP中∠OPC=∠HQP∠COP=∠PHQCP=QP，∴△POC≌△QHP AAS，∴QH=OP=m，PH=OC=3．当点H在点P的右侧时，OH=m+3，∴Q(m+3，-m)，把Q(m+3，-m)代入y=x2-2x-3，得-m=m+32-2m+3-3，解得m=0或-5，此时，P(0，0)或P(-5，0)．当点H在点P的左侧时，H(m-3，0)，∴Q (m -3，m )，代入y =x 2-2x -3，得m =m -3 2-2m -3 -3，整理，得m 2-9m +12=0，解得m =9±332，此时P 9+332,0 或9-332,0 综上，点P 的坐标为P (0，0)或P (-5，0)或P 9+332,0或9-332,0 (2)设直线AM 为y =kx +m ，直线AN 为y =k 1x +m 1，联立y =bx +t y =ax 2+bx +c ，得ax 2+c -t =0，∴x M +x N =0．联立y =kx +m y =ax 2+bx +c ，得ax 2+b -k x +c -m =0，∴x A x M =c -m a ．同理，得x A x N =c -m 1a．∴x A x M +x A x N =x A x M +x N =0，∴c -m a +c -m 1a=0，∴c -m =m 1-c ．∵D (0，m 1)，E (0，m )，C (0，c )，∴CD =m 1-c ，CE =c -m ，∴CE =CD ，∴点C 为线段DE 的中点．15.如图，二次函数y =-x 2+c 的图象交x 轴于点A 、点B ，其中点B 的坐标为(2,0)，点C 的坐标为(0,2)，过点A 、C 的直线交二次函数的图象于点D ．(1)求二次函数和直线AC的函数表达式；(2)连接DB，则△DAB的面积为；(3)在y轴上确定点Q，使得∠AQB=135°，点Q的坐标为；(4)点M是抛物线上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点N，使得以点A、点D、点M、点N为顶点的四边形是以AD为边的矩形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵二次函数y=-x2+c的图象过点B(2,0)，∴0=-22+c，解得c=4∴二次函数解析式为y=-x2+4∴A点坐标为(-2,0)设直线AC的解析式为y=kx+b∴0=-2k+b2=b，解得：k=1b=2∴直线AC的解析式为y=x+2(2)∵直线AC：y=x+2与二次函数交于点A、D∴联立y=-x2+4y=x+2，解得x=-2y=0或x=1y=3∴D点坐标为：(1,3)∵AB=4∴S△DAB=12AB×y D =12×3×4=6(3)∵C(0,2)，A点坐标为(-2,0)∴∠CAB=45°当Q在正半轴时，∵∠AQB=135°，QA=QB∴∠QAO=22.5°=12∠CAO∴AQ平分∠CAO过Q作PQ⊥AC于P设OQ =x ，则OQ =PQ =x ,CQ =2PQ =2x∴OC =OQ +CQ =2x +x =2解得x =22-2∴Q 点坐标为(0,22-2)当Q 在与轴负半轴时，根据对称性可得Q 点坐标为(0,2-22)∴Q 点坐标为(0,2-22)或(0,22-2)(4)当AD 是矩形边长时过A 作AM ⊥AD 交抛物线于M∵直线AC 的解析式为y =x +2∴设直线AM 的解析式为y =-x +b 1代入A 点(-2,0)得b 1=-2∴直线AM 的解析式为y =-x -2∴联立y =-x 2+4y =-x -2，解得x =-2y =0 或x =3y =-5 ∴M 点坐标为(3,-5)∵此时MN 平行且等于AD∴由A (-2,0)平移到D (1,3)与由M (3,-5)平移到N 的平移方式一致∴N 点坐标为(6,-2)同理：:过D 作DM ⊥AD 交抛物线于M ，此时M (0,4)，N (-3,1)综上所述，存在，N 点坐标为(6,-2)或(-3,1)16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为D(2,1)，抛物线的对称轴交直线BC 于点E．(1)求抛物线y =-x 2+bx +c 的表达式；(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h (h >0)，在平移过程中，该抛物线与直线BC 始终有交点，求h 的最大值；(3)M 是(1)中抛物线上一点，N 是直线BC 上一点．是否存在以点D ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)解：由D (2,1)可知，-b 2×-1 =24×-1 c -b 24×-1 =1，解得：b =4c =-3 ，∴y =-x 2+4x -3．(2)分别令y =-x 2+4x -3中，x =0，y =0得，B (3，0)，C (0，-3)；设BC 的表达式为：y =kx +n k ≠0 ，将B (3，0)，C (0，-3)代入y =kx +n 得，0=3k +n -3=0+n 解得：k =1n =-3 ；∴BC 的表达式为：y =x -3；抛物线平移后的表达式为：y =-x 2+4x -3-h ，根据题意得，y =-x 2+4x -3-h y =x -3，即x 2-3x +h =0，∵该抛物线与直线BC 始终有交点，∴-3 2-4×1×h ≥0，∴h ≤94，∴h 的最大值为94．(3)存在，理由如下：将x =2代入y =x -3中得E 2，-1 ，①当DE 为平行四边形的一条边时，∵四边形DEMN 是平行四边形，∴DE ∥MN ，DE =MN ，∵DE ∥y 轴，∴MN ∥y 轴，∴设M m，-m2+4m-3，N m，m-3，当-m2+4m-3-m-3=2时，解得：m1=1，m2=2(舍去)，∴N1，-2，当m-3--m2+4m-3=2时，解得：m1=3+172，m2=3-172，∴N3+172，17-3 2或N3-172，-17+32；②当DE为平行四边形的对角线时，设M p，-p2+4p-3，N q，q-3，∵D、E的中点坐标为：(2，0)，∴M、N的中点坐标为：(2，0)，∴p+q2=2-p2+4p-3+q-32=0 ，解得：p1=1 q1=3，p2=2q2=2(舍去)，∴此时点N的坐标为(3，0)；综上分析可知，点N的坐标为：1，-2或3+172，17-32或3-172，-17+32或(3，0)．。
二次函数复习讲义
二次函数复习讲义一、基本概念1. 二次函数的定义二次函数是指一个变量的二次多项式方程所定义的函数。
其一般形式可表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a不等于0。
2. 二次函数的图像二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
3. 二次函数的对称轴和顶点二次函数的对称轴是与抛物线对称的直线，由x = -b/2a表示。
抛物线的顶点坐标即为对称轴的交点。
二、性质与变换1. 平移变换二次函数可通过平移变换进行移动。
设二次函数为f(x)，平移的规则如下：a）水平平移：f(x + h)表示将抛物线沿x轴正方向移动h个单位；b）垂直平移：f(x) + k将抛物线沿y轴正方向移动k个单位。
2. 拉伸与压缩变换二次函数可通过拉伸或压缩变换进行缩放。
设二次函数为f(x)，变换的规则如下：a）水平拉伸或压缩：f(mx)表示将抛物线的横坐标压缩到原来的1/m倍；b）垂直拉伸或压缩：m*f(x)表示将抛物线的纵坐标拉伸到原来的m 倍。
3. 顶点形式与标准形式的转换二次函数可以通过顶点形式和标准形式之间的转换来说明抛物线的性质。
顶点形式可表示为：f(x) = a(x - h)^2 + k其中，(h, k)为抛物线的顶点坐标。
标准形式可表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，(h, k)为对称轴的交点。
三、特殊二次函数1. 平方函数平方函数是一种特殊的二次函数，其形式为：f(x) = x^2平方函数的图像是一条开口向上的抛物线，其顶点在(0, 0)处。
2. 平移后的二次函数对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，进行平移变换可以得到新的二次函数g(x) = a(x - h)^2 + k。
3. 开口向上与开口向下的二次函数当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
二次函数复习总结归纳
y xO二次函数复习归纳（培优）1. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质a ＞0a ＜0图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标最 值 当x ＝ 时，y 有最 值 当x ＝ 时，y 有最 值 增减性在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧y 随x 的增大而y 随x 的增大而2. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2的形式，其中h ＝ ， k＝ .3. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系：； 4.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴或最值，通常选择顶点式.求抛物线的顶点、对称轴的方法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.（3）交点式：已知图像与x 轴交点的横坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=（4）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、知识要点2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()aa acb a ca b x x x xx xx x AB ∆=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=4442221221221215.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小：a >0，开口向上；a <0，开口向下；α越大，开口越小 （2）b 和a 决定抛物线对称轴（左同右异）①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； ③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 决定抛物线与y 轴交点的位置.c ＞0时，与y 轴正半轴相交；c ＜0时，与y 轴负半轴相交。
二次函数专题复习
二次函数专题复习考点一 二次函数的概念一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．注意：(1)二次项系数a ≠0；(2)ax 2＋bx ＋c 必须是整式；(3)一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；(4)自变量x 的取值范围是全体实数．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)图象(a ＞0)(a ＜0)开口方向 开口向上开口向下对称轴 直线x ＝－b2a直线x ＝－b2a顶点坐标⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a增减性当x ＜－b2a 时，y 随x 的增大而减小；当x ＞－b2a时，y 随x 的增大而增大当x ＜－b2a 时，y 随x 的增大而增大；当x ＞－b2a时，y 随x 的增大而减小最值当x ＝－b2a 时，y 有最小值4ac －b 24a当x ＝－b2a 时，y 有最大值4ac －b 24a考点三 二次函数图象的特征与a ，b ，c 及b2－4ac 的符号之间的关系考点四 二次函数图象的平移抛物线y ＝ax 2与y ＝a (x －h )2，y ＝ax 2＋k ，y ＝a (x －h )2＋k 中|a |相同，则图象的形状和大小都相同，只是位置的不同．它们之间的平移关系如下表：考点五 二次函数关系式的确定（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=考点六 二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当y ＝0时，就变成了ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)． 2．ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的解是抛物线与x 轴交点的横坐标．3．当Δ＝b 2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有两个不同的交点；当Δ＝b 2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴有一个交点；当Δ＝b 2－4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．1.抛物线23(1)2y x =-+的对称轴是（ ）A ．1x =B ．1x =-C ． 2x =D ．2x =-2.抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，3） B ．（－2，3） C ．（2，－3） D ．（－2，－3）3.（2009年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为A ．222-=x y B ．222+=x y C ．2)2(2-=x y D ．2)2(2+=x y 类型一：二次函数的图象1.（2012•泰安）二次函数y=a （x+m ）2+n 的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限 B ．C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限2.（2011•湘潭）在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x 2+a 的图象可能是（ ）3.（2010•达州）抛物线图象如图所示，根据图象，抛物线的解析式可能是（ ）A ．y=x 2-2x+3B ．y=-x 2-2x+3C ．y=-x 2+2x+3D ．y=-x 2+2x-34.（2011•威海）二次函数y=x 2-2x-3的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（ ）A ．-1＜x ＜3B ．x ＜-1C ．x ＞3D ．x ＜-3或x ＞35.已知函数y 1=x 2与函数y 2=-21x+3的图象大致如图．若y1＜y 2，则自变量x 的取值范围是（ ）A ．-23＜x ＜2 B ．x ＞2或x ＜-23 C ．-2＜x ＜23 D ．x ＜-2或x ＞23 类型二：二次函数的性质（2010•兰州）二次函数y=-3x 2-6x+5的图象的顶点坐标是（ ）A ．（-1，8）B ．（1，8）C ．（-1，2）D ．（1，-4）（2010•毕节地区）已知抛物线y=-2（x-3）2+5，则此抛物线（ ）A ．开口向下，对称轴为直线x=-3B ．顶点坐标为（-3，5）C ．最小值为5D ．当x ＞3时y 随x 的增大而减小 （2012•德阳）设二次函数y=x 2+bx+c ，当x ≤1时，总有y ≥0，当1≤x ≤3时，总有y ≤0，那么c 的取值范围是（ ）A ．c=3B ．c ≥3C ．1≤c ≤3D ．c ≤3类型三：二次函数的增减性 1.已知函数215322y x x =---，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，且-3< x 1< x 2<x 3，则 对应的函数值的大小关系是（ ）A ．y 3>y 2>y 1B ．y 1>y 3>y 2C ．y 2<y 3<y 1D ．y 3<y 2<y 12.小明从右边的二次函数2y ax bx c =++图象中，观察得出了下面的五条信息：①0a <，②0c =，③函数的最小值为3-，④当0x <时， 0y >，⑤当1202x x <<<时，12y y >．你认为其中正确0 2 3-y的个数为（ ） Ａ．2Ｂ．3Ｃ．4Ｄ．53.若123135(,),(1,),(,)43A yB yC y --的为二次函数245y x x =--+的图像上的三点，则y 1,y 2,y 3的大小关系是（ ）A. y 1<y 2<y 3B. y 3<y 2<y 1C. y 3<y 1<y 2D. y 2<y 1<y 34.从y=x 2的图象可看出，当－3≤ｘ≤－1时，ｙ的取值范围是 A 、ｙ≤0或9≥y B 、0≤ｙ≤9 C 、0≤ｙ≤1 D 、1≤ｙ≤95.小颖在二次函数y =2x 2+4x +5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(21，y 2)， (－321，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为（ ） A.y 1>y 2>y 3 B.y 2>y 3>y 1 C.y 3>y 1>y 2 D.y 3>y 2>y 1二、利用二次函数图象判断a ，b ，c 的符号【例2】 如图所示，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，图象经过点(－1,2)和(1,0)，且与y 轴交于负半轴．(1)给出四个结论：①a ＞0；②b ＞0；③c ＞0；④a ＋b ＋c ＝0，其中正确结论的序号是__________；(2)给出四个结论：①abc ＜0；②2a ＋b ＞0；③a ＋c ＝1；④a ＞1.其中正确结论的序号是__________．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b 2－4ac ＞0；②abc ＞0；③8a ＋c ＞0；④9a ＋3b ＋c ＜0. 其中，正确结论的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（2012•玉林）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x=1，有如下结论：①c ＜1；②2a+b=0；③b 2＜4ac ；④若方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=2， 则正确的结论是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④（2012•威海）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）A ．abc ＞0B ．3a ＞2bC ．m （am+b ）≤a-b （m 为任意实数）D ．4a-2b+c ＜0（2011•兰州）如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b 2-4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）2a-b ＜0；（4）a+b+c ＜0．你认为其中错误的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．1个四、确定二次函数的解析式【例】 已知一抛物线与x 轴的交点是A (－2,0)，B (1,0)，且经过点C (2,8)． (1)求该抛物线的表达式； (2)求该抛物线的顶点坐标．1.在直角坐标系中，△AOB 的顶点坐标分别为A （0，2），O （0，0），B （4，0），把△AOB 绕O 点按逆时针方向旋转900到△COD 。
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复习二次函数综合题
教学目标：1、巩固以抛物线综合题中求点的坐标和抛物线的解析式方法。
2、培养学生的运算能力和几何直观与空间观念。
3、利用图形的平移、对称、面积分割等方法分析解决问题。
教学重点：设点的坐标；利用图形的平移、对称、分割等方法解决问题。
教学难点：运算能力和几何直观与空间观念。
教学过程：
一、引入课题
以二次函数为背景的几何综合题是中考必考题目，那么试题以哪些主要知识为载
体来考查我们呢？考查了一些什么内容呢？
（一）请看以下近几年来的中考真题或副题（PPT呈现或以学案方式发给学生），思考老师提出的问题：
1、(2016陕西24题10分)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原
点．抛物线y＝ax2＋bx＋5经过点M(1，3)和N(3，5)．
(1)试判断该抛物线与x轴交点的情况；
(2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A(－2，0)，且与y 轴交
于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，
请你写出平移过程，并说明理由．
2、(2016年副题24).(本题满分10分)
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB是等腰直角三角
形，∠AOB＝90°，点A(2，1).
(1)求点B的坐标；
(2)求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式；
(3)在(2)所求的抛物线上，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积最
大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
(第24题图)
3、（2015年第24题）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+5x+4的顶点为M，
与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点。
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）求抛物线y=x2+5x+4关于坐标原点O对称的抛物线的函数表达式；
（3）设（2）中所求抛物线的顶点为M ',与x 轴交于A '、B '两点，与y 轴交于C '点，在以A 、B 、C 、M 、A '、B '、C '、M '这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中，求其中一个不是菱形的平行四边形的面积。
4、（2015年副题24)（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C 。
已知A （﹣3,0），该抛物线的对
称轴为直线12
x =-。
（1）求该抛物线的函数表达式 （2）求点B 、C 的坐标
（3）假设将线段BC 平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在x 轴上，若将点B 、C 平移后的对应点分别记为点D 、E ，求以B 、C 、D 、E 为顶点的四边形面积的最大值。
5、(2014年第24题) 已知抛物线C ：y=﹣x 2+bx+c 经过A （﹣3，0）和B （0，3）
两点，将这条抛物线的顶点记为M ，它的对称轴与x 轴的交点记为N ． （1）求抛物线C 的表达式； （2）求点M 的坐标；
（3）将抛物线C 平移到C ′，抛物线C ′的顶点记为M ′，它的对称轴与x 轴的交点记为
N ′．如果以点M 、N 、M ′、N ′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C 怎样平移？为什么？
（二）通过初步观察，引导学生明确
1、题目以抛物线知识为载体，以求点的坐标，抛物线的解析式，常与图形的平移、对称、放缩相等结合。
2、解答过程应注意（1）求点的坐标方法：设点的坐标，向x 轴或y 轴作垂线，表示线段长，利用相似或全等列方程，求出线段长得点坐标，（2）求点存在性问题方法：①利用平移直接得点坐标（常在构平行四边）或代入函数解析式求坐标；②设点坐标，表示线段长，利用线段的比或线段相等（常构相似相似三角形或等腰三角形）③设点的坐标（可根据函数表达式设两个字母）表示线段长利用面积分割表示面积 ，从而求出点的坐标。
二、典例精讲: (2016年副题24).(本题满分10分)
如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△AOB 是等腰直角三角形，∠AOB ＝90°，点A (2，1).
(1)求点B 的坐标；
(2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的函数表达式；
(3)在(2)所求的抛物线上，是否存在一点P ，使四边形ABOP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）如图2，过点A作AC x
⊥
为D．
∵AOB
∆是等腰直角三角形，且21
A（，），
∴AOC
∆≌BOD
∆，
∴1
BD AC
==，2
OD OC
==，
∴1,2
B（-）．
（2）设经过A O B
、、
421,
2.
a b
a b
+=
⎧
⎨
-=
⎩
解之，得
5
,
6
7
.
6
a
b
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
∴经过A O B
、、三点的抛物线的函数表达式为：2
57
66
y x x
=-．
方法1：S三角形=1
2
水平宽×竖直高
（3）存在，理由如下：
设2
57
()
66
P m m m
-
，，则02
m
＜＜，过点P作PQ y
∥轴交OA于点Q，连接OP，AP．
∵点21
A（，），∴直线OA：1
2
y x
=．
∴点1
()
2
Q m m
，．
∴22
15755
PQ=()
26663
m m m m m
--=-+．
∴22
15555
2()
26363
AOP
S m m m m
∆
=⨯⨯-+=-+．
又∵2
15
22
AOB
S
∆
=⨯=，
∴22
555510
(1)
63263
AOP AOB
ABOP
S S S m m m
∆∆
=+=-++=--+
四边形
，
∵5
06
-＜，
∴当1m =时，四边形ABOP
方法2：直线平移
方法2：要AOP ∆的面积最大，只要P 点到所在），也就是将OA 向下平移至与抛物线：y =
有一个交点的位置时，AOP ∆示．∵点21A （，）
，∴直线OA 为：1
2y x =方程为： 12y x b =+，则有：212
57.
66y x b y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，∴
251060x x b --=，则2(10)45(6)0b ∆=--⨯⨯-=，则5
6
b =-，∴2(1)0x -=，则
1x =，∴1
(1-)3
P ，．
方法3：面积分割
方法3：求四边形ABOP 面积最大，S △AOB =
5
2
为定值，当S △AOP 最大时，四边形ABOP 最大。
过A 作AF ⊥Y 轴于点F ，由A(2,1)得AF=2，OF=1过P 作PE ⊥Y 轴，设P （m ，n ）则PE=m ，OE=n ，∵ P 只能在第四象限，∴ PE=m ，OE=-n
S △AOP =S 梯形AFEP -S △AFO -S △POE =12(m+2)(1-n)-1-1
2
(-n)m,整理得 S △AOP =
12m-n ，∵ P （m ，n ）在257
66y x x =-上 ∴25766n m m =- ∴ S △AOP =12m-n=251066m m -+=5
6
-(m 2-2m)
∴ 当m=1，S △AOP 面积最大，将m=1代入25766n m m =
-得n =13∴1
(1-)3
P ， 讲例重点是引导学生体会方法，以及方法的多样性与优选性上并注意设点得方法以及如何进行面积分割。
方法比较：方法1用了两平行线（y 轴与直线AC ）过三角形两顶点，且三角形夹在两平行线之间，平行线间的距离即2OC =来表示AOP ∆面积的，此方法与学生的思维习惯、常规思维方式不同，应属特殊方法；方法2与前两种方法比，易理解、较简捷，所用到的知识但如果要具体求出四边形面积时又比较麻烦；方法3，对面积分割也是我们常用得数学思想，但在设点时要注意用两个字母表示避免计算过程复杂。
三、课堂小结
1、例题中得基本方法和主要知识
2、设点及表示线段长应注意得问题
四、课后作业
完成上面未讲的中考题．。