线性代数辅导(精选)
线性代数辅导
第四章 线性方程组【基本要求】1. 理解线性方程组有解的判定定理2. 理解齐次线性方程组的基础解系、通解、一般解等概念及解的结构。
3．理解非齐次线性方程组解的结构4. 熟练掌握用初等行变换求线性方程组通解的方法。
【主要内容】<1>齐次线性方程组：① 齐次方程组0=Ax 恒有零解；当()n A R <时有无穷多解，其基础解系中解向量的个数是)(A r n −，即自由未知量的个数。
② 设是A n m ×阶矩阵，齐次方程组0=Ax 有非零解的充要条件是即的列向量线性相关；充分条件是n A r <)(A n m <（即方程个数<未知数个数） ③ 若是阶方阵，则有非零解的充要条件是A n 0=Ax 0=A <2>非齐次线性方程组：① 设是A n m ×阶矩阵，方程组b Ax =有解⇔系数矩阵的秩等于增广矩阵A A 的秩可由的列向量⇔b A n ααα,,,21 线性表出⇔n ααα,,,21 与b n ,,,,21ααα 是等价向量组。
② 设是A n m ×阶矩阵,则方程组b Ax =无解⇔()()A r A r ≠；有唯一解b Ax =⇔n A r A r ==)()(;b Ax =有无穷多解⇔n A r A r <=)()(<3>解的联系：① 若21,ξξ是b Ax =的解，则21ξξ−是0=Ax 的解。
② 若ξ是b Ax =的解，η是0=Ax 的解，则ηξ+仍是b Ax =的解。
③ 若有唯一解，则只有零解；反之，当b Ax =0=Ax 0=Ax 只有零解时，没有无穷多解（可能无解，也可能只有唯一解）。
b Ax =【典型例题】例１ 求解齐次线性方程组 解: 将系数矩阵化为上阶梯形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−+++=−−+−=−+++=−+++076530230553203454321543215432154321xx x x x x x x x x x x x x x x x x x xA B =−−−−−−⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎯→⎯⎯⎯−−−⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟=1114321355113213156711143011310000000000行变换 所以 R A r n n r (),,,===−=253 即方程组(1)有无穷多解 ,其基础解系中有三个线性无关的解向量。
线性代数复习要点
线性代数复习要点线性代数是数学中的一个分支，其研究对象包括向量空间、线性变换、矩阵、线性方程组等。
线性代数广泛应用于各个领域，如物理学、计算机科学、工程学等。
下面是线性代数复习的要点：1.向量和向量空间-向量是指具有大小和方向的量，用箭头表示。
-向量空间是指由一组向量生成的集合，满足加法和数乘运算的封闭性。
-基是一个向量空间中独立且能够生成该向量空间的向量组。
-向量组的线性组合是指对向量组中的向量进行加法和数乘运算的结果。
-向量组的生成子空间是指向量组的所有线性组合所形成的空间。
2.矩阵和线性变换-矩阵是一个按照矩形排列的数。
矩阵的大小由行数和列数确定。
-矩阵的加法和数乘运算定义为对应元素的运算。
-矩阵的转置是指行变为列，列变为行的操作。
-矩阵的乘法是指矩阵的行与列的对应元素相乘后求和的运算。
-线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换，保持线性关系。
3.行列式和特征值特征向量-行列式是一个与矩阵相关的数，用于描述矩阵的性质。
-二阶和三阶矩阵的行列式可以通过对应元素相乘后求和的方式计算。
-行列式的值为0表示矩阵不可逆，即不存在逆矩阵。
-特征值是指矩阵对一些向量进行线性变换后，仍然与原向量方向相同的结果。
-特征向量是指通过线性变换后，与其特征值对应的向量。
4.线性方程组的求解-线性方程组是一组线性方程的集合，其中未知量的次数等于方程的个数。
-列向量和矩阵可以表示线性方程组的系数和常数项。
-线性方程组的解可以通过高斯消元法、矩阵的逆等方法进行求解。
-高斯消元法是将方程组化为行阶梯形式，再通过回代求解。
-线性方程组的解可以有唯一解、无解或者无穷多解。
5.特殊矩阵和矩阵的分解-单位矩阵是指主对角线上的元素为1，其余元素为0的矩阵。
-零矩阵是指所有元素均为0的矩阵。
-对角矩阵是指主对角线以外的元素均为0的矩阵。
-逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。
-矩阵的分解包括LU分解、QR分解、特征值分解等。
线性代数辅导及习题答案
线性代数辅导及习题答案线性代数是数学中的一个重要分支，它研究的是向量空间和线性映射的性质。
在学习线性代数的过程中，很多人会遇到一些难题，需要辅导和习题答案来帮助自己更好地理解和掌握相关概念和方法。
一、线性代数辅导的重要性线性代数是数学中的一门基础课程，它在很多领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
因此，对于学习者来说，掌握线性代数的基本概念和方法是非常重要的。
然而，由于线性代数的抽象性和复杂性，很多人在学习过程中会遇到困难。
这时，线性代数辅导就变得尤为重要。
线性代数辅导可以帮助学生更好地理解和掌握线性代数的基本概念和方法。
辅导老师可以通过讲解和示范，帮助学生理清思路，解决他们在学习过程中遇到的问题。
同时，辅导老师还可以根据学生的不同水平和需求，提供针对性的习题和练习，帮助学生巩固和加深对线性代数知识的理解。
二、线性代数习题的重要性习题是学习线性代数的重要组成部分，通过做习题可以帮助学生巩固和加深对知识的理解。
线性代数习题的设计应该具有一定的难度和深度，既能考察学生对基本概念和方法的理解，又能培养学生的思维能力和解决问题的能力。
习题答案的提供可以帮助学生检验自己的答案是否正确，同时还可以帮助他们理解解题思路和方法。
在学习过程中，学生可能会遇到一些难题，他们需要参考习题答案来解决问题。
通过对习题答案的研究和分析，学生可以更好地理解和掌握线性代数的相关概念和方法。
三、线性代数辅导与习题答案的获取途径线性代数辅导和习题答案可以通过多种途径获取。
首先，学生可以向自己的老师或同学请教，他们可以提供一些解题思路和方法。
其次，学生可以通过参考教材中的习题答案来解决问题。
教材中通常会提供一些习题的答案，学生可以通过对答案的研究来理解解题思路和方法。
此外，学生还可以通过互联网搜索相关的线性代数辅导和习题答案。
有很多网站和论坛提供线性代数的辅导和习题答案，学生可以通过搜索引擎找到这些资源。
然而，学生在使用线性代数辅导和习题答案时需要注意一些问题。
《线性代数》知识点归纳整理
《线性代数》知识点归纳整理线性代数是一门重要的数学学科，在许多领域都有广泛的应用，如计算机科学、物理学、工程学等。
下面将对线性代数的一些关键知识点进行归纳整理。
一、行列式行列式是线性代数中的一个基本概念。
它是一个数值，可以通过特定的计算规则得到。
对于二阶行列式，其计算公式为：＼＼begin{vmatrix} a ＆ b ＼＼ c ＆ d ＼end{vmatrix} ＝ ad bc ＼对于三阶行列式，计算相对复杂些，可通过按行（列）展开来计算。
行列式具有一些重要的性质，例如：1、行列式转置后其值不变。
2、某行（列）元素乘以一个数加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。
行列式的应用包括求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等。
二、矩阵矩阵是线性代数中的核心概念之一。
矩阵的定义：由\（m×n\）个数排成的\（m\）行\（n\）列的数表称为\（m×n\）矩阵。
矩阵的运算包括加法、减法、数乘、乘法等。
1、矩阵加法和减法要求两个矩阵具有相同的行数和列数，对应元素相加减。
2、数乘矩阵是将矩阵中的每个元素乘以一个数。
3、矩阵乘法需要前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数，乘法运算不满足交换律。
矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
逆矩阵是一个重要概念，若矩阵\（A\）可逆，则存在矩阵\（B\），使得\（AB ＝ BA ＝ I\），其中\（I\）为单位矩阵。
三、向量向量可以看作是一组有序的数。
行向量是一行数，列向量是一列数。
向量的运算包括加法、减法、数乘。
向量组的线性相关性是一个重要内容。
如果存在一组不全为零的数，使得向量组的线性组合等于零向量，则称该向量组线性相关；否则称线性无关。
四、线性方程组线性方程组可以表示为矩阵形式\（Ax ＝ b\）。
线性方程组的解分为有解和无解的情况。
1、有解时，可能有唯一解或无穷多解。
2、无解时，方程组矛盾。
通过高斯消元法可以求解线性方程组。
五、特征值与特征向量对于矩阵\（A\），如果存在非零向量\（x\）和数\（＼lambda\），使得\（Ax ＝＼lambda x\），则\（＼lambda\）称为矩阵\（A\）的特征值，＼（x\）称为对应于特征值\（＼lambda\）的特征向量。
基础30讲线代和线代辅导讲义
基础30讲线代和线代辅导讲义一、线性代数的基础概念1.1 矩阵和向量•矩阵的定义和基本运算•向量的定义和基本运算•线性组合和线性相关性1.2 线性方程组•齐次线性方程组和非齐次线性方程组•列向量和矩阵的关系•矩阵的秩和解空间的性质二、矩阵的特征值和特征向量2.1 特征值和特征向量的定义•特征值和特征向量的基本概念•特征方程和特征多项式2.2 对角化和相似矩阵•对角化矩阵的性质和条件•相似矩阵的定义和性质•可对角化的判定条件2.3 特征值的计算方法•特征值的代数重数和几何重数•特征值计算的方法：特征方程、特征多项式、行列式等三、线性变换和线性映射3.1 线性变换和线性映射的定义•线性变换和线性映射的概念•线性变换和线性映射的基本性质：保持向量相加和标量乘积不变3.2 标准矩阵和基变换•线性变换和线性映射的表示：标准矩阵•基变换和基变换矩阵的求解3.3 线性变换和线性映射的应用•线性变换和线性映射在几何中的应用•线性变换和线性映射在工程中的应用四、矩阵的奇异值分解4.1 奇异值分解的定义•奇异值和奇异向量的基本概念•奇异值分解的意义和应用4.2 奇异值的计算方法•奇异值计算的方法：特征值分解、SVD分解等•奇异值的几何和代数性质4.3 矩阵的逆和伪逆•逆矩阵和伪逆矩阵的定义和性质•奇异值分解和矩阵的逆关系以上是关于基础30讲线性代数和线性代数辅导讲义的详细内容介绍。
通过学习这些内容，你将对线性代数的基础概念、矩阵的特征值和特征向量、线性变换和线性映射以及矩阵的奇异值分解有更深入的理解和应用能力。
无论是在理论研究中还是在实际问题中，线性代数都起着非常重要的作用。
希望这些讲义能够帮助你更好地掌握线性代数的知识，提高数学建模和问题求解的能力。
考研辅导--线性代数--第1章行列式
第一章 行列式◆ 基础知识概要1.n 阶行列式的定义二阶行列式2112221122211211a a a a a a a a -=.三阶行列式.333231232221131211a a a a a a a a a 112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---.对角线法则：n 阶行列式的定义()1212111212122212,,,121...n nn tn j j nj j j j n n nna a a a a a D a a a a a a ⋅⋅⋅==-∑,它是取自不同行不同列的n 个数的乘积1212...n j j nj a a a 的代数和（共!n 项），其中各项的符号为()1t-，t 代表排列12,,,n j j j ⋅⋅⋅的逆序数，简记为()det ij a .n 阶行列式也可定义为()121212,,,1...n nti i i n i i i D a a a ⋅⋅⋅=-∑，其中t 为行标12,,,n i i i ⋅⋅⋅排列的逆序数.例1.1 计算行列式（1）12n λλλ；（2）12nλλλ.练习：计算下列行列式（1）2341342013004000；（2）111212220n nnn a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（上三角形行列式）；（3）112122120n n nna a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（下三角形行列式）.2. 行列式的性质与计算 2.1行列式的性质（1）行列式与其转置行列式相等；（2）互换行列式的某两行(列)得到新行列式则新行列式应反号；特别地：若行列式中有两行(列)对应元素相等，则行列式等于零； （3）行列式中某一行(列)的所有元素的公因数可以提到行列式的外面； 即以数k 乘以行列式等于用数k 乘以行列式的某一行或某一列； 特别地：若行列式中有一行(列)的元素全为零，则行列式等于零； （4）行列式中如果有某两行(列)对应元素成比例，则行列式的值为零； 特别地：比例系数为1（5）若行列式的某一列（行）的元素是两数之和，例如，第i 列的元素都是两数之和：()()()1112111212222212i i n i i n n n ni ninn a a a a a a a a a a D a a a a a '⋅⋅⋅+⋅⋅⋅'⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅+⋅⋅⋅， 则D 等于如下两个行列式之和：1112111112112122222122221212i n i n i n i n n n ni nnn n ninn a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a '⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅.（6）把行列式的某一行(列)的各元素的k 倍加到另一行(列)的对应元素上，行列式的值不变.注：（1）交换行列式的第,i j 两行（或列），记作i i r r ↔（或i j c c ↔）； （2）第i 行（列）提出公因子k ，记作i r k ÷（或i c k ÷）；（3）以数k 乘第j 行（列）加到第i 行（列）上，记作i j r kr +（或i j c kc +）.范德蒙（Vandermonde ）行列式()3122222123111111231111nn ijnj i nn n n n nx x x x V x x x x x x x x x x ≤<≤----⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-⋅⋅⋅⋅⋅⋅∏注 右边是“大指标减小指标”.例1.2 计算行列式111311212524131122D ---=.（答：332）练习：计算行列式（1）3112513420111533D ---=---；（答：40）（2）3111131111311113D =；（答：48）(3) 1234234134124123D =；（答：160）（4）2324323631063ab c d aa ba b ca b c d D a a b a b c a b c da ab a bc a b c d++++++=++++++++++++；（答：4a ）（5）222111a ab acD ab b bc ac bcc +=++；（答：2221a b c +++） （6）123400000a xa a a x x D x x xx+-=--；（答：431i i x x a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑） （7）222b c c a a bD a b c a b c +++=；（8）()()()()()()()()()()()()2222222222222222123123123123a a a a b b b b D cc c cd d d d ++++++=++++++.2.2行列式依行（列）展开余子式：ij M ，代数余子式：()1i jij ij A M +=-定理1.1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即()112211,2,,ni i i i in in ik ik k D a A a A a A a A i n ==++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅∑，或()112211,2,,nj j j j nj nj kj kj k D a A a A a A a A j n ==++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅∑.注：此定理的主要作用是——降阶.推论 行列式的任一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式乘积之和等于零，即()112210ni j i j in jn ik jk k D a A a A a A a A i j ==++⋅⋅⋅+==≠∑，或()112210ni j i j ni nj ki kj k D a A a A a A a A i j ==++⋅⋅⋅+==≠∑.例1.3 用降阶的方法解例1.2.练习：用降阶的方法求解上面练习第（1）题.例1.4 设1121234134124206A --=-，求（1）12223242234A A A A -+-； （2）3132342A A A ++.解 （1）1222324212122122313241422340A A A A a A a A a A a A -+-=+++=. （2）因为ij A 的大小与元素ij a 无关，因此，313234112111214132341410322121401201120142642064206A A A -----++===-=---. 练习：（1）设1234511122321462221143156，则（a ）313233A A A ++=？（b ）3435?A A +=（c ）5152535455?A A A A A ++++=（答：0，0，0）（2）设,ij ij M A 分别为行列式301022220201201D =--中元素ij a 的余子式和代数余子式，试求（a ）31323334A A A A +++； （b ）41424344M M M M +++； （c ）14244432M M M -++.2.3拉普拉斯（Laplace ）展开定理定义 在一个n 阶行列式D 中，任意选定k 行（比如第12,,k i i i ⋅⋅⋅行）和k 列比如12,,k j j j ⋅⋅⋅列）（k n ≤）.位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的位置组成一个k 阶行列式，称为行列式D 的一个k 阶子式，记作1212k k i i i A j j j ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭，划去12,,k i i i ⋅⋅⋅行和12,,k j j j ⋅⋅⋅列后余下的元素按照原来的位置组成的n k -阶行列式，称为k 阶子式1212k k i i i A j j j ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭的余子式，记作1212k c k i i i A j j j ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅⎝⎭.在余子式前面加上符号()()()12121k k i i i j j j ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-后被称之为的代数余子式.记作()121212121s tk k c c k k i i i i i i A A j j j j j j +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭，这里1212,k k s i i i t j j j =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+.定理1.2 在n 阶行列式D 中，任意选定k 列121k j j j n ≤<<⋅⋅⋅<≤，则12121211212k k k c i i i nk k i i i i i i D A A j j j j j j ≤<<⋅⋅⋅<≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭∑. 类似地，任意选定k 行121k i i i n ≤<<⋅⋅⋅<≤，则12121211212k k k c j j j nk k i i i i i i D A A j j j j j j ≤<<⋅⋅⋅<≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭∑.证 （略）注 这是定理1.2的推广，它仍然是一种——降阶的思想.例1.4 在行列式1214012110130131D -=中取定1，2行，得到6个子式1,21211,201A ⎛⎫==- ⎪-⎝⎭， 1,21121,302A ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 1,21411,401A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1,22152,312A ⎛⎫== ⎪-⎝⎭， 1,22462,411A ⎛⎫== ⎪-⎝⎭， 1,21473,421A ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 对应的代数余子式分别是()()()12121,213181,231c A +++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()()()12131,203131,311c A +++⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ()()()12141,201111,413c A +++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ()()()12231,213112,301c A +++⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ()()()12241,211132,403c A +++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()()()12341,210113,401c A +++⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 由Laplace 展开定理可知()()()()()1823115163717D =-⨯-+⨯+⨯-+⨯+⨯-+-⨯=-.例1.5 证明111111111111111111110000k k r k kk k r k kk r rrr rkr rra a a ab b a ac c b b a a b b c c b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅.证 由Laplace 定理展开，选定第1,2,,k ⋅⋅⋅行，得12112121,2,1,2,,k c j j j nk k k k D A A j j j j j j ≤<<⋅⋅⋅<≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭∑1,2,1,2,,1,2,,1,2,,c k k A A k k ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭()()()1111111212111k rk k k kk r rra ab b a a b b ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅11111111k rk kk r rra ab b a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅.注 例1.5的结论可以简记为0A A B CB=⋅.练习：1.计算（1）1234512345121212000000000a a a a ab b b b bc cd de e ； （2）1111111111110000k k k kr k kk r r rrc c a a c c a a b b b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅.2. 设A 为n 阶方阵，A a =，B 为m 阶方阵，B b =，则23O A BO为（ ）（A ）6ab -, （B ）23n mab -, （C ）()123mnn m ab -, （D ）()123m nn m ab +-.◆ 行列式的计算举例例1.6 计算n 阶行列式n x a a a ax a aD aa x a aa ax = 解法1112,3,2,3,(1)(1)(1)000(1)000(1)0i i C C r r ni ni nx n a a a a x n aa a a x n a x a a x a D x n a a x a x a x n aaaxx a+-==+-+-+--==+--+--[]()1(1)n x n a x a -=+--.解法212,3,1111101000010000100001i r r n i n nn n a a a a a a a a x a a a x a a a x a a x a a ax aa x aD aax a a a x a x a aaaxaaaxx a -=+++----===----①如果x a =，则1110000100000100001n n a a a a D +--==--②如果x a ≠，则12,3,11100000000(1)()00000C i x ana x aC n nanx ai n n a a a a x a x a D x a x a x a --+-=+++--==+---.综合①、②有：()()11n n D x n a x a -=+--⎡⎤⎣⎦.例1.7 计算行列式12211000010000000001n nn n x x x x a a a a x a ----∆=-+.解 按第一列展开，12321100001000001n n n n x x xx a a a a x a -----∆=-+1100001000(1)0101n n xa x x+--+--- ()121n n n n n x a x x a a ---=∆+=∆++221n n n x a x a --=∆++==12121n n n n x a x a x a ---∆++++又111x a x a ∆=+=+，11n n n n x a x a -∴∆=+++.例1.8 计算2n a bababD cdc dcd=.解法1 依第一行展开12200(1)00000nn ab abab ab D ab cdcd c d c d d c +=+-2112(1)2(1)2(1)(1)()n n n n adD bc D ad bc D -+---=--=-,222(1)2(2)112()()()()().n n n n n n D ad bc D ad bc D a b ad bc D ad bc ad bc cd----=-=-==-=-=-解法2 利用Laplace 展开定理，选定第1行和第2n 行展开，则1221212121,21,2,,c n j j nn n D A A j j j j ≤<≤⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑1,21,21,21,2c n n A A n n ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()1212211n n n a b D c d+++-=⋅-()()21n ad bc D -=-⋅=⋅⋅⋅ 1()n ab ad bc cd-=- ().n ad bc =-练习：计算n 阶行列式（1）122222222232222n D n=；（答：()22!n --）（2）01211111001001n n a a a D a -=，其中110n a a -⋅⋅⋅≠；（答：111011n n i ia a a a --=⎛⎫⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭∑）（3）2222212121212naa aa aDaaa a=；（答：()1nn a+）（4）()()()()111111111n nnn nnna a a na a a nDa a a n----⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅；（5）1231110000220000011 nn nDn n⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--。
宋浩线代辅导讲义
宋浩线代辅导讲义一、引言宋浩线代辅导讲义是为了帮助学生更好地理解和掌握线性代数的基本概念和方法而编写的。
线性代数是数学中非常重要的一个分支，它在各个领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
本讲义将从基础概念开始介绍，并逐步深入，帮助学生建立起对线性代数的系统性理解。
二、线性方程组与矩阵2.1 线性方程组2.1.1 定义与表示定义：线性方程组是由一系列线性等式组成的方程组。
例如，下面是一个包含三个未知数x、y、z的线性方程组：2x + y - z = 4x - y + 3z = -13x + 2y + z = 72.1.2 解的存在唯一性对于一个线性方程组，它可能有三种解的情况：•无解：当方程组中存在矛盾等式时，即出现了0=1这样不可能成立的等式。
•有唯一解：当方程组中的方程数量等于未知数的数量，并且方程组的系数矩阵满秩时，方程组有唯一解。
•有无穷多解：当方程组中的方程数量小于未知数的数量，并且方程组的系数矩阵不满秩时，方程组有无穷多解。
2.2 矩阵与向量2.2.1 矩阵的定义与运算定义：矩阵是一个按照长方阵列排列的数表。
一个m×n的矩阵有m行n列。
例如，下面是一个3×3的矩阵：1 2 34 5 67 8 9矩阵可以进行加法、减法和乘法等运算。
其中，加法和减法要求两个矩阵具有相同的行数和列数，乘法则需要满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
2.2.2 向量与线性组合定义：向量是一种特殊类型的矩阵，它只有一列。
向量可以表示为：v = [v1, v2, ..., vn]其中vi表示向量v中第i个元素。
线性组合是指将若干个向量按照一定的权重进行加权求和的操作。
例如，对于向量v1和v2，它们的线性组合可以表示为：c1 * v1 + c2 * v2其中c1和c2为常数。
2.3 矩阵的转置与逆2.3.1 矩阵的转置定义：矩阵的转置是将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
例如，对于一个3×2的矩阵A，其转置矩阵记为A^T，可以表示为：A^T = [a11, a21, a31;a12, a22, a32]2.3.2 矩阵的逆定义：对于一个n×n的方阵A，如果存在一个n×n的方阵B，使得AB=BA=I（单位矩阵），则称B为A的逆矩阵。
考研数学线性代数知识点精讲
考研数学线性代数知识点精讲线性代数是考研数学中非常重要的一部分，对于许多考生来说，它可能具有一定的挑战性。
但只要我们掌握了关键的知识点和方法，就能轻松应对。
接下来，让我们深入地探讨一下线性代数中的重要知识点。
一、行列式行列式是线性代数中的一个基本概念，它是一个数值。
行列式的计算方法有很多，比如按照某一行（列）展开、利用行列式的性质化简等。
对于二阶和三阶行列式，我们可以直接使用公式计算。
二阶行列式的值为“主对角线元素之积减去副对角线元素之积”；三阶行列式的计算相对复杂一些，但我们可以通过按某一行（列）展开，将其转化为二阶行列式的计算。
行列式的性质是我们化简计算的重要工具。
比如，行列式某一行（列）元素乘以一个数加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变；交换两行（列），行列式的值变号等等。
二、矩阵矩阵是线性代数的核心概念之一。
矩阵的运算包括加法、减法、数乘和乘法。
需要注意的是，矩阵乘法不满足交换律，即一般情况下AB≠BA。
矩阵的逆也是一个重要的概念。
若矩阵 A 可逆，则存在矩阵 B 使得 AB ＝ BA ＝ I，其中 I 是单位矩阵。
求矩阵的逆可以使用伴随矩阵法或初等变换法。
矩阵的秩反映了矩阵中线性无关的行（列）向量的个数。
通过初等变换可以将矩阵化为阶梯形，从而求出矩阵的秩。
三、向量向量是既有大小又有方向的量。
线性相关和线性无关是向量组的重要性质。
如果存在一组不全为零的数使得向量组的线性组合等于零向量，则称该向量组线性相关；否则，称其线性无关。
向量组的秩等于其极大线性无关组中向量的个数。
四、线性方程组线性方程组是线性代数中的常见问题。
对于齐次线性方程组，当系数矩阵的秩等于未知数的个数时，方程组只有零解；当系数矩阵的秩小于未知数的个数时，方程组有非零解。
对于非齐次线性方程组，如果增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩且等于未知数的个数，则方程组有唯一解；如果增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩且小于未知数的个数，则方程组有无穷多解；如果增广矩阵的秩不等于系数矩阵的秩，则方程组无解。