线性代数期末复习题

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线性代数期末复习题及参考答案

线性代数期末复习题及参考答案复习题之判断题(√)1. 若行列式的每一行元素之和全为零，则行列式的值等于零. ( )2. 设A ，B 为n 阶矩阵，则22))((B A B A B A −=−+. (√)3. 方阵A 可逆的充要条件是A E ~.( )4. 若n 阶矩阵A 相似于对角矩阵，则A 必有n 个互不相同的特征值. (√)5. 二次型222123123(,,)4f x x x x x x =++是正定二次型. (√ )6. 若B A 、为n 阶方阵，则AB BA =. ( )7. 设A 为任意n 阶矩阵，则A —A T 为对称阵. ( )8. 若n 阶矩阵A 能对角化, 则A 必有n 个不同的特征值. (√)9. 实对称矩阵A 对应不同特征值的特征向量必正交. (√)10. 设AB=0，若A 为列满秩矩阵，则B=0.( )11. 对于任何矩阵Amxn ，不能经过有限次初等列变换把它变为列阶梯形矩阵和列最简形矩阵.( )12. 奇排列变成标准排列的对换次数为偶数.( )13. 在秩是r 的矩阵中，存在等于0的r-1阶子式，但是不存在等于0的r+1阶子式.复习题之填空题1．设向量()1,0,3,Tαλ=−，()4,2,0,1Tβ=−−，若α与β正交，则λ= - 4 ． 2. 当A 为任意的n 阶矩阵时，下列矩阵A A T +;T A A −;T AA ;A A T 中, 对称矩阵是T T T A A AA A A +，，，反对称矩阵是T A A −. 3. 设00B A C⎛⎫=⎪⎝⎭，B ，C 均为可逆矩阵，则1A −=1100C B−−⎛⎫⎪⎝⎭.4．设A 是n 阶矩阵（2n ≥），且A 的行列式det 2A =, 则它的伴随矩阵*A 的行列式*det A =12n −5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−=466353331A 的所有特征值之和等于0.6. 设,A B 为n 阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件AB=BA.7．设向量11,,0,132Tα⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，()3,2,1,1T β=−−，则α与β的内积为 1 ．8．设方阵A 满足2240A A E −+=，且A E +可逆，则1()A E −+＝37A E−−. 9. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，若0A =，则*A =0.10．设向量()1,2,0,1T α=−，()3,1,1,2Tβ=−−，则α与β的内积为 -1 ． 11．设方阵A 满足220A A E −−=，且A 可逆，则1A −＝2A E−.12．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−=269643932A 的所有特征值之和等于0 ．13.2103111113423122−−−−的代数余子式之和31323334-2A A A A ++= -33 ___ .14. 设n 阶矩阵A 满足0322=+−E A A ，则()12−−E A=3A −15. 若4阶方阵A 的行列式A =3, *A 是A 的伴随矩阵，则*A = 27 ___ . 16 向量α=()1,1,1,5T−−−与()4,2,1,Tβλ=−−正交，则λ=-1.17. 二次型2221231231223(,,)4324f x x x x x x x x x x =−+−+−对应的对称矩阵是110142023A −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−−⎝⎭_________________．18.3023111110560122−−−−−的代数余子式之和31323334A A A A +++= 0 .19. 设n 阶矩阵A 满足02A 2=−−E A ，则1)3(A −−E =2A E +−.20. 设A 是4阶方阵，4A =−，则*A =-64.21. 向量(2,2,3),(3,3,)T T t αβ=−=−−与正交，则t = 0 .22. 二次型22123131223(,,)224f x x x x x x x x x =++−对应的对称矩阵是110102022A ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭．复习题之计算题1a ．设3111131111311113A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 122212221B ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭．（1）计算矩阵A 的行列式．（2）求矩阵B 的逆． 1a.(1)解：=D 31111311113111136111631161316113=11111311611311113=11110200600200002==48.(2).解：()122100************A E ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭122100036210063201⎛⎫⎪→−−− ⎪ ⎪−−−⎝⎭122100036210009221⎛⎫ ⎪→−−− ⎪ ⎪−⎝⎭12211021012033221001999⎛⎫ ⎪⎪→− ⎪⎪ ⎪−⎝⎭122100999212010999221001999⎛⎫⎪ ⎪→− ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭ 从而有112212129221A −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭。

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线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。

1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。

x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。

4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。

5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。

二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且矩阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。

a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。

2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。

线性代数期末测试题及其答案

线性代数期末考试题一、填空题将正确答案填在题中横线上;每小题5分,共25分1. 若022150131=---x ,则=χ__________; 2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 ;3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，,满足CB AC =,则A 与B 分别是阶矩阵;4．已知矩阵A 为3⨯3的矩阵,且3||=A ,则=|2|A ;5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A ;二、选择题每小题5分,共25分6．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时,该二次型为正定A.054<<-tB.5454<<-tC.540<<tD.2154-<<-t7．已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,求x 的值A.3B.-2C.5D.-58．设A 为n 阶可逆矩阵,则下述说法不正确的是 A. 0≠A B. 01≠-A C.n A r =)( D.A 的行向量组线性相关9．过点0,2,4且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为 A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x10．已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1513A ,其特征值为 A.4,221==λλ B.4,221-=-=λλ C.4,221=-=λλ D.4,221-==λλ三、解答题每小题10分,共50分11.设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2000120031204312C 且矩阵X 满足关系式EX B C T=-)(, 求X ;12.问a 取何值时,下列向量组线性相关 123112211,,221122a a a ααα⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-==- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭;13. λ为何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解,无解和有无穷多解当方程组有无穷多解时求其通解;14. 设.77103 ,1301 ,3192 ,01414321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααα 求此向量组的秩和一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示;15.证明：若A 是n 阶方阵,且，I AA =T，1-=A 证明 0=+I A ;其中I 为单位矩阵线性代数期末考试题答案一、填空题 1. 5.解析:采用对角线法则,由002)5(03)2(51=----++-⨯⨯x x 有5=x . 考查知识点:行列式的计算. 难度系数:2.1≠λ.解析:由现行方程组有)1(22211111111-=-+==λλλλλD ,要使该现行方程组只有零解,则0≠D ,即1≠λ.考查知识点:线性方程组的求解难度系数: 3.n n s s ⨯⨯，解析;由题可知ns ij c C ⨯=)(,则设D CB AC ==,可知D 的行数与A 一致,列数与B 一致,且A 与B 均为方阵,所以A 为s s ⨯阶矩阵,B 为n n ⨯阶矩阵.考查知识点:n 阶矩阵的性质难度系数:4. 24解析:由题可知,A 为3阶矩阵且3=A ,则24223==A A .考查知识点:矩阵的运算难度系数:5. E A 3-解析:由032=--E A A 有E E A A =-)3(,此时E A A 31-=-.考查知识点:求解矩阵的逆矩阵难度系数:二、选择题 6. A解析：由题可知,该二次型矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5212111t t ,而0455212111,0111,1122>--=-->-=>t t t t t t t,可解得054<<-t ;此时,该二次型正定;考查知识点:二次型正定的判断难度系数7. C解析：由矩阵特征值性质有1-3+3=1+x+5,可解得x=-5; 考查知识点:n 阶矩阵特征值的性质难度系数: 8. D解析：由题可知,A 为n 阶可逆矩阵,则A 的行向量组线性无关; 考查知识点:n 阶可逆矩阵的性质难度系数:9. A.解析：由题可知,两平面法向量分别为)3,1,0(),2,0,1(21-==n n ,则所求直线的方向向量为k j i n n s ++-=⨯=3221;所以所求直线为14322-=-=-z y x ; 考查知识点:求空间平面交线平行的直线方程难度系数:10. C.解析：由08215132=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-λλλλλE A ,可解得特征值为4,221=-=λλ 考查知识点:求解矩阵的特征值难度系数:三、解答题11. 解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=------121012100120001][1210012100120001][1234012300120001100021003210432111)()()(B C B C B C TT T E X B C ，，考查知识点:矩阵方程的运算求解难度系数:12.解：)22()12(81212121212121||2321-+=------==a a a a aa a a A ，，当||A =0时即21-=a 或1=a 时,向量组321a a a ，，线性相关;考查知识点:向量组的线性相关性难度系数:13.解：①当1≠λ且2-≠λ时,方程组有唯一解；②当2-=λ时方程组无解③当1=λ时,有无穷多组解,通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=X 10101100221c c 考查知识点:线性方程组的求解难度系数:14.解：由题可知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------==0000110020102001131300161600241031217130104302410312171307311100943121)(4321a a a a A ，，，则()34321=a a a a r ，，，,其中321a a a ，，构成极大无关组,且线性关系为 321422a a a a ++-=考查知识点:向量组的秩与最大无关组难度系数:15.证明：由题可知,()()A I TA I A I A AA A I A TT+-=+-=+=+=+∴()02=+A I ,即()0=+A I 考查知识点:n 阶方阵的性质难度系数:。

线性代数期末复习题

线性代数期末复习题《线性代数》综合复习题⼀、单项选择题：1、若三阶⾏列式D 的第三⾏的元素依次为1、2、3，它们的余⼦式分别为4、2、1，则D =（）(A)－3 (B) 3 (C) －11 (D) 112、设123,,ααα是三阶⽅阵A 的列向量组，且齐次线性⽅程组AX =O 仅有零解，则（）(A) 1α可由23,αα线性表⽰ (B) 2α可由13,αα线性表⽰ (C) 3α可由12,αα线性表⽰ (D) 以上说法都不对3、设A 为n(n ≥2)阶⽅阵，且A 的⾏列式|A |=a ≠0，A *为A 的伴随矩阵，则| 3A * | 等于（）(A) 3n a (B) 3a n -1(C) 3n a n -1 (D) 3a n4、设A =333231232221131211a a aa a a a a a , B =????? ??+++133311311232232122131112a a a a a a a a a a a a ,????? ??=1000010101P ,????=1010100012P ，则有（）(A) B AP P =12 (B) B AP P =21 (C) B A P P =21 (D) B A P P =12 5、设A 是正交矩阵，则下列结论错误．．的是（） (A) |A |2必为1 (B) |A |必为1 (C) A -1=A T (D) A 的⾏向量组是正交单位向量组 6、设A 是n 阶⽅阵，且O E A A =+-232，则（）(A) 1和2必是A 的特征值 (B) 若,2E A ≠则E A =(C) 若,E A ≠则E A 2= (D) 若1不是A 的特征值，则E A 2=7、设矩阵210120001A ??=，矩阵B 满⾜2ABA BA E **=+，其中E 为三阶单位矩阵，A *为A 的伴随矩阵，则B = （A ）13；（B ）19；（C ）14；（D ）13。

线性代数复习题

,
2 )T 3
，= α 2
(
2 3
,
1 3
,
−
2 )T 3
，α=3
( 2 , − 2 , 1)T 是 R3 的一组标准正 3 33
交基，则向量 β = (1,1,1)T 在这组基下的坐标为
.
28．设矩阵 A 的特征多项式 λE − A = (λ + 1)(λ + 5)(λ + 7) ，则 A−1 = __ _ .
A.
r
(α1
,
α
2
,
,
α
r）≥
r(β1,
β
2
,
,
βs )
B. r ≥ s
C. r(α1,α2 ,,αr）≤ r(β1, β2 ,, βs )
D. r ≤ s
14．设α1 , α2 是非齐次线性方程组 AX = b 的两个解，则下列仍为线性方程组 AX = b 的解的
（
）.
A. α1 + α2 B. α1 − α2
3.
已知向量组 α1
=
−421,α
2
=
3 1 2
,α
3
=
−5 3 6
,
α
4
=
−2 2 0
,α
5
=
−8611,
.求向量组的秩
和一个极大线性无关组；将其余向量用所求的极大线性无关组线性表示.
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = a
4.
已知线性方程组
3x1
+2 x2
− 1
1
β1 = 1 ， β 2 = 1 ，则 AX = b 的全部解可表示为

线性代数期末复习题

线性代数复习题一、判断题 (正确在括号里打√，错误打×)1. 把三阶行列式的第一列减去第二列，同时把第二列减去第一列，这样得到的新行列式与原行列式相等，亦即333332222211111333222111------=c a b b a c a b b a c a b b a c b a c b a c b a . ( ) 2. 假设一个行列式等于零，则它必有一行〔列〕元素全为零，或有两行〔列〕完全一样，或有两行〔列〕元素成比例. () 3. 假设行列式D 中每个元素都大于零，则D > 0. () 4. 设C B A ,,都是n 阶矩阵，且E ABC =，则E CAB =. () 5. 假设矩阵A 的秩为r ，则A 的r －1阶子式不会全为零. () 6. 假设矩阵A 与矩阵B 等价，则矩阵的秩R (A )=R (B ). () 7. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合. () 8. 假设向量组s ααα,...,,21线性相关，则1α一定可由s αα,...,2线性表示. () 9. 向量组s ααα,...,,21中，假设1α与s α对应分量成比例，则向量组s ααα,...,,21线性相关. () 10. )3(,...,,21≥s s ααα线性无关的充要条件是：该向量组中任意两个向量都线性无关. () 11. 当齐次线性方程组的方程个数少于未知量个数时，此齐次线性方程一定有非零解. () 12. 齐次线性方程组一定有解. ()13. 假设λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-λ为1-A 的特征值. () 14. 方程组()A λ-=E x 0的解向量都是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量. () 15. n 阶方阵A 有n 个不同特征值是A 可以相似于对角矩阵的充分条件. () 16. 假设矩阵A 与矩阵B 相似，则R R =A B ()(). () 二、单项选择题 1.设行列式,,2123121322211211n a a a a m a a a a ==则行列式=++232221131211a a a a a a ()2. 行列式701215683的元素21a 的代数余子式21A 的值为 ( )3.四阶行列式111111111111101-------x 中*的一次项系数为 ( )4. 设,..................... ,......... (112)11,12,11,12122122221112111nnn n n nn n n nnn n n n a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D ---==则D 2与D 1的关系是 ( )5.n 阶行列式a b b a bab a D n 0000000000=的值为 ( )6. ,1002103211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-A 则=*A ( )7. 设A 是n 阶方阵且5=A ，则=-1T )5(A ( )8. 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵)(n m ≠，则以下运算结果是m 阶方阵的是 ( ) 9. A 和B 均为n 阶方阵，且2222)(B AB A B A ++=+，则必有 ( )10. 设A 、B 均为n 阶方阵，满足等式O AB =，则必有 ( ) 11. 设A 是方阵，假设有矩阵关系式AC AB =，则必有 ( ) 12. 方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=133312321131131211232221333231232221131211,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a B A ，以及初等变换矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101010001 ,10000101021P P ，则有 ( )13. 设A 、B 为n 阶对称阵且B 可逆，则以下矩阵中为对称阵的是 ( ) 14. 设A 、B 均为n 阶方阵，下面结论正确的选项是 ( )(A) 假设A 、B 均可逆，则A +B 可逆 (B) 假设A 、B 均可逆，则AB 可逆 (C) 假设A+B 均可逆，则A －B 可逆 (D) 假设A +B 可逆，则A 、B 均可逆15. 以下结论正确的选项是 ( )(A) 降秩矩阵经过假设干次初等变换可以化为满秩矩阵 (B) 满秩矩阵经过假设干次初等变换可以化为降秩矩阵 (C) 非奇异阵等价于单位阵 (D) 奇异阵等价于单位阵16. 设矩阵A 的秩为r ，则A 中 ( )(A) 所有r －1阶子式都不为0 (B) 所有r －1阶子式全为0 (C) 至少有一个r 阶子式不为0(D) 所有r 阶子式都不为017. 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，且ABC = E ，以下式子(1) BCA = E ， (2) BAC = E ， (3) CAB = E ， (4) CBA = E 中，一定成立的是 ( ) (A) (1) (3)(B) (2) (3)(C) (1) (4)(D) (2) (4)18. 设A 是n 阶方阵，且O A =s (s 为正整数)，则1)(--A E 等于 ( )19. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=412101213A ，*A 是A 的伴随矩阵，则*A 中位于(1, 2)的元素是 ( ) (A) －6 (B) 6 (C) 2 (D) －220. A 为三阶方阵，R (A ) = 1，则 ( )21. 43⨯矩阵A 的行向量组线性无关，则矩阵A T的秩等于 ( )(A) 1(B) 2(C) 3(D) 422. 设两个向量组s ααα ..., , ,21和s βββ ..., , ,21均线性无关，则 ( )(A) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21使得0=+++s s αααλλλ... 2211和0=+++s s βββλλλ (2211)(B) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21使得 (C) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21使得(D) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21和不全为0的数s μμμ ..., , ,21使得0=+++s s αααλλλ... 2211和0=+++s s βββμμμ (2211)23. 设有4维向量组621 ..., , ,ααα，则 ( )(A) 621 ..., , ,ααα中至少有两个向量能由其余向量线性表示 (B) 621 ..., , ,ααα线性无关 (C) 621 ..., , ,ααα的秩为4 (D) 上述说法都不对24. 设321 , ,ααα线性无关，则下面向量组一定线性无关的是 ( ) 25. n 维向量组)3( ..., , ,21n s s ≤≤ααα线性无关的充要条件是 ( )(A) s ααα ..., , ,21中任意两个向量都线性无关(B) s ααα ..., , ,21中存在一个向量不能用其余向量线性表示(C) s ααα ..., , ,21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 (D) s ααα ..., , ,21中不含零向量 26. 以下命题中正确的选项是 ( )(A) 任意n 个n +1维向量线性相关 (B) 任意n 个n +1维向量线性无关 (C) 任意n +1个n 维向量线性相关(D) 任意n +1个n 维向量线性无关27. 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0......0...0...221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的系数行列式D =0，则此方程组 ( )(A) 一定有唯一解 (B) 一定有无穷多解 (C) 一定无解(D) 不能确定是否有解28. 非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (22112)222212111212111的系数行列式D =0，把D 的第一列换成常数项得到的行列式01≠D ，则此方程组 ( )(A) 一定有唯一解 (B) 一定有无穷多解 (C) 一定无解(D) 不能确定是否有解29. A 为n m ⨯矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是 ( )(A) A 的列向量线性无关 (B) A 的列向量线性相关 (C) A 的行向量线性无关(D) A 的行向量线性相关30. A 为n m ⨯矩阵，且方程组b Ax =有唯一解，则必有 ( ) 31. n 阶方阵A 不可逆，则必有 ( )n R <)( )A (A 1)( )B (-=n R A 0=A )C ((D) 方程组0=Ax 只有零解32. n 元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵的秩为n +1，则此方程组 ( )(A) 有唯一解(B) 有无穷多解(C) 无解(D) 不能确定其解的数量33. 21 ,ηη是非齐次线性方程组b Ax =的任意两个解，则以下结论错误的选项是 ( )(A) 21ηη+是0=Ax 的一个解 (B) )(2121ηη+是b Ax =的一个解(C) 21ηη-是0=Ax 的一个解(D) 212ηη-是b Ax =的一个解34. 假设4321 , , ,v v v v 是线性方程组0=Ax 的根底解系，则4321v v v v +++是该方程组的 ( )(A) 解向量(B) 根底解系(C) 通解(D) A 的行向量35. 假设η是线性方程组b Ax =的解，ξ是方程0=Ax 的解，则以下选项中是方程b Ax =的解的是 ( ) (C 为任意常数)36. n m ⨯矩阵A 的秩为1-n ，21 ,αα是齐次线性方程组0=Ax 的任意两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0=Ax 的通解为 ( ) 37. n 阶方阵A 为奇异矩阵的充要条件是 ( )(A) A 的秩小于n 0 )B (≠A (C) A 的特征值都等于零(D)A 的特征值都不等于零38. A 为三阶方阵，E 为三阶单位阵，A 的三个特征值分别为3 ,2 ,1-，则以下矩阵中是可逆矩阵的是 ( )39. 21 ,λλ是n 阶方阵A 的两个不同特征值，对应的特征向量分别为21 ,ξξ，则 ( )(A) 1ξ和2ξ线性相关 (B) 1ξ和2ξ线性无关 (C) 1ξ和2ξ正交(D) 1ξ和2ξ的积等于零40. A 是一个)3( ≥n 阶方阵，以下表达中正确的选项是 ( )(A) 假设存在数λ和向量α使得αA αλ=，则α是A 的属于特征值λ的特征值 (B) 假设存在数λ和非零向量α使得0=-αA E )(λ，则λ是A 的特征值 (C) A 的两个不同特征值可以有同一个特征向量(D) 假设321 , ,λλλ是A 的三个互不一样的特征值，321 , ,ααα分别是相应的特征向量，则 321 , ,ααα有可能线性相关41. 0λ是矩阵A 的特征方程的三重根，A 的属于0λ的线性无关的特征向量的个数为k ，则必有 ( )42. 矩阵A 与B 相似，则以下说法不正确的选项是 ( )(A) R (A ) = R (B ) (B) A = BB A = )C ((D) A 与B 有一样的特征值43. n 阶方阵A 具有n 个线性无关的特征向量是A 与对角阵相似的 ( )(A) 充分条件(B) 必要条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件44. n 阶方阵A 是正交矩阵的充要条件是 ( )(A) A 相似于单位矩阵E (B) A 的n 个列向量都是单位向量 (C) 1T -=A A(D)A 的n 个列向量是一个正交向量组45. A 是正交矩阵，则以下结论错误的选项是 ( )1 )A (2=A A )B (必为1T 1 )C (A A =-(D) A 的行(列)向量组是单位正交组46. n 阶方阵A 是实对称矩阵，则 ( )(A) A 相似于单位矩阵E (B) A 相似于对角矩阵T 1 )C (A A =-(D) A 的n 个列向量是一个正交向量组47. A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，AC C B T =，则 ( )(A) A 与B 相似(B) A 与B 不等价 (C) A 与B 有一样的特征值(D) A 与B 合同三、填空题1. 44513231a a a a a k i 是五阶行列式中的一项且带正号，则i = ，k = .2. 三阶行列式987654321=D ，ij A 表示元素ij a 对应的代数余子式，则与232221cA bA aA ++ 对应的三阶行列式为.3. 022150131=---x ，则* = . 4. A ，B 均为n 阶方阵，且0 ,0≠=≠=b a B A ，则=T )2(B A ，=-121AB . 5. A 是四阶方阵，且31=A ，则=-1A ，=--1*43A A . 6. 三阶矩阵A 的三个特征值分别为123-,,，则=---*134A A . 7. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=232221131211a a aa a a A ，B 是方阵，且AB 有意义，则B 是阶矩阵，AB 是行列矩阵.8. 矩阵n s ij c ⨯=)( , ,C B A ，满足CB AC =，则A 与B 分别是，阶矩阵. 9. 可逆矩阵A 满足O E A A =--22，则=-1A .10. T 3T 2T 1)2 ,3 ,1( ,) ,0 ,( ,)1 ,1 ,1(===αααy x ，假设321 , ,ααα线性相关，则*，y 满足关系式.11. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性关. 12. 一个非齐次线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大.13. 设A 是43⨯矩阵，3)(=A R ，假设21 ,ηη为非齐次线性方程组b Ax =的两个不同的解，则该方程的通解为.14. A 是n m ⨯矩阵，)( )(n r R <=A ，则齐次线性方程组0=Ax 的一个根底解系中含有解的个数为.15. 方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+32121232121321x x x a a 无解，则a =.16. 假设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213211x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ需要满足.17. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=50413102x A 可相似对角化，则* =.18. 向量α、β的长度依次为2和3，则向量积[, ]+-=αβαβ. 19. 向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=324 ,201b a ，c 与a 正交，且c a b +=λ，则=λ，c =.20. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111x 为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b aA 的特征向量，则a =，b =. 21. 三阶矩阵A 的行列式8=A ，且有两个特征值1-和4，则第三个特征值为.22. 设实二次型),,,,(54321x x x x x f 的秩为4，正惯性指数为3，则其规形),,,,(54321z z z z z f 为.23. 二次型233221321342),,(x x x x x x x x f +-=的矩阵为.24. 二次型),,(z y x f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--050532021，则此二次型=),,(z y x f .25. 二次型31212322213212232),,(x x x x tx x x x x x f ++++=是正定的，则t 要满足. 四、行列式计算1. A ，B 为三阶方阵，2 ,1-==B A ，求行列式A AB 1*)2(-.2. 行列式219221612132402-----=D ，求4131211145A A A A ++-.3. 计算n 阶行列式2...010 (201) (02)=n D ，其中主对角线上的元素都是2，另外两个角落的元素是1，其它元素都是0.4. 计算n 阶行列式xaa a xa a ax D n .........=.5. 计算n 阶行列式21...00000 (2100)0 (1)2100...012 =n D .6. 计算行列式dx c b ad c x b a d c b x a d c b ax ++++.7. 计算行列式yy x xD -+-+=1111111111111111.8. 计算行列式3......3 (32)12121+++=n n n n x x x x x x x x x D .五、矩阵计算1. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=042132 ,121043021B A ，求 (1)T AB ；(2)14-A .2. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=115202 ,212241222B A ，且X B AX +=，求*.3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101020102A ，B 均为三阶方阵，E 为三阶单位阵，且B A E AB +=+2，求B .4. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2000120031204312 ,1000110001100011C B ，E 为四阶单位阵，且矩阵*满足关系式E B C X =-T )(，求*.5. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=310021 ,110162031B A ，且B XA =，求*.6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ，问：当k 取何值时，有 (1)1)(=A R ；(2)2)(=A R ；(3)3)(=A R .六、向量组的线性相关性及计算1. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1325 ,3214 ,2143 ,21114321αααα，求向量组4321 , , ,αααα的秩和一个最大线性无关向量组，并判断4321 , , ,αααα是线性相关还是线性无关.2. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=77103 ,1301 ,3192 ,01414321αααα，求此向量组的秩和一个最大无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示.3. 当a 取何值时，向量组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a a 2121 ,2121 ,2121321ααα线性相关？4. 将向量组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=014 ,131 ,121321ααα规正交化.七、线性方程组的解1. 给定向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=9410 ,1203 ,4231 ,30124321αααα，试判断4α是否为321 , ,ααα的线性组合；假设是，则求出线性表达式.2. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x .3. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x .4. 当k 满足什么条件时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=++022232212321321x k x x k kx x x kx x x 有唯一解，无解，有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解.5. 当k 满足什么条件时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++=+-+2)1(2221)1(321321321kx x k kx x kx kx x x k kx 有唯一解，无解，有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解.6. 非齐次线性方程组b Ax =为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++bx x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 543215432543215432133453622 3232，问：当a 、b 取何值时，方程组b Ax =有无穷多个解？并求出该方程组的通解.7. 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x a x x ax x x x x x 与方程12321-=++a x x x 有公共解，求a 的值.8. 设四元非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵A 的秩为3，321 , ,ηηη是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+432132ηη，求该方程组的通解.9. 设非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵()b A A =，A 经过初等行变换为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→300001311021011λA ，则 (1) 求对应的齐次线性方程组0=Ax 的一个根底解系； (2) λ取何值时，方程组b Ax =有解？并求出通解.八、方阵的特征值与特征向量1. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10000002 ,10100002y x B A ，假设方阵A 与B 相似，求*、y 的值.2. 设方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210010000010010y A 的一个特征值为3，求y 的值. 3. 三阶方阵A 的特征值为1、2、3-，求行列式E A A 231++-的值.4. 求方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314020112A 的特征值与对应的特征向量.5. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011101110A ，求可逆矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵.6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A ，求正交矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵.7. 矩阵110430102-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A , 判断是否存在一个正交矩阵P , 使得1-=P AP Λ为对角矩阵. 8. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=342432220A 的特征值为1、1、8-，求正交矩阵P ，使得AP P 1-为对角阵. 九、二次型1. 当t 取何值时，32312123222132142244),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=为正定二次型？ 2. 求一个正交变换把二次型123122331(,,)222f x x x x x x x x x =++化成标准形.十、证明题1. 向量组r ααα ..., , ,21线性无关，而r r αααβααβαβ+++=+==... ..., , ,2121211，证明：向量组r βββ ..., , ,21线性无关.2. 设A 、B 都是n 阶对称阵，证明：AB 是对称阵的充要条件是AB = BA .3. 方阵A 满足O E A A =--1032，证明：A 与E A 4-都是可逆矩阵，并求出它们的逆矩阵.4. 设A 、B 为n 阶对称阵，且B 是可逆矩阵，证明：A B AB 11--+是对称阵.5. 设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：1*-=n A A .6. 向量b 可由向量组321 , ,a a a 线性表示且表达式唯一，证明：321 , ,a a a 线性无关.7. 设321 , ,ααα是n 阶方阵A 的三个特征向量，它们的特征值互不相等，记321αααβ++=，证明：β不是A 的特征向量.8. 向量组321 , ,a a a 线性无关，3133222114 ,3 ,2a a b a a b a a b +=+=+=，证明：向量组321 , ,b b b线性无关.9. 设0η是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21 ,ξξ是对应的线性方程组0=Ax 的一个根底解系，证明：(1) 101202, ==++ηηξηηξ都是b Ax =的解；(2) 210 , ,ηηη线性无关.10. A 是n 阶方阵，E 是n 阶单位阵，E A +可逆，且1))(()(-+-=A E A E A f ，证明：(1) E A E A E 2)))(((=++f ；(2) A A =))((f f .11. 设方阵A 与B 相似，证明：T A 与T B 相似.12. 方阵A 、B 都是正定阵，证明：B A +也是正定阵.13. 设n 阶行列式n D 的元素满足n j i a a ji ij ..., ,2 ,1 , ,=-=，证明：当n 为奇数时0=n D .14. A 为正交阵，k 为实数，证明：假设A k 也是正交阵，则1±=k .15. 设A 、B 均为n 阶正交矩阵，证明：(1) 矩阵AB 是正交阵；(2) 矩阵1-AB 是正交阵.16. 假设A 是n 阶方阵，且T =AA E ，| A | =－1，这里E 为单位阵. 证明：| A +E | = 0.。

线性代数期末考试题及答案

《线性代数》期末考试题及答案一、单项选择题(每小题3分，共24分).1.设行列式1112132122233132331a a a a a a a a a =，则111112132121222331313233234234234a a a a a a a a a a a a --=-( ). A. 6； B. -6； C. 8； D. -8.2.设B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则下列一定成立的是( ).A. 0A =或0B =；B. 0A =且0B =；C. 0=A 或0=B ；D. 0=A 且0=B .3.设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列各式中不正确．．．的是( ). A. ()T T T A B A B +=+； B . 111()A B A B ---+=+； C. 111()AB B A ---= ； D. ()T T T AB B A =.4.设12,αα是非齐次线性方程组Ax b =的解，是β对应的齐次方程组0Ax =的解，则Ax b =必有一个解是( ).A ．21α+α；B ．21α-α；C ． 21α+α+β ；D ．121122βαα++.5.齐次线性方程组123234 020x x x x x x ++=⎧⎨--=⎩的基础解系所含解向量的个数为( ).A. 1；B. 2；C. 3；D. 4. 6.向量组12,,αα…,s α(2)s ≥线性无关的充分必要条件是( ).A. 12,,αα…,s α都不是零向量；B. 12,,αα…,s α任意两个向量的分量不成比例；C. 12,,αα…,s α每一个向量均不可由其余向量线性表示；D. 12,,αα…,s α至少有一个向量不可由其余向量线性表示. 7.若( )，则A 相似于B .A. A B = ； B . 秩(A )=秩(B )；C. A 与B 有相同的特征多项式；D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值，且n 个特征值各不相同. 8.正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( )必成立.A. A 的所有顺序主子式为非负数；B. A 的所有顺序主子式大于零；C. A 的所有特征值为非负数；D. A 的所有特征值互不相同.二、填空题(每小题3分，共18分)1.设3阶矩阵100220333A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 为A 的伴随矩阵，则*A A =_____________.2.1111n⎛⎫⎪⎝⎭=__________________(n 为正整数). 3.设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且det()0A ad bc =-≠，则1A -=________________.4.已知4阶方阵A 的秩为2，则秩(*A )=_________________.5.已知向量组123(1,3,1),(0,1,1),(1,4,)a a a k ===线性相关,则k =____________.6.3阶方阵A 的特征值分别为1，-2，3，则1A -的特征值为_________.三、计算题(10分，共44分)1.(7分)计算行列式01231000100001x x a a a a ---2.(7分)设矩阵121348412363A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，问a 为何值时，(1) 秩(A )=1； (2) 秩(A )=2.3.(15分)给定向量组12103a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，21324a ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，33021a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭=，40149a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，试判断4a 是否为123,,a a a 的线性组合；若是，则求出组合系数4.(15分)λ取何实值时，线性方程组12233414x x x x x x x x λλλλλλλλ-=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-+=⎩有唯一解、无穷多解、无解？在有无穷多解的情况求通解。

《线性代数》期末考试复习题

《线性代数》复习题一一、单项选择题⒈已知11122122b b b b =2，则11122111221222b b b b b b -- =( )A.0B.1C.2D.4⒉行列式1 02 1中元素12a 的代数余子式为（）A.0B.1C.2D.-2⒊已知A=a b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭ d ,则*A =（） A.⎛⎫⎪⎝⎭d -b -c a B.⎛⎫⎪⎝⎭d c b a C.⎛⎫⎪⎝⎭a cb d D.⎛⎫⎪⎝⎭-a c b -d ⒋E 为三阶单位矩阵，E=(,,εεε123)则下列错误的是（）A. ,,εεε123为3R 中的一组基。

B. ,,εεε123两两正交。

C. ,,εεε123线性无关。

D.j T i εε =1 （i j ≠）⒌若β可被1s αα线性表示，则下列各式一定成立的有（）A.11,s βαα线性无关。

B. 11,s βαα线性相关。

C. 1s αα线性相关。

D.β一定是零向量。

⒍有m 个方程组成的n 元齐次线性方程组AX=0仅有零解，则（） A.()()r A r A ≠。

B.()r A n =。

C.det 0A ≠。

D.()0r A =。

⒎若向量(1,1,1)(2,5,)k αβ=-=-、,若0=βαT ，则k=( ) A.3B.2C.-3D.-7⒏若B A ~，则下列各式不完全正确的是 ( )A.det det A B =B.det det T A B =C.1det det A B -=D.det det T A B =⒐若n 阶矩阵A 合同于B ，则（） A. 存在n 阶可逆矩阵p 使得T p Ap B =。

B. B A ~ C. detA=detBD. A 与B 有相同的特征值⒑二次型222221121...),...,,(n n n x d x d x d x x x f +++=为正定二次型的充分必要条件是（）A.0(1,2)i d i n <=B.二次型矩阵A 可逆C.detA=0D. 0(1)i d i n >=二.填空题⒈已知p 为n 阶初等矩阵，A 为n 阶可逆矩阵，则r(PA)=_________。

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《线性代数》综合复习题一、单项选择题：1、若三阶行列式D 的第三行的元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为4、2、1，则D =（）(A)－3 (B) 3 (C) －11 (D) 112、设123,,ααα是三阶方阵A 的列向量组，且齐次线性方程组AX =O 仅有零解，则（）(A) 1α可由23,αα线性表示 (B) 2α可由13,αα线性表示 (C) 3α可由12,αα线性表示 (D) 以上说法都不对3、设A 为n(n ≥2)阶方阵，且A 的行列式|A |=a ≠0，A *为A 的伴随矩阵，则| 3A * | 等于（）(A) 3n a (B) 3a n -1(C) 3n a n -1 (D) 3a n4、设A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a , B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++133311311232232122131112a a a a a a a a a a a a ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010100012P ，则有（）(A) B AP P =12 (B) B AP P =21 (C) B A P P =21 (D) B A P P =12 5、设A 是正交矩阵，则下列结论错误．．的是（） (A) |A |2必为1 (B) |A |必为1 (C) A -1=A T (D) A 的行向量组是正交单位向量组 6、设A 是n 阶方阵，且O E A A =+-232，则（）(A) 1和2必是A 的特征值 (B) 若,2E A ≠则E A =(C) 若,E A ≠则E A 2= (D) 若1不是A 的特征值，则E A 2=7、设矩阵210120001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B 满足2ABA BA E **=+，其中E 为三阶单位矩阵，A *为A 的伴随矩阵，则B = （A ）13；（B ）19；（C ）14；（D ）13。

8、下列命题中，错误的是(A) 若1110,,,n n n k k αααα++=且线性无关，则常数1,,n k k 必全为零 (B) 若1110,,,n n n k k αααα++=且线性无关，则常数1,,n k k 必不全为零(C) 若对任何不全为零的数1,,n k k ，都有1110,,,n n n k k αααα++≠则线性无关(D) 若1,,n αα线性相关，则必存在无穷多组不全为零的数1,,n k k ，使110n n k k αα++=9、设A =311201112-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭，则向量是A 的属于特征值2=λ的一个特征向量。

（A ）T，)1,01(；（B ）T，)1,01(-；（C ）T，)0,11(；（D ）T，)1,10(10、设矩阵10102102,()03110244A r A *⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪-- ⎪⎝⎭则⎽⎽⎽⎽ ⎽⎽⎽⎽ 。

（A ）0；（B ）3；（C ）1；（D ）4。

11、已知三阶可逆方阵A 的特征值是1，2，-3，则E+1A -的特征值是( )。

（其中E 为三阶单位矩阵）（A ）1，23，32; （B ）2，32，23; （C ）2，23，15；（D ）23，32，54. 答应选（B ）12、设n 阶方阵A 满足A2+A-4E=0，其中E 为n 阶单位矩阵，则1()A E --=( )。

（A ）1(2)2A E -；（B ）1(2)2A E +；（C ）1(2)4A E +；（D ）1(2)2A E -+ 13方程组1234123134124234131212510x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪--=⎪⎨++=-⎪⎪+-=⎩的解是（）111122223333444411112122()()()(D)00001121x x x x x x x x A B C x x x x x x x x ====-⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪==-==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨====⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-=-=-=⎩⎩⎩⎩ 14 行列式0010020010000n nn-的值是（）。

(1)(2)(1)(1)(2)(2)(3)2222()(1)!()(1)!()(1)!(D)(1)!n n n n n n n n A n B n C n n +----------15、设A 是三阶矩阵，将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第二列加到第三列得C ，则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为（）。

（A ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010；（B ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010；（C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010；（D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110。

16、设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（）。

（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关；（B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关；（C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关；（D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。

17、设λ=2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵（31A 2）-1有一个特征值等于（）。

（A ）34；（B ）43；（C ）21；（D ）41。

18、任一个n 阶矩阵，都存在对角矩阵与它（）。

（A ）合同；（B ）相似；（C ）等价；（D ）以上都不对。

二、判断题：判断结果填在题号后的括号内，正确√，错误×。

1( )、向量组α1,α2,α3,α4，如果其中任意两个向量都线性无关，则α1,α2,α3,α4线性无关。

2( )、设A 、B 为同阶可逆矩阵，则(A +B )-1=A -1+ B -1。

3( )、对任意n 阶方阵C B A ,,，若AC AB =，则一定有C B =。

4( )、齐次线性方程组⎩⎨⎧=+=++0032321x x x x x 的解空间的维数是1。

5( )、设可逆矩阵A 有一个特征值为 λ，则1-A 必有一个特征值 -λ。

6( )、设A 、B 均为n 阶方阵，若B A >，则A 和B 一定不相似。

7( )、已知向量组123,,βββ可以由向量组123,,ααα线性表示：112321233123βαααβαααβααα=-+⎧⎪=+-⎨⎪=-++⎩ 则这两个向量组等价。

8( )、若n 阶矩阵A 与B 相似，则A 与B 同时可逆或同时不可逆。

三、填空题1、若三阶行列式1231122331232226a a a b a b a b a c c c ---=，则321321321a a ab b bc c c = 。

2、四阶方阵)(4321αααα=A ，其中α1,α2,α3,α4是四维列向量，且O ≠+++=4321ααααβ，则非齐次线性方程组β=AX 的一个解向量为。

3、设A 、B 是三阶方阵，E 是三阶单位阵，2=A 且O E AB A =++22，则=+B A 。

4、若A 及其伴随矩阵A *均为n (>2)阶非零矩阵，且AA *＝O ，则r (A *)=____ _____。

5、设三阶方阵A 的行列式|A |=8，已知A 有两个特征值-1和4，则还有一个特征值为 ______。

6、设A 为实对称矩阵，α1=(1,1,3)T 与α2=(3,2,t )T 分别是属于A 的不同特征值λ1与λ2的特征向量，则t = 。

7、二次型23222132142),,(x x x x x x f +-=的正惯性指数是。

8、与向量12(1,1,1),(2,1,0),T Tαα==都正交的一个单位向量是。

9 行列式121111211121222123132313212221211121111112111121()n n nn nn n n n nn n n n n n n n n nn n n n nn nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ------------=。

10、设矩阵2101020,,(101A X AX E A X E ⎛⎫⎪=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭矩阵满足其中为三阶单位矩阵），X =则矩阵（）。

11、线性方程组 12233441231x x a x x a x x a x x ⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪-=⎪⎩有解的充要条件是( )12、设二次型222123123121323(,,)44224f x x x x x x x x x x x x λ=+++-+，则当λ=（）时该而此型正定。

13、方程组1234123423412343225132222420x x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪-++=⎪⎨++=-⎪⎪-++=⎩的解是（）14、设行列式1123125215340111---=D ，则第二列各元素的代数余子式之和∑==412i i A。

15、设A 、B 为4阶方阵，且r （A ）=4，r （B ）=3，A 和B 的伴随矩阵为A B **和，r A B **=则（）（）16、若A=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-100021021b a 为正交矩阵，则a = ±21，b =21。

17、设A 为n 阶矩阵，且|A|≠0，A *为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵。

若A 有特征值λ，则2()A E*+必有特征值 1||2+⎪⎭⎫ ⎝⎛λA 。

四、计算题讨论a ，b 取何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-+=++=+4323310743232132132121ax x x b x x x x x x x x 无解、有唯一解、有无穷解，在有无穷多解时用其导出组的基础解系表示全部解。

五、计算题设 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=51143511021311352A ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32101124t B 1. (5分)求矩阵A 的秩r (A )，及A 的列向量组的一个极大无关组； 2. (5分)矩阵B 中元素t 取何值时B 可逆？六、计算题已知321,,ααα是3维向量空间的一组基，向量组321,,βββ满足3132322132131,,ααββααββαααββ+=++=+++=+（1）证明：321,,βββ是一组基。

（2）求由基321,,βββ到基321,,ααα的过渡矩阵。

（3）求向量3212αααα-+=关于基321,,βββ的坐标。

七、计算题求正交替换将二次型322322213212334),,(x x x x x x x x f +++=化为标准形，要求写出所用的正交替换及所得的标准形。