线性代数期末总复习

线性代数期末总复习第一章P3：定义1.3 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小次序相反，即前面的数大于后面的数，则称这对数为一个逆序；一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数．排列12n j j j 的逆序数记为12()n j j j τ.例1 排列 31542 的逆序数. 解 3排在首位，逆序数为0;1的前面比1大的数有一个数3，故逆序数为1; 5是最大数，逆序数为0;2的前面比2大的数有三个数3，5，4，故逆序数为3;4的前面比4大的数有一个数5，故逆序数为1，故这个排列的逆序数(31542)τ=0+1+0+3+1=5.P11：定义1.7 在n 级行列式det()ij a 中将元素ij a 所在的第 i 行与第 j 列划去，剩下2(1)n -个元素按原位置次序构成一个1n -级的行列式，111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1j jn i i j i ji n ij i i j i j i nn n j nj nna a aa a a a a M a a a a a a a a -+----+-++-+++-+=称之为元素ij a 的余子式．令(1)i j ij ij A M +=-, 称ij A 为元素ij a 的代数余子式．P15：例1.11 计算行列式.n a b b b ba b b d bb ab b bbba= 解 把n d 第二列加到第一列，行列式不变，再把第三列加到第一列,行列式也不变……直到第n 列也加到第一列， 即得12(1)(1)(1)nna n bb b a n ba b d c c c a n bba+-+-++++-((1))a n b =+-1111bb b a b b b a b bba((1))a nb =+-100000000b b b a b a b a b--- 1((1))()n a n b a b -=+--第二章：P40：定义2.12 如果存在F 上不全为零的数12,,,s k k k (1)s ≥使11220s s k k k ααα+++=, 则说向量组12,,,s ααα线性相关; 如果向量组12,,,s ααα不线性相关，则说向量组12,,,s ααα线性无关. 换句话说，对于一个向量组12,,,,s ααα若由11220s s k k k ααα+++=必有120s k k k ====,则说向量组12,,,s ααα线性无关.例2.4 判断向量组 123(1,2,3),(2,1,0),(1,7,9)ααα=-==-是否线性相关，若线性相关，求一组非零数123,,,k k k 使1122330.k k k ααα++=解 设1122330,k k k ααα++=即有方程组1231231320270390k k k k k k k k ++=⎧⎪-+-=⎨⎪+=⎩， 解之得13233,k k k k =-⎧⎨=⎩3k 为任意数令31,k =则有1233,1,1,k k k =-==使1122330.k k k ααα++=所以123,,ααα线性相关. 例2.5 已知向量组123,,ααα线性无关，向量112,βαα=+223,βαα=+331,βαα=+证明 123,,βββ线性无关.证明 设 1122330,x x x βββ++= 带入后合并，得131122233()()()0x x x x x x ααα+++++=由于123,,ααα线性无关，于是有131223000x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 解之得1230.x x x === 所以123,,βββ线性无关.p42：定义2.13 设12,,,s ααα为n F 中的一个向量组，它的一个部分组12,,,r i i i ααα若满足i) 12,,,r i i i ααα线性无关；ii) 对任意(1)j j s α≤≤可由12,,,r i i i ααα线性表出；则称12,,,r i i i ααα为向量组12,,,s ααα的一个极大线性无关组，简称为极大无关组.一般一个向量组有多个极大无关组. 只有当向量组本身线性无关或者是由线性无关向量组添加零向量组成的向量组时极大无关组才唯一.一个向量组和它的任一极大无关组等价，由等价的对称性和传递性，一个向量组的任意两个极大无关组都等价，由推论3.1可得推论2.3 两个线性无关的等价向量组必含相同个数的向量.定义2.14 向量组的极大无关组所含向量个数称为这个向量组的秩.因此,等价向量组必有相同的秩.由定义可得，一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量个数相同；即一个向量组线性相关的充要条件是它的秩＜它所含向量个数. 推论2.4 若向量组12,,,s ααα可经向量组12,,,t βββ线性表出，则秩12{,,,}s ααα≤秩12{,,,}t βββ如果我们用向量12(,,,,)i i i in i a a a b α=表示1122i i in n i a x a x a x b +++=1,2,,i s =，则与12,,,s ααα等价的向量组确定的线性方程组与原方程组同解.例4 设12(1,1,2,4),(0,3,1,2)αα=-=，3(3,0,7,14)α=，4(1,1,2,0)α=-5(2,1,5,6)α=， 1）证明 12,αα线性无关. 2）把12,αα扩充成一个极大无关组.解 1) 由于12,αα不成比例，12,αα∴线性无关.2) 由1122330,k k k ααα++= 即1312123123303027042140k k k k k k k k k k +=⎧⎪-+=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩解得132333,,k k k k k =-=-为自由未知量. 123,,ααα∴线性相关. 由1122340,k k k ααα++=即13123123120310220420k k k k k k k k k k +=⎧⎪-+-=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩解得 1230k k k ===, 124,,ααα线性无关，又5124αααα=++，1245,,,αααα线性相关，故124,,ααα为由12,αα扩充的一个极大无关组。

P43：定义2.15 设()1112112122221212n n n s s sn s a a a a a a A a a a ααβββα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这里12(,,,),(1,2,,)i i i in a a a i s α==12,(1,2,,)j j j sj a a j n a β⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 的行向量组12,,,s ααα的秩称为矩阵A 的行秩；A 的列向量组12,,,n βββ的秩称为矩阵A 的列秩.例1 矩阵132204060A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的行向量组中，2132ααα=+，A 的列向量组中，312ββ=，所以， A 的行秩=A 的列秩=2.P48：设有线性方程组111122*********1122n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a xa xb +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ (1)它的系数矩阵和增广矩阵分别为111212122212,n n s s sn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭11121121222212n n s s sn s a a a b a a a b A a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭定理 2.7 线性方程组(1)有解的充要条件是(1)的系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即()().R A R A =当 (1) 有解时，若()(),R A R A n ==则(1)有唯一解；若()()R A R A n =<则(1)有无穷多个解.P51：定义2.17 齐次线性方程组(1)一组解向量12,r ηηη,,,若满足 1） 12,r ηηη,,线性无关；2） (1) 的任一解向量可由12,r ηηη,,线性表出. 则称12,r ηηη,,为(1)的一个基础解系．定理2.8 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于n r -，其中n 是未知量的个数，().r R A = 证明 若()R A r n =<, 不妨设11121212221210,r r r rrra aa a a a a a a ≠则(1)可改写成11112211,11121122222,1121122,11r r r r n n r r r r n nr r rr r r r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x++++++++⋅⋅⋅+=---⎧⎪++⋅⋅⋅+=---⎪⎨⎪⎪++⋅⋅⋅+=---⎩ (2) 用n r -组数(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,,0,1)代入自由未知量12(,,,)r r n x x x ++,就得到(2)的n r -解，也即(1)的n r -个解 .111121221222--,1-,2-,(,,,,1,0,,0)(,,,,0,1,,0)(,,,,0,0,,1)r rn r n r n r n r r c c c c c c c c c ηηη=⎧⎪=⎪⎨⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎪⎪=⎩12,,,n-r ηηη是线性无关向量组的延伸组, 因而是线性无关的任取(1)的一个解12(,,,),n c c c η= 由12n r ηηη-,,,是(1)的解，得111(,,,,,,)r nnr r n c c c c ηη+-+++=***也为(1)的解，它与η的最后n r -个分量相同，即自由未知量的值相同，所以它们为同一个解．故11r n n r c c ηηη+-=++……,即η可由12,n r ηηη-,，线性表出.所以12,,,n-r ηηη为(1)的一个基础解系．推论2.7 任一线性无关的与(1)的某一基础解系等价的向量组都是(1)的基础解系． 证明 设12,,,t ηηη为(1)的一个基础解系，12,,,s ααα线性无关，且与12,,,t ηηη等价， 则,s t =且i α可由12,,,t ηηη线性表出，所以i α也为(1)的解向量(1,2,,).i t =任取(1)的一个解向量η,则η可由12t ηηη，，，线性表出，从而η可由12,t ααα,,线性表出. 所以12,t ααα,,也是(1)的基础解系.例1 若齐次线性方程组(1)的系数矩阵的秩为 r , 则(1)的任意 n －r 个线性无关的解向量都是(1)的基础解系． 证明 设12,,,,n r ηηη-为(1)的一个基础解系，12,,,n r ααα-为(1)的 n-r 个线性无关的解向量，考察向量组1212,,,,,,,n r n r ηηηααα--可知它的秩为n -r .1212,,,,n r n r ηηηααα--与,,都是向量组1212,,,,,,,n r n r ηηηααα--的极大无关组.1212,,,,n r n r ηηηααα--故与,,等价. 由推论3.7得结论.齐次线性方程组解的结构: 若12t ηηη,,,为齐次线性方程组(1)的一个基础解系，则(1)的通解（或一般解）为1122t t k k k ηηηη=+++,12t k k k F ∈,,,, 令1122{|,1,,}t t i W k k k k F i t ηηη=+++∈=,则W 就称为齐次线性方程组(1)的解空间．例2 求齐次线性方程组的基础解系．1234123412340253207730x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩ 解 对方程组的系数矩阵作初等行变换化阶梯阵111125327731A --⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭11110754014108--⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭111107540000--⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭3277547710010000--⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭原方程组的解为13423423775477x x x x x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩令341,0,x x ==得52177(,,1,0)η=,令340,1,x x ==得34277(,,0,1)η=,原方程的基础解系为12,.ηη求基础解系的一般方法第一步：对方程组(1)的系数矩阵A 作初等行变换，将A 化为行阶梯形矩阵．1,112,12,110001000100000000r n r n r r rn c c c c A c c +++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭初等行变换若前r 列线性相关，则可以作适当列交换，并记住交换的列.第二步：写出方程组(1)的一般解：11,11122,112,11r r n nr r n nr r r r rn nx c x c x x c x c x x c x c x ++++++=---⎧⎪=---⎪⎨⎪⎪=---⎩ 11,,,r r n x x x ++为自由未知量.第三步：用n r -组数(1,0,,0),(0,1,,0)代入自由未知量11(,,,)r r n x x x ++，得出方程组(1)的n r -个解：11,12,1,121,22,2,2-12(,,,,1,0,,0)(,,,,0,1,,0)(,,,,0,0,,1)r r r r r r r r n rn n rn c c c c c c c c c ηηη++++++=---⎧⎪=---⎪⎨⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎪⎪=---⎩ 向量组12n r ηηη-,,,即为方程组(1)的一个基础解系.例3 求齐次线性方程组的基础解系．1234123434022560x x x x x x x x +++=⎧⎨+++=⎩ 113411341102225600120012A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=→→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭322310120102x x c c ↔-⎛⎫−−−→ ⎪⎝⎭1243422x x x x x =-+⎧⎨=-⎩分别令 24(,)(1,0)x x =，24(,)(0,1)x x = 得到基础解系 (1,1,0,0)-，(2,0,2,1)- . 把线性方程组1111221211222221122n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a xa xb +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ (3)的常数项换成0, 就得到齐次线性方程组 (1) ,并称方程组 (1)为(3)的导出组．第三章P71：定义3.7 设A 为n 阶方阵，如果存在n 阶方阵B ，使得AB =BA =E ，则称A 为可逆矩阵，B 称为A 的逆矩阵.可逆矩阵A 的逆矩阵是唯一的，事实上，若AC =CA =E ，则 C =CE =C (AB )= (CA )B =EB =B A 的逆矩阵记作1.A -逆矩阵的唯一性是我们证明其它性质经常要用到的.定理3.2 1) 可逆矩阵A 的逆矩阵1A -是可逆的，且11()A A --= 2) 若A ，B 都可逆，则AB 可逆，且111()AB B A ---=证明 1) 1111()A A A A E ----==，由逆矩阵的唯一性，得11()A A --= 2) 111()AB AB B A AB E ---==，由逆矩阵的唯一性，得111()AB B A ---=例3.9 判断矩阵A 是否可逆，若可逆，求其逆.1) 123221343A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭;解 1) 12322120343A ==≠, A 可逆. 再由1121312,6,4,A A A ===-1222323,6,5,A A A =-=-=1323332,2, 2.A A A ===-有*12641365.2222A A A --⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪-⎝⎭例3.16（P81）P72：定义3.8 设ij A 是矩阵()ij n n A a ⨯=中元素ij a 的代数余子式，矩阵1121112222*12n n nnnn A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为A 的伴随矩阵.按照行列式按行（列〉展开的公式1122||,0,k i k i kn in A k ia A a A a A k i=⎧+++=⎨≠⎩ 1122||,0,l j l j nl nj A l ja A a A a A l j=⎧+++=⎨≠⎩ 立即得出：.11121112112122212222*1212n n n n n n nn nnnn a a a A A A a a a A A A AA a a a A A A ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ||||||A A A E A ⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭同理可得*||A A A E =.定理3.3 矩阵A 可逆的充要条件是0,A ≠且*1.A A A-=证明 ""⇐若0,A ≠由**AA A A A E ==，得**A A A A E A A==所以，A 可逆，由逆矩阵的唯一性 *1.A A A-=""⇒ 若A 可逆，则有11AA A A E --==，两边取行列式，得1 1.A A E -==0.A ∴≠定理3.4 设(),()n m m s A M F B M F ⨯⨯∈∈，则 ()()min (),().R AB R A R B ≤ 证明 设()11121212221212m m m n n nm a a a a a a A a a a ααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭11121121222212s s m m ms m b b b b b b B b b b βββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11111111111111mmm k k k ks k k k k k m mj j js j j j mmm nk k nk ks nk k k k k a b a b a AB b b a b a b a βααβ========⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑上式表明AB 的行向量为B 的行向量的线性组合， AB 的列向量为A 的列向 量的线性组合. 所以 ()()min (),()R AB R A R B ≤.这个结果可推广至多个，即，如果12t A A A A =，则12()min{(),(),,()}.t R A R A R A R A ≤定理3.5 1) 若,B PA =P 可逆，则 ()()R B R A =；2) 若C AQ =，Q 可逆, 则()()R C R A =证明 ,B P A= 由定理3.2，()(),R B R A ≤又P 可逆， 可得1,P B A -=有()(),R A R B ≤ 故()().R A R B =P78：定义3.10由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵:对调E 中第,i j 两行()i j r r ↔，得初等方阵11011(,)11011i P i j j ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭行行以数0c ≠乘单位矩阵的第i 行(),i r c ⨯得初等矩阵11(())11P i c c i ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭行 以k 乘以E 的j 行加到第i 行()i j r kr +11(,())11k i P i j k j ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭行行. 下面我们来看一个初等矩阵和一个矩阵A 相乘后，A 发生了什么变化,.引理3.1 对s n ⨯矩阵A 左乘一个s 阶初等矩阵相当于对A 作一相应的初等行变换；对A 右乘一个n 阶初等矩阵相当于对A 作一相应的列初等变换.第四章：P97：可以认为，只含平方项的二次型是最简单的了2221122n n d x d x d x +++，它的矩阵是对角阵, 只含平方项的二次型叫做标准形.这一节我们要讨论一个任意二次型如何作非退化线性替换化成标准形. 定理4.1 数域F 上任意二次型都可经过一系列非退化线性替换化成标准形. 例1 求二次型()112312231312,323011(,,)262,,103130x f x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-+=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭的标准形.解 作非退化线性替换11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 即 112233*********x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则121212123(,,,)2()()6()n f x x x y y y y y y y =+---1232()y y y ++221213232248y y y y y y =--+令 1132233z y y z y z y =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 或1132233y z z y z y z=+⎧⎪=⎨⎪=⎩ ，即 112233*********y z y z y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则2221212323(,,,)2228n f x x x z z z z z =--+22221233322(2)82z z z z z =--+- 222123322(2)6z z z z =--+再令 11223332w z w z z w z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 或11223332z w z w w z w=⎧⎪=+⎨⎪=⎩即 112233100012001z w z w z w ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭合起来就是111222333110110101110110010001001001x y z x y z x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123110101100110010012001001001w w w ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪=- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 112233113111001w w w P w w w ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭或 11232123333x w w w x w w w x w=++⎧⎪=--⎨⎪=⎩， 则()()1112312,3212,3233011011(,,),,103,,'103130130x w f x x x x x x x w w w P P w x w ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222123226w w w =-+定理4.1 用矩阵语言来叙述就是定理4.2 数域F 上任一个对称矩阵合同于一个对角矩阵.定义4.4 对矩阵实行合同变换是指在实施行初等变换的同时实施同样的列初等变换，即 1)2221332232()228y y y y y y =---+互换矩阵的,i j 两行，再互换矩阵的,i j 两列; 2) 以数 k (0k ≠)乘矩阵的第i 行；再以数 k 乘矩阵的第i 列;. 3) 将矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行，再将第i 列的k 倍加到第j 列（i j ≠).设A 是对称矩阵，'P AP D =为对角矩阵，注意到12'n d d P AP d ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，EP P =，可把A 和E 写成一个2n 行n 列矩阵，在对前n 行实施行初等变换的同时实施同样的列初等变换，当把A 化为对角形矩阵D 时，E 就化成了P ，A DE C 'A P AP D E EP P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−−−−−−−−−−→= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭作合同化角矩作上述合同中的初等列得对变换为对阵对仅变换变换 例2 化例1中二次型的矩阵为对角形矩阵，并求合同矩阵.解 1231223(,,)262f x x x x x x x x x=-+的矩阵为011103130A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭21121221121220211121202210310322013023011001001020101101100010012001r r r r c c c c -++--⎛⎫⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪---⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪⎪-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭3132313244200200110200220220061111132211111122001001r r r r c c c c +-+-⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令11321112001P ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则 20111'10321306P P ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭为对角矩阵. 对应例1，作非退化线性替换112233x y x P y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即得123(,,)f x x x 的标准形2221231231(,,)26.2f x x x y y y =-+ 由此知道任 意一个二次型的标准形不是唯一的.在对A 作合同变换时，每施行一次合同变换后所得矩阵必仍为对称矩阵. 可利用这一点检查计算过程是否正确.P 104：定义4.7 设A 为实对称矩阵，若二次型X AX '是正定的，则称A 为正定矩阵.不难看出，正定二次型f 的标准形为；规范形为 22212n z z z +++.定理4.6 实对称矩阵A 正定的充要条件是A 与单位矩阵E 合同.证明 “⇒” A 正定， 二次型'X AX 正定，'X AX 的正惯指数等于n ，它的规范形为22212n z z z Z EZ '+++=，A 与单位矩阵E 合同“⇐” 'P AP E =，令X PY =，则22212''(')'n X AX Y P AP Y Y EY y y y ===+++所以，A 正定由此可得，实对称矩阵A 正定当且仅当存在可逆矩阵C ，使得''A C EC C C ==. 例1 设A 为n 阶正定矩阵，证明1) 1A -是正定矩阵；2) 0,k kA >是正定矩阵；3) *A 是正定矩阵；4) 是正定矩阵, m 为任意整数；5) 若B 亦是正定矩阵，则A ＋B 也是正定矩阵.证明 1) 由于A 正定，则存在可逆矩阵P ，使,P AP E '=于是有1111111()()(())()P AP P A P P A P E -------'''''===令1(),Q P -'=则Q 可逆，且1,Q A Q E -'=2) 由于A 正定，对0n X R ∀≠∈,都有0,X AX '>因此有()0.X kA X kX AX ''=>故kA 正定.3) A 正定，则存在可逆矩阵C ，使A C C '=，于是2||||||0A C C C '==>*1A A A -=又，由1),2) 即得*A 正定.4) 由于A 正定，知mA 为 n 阶可逆对称矩阵，当 m ＝2k 时，2(),m k k k k k A A A A A EA '===即m A 与单位矩阵E 合同，所以m A 正定.当 m ＝2k ＋1 时，21(),m k k k k k A A A AA A AA +'===即，mA 与正定矩阵A 合同，而A 与单2221122,0,1,2,,n n i d y d y d y d i n +++>=mA位矩阵E 合同，所以m A 与E 合同，即m A 正定.5) 由于A , B 正定，对,0,n X R X ∀∈≠都有 0,0X AX X BX ''>>因此有()0.X A B X X AX X BX '''+=+> 故 A +B 正定.例2证明 若A 正定，则存在可逆矩阵C ，使,A C C '=从而20.A C C C '==>注意，实对称矩阵A 满足0,A >A 也未必正定. 如10,1001A A -⎛⎫==> ⎪-⎝⎭但2212X AX x x '=--不是正定二次型.第五章：P110：定义5.1 nF 的一个向量组12,,,n ααα叫做n F 的一个基，如果1) 12,,,n ααα线性无关；2) 对任意n F β∈，β可由12,,,n ααα线性表出.基向量的个数叫做这个向量空间的维数. 由定义知nF 中的一个线性无关向量组12,,,n ααα是n F 的一个基.定义5.2 设12,,,n ααα是nF 的一个基，12112212(,,,)n n n n x xx x x x βαααααα⎛⎫ ⎪ ⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭，则 12'(,,,)n X x x x =叫做β在基12,,,n ααα下的坐标.一个向量关于不同基的坐标一般是不同的. 因此需要一般地讨论基变换与坐标变换的问题.定义5.3若12,,,n ααα是n F 的一个基，12,,,n βββ是n F 的另一个基，则它们可以相互线性表出，1212(,,,)(,,,)n n T βββααα=，()n T M F ∈. T 的第j 列就是j β在基12,,,n ααα下的坐标. T 叫做基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵.如果12,,,n ααα是n F 的一个基，1212(,,,)(,,,)n n T αααεεε=，则T 的第j 列就是将j α作为第j 列构成的矩阵.P112：定义5.4.（过渡矩阵求解方法） 定理5.1 过渡矩阵是可逆矩阵 证明 若12,,,n ααα与12,,,n βββ是n F 的两个基，1212(,,,)(,,,)n n T βββααα=，1212(,,,)(,,,)n n Pαααβββ=，121212(,,,)(,,,)((,,,))n n n T P T βββαααβββ==，由12,,,n βββ线性无关，PT E =, 同理可得TP E =，所以1P T -=.设12'(,,,)n X x x x =是向量β在基12,,,n ααα下的坐标，12'(,,,)n Y y y y =是向量β在基12,,,n βββ下的坐标，121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n X Y TY βαααβββααα===,由 12,,,n ααα线性无关，得X TY =，或1Y T X -=，这就是基变换与坐标变换的关系.例1向量(,)'a b β=在基12(1,0)',(0,1)'εε==下的坐标是(,)a b ，基12,εε到基12,αα的过渡矩阵是1101T ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即1212(,)(,)T ααεε=，因此，β在基12,αα的坐标 就是1111110101a a a b Y T X b b b ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.P115：下面给出由nR 中n 个线性无关的向量12,,,n ααα做一种特定的线性运算，构造一组标准正交基的方法，称为施密特正交化.令 11βα=，2211x βαβ=+ ，这里1x 为待定系数，由212111211110(,)(,)(,)(,)x x ββαββαβββ==+=+，于是21111(,)(,)x αβββ=-，再令 331122y y βαββ=++由31311221311110(,)(,)(,)(,)y y y ββαβββαβββ==++=+，于是31111(,)(,)y αβββ=-，由32311222322220(,)(,)(,)(,)y y y ββαβββαβββ==++=+,于是32222(,)(,)y αβββ=-，继续下去就可以得到11βα=2122111(,)(,)αββαβββ=-313233121122(,)(,)(,)(,)αβαββαββββββ=--，11(,),2,3,,(,)j j i j j i i i i j n αββαβββ-==-=∑可以看出 1212(,,,)(,,,)n n T αααβββ=，T 是上三角矩阵，而且主对角线上元素都是1，因此从基12,,,n ααα到正交基12,,,n βββ的过渡矩阵也是上三角矩阵，而且主对角线上元素都是1.例1 已知12(1,1,0,0),(1,0,1,0)αα==,3(1,0,0,1)α=-，4(1,1,1,1)α=-- 是4R 的一组基, 用施密特正交化方法, 由1234,,,αααα 构造4R 的一组标准正交基.解 取11(1,1,0,0)βα==，2122111(,)(,)αββαβββ=-11(,,1,0)22=-，313233121122(,)(,)(,)(,)αβαββαββββββ=--111(,,,1)333=-，43414244123112233(,)(,)(,)(,)(,)(,)αβαβαββαβββββββββ=---(1,1,1,1)=--再单位化1111||ηββ==2221||ηββ==3331||ηββ=(= 4441||ηββ=1111(,,,)2222=-- 1234,,,ηηηη即为所求．P119：定义5.13说矩阵A 与B 是相似的，如果存在可逆矩阵T 使得1B T AT -=.B 与A 是相似可以记作A B ～由上面推到可以看出，一个线性变换关于不同基的矩阵是相似的. 矩阵的相似具有 1) 自反性 A A ～； 2) 对称性 A B B A ⇒～～ 3) 传递性 A B ～，B C A C ⇒～～定义5.16设()n A M F ∈, 如果存在数F λ∈和非零的n 维向量X , 使得 AX X λ= 就称λ是矩阵A 的特征值, X 是A 的属于特征值λ的特征向量.AX X λ=相当于()0E A X λ-=，由特征向量0X ≠，得特征向量X 是齐次线性方程组()0E A X λ-= 的非零解, 因此, ||0E A λ-=，即特征值λ是多项式()||f E A λλ=-的根. 当F =复数域C 时特征值一定存在.定义5.17 设()ij n n A a ⨯=为n 阶矩阵，()||f E A λλ=-111212122212n nn n nna a a a a a a a a λλλ------=---称为矩阵A 的特征多项式, E A λ-称为A 的特征矩阵. A 的特征多项式有时也记作()A f λ.定理5.5 相似的矩阵有相同的特征多项式. 证明 设1B T AT -=，111|||||()|||||||||E B E T AT T E A T T E A T E A λλλλλ----=-=-=-=-.由此可知，相似的矩阵有相同的特征值.这个结论反过来不成立，例如 1001⎛⎫ ⎪⎝⎭与 1101⎛⎫⎪⎝⎭有相同的特征多项式，但他们不相似.如果矩阵A 与对角矩阵相似，则说A 可对角化.定理5.6 n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.证明 “⇒”设A 可对角化，即存在对角形矩阵12n B λλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，可逆矩阵T ， 使得1B T AT -=，即 AT TB =，设jα是T 的第j 列，则12,,,n ααα线性无关，比较AT TB =两边的第j 列，有j j j A αλα=，1,2,,i n =因此12,,,n ααα就是A 的n 个线性无关的特征向量.“⇐”设A 有n 个线性无关的特征向量12,,,n ααα，那么j j j A αλα=，12121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n n A A A Bλλαααααααααλ⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭设12(,,,)n T ααα=，上式相当于1AT TB T AT B -=⇒=, A 可对角化.定理5.7 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.例1 求矩阵122212,221A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值和特征向量.解 矩阵A 的特征多项式为122212221E A λλλλ----=------2(1)(5)λλ=+- 特征值为121,5λλ=-=，把 1λ=-代入齐次线性方程组 ()0E A X λ-= 得123123123222022202220x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪---=⎩即1230x x x ++= 它的一个基础解系为：(1,0,1),(0,1,1)--，因此，属于1-的两个线性无关的特征向量为113223,ξεεξεε=-=-，因而属于1-的全部特征向量为1122k k ξξ+，12,k k 是F 中不全为零的数把 5λ=代入齐次方程组()0E A X λ-=得123123123422024202240x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩解得它的一个基础解系为：(1,1,1). 因此，属于5的全部特征向量为333123()k k ξεεε=++，30k ≠ .令 101011111T ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，则1115T AT --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P123：定理5.9 用二次型的说法就是：对于任一个n 元实二次型，存在正交线性替换， 为n 阶正交矩阵, 使得，其中平方项的系数为A 的全部特征根.容易看出，若重根按重数计算，则的正惯指数=的正特征根的个数； 的负惯指数=的负特征根的个数；的秩=的非零特征根的个数,因此实对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 的特征根全大于零.12(,,,)'n f x x x X AX =X UY =U 221122'''nn n X AX Y U AUY y y y λλλ==+++12,,,n λλλf A f A f A。