《经济数学》线性代数学习辅导与典型例题解析

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线性代数重要知识点及典型例题问题详解

线性代数重要知识点及典型例题问题详解线性代数知识点总结第⼀章⾏列式⼆三阶⾏列式N 阶⾏列式：⾏列式中所有不同⾏、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换⾏列式的性质：①⾏列式⾏列互换，其值不变。

（转置⾏列式T D D =）②⾏列式中某两⾏（列）互换，⾏列式变号。

推论：若⾏列式中某两⾏（列）对应元素相等，则⾏列式等于零。

③常数k 乘以⾏列式的某⼀⾏（列），等于k 乘以此⾏列式。

推论：若⾏列式中两⾏（列）成⽐例，则⾏列式值为零；推论：⾏列式中某⼀⾏（列）元素全为零，⾏列式为零。

④⾏列式具有分⾏（列）可加性⑤将⾏列式某⼀⾏（列）的k 倍加到另⼀⾏（列）上，值不变⾏列式依⾏（列）展开：余⼦式ij M 、代数余⼦式ij j i ij M A +-=)1(定理：⾏列式中某⼀⾏的元素与另⼀⾏元素对应余⼦式乘积之和为零。

克莱姆法则：⾮齐次线性⽅程组：当系数⾏列式0≠D 时，有唯⼀解：)21(n j DD x j j ??==、齐次线性⽅程组：当系数⾏列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若⽅程组存在⾮零解，则D 等于零特殊⾏列式：①转置⾏列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a →②对称⾏列式:ji ij a a =③反对称⾏列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称⾏列式值为零④三线性⾏列式:333122211312110a a a a a a a ⽅法：⽤221a k 把21a 化为零，。

化为三⾓形⾏列式⑤上（下）三⾓形⾏列式:⾏列式运算常⽤⽅法（主要）⾏列式定义法（⼆三阶或零元素多的）化零法（⽐例）化三⾓形⾏列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第⼆章矩阵n *（零矩阵、负矩阵、⾏矩阵、列矩阵、n 阶⽅阵、相等矩阵) ---------交换、结合律数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义⼀般AB=BA ，不满⾜消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) ⽅幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=对⾓矩阵：若AB 都是N 阶对⾓阵，k 是数，则kA 、A+B 、数量矩阵：相当于⼀个数（若……）单位矩阵、上（下）三⾓形矩阵（若……）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每⼀⾮零⾏左数第⼀个⾮零元素所在列的下⽅注：把分出来的⼩块矩阵看成是元素N 阶⽅阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，|A|=0、伴随矩阵)2.、⾮零k 乘某⼀⾏（列）3、将某⾏（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆倍乘阵倍加阵）=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵降秩矩阵若A 可逆，则满秩若A 是⾮奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ）初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与⾏列式的联系与区别：都是数表；⾏列式⾏数列数⼀样，矩阵不⼀样；⾏列式最终是⼀个数，只要值相等，就相等，矩阵是⼀个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，⾏列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B ⼀定是⽅阵②BA=AB=I 则A 与B ⼀定互逆；③不是所有的⽅阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯⼀的。

经济数学基础线性代数之第3章线性方程组

第一单元线性方程组的表达一、学习目标了解线性方程组的表示方法及线性方程组的基本概念二、内容讲解线性方程组的一般表示方程数目为m ，未知量个数为n . 下面举一个例子.例: 用矩阵形式表示方程组⎩⎨⎧-=-+=+-165443321321x x x x x x解: 将未知量的系数和常数项按原来的位置写成矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=11654143A ，n ＝3，m ＝2系数矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=165143A ，未知数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321x x x X ，常数矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=14b 线性方程组用矩阵表示为b AX =即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--165143⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=14线性方程组三种表示形式⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=11654143A三、例题讲解例1 将线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+=++-=--43502515432131321321x x x x x x x x x x x 改写成矩阵的形式.解：增广矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=4315010121511154A 系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=315101151154A 常数矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4021b线性方程组的矩阵表示为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----315101151154⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4021 例2若已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=500101111231021A 表示一个线性方程组的增广矩阵，讨论这个线性方程组：（1）有几个未知量？（2）有几个方程？（3）最后一行代表的方程是什么？解:（1）根据增广矩阵的概念，可知最后一列是常数项，前4列是未知量的系数，故这个方程组有4个未知量.（2）由增广矩阵的构成可知，增广矩阵的行数就是方程的个数，故有3个方程. （3）最后一行代表的方程是50004321=+++x x x x 即52=x例3，线性方程组b AX =，矩阵A 是4×6矩阵，矩阵b 是4×1矩阵，问这个方程组有几个未知量？有几个方程？解:有6个未知量，有4个方程.四、课堂练习练习写出下列线性方程组的增广矩阵，并写出矩阵表达形式.五、课后作业将下列方程组写成矩阵形式：(1)⎪⎩⎪⎨⎧=--=++-=+2423325232132121xxxxxxxx；(2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=++=++-=++=+4652652652651655454343232121xxxxxxxxxxxxx(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---23542321112321xxx；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛12221656516516516554321xxxxx第二单元消元法一、学习目标熟练掌握求线性方程组一般解的消元法，掌握求线性方程组的特解.二、内容讲解例：若一个线性方程组的增广矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=222111112A，求方程组的解.解:从最后一行开始，得223-=x，13-=x第二行表示的方程是232=+xx，322xx-=3)1(2=--=第一行表示的方程是12321=-+xxx，23)1(21321-=+-=xxx方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-=1323321xxx归纳：当线性方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵时，可以从最后一行开始，用逐步回代的方法求得线性方程组的解.比较增广矩阵与线性方程组作初等行变换的关系结论：对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换，不改变线性方程组的解.消元法：用初等行变换把线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵；从阶梯形矩阵的最后一行开始，用逐步回代的方法求解.这种解线性方程组的方法就叫消元法。

《经数》考试分析(线性代数)

且AB=BA ，证明AB是对称矩阵。证明：因为
ABT BT AT BA AB
所以，AB是对称矩阵
3、设A是 m n 矩阵，
试证明 AAT 是对称矩阵
证明：因为
AAT T AT T AT AAT
所以 AAT 是对称矩阵
三、矩阵的初等行变换与矩阵的秩、逆矩阵
矩阵的初等行变换是一种很重要的运算方法，用这种方法我们可以求矩阵的阶梯形、矩阵的秩和逆矩阵等. 下一章讨论线性方程组的问题，初等行变换同样是重要的方法.
1 0 0
1 1 0
1 0 1
0
1 1
2
1
0 1
2
0
0
1
2
1 1 0 0 1 0
0 0 1
1
2 1 1
3 2 0
1
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1 0 0
00 10 01
3
2 1 1
3 2 0
1
1
2 0
1
2 2 2
2 2 2
3
(A
B ) 1
2 1
1
3 2 0
1
1
2 0方程组
1、线性方程组 1 3
2 6
x1 x2
5 9
满足结论（）
(A) 有惟一解 (B) 有解
(C) 有无穷多解 (D) 无解
思路：
用方程组解的情况判定定理来判别
由
A
1 3
2 6
5 9
(2)(1)(3)10
2 0
5 6
知
r(A) r(A)
所以原方程无解选项是D
2、若线性方程组的增广
矩阵为
1 2

线性代数辅导及习题答案

线性代数辅导及习题答案线性代数是数学中的一个重要分支，它研究的是向量空间和线性映射的性质。

在学习线性代数的过程中，很多人会遇到一些难题，需要辅导和习题答案来帮助自己更好地理解和掌握相关概念和方法。

一、线性代数辅导的重要性线性代数是数学中的一门基础课程，它在很多领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。

因此，对于学习者来说，掌握线性代数的基本概念和方法是非常重要的。

然而，由于线性代数的抽象性和复杂性，很多人在学习过程中会遇到困难。

这时，线性代数辅导就变得尤为重要。

线性代数辅导可以帮助学生更好地理解和掌握线性代数的基本概念和方法。

辅导老师可以通过讲解和示范，帮助学生理清思路，解决他们在学习过程中遇到的问题。

同时，辅导老师还可以根据学生的不同水平和需求，提供针对性的习题和练习，帮助学生巩固和加深对线性代数知识的理解。

二、线性代数习题的重要性习题是学习线性代数的重要组成部分，通过做习题可以帮助学生巩固和加深对知识的理解。

线性代数习题的设计应该具有一定的难度和深度，既能考察学生对基本概念和方法的理解，又能培养学生的思维能力和解决问题的能力。

习题答案的提供可以帮助学生检验自己的答案是否正确，同时还可以帮助他们理解解题思路和方法。

在学习过程中，学生可能会遇到一些难题，他们需要参考习题答案来解决问题。

通过对习题答案的研究和分析，学生可以更好地理解和掌握线性代数的相关概念和方法。

三、线性代数辅导与习题答案的获取途径线性代数辅导和习题答案可以通过多种途径获取。

首先，学生可以向自己的老师或同学请教，他们可以提供一些解题思路和方法。

其次，学生可以通过参考教材中的习题答案来解决问题。

教材中通常会提供一些习题的答案，学生可以通过对答案的研究来理解解题思路和方法。

此外，学生还可以通过互联网搜索相关的线性代数辅导和习题答案。

有很多网站和论坛提供线性代数的辅导和习题答案，学生可以通过搜索引擎找到这些资源。

然而，学生在使用线性代数辅导和习题答案时需要注意一些问题。

线性代数第八章习题解说课讲解

线性代数第八章习题解线性代数第八章习题解习题八1. 验证1) 全体m n ⨯级的实矩阵的集合)(R M m n ⨯关于矩阵的加法和(实)数乘矩阵构成一线性空间.2) 给定实数轴上一闭区间[a ,b ](a <b ), 取C [a ,b ]为[a ,b ]上的全体连续函数的集合, 则C [a ,b ]关于函数的相加和实数乘函数松成一线性空间.证: 1) 任给三m n ⨯级矩阵)(,,R M C B A m n ⨯∈, 任给二实数R l k ∈,, 因有A +B =B +A ,(A +B )+C =A +(B +C )O +A =AA +(-A )=Ok (A +B )=kA +kB(k +l )A =kA +lA(kl )A =k (lA )1A =A因此, )(R M m n ⨯关于矩阵的加法和(实)数乘矩阵构成一线性空间.2) 任给三个在闭区间[a ,b ]上的连续函数],[)(),(),(b a C x h x g x f ∈, 任给二实数R l k ∈,, 并用O (x )在此闭区间上的函数值总取0值的函数, 即O (x )=0, a ≤x ≤b , f (x )的负函数则为-f (x )因有f (x )+g (x )=g (x )+f (x )[f (x )+g (x )]+h (x )=f (x )+[g (x )+h (x )]O (x )+f (x )=f (x )f (x )+[-f (x )]=O (x )k [f (x )+g (x )]=kf (x )+kg (x )(k +l )f (x )=kf (x )+lf (x )(kl )f (x )=k [lf (x )]1f (x )=f (x )因此, C [a ,b ]关于函数的相加和实数乘函数松成一线性空间.2. 取上一题中)(R M m n ⨯的n ×m 个元素E ij 为(i ,j )位元素为1, 其它全为零的矩阵, i =1,2,…,n ; j =1,2,…,m . 验证这n ×m 个元素为M n ×m (R )的一个基. 从而M n ×m (R )的维数为n ×m .证: 首先验证n ×m 个元素线性无关, 考察关于k ij , i =1,2,…,n ; j =1,2,…,m 的齐次方程O E km j n i ij ij =∑∑==11, 这n ×m 个相加的矩阵中的每一个k ij E ij 都是只有一个第i 行第j列的元素为k ij , 其余元素为0, 这样就有n m ij m j n i ij ij k E k⨯===∑∑}{11, 只有当k ij =0, i =1,2,…,n ; j =1,2,…,m 时才有{k ij }m ×n =O m ×n , 因此知这n ×m 个元素E ij 线性无关.此外, 任何)(}{R M a m n m n ij ⨯⨯∈, 都有∑∑==⨯=m j ni ij ij m n ij E a a 11}{从而这n ×m 个元素为M n ×m (R )的一个基. 从而M n ×m (R )的维数为n ×m .3. 判断下述变换中哪些是线性变换.1) 线性空间V 中, V ∈=ααξ,A 是一固定向量.2) 线性空间V 中, V ∈+=αξαξ,A 是一固定向量。

《经济数学基础》线性代数部分疑难解析

《经济数学基础》线性代数部分疑难解析第2章矩阵本章重点：1．了解或理解一些基本概念具体要求如下：(1) 了解矩阵和矩阵相等的概念；(2) 了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质．(3) 理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件； (4) 了解矩阵秩的概念；(5) 理解矩阵初等行变换的概念．2．熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质；3．熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵．矩阵乘法是本章的重点之一，在复习矩阵乘法时，要注意：矩阵乘法不满足交换律，即AB BA =一般不成立（若矩阵A , B 满足AB BA =，则称A , B 为可交换的）．矩阵乘法不满足消去律，即由矩阵AC BC =及矩阵C ≠0，不能推出A B =．但当C 可逆时，AC BC =⇒A B =．矩阵A B ≠≠00,，可能有AB =0．例1 若A ，B 是两个ｎ阶方阵，则下列说法正确是（）． A ．000＝或＝，则＝若B A AB B ．2222)+(B B A A B A +⋅+＝C ．若秩,0)(≠A 秩,0)(≠B 则秩0)(≠ABD ．若秩,)(n A = 秩,)(n B =则秩n AB =)(解选项A ： 00＝或＝B A 只是0＝AB 的充分条件，而不是必要条件，故A 错误；选项B ：222)+(B A B B A A B A +⋅+⋅+＝，矩阵乘法一般不满足交换律，即A B B A ⋅≠⋅，故B 错误；选项C ：由秩,0)(≠A 秩,0)(≠B 说明A ，B 两个矩阵都不是0矩阵，但它们的乘积有可能0矩阵，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0011,1010B A ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0000AB ．故秩0)(≠AB 不一定成立，即C 错误；选项D ：两个满秩矩阵的乘积还是满秩的，故D 正确．例2 设矩阵[]021-=A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100112B ，则AB ＝．解因为 AB ＝[]021- ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100112= [4 1] 所以，应该填写：[4 1]例3 矩阵13210011000010001000-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥的秩是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解因为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-000000010000110012310010000100001100123100010001000011001231 对应的阶梯形矩阵有3个非0行，故该矩阵的秩为3．正确选项是：C例4 设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--913210063，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=801962B 则矩阵A 与B 的乘积AB 的第3行第1列的元素的值是．解根据乘法法则可知，矩阵A 与B 的乘积AB 的第3行第1列的元素的值是A 的第3行元素与B 的第1列元素的乘积之和，即 3×2＋（－1）×9＋9×0 ＝ -3 应该填写：-3例5 设A 是m ⨯n 矩阵,B 是s ⨯n 矩阵, 则运算有意义的是( )．A ．T AB B ．ABC ．B A TD ．T T B A解根据乘法法则可知，两矩阵相乘，只有当左矩阵的行数等于右矩阵的列数时，它们的乘积才有意义，故矩阵T AB 有意义．正确选项是A ．例6 设方程XA －B =X ，如果A －I 可逆，则X = ．解由XA －B = X ，得XA －X = B ，X (A －I ) = B 故X = B (A －I )－1．所以，应该填写：B (A －I )－1注意：矩阵乘法中要区分“左乘”与“右乘”，若答案写成 (A －I )－1 B ，它是错误的．例7．设矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-1111032311A ，求矩阵A ．解因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-100010001111103231][1I A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→101340013790001231 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→101340211110001231 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→943100211110632101→⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥100113010237001349 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=943732311A例8 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡367601012b b a a ，求常数a ，b ．解因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡3676010122a abb a ab b b a a 所以 6,3==ab a ，得b = 2 ．例9．设矩阵A ，B 满足矩阵方程AX ＝B ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0121A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2003B , 求X ．解法一：先求矩阵A 的逆矩阵．因为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10010121I A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡→11200121⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-→2121101001 所以 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-2121101A且 B A X 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=2003212110⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=1 2320解法二：因为 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=20010321B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡→23200321⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-→123102001 所以 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=12320X例10 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=451001413101B A 试计算A -1B ．解因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100010001001413101][I A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→101100013110001101→--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥100001010411001101 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1011141001A 且 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-5134451101114101B A例11 设A ，B 均为n 阶对称矩阵，则AB ＋BA 也是对称矩阵．证因为 A ，B 是对称矩阵，即 B B A A ==T T ，且 T T T )()()(BA AB BA AB +=+ T T T T B A A B += AB BA += BA AB += 根据对称矩阵的性质可知，AB ＋BA 是对称矩阵．例12 设A 是n 阶矩阵，若3A = 0，则21)(A A I A I ++=--．证因为 ))((2A A I A I ++-=322A A A A A I ---++ =3A I -= I所以 21)(A A I A I ++=--第3章线性方程组本章重点：1．了解n 元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增广矩阵、一般解的概念．2. 理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理；熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解．• 线性方程组AX = b 的解的情况归纳如下：AX = b 有唯一解的充分必要条件是秩(A ) = 秩(A ) = n ； AX = b 有无穷多解的充分必要条件是秩(A ) = 秩(A ) < n ； AX = b 无解的充分必要条件是秩(A ) ≠ 秩(A )． • 相应的齐次线性方程组AX = 0的解的情况为： AX = 0只有零解的充分必要条件是秩(A ) = n ；AX = 0有非零解的充分必要条件是秩(A ) < n ．例1 线性方程组⎩⎨⎧=-=+0223221x x x x 的系数矩阵是( ) ．A ．2×3矩阵B ．3×2矩阵C ．3阶矩阵D ．2阶矩阵解此线性方程组有两个方程，有三个未知量，故它的系数矩阵是2×3矩阵．正确的选项是A ．例2 线性方程组AX = B 有唯一解，那么AX = 0 ( ) ． A ．可能有解 B ．有无穷多解 C ．无解 D ．有唯一解解线性方程组AX = B 有唯一解，说明秩,)(n A =故AX = 0只有唯一解（零解）．正确的选项是D ．例3 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=41221λA ，则当λ＝（）时线性方程组有无穷多解．A ．1B ．4C ．2D ．12解将增广矩阵化为阶梯形矩阵， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41221λA ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λ-λ→021021此线性方程组未知量的个数是2，若它有无穷多解，则其增广矩阵的秩应小于2，即021=λ-，从而λ＝12．正确的选项是D ．例4 若非齐次线性方程组A m ×n X = B 有唯一解,那么有 ( )． A ．秩(A ，B ) ＝ n B ．秩(A ) ＝ r C ．秩(A ) ＝秩(A ，B ) D ．秩(A ) ＝秩(A ，B ) ＝ n 解根据非齐次线性方程组解的判断定理可知选项D 是正确．例5 求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+-+-=++-1232122023432143214321x x x x x x x x x x x x解将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=00100130103800100200131100123113 1101311001231123211212101231A因为，秩(⎺A ) = 秩(A ) = 3，所以，方程组有解．一般解为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=0318334241x x x x x (x 4是自由未知量) 例6 设线性方程组212132123123123x x x x x x x x x c-+=--+=--+=⎧⎨⎪⎩⎪试问c 为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解．解因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=13501350112123111211112c c A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→c 0013501121 可见，当c = 0时，方程组有解．且⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→0000515310535101A 所以，原方程组的一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=323153515153x x x x （x 3是自由未知量）。

线性代数课后习题答案全习题详解

线性代数课后习题答案全习题详解(总92页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---；（2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ；（4）y x y x x y x yyx y x +++. 解（1）=---381141102811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =416824-++-=4-（2）=ba c a cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=（3）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=（4）yx y x x y x y yx y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3（5）逆序数为2)1(-n n ：3 2 1个 5 2，54 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.解由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢71100251020214214；（2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412；（3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae acab ；（4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a 100110011001 解(1)7110025*******21434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)265232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+ 23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -;(2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=yx z x z y zy x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 .证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bz ay y x by ax x z bx az z y b +++zy x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a 949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a a d a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnnn nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-= 同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n 11 =,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xaaax aa a x D n=; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) nnn nn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 010000000000001000=按最后一行展开)1()1(1000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n n a a a (再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) n nnnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D 即 ∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=0432********0122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121 ,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-= 112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=3139011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510065100065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 5100165100065100650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507= 51165100065000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-=1145108065-=--= 51100650000601000051001653=D 展开按第三列5100650006100051650061000510065+6100510656510650061+= 703114619=⨯+= 51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 110051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解解 μλμμμλ-==12111113D ，齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ齐次线性方程组有非零解，则0=D 得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章矩阵及其运算1 已知线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换解由已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y2 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换解由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x3 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B 求3AB 2A 及A TB解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T4 计算下列乘积(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321((132231)(10)(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫⎝⎛---=6520876(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x(a 11x 1a 12x 2a 13x 3 a 12x 1a 22x 2a 23x 3 a 13x 1a 23x 2a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=5 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A ⎪⎭⎫⎝⎛=2101B 问(1)AB BA 吗解 AB BA 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB ⎪⎭⎫⎝⎛=8321BA 所以AB BA(2)(A B)2A 22AB B 2吗解 (A B)2A 22AB B 2 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148但⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫⎝⎛=27151610所以(A B)2A 22AB B 2 (3)(A B)(A B)A 2B 2吗解 (A B)(A B)A 2B 2因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A故(A B)(A B)A 2B 26 举反列说明下列命题是错误的 (1)若A 20 则A 0 解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A 则A 20 但A 0(2)若A 2A 则A 0或A E 解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A 则A 2A 但A 0且A E(3)若AX AY 且A 0 则X Y 解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y则AX AY 且A 0 但X Y7 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA 求A 2A 3Ak解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k8设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ001001A 求A k解首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A⎝⎛=kA k k kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫用数学归纳法证明当k 2时显然成立假设k 时成立，则k 1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ 由数学归纳法原理知⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(1219 设A B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵证明因为A T A 所以(B T AB)T B T (B T A)T B T A T B B T AB 从而B T AB 是对称矩阵10 设A B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA 证明充分性因为A T A B T B 且AB BA 所以(AB)T (BA)T A T B T AB 即AB 是对称矩阵必要性因为A T A B T B 且(AB)T AB 所以 AB (AB)T B T A T BA 11 求下列矩阵的逆矩阵 (1)⎪⎭⎫⎝⎛5221解⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A |A|1 故A 1存在因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A故 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225 (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A |A|10 故A 1存在因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A |A|20 故A 1存在因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2a n0)解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 12 解下列矩阵方程 (1)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛12643152X解⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311111012112X 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32538122 (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111 (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=20143101213 利用逆矩阵解下列线性方程组(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x解方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x解方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===35321x x x14 设A k O (k 为正整数) 证明(E A)1E A A 2 A k1证明因为A k O 所以E A k E 又因为E A k (E A)(E A A 2A k 1)所以 (E A)(E A A 2 A k 1)E 由定理2推论知(E A)可逆且(E A)1E A A 2A k1证明一方面有E (E A)1(E A) 另一方面由A k O 有 E (E A)(A A 2)A 2A k1(A k1A k )(E A A 2 A k 1)(E A)故 (E A)1(E A)(E A A 2 A k 1)(E A) 两端同时右乘(E A)1就有(E A)1(E A)E A A 2A k115 设方阵A 满足A 2A 2E O 证明A 及A 2E 都可逆并求A 1及(A 2E)1证明由A 2A 2E O 得A 2A 2E 即A(A E)2E 或E E A A =-⋅)(21由定理2推论知A 可逆且)(211E A A -=-由A 2A 2E O 得 A 2A 6E 4E 即(A 2E)(A 3E)4E或 E A E E A =-⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A 2E)可逆且)3(41)2(1A E E A -=+-证明由A 2A 2E O 得A 2A 2E 两端同时取行列式得 |A 2A|2 即 |A||A E|2 故 |A|0所以A 可逆而A 2E A 2 |A 2E||A 2||A|20 故A 2E 也可逆由 A 2A 2E O A(A E)2E A 1A(A E)2A 1E)(211E A A -=-又由 A 2A 2E O (A 2E)A 3(A 2E)4E(A 2E)(A 3E)4 E所以 (A 2E)1(A 2E)(A 3E)4(A 2 E)1)3(41)2(1A E E A -=+- 16 设A 为3阶矩阵 21||=A 求|(2A)15A*|解因为*||11A A A =- 所以 |||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A|2A 1|(2)3|A 1|8|A|1821617 设矩阵A 可逆证明其伴随阵A*也可逆且(A*)1(A 1)*证明由*||11A A A =- 得A*|A|A 1所以当A 可逆时有|A*||A|n |A 1||A|n 1从而A*也可逆因为A*|A|A 1所以(A*)1|A|1A又*)(||)*(||1111---==A A A A A 所以(A*)1|A|1A |A|1|A|(A 1)*(A 1)*18 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A* 证明 (1)若|A|0 则|A*|0 (2)|A*||A|n 1证明(1)用反证法证明假设|A*|0 则有A*(A*)1E 由此得A A A*(A*)1|A|E(A*)1O所以A*O 这与|A*|0矛盾，故当|A|0时有|A*|0 (2)由于*||11A A A =- 则AA*|A|E 取行列式得到|A||A*||A|n 若|A|0 则|A*||A|n 1若|A|0 由(1)知|A*|0 此时命题也成立因此|A*||A|n119设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A AB A 2B 求B解由AB A 2E 可得(A 2E)B A 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=01132133020 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A 且AB E A 2B 求B解由AB E A 2B 得 (A E)B A 2E 即 (A E)B (A E)(A E)因为01001010100||≠-==-E A 所以(A E)可逆从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B21 设A diag(1 2 1) A*BA 2BA 8E 求B解由A*BA 2BA 8E 得(A*2E)BA 8EB 8(A*2E)1A 1 8[A(A*2E)]1 8(AA*2A)1 8(|A|E 2A)18(2E 2A)14(E A)14[diag(2 1 2)]1)21 ,1 ,21(diag 4-=2diag(1 2 1)22已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A且ABA 1BA13E 求B 解由|A*||A|38 得|A|2 由ABA1BA13E 得AB B 3AB 3(A E)1A 3[A(E A 1)]1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-103006060060000660300101001000016123 设P 1AP 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ2001求A 11解由P 1AP得A P P 1所以A 11 A=P 11P 1.|P|3 ⎪⎭⎫⎝⎛-=1141*P ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P而 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6846832732273124 设AP P 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511 求(A)A 8(5E 6A A 2) 解 ()8(5E 62)diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)]diag(1158)diag(1200)12diag(100) (A)P ()P 1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111111111425 设矩阵A 、B 及A B 都可逆证明A 1B 1也可逆并求其逆阵证明因为 A 1(A B)B 1B1A1A1B1而A 1(A B)B 1是三个可逆矩阵的乘积所以A 1(A B)B 1可逆即A1B 1可逆(A1B 1)1[A 1(A B)B 1]1B(A B)1A26 计算⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521 27 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A 验证|||||||| D C B A D C B A ≠解41001200210100101002000021010010110100101==--=--=D C B A而01111|||||||| ==D C B A故 |||||||| D C B A D C B A ≠28 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A 求|A 8|及A 4解令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A 1682818281810||||||||||===A A A A A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A29 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆求 (1)1-⎪⎭⎫⎝⎛O B A O解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-43211C C C C O B A O 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111(2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-43211D D D D B C O A 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A30 求下列矩阵的逆阵(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B 则⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A ⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛=--8532253811B于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4121031200210001解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001第三章矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。

线性代数应用题总结分类及经典例题

线性代数应用题总结分类及经典例题本文旨在总结线性代数中的应用题，并提供一些经典例题。

以下是对应的分类和例题：1. 线性方程组例题1：已知线性方程组如下：$$\begin{cases}2x + y - z = 5 \\x - 3y + 2z = -4 \\3x + 4y - z = 6 \\\end{cases}$$求解以上线性方程组。

例题2：已知线性方程组如下：$$\begin{cases}2x + 3y - z = 4 \\x - 2y + 3z = -1 \\3x + 4y - 2z = 7 \\\end{cases}$$求解以上线性方程组。

2. 矩阵与向量例题1：已知矩阵$A=\begin{bmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\\end{bmatrix}$，向量$\mathbf{b}=\begin{bmatrix}2 \\-1 \\\end{bmatrix}$，求解方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$。

例题2：已知矩阵$A=\begin{bmatrix}2 & -1 \\3 &4 \\\end{bmatrix}$，向量$\mathbf{b}=\begin{bmatrix}1 \\2 \\\end{bmatrix}$，求解方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$。

3. 线性变换例题1：已知线性变换$T$将向量$\mathbf{v}=\begin{bmatrix}2 \\3 \\\end{bmatrix}$映射为$\mathbf{w}=\begin{bmatrix}5 \\-1 \\\end{bmatrix}$，求线性变换$T$的矩阵表示。

例题2：已知线性变换$T$将向量$\mathbf{v}=\begin{bmatrix} 1 \\-2 \\\end{bmatrix}$映射为$\mathbf{w}=\begin{bmatrix}3 \\4 \\\end{bmatrix}$，求线性变换$T$的矩阵表示。

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《经济数学》线性代数学习辅导及典型例题解析
第1-2章行列式和矩阵
⒈了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。

矩阵的运算满足以下性质
⒉了解矩阵行列式的递归定义，掌握计算行列式（三、四阶）的方法；掌握方阵乘积行列式定理。

是同阶方阵，则有：
若是阶行列式，为常数，则有：
⒊了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。

⒋理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。

若为阶方阵，则下列结论等价
可逆满秩存在阶方阵使得
⒌熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。

用初等行变换法求逆矩阵：
用伴随矩阵法求逆矩阵：（其中是的伴随矩阵）
可逆矩阵具有以下性质：
⒍了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。

将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。

典型例题解析
例1 设均为3阶矩阵，且，则。

解：答案：72
因为，且
所以
例2设为矩阵，为矩阵，则矩阵运算（）有意义。

解：答案：A
因为，所以A可进行。

关于B，因为矩阵的列数不等于矩阵的行数，所以错误。

关于C，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。

关于D，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。

例3 已知
求。

分析：利用矩阵相乘和矩阵相等求解。

解：因为
得。

例4 设矩阵
求。

解：方法一：伴随矩阵法
可逆。

且由
得伴随矩阵
则=
方法二：初等行变换法
注意：矩阵的逆矩阵是唯一的，若两种结果不相同，则必有一个结果是错误的或两个都是错误的。

例4 设矩阵
求的秩。

分析：利用矩阵初等行变换求矩阵的秩。

解：。

例5若是阶矩阵，且，试证
证明：
注意：在证明中用到了已知条件和转置行列式相等的结论。

第三章线性方程组
一、本章主要容
主要概念：齐次线性方程组非齐次线性方程组方程组的矩阵表示系数矩阵增广矩阵一般解通解（全部解）特解基础解系自由元（自由未知量）
n 维向量线性组合（线性表出）线性相关线性无关极大线性无关组向量组的秩向量空间向量空间的基和维数
主要性质：齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质主要定理：
线性方程组的理论
齐次线性方程组有非零解的充分必要条件齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组有解的充分必要条件非齐次线性方程组解的结构
向量组线性相关性的有关定理（教材中第三章第三节）定理1、2、3及有关推论；极大无关向量组的有关定理（教材中第三章第四节）定理1、2、3 主要方法：高斯消元法
齐次线性方程组解的情况判别非齐次线性方程组解的情况判别 0=AX 基础解系的求法 )0(≠=B B AX 通解的求法
向量组线性相关（无关）的判别法极大线性无关组的求法
二、本章重点：向量组相关性的概念及判别，线性方程组相容性定理，齐次线性方程组基础解系几通解的求法，非齐次线性方程组特解和全部解的求法。

三、典型例题解析
例1 向量组)2
1(,)110(,)111(321'='='=k ααα，若向量组线性相关则k =。

解：答案：2
因为由有关定理，向量组线性相关的充要条件是向量组的秩数小于向量组向量个数，所以求向量组的秩，决定k 的取值，使其秩数小于3。

具体解法是
()⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20011010
11101101011121110132
1
k k k ααα
当2=k 时，32)(321<=αααr ，故向量组线性相关。

例2 设向量组为 )1631(,)3211(,)4121(,)503
1(4321'--='='='=αααα
求它的一个极大无关组，并判断向量组的相关性。

分析：解：
⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--=000000006210111
162106210621011111345
6210312311
11)(43
21ααααΘ 21,αα∴是向量组的一个极大无关组，42)(4321<=ααααr ，此向量组线性相关。

例3 线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=--+=+--=--+λ
4321
43214321895443313x x x x x x x x x x x x 当λ为何值时方程组有解，有解时解的情况如何？
分析：因为增广矩阵的秩与λ的取值有关，所以选择λ的值，使)()(B A r A r M
= 解
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=λλλ0000176401131117640176401131189514431311311)(B A M Θ0=∴λ当时，有42)()(<==B A r A r M ，方程组有解且有无穷多解。

例4 设线性方程组B AX =的增广矩阵经初等行变换后化为
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--→000001311021011)(B A M
求方程组的通解。

分析：将阶梯形矩阵继续化为行简化阶梯形矩阵，求出方程组的一般解，然后求特解，相应齐次方程组的基础解系，写出方程组的通解。

解： ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000001311012101000001311021011)(B A M
得到方程组的一般解为
⎩⎨⎧-+=++=131
2432
431x x x x x x （其中43,x x 是自由元）
令043==x x ，得B AX =的一个特解)0011(0'-=X
再由相应齐次方程组的一般解
⎩⎨⎧+=+=432
4
3132x x x x x x （其中43,x x 是自由元）
令0,143==x x ，得0=AX 的一个解向量)0111(1'=X 令1,043==x x ，得0=AX 的另一个解向量)1032
(2'=X
{}21X X 是0=AX 的一个基础解系，于是方程组的通解为
=++=22110X k X k X X )0011('-+'+)0111(1k )1032(2'k
其中21,k k 为任意常数。