解直角三角形的应用(正确认识一个基本图形
B
A
D
C
分析
如图， 在进行测量时，从下向上看， 视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下 看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
分析
1、充分体会将实际问题数学化的一种常用方式： 即通过分析问题，建立数学模型，从而提出较为 完整的测量方案和解决问题的方法。
实际问题 画图示意 已知未知 数学问题
2、解决这类测量问题往往是寻找或构造直角三角形， 通过解直角三角形使问题得于解决。
图形
直角三角形
解直角三角形
如图所示，AD⊥CB，点D在点C、点B之间。
分析
由此，知道这个基本图形中，包含两个直角三角形：
一个是直角三角形ADB，一个是直角三角形ACB。
这两个直角三角形，是问题解决的“根据地”。这两
个边直在角同三一角条形直还线共上一条公共直角边ADB，另一条直角
A D
C
已知AD=120m，∠BAD=30°∠DAC=60°
公寓的高为15米，太阳光线AC的入射角∠ACD=550，为 使②公寓的第一层起照到阳光，现请你设计一下，两幢公 寓间距BC至少是( ) 米。 A、15sin550 B、15cos550 C、15tan550 D、15cot550
A
①
B
D
②
C
创设情景
• 例4.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高 楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角 为60°，热气球与高楼的水平距离为120m， 这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m)?
• 因为在直角三角形ADB 中， ∠a=30° AD=120m tan ∠a= tan30°=---------所以,BD=
• 在直角三角形ACB中，
∠DAC=60 .AD=120m
• tan ∠DAC= tan 60 °=，
所以，DC =，
• BC=BD+DC=
例2、如图3所示，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的 滑滑板的倾角由45º降
4m
B
B
作业Biblioteka 必做:89页练习1. 97习题 8.
复习引入
创设情景 分析探索 辨析研讨 反思评价
退出
问题 一
复习引入
星期天，小华去图书超市购书，因他所买书类在二
楼，故他乘电梯上楼，已知电梯AB段的长度8 m，倾斜 角为300，则二楼的高度（相对于底楼）是__________m
B
300
A
C
问题二： 我校准备在田径场旁建①②两幢学生公寓，已知每幢
为30º，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C 在同一水平地
面上．
• （1）改善后滑滑板会加 长多少？（精确到0．01）
这节课你有哪些收获?
你能否用所学的知识去解决一些 实际问题吗?
归纳总结
• 认识基本图形 • 如图所示，AB⊥DB，点C在
点D、点B之间。 • 由此，知道这个基本图形中，
包含两个直角三角形： • 一个是直角三角形ADB，一
° 甲：我站在这桥头看塔顶仰角为60 ° 乙：我站在那桥头看塔顶仰角为30 甲：我们的身高都是1.6m
乙：我们相距30m
请你根据两位同学的对话，计算纪念碑的高度（
例2、学校操场上有一根旗杆，上面有一
根开旗用的绳子（绳子足够长），王同学
A
拿了一把卷尺，并且向数学老师借了一把
含300的三角板去度量旗杆的高度。
个是直角三角形ACB。 • 这两个直角三角形，是问题
解决的“根据地”。 • 解此题关键就是这两个三角
形公共的直角边
反
思
评 价
1、楼梯加长了多少
某学校准备改善原有楼梯的安全性能, 把倾角由原来的400减至350,已知原楼 梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多 少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确 到0.01m).
B
┌
AD
C
° 如图所示，在高楼前点测得楼顶的仰角为30 ，向高楼前进60米 ° 到点，又测得仰角为45 ，则该高楼的高度大约为（ ）
• 分析： • 在这里，DC=60米，
α=30°,β=45°，
又到了一年中的清明节，我班学生利用周末去参观“红军过朗洞纪 念碑‘如图所示。下面是两位同学的一段对话：
A
（1）若王同学将旗杆上绳子拉成仰角
为600，如图用卷尺量得BC=4米，则
旗杆AB的高多少？
（2）若王同学分别在点C、点D处将 旗杆上绳子分别拉成仰角为600、300， 如图量出CD=8米，你能求出旗杆 AB的长吗？
D
300
60
600 0
（3）此时他的数学老师来8 了一看，建 议王同学只准用卷尺去量m，你能给王
解直角三角形的应用ppt课件
（参考数据：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，
tan63°≈2.0， ≈1.73）
26.4 解直角三角形的应用
解：（1）∵MC=AB=10 cm，∠ACM=63°，
重 ∴AM=MC·tan∠ACM=MC·tan63°≈10×2.0=20（cm）.
难
题 答：AM 的长为 20 cm；
直接测量的物体高度或长度
26.4 解直角三角形的应用
归纳总结
考
点
（1）仰角和俯角是视线相对于水平视线而言的，可巧记
清
单 为“上仰下俯”；（2）实际问题中遇到仰角或俯角时，要
解
读 放在直角三角形或转化到直角三角形中运用，注意确定水平
视线；（3）在解有关俯角、仰角的问题中，常作水平线或
铅垂线来构造直角三角形.
，
∴tan30°=
=
−
+
=
，解得
x=60 +90，经检验
x=60 +90 是原方程的解且符合题意，∴AB=（60 +90） m
，
26.4 解直角三角形的应用
变式衍生 3 某中学依山而建，校门 A 处有一坡角
重
难
题 α=30°的斜坡 AB，长度为 30 m，在坡顶 B 处测得教学
26.4 解直角三角形的应用
（2）如答案图，过点 D 作 DH⊥AB，垂足为点 H，则
重
难
题 DG=BH=30 m，DH=BG.设 BC=x m，
型
在 Rt△ABC 中，∠ACB=45°，
突
破
∴AB=BC·tan45°=x m，
∴AH=AB-BH=（x-30） m，
初中数学知识点精讲精析 解直角三角形的应用
5 解直角三角形的应用学习目标1.能够把实际问题转化为数学问题，并进一步对结果的意义进行说明。
2.经历解决实际问题的过程，体会三角函数的作用，发展数学应用意识和解决问题的能力。
知识详解1. 仰角、俯角视线与水平线所成的锐角中视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角（如图1）。
2. 坡度、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即i= hl，坡面与水平面的夹角叫做坡角α，tanhilα==（如图2）。
3. 方位角从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫方位角，如图3中，OA，OB，OC的方位角分别为∠DOA，∠DOB，∠DOC。
4. 方向角在平面上，过观测点O作一条水平线（向右为东）和一条铅垂线（向上为北），则从O点出发的视线与铅垂线所夹的锐角，叫做观测的方向角．如图4中，OA，OB，OC，OD的方向角分别是：北偏东30°，南偏东45°（东南方向）.南偏西60°，北偏西60°。
2.解直角三角形的思路是：（1）解直角三角形的方法可以概括为“有弦（斜边）用弦（正弦，余弦），无弦用切（正切，余切），取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；既可由已知数据又可由中间数据求解时，取原始数据，忌用中间数据。
（2）解含有非基本元素的直角三角形（即直角三角形的中线，高，角平分线，周长，面积等）一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为基本元素间的关系式，再通过解方程组求解。
3. 在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应用．我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决，具体地说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了。
一般有以下三个步骤：（1）审题，通过图形（题目没画出图形的，可自己画出示意图），弄清已知和未知；（2）找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题；（3）根据直角三角形元素（边、角）之间关系解有关的直角三角形。
解直角三角形的应用(正确认识一个基本图形)
直角三角形ACB。 • 这两个直角三角形，是问题解
决的“根据地”。 • 解此题关键就是这两个三角形
公共的直角边
反
思
评 价
1、楼梯加长了多少
某学校准备改善原有楼梯的安全性能, 把倾角由原来的400减至350,已知原楼 梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多 少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确 到0.01m).
B
┌
AD
C
° 如图所示，在高楼前点测得楼顶的仰角为30 ，向高楼前进60米到点， ° 又测得仰角为45 ，则该高楼的高度大约为（ ）
• 分析： • 在这里，DC=60米，
α=30°,β=45°，
又到了一年中的清明节，我班学生利用周末去参观“红军过朗洞纪念碑 ‘如图所示。下面是两位同学的一段对话：
复习引入
创设情景 分析探索 辨析研讨 反思评价
退出
问题 一
复习引入
星期天，小华去图书超市购书，因他所买书类在二
楼，故他乘电梯上楼，已知电梯AB段的长度8 m，倾斜 角为300，则二楼的高度（相对于底楼）是__________m
B
300
A
C
问题二： 我校准备在田径场旁建①②两幢学生公寓，已知每幢
4m
作业
必做:
89页练习1. 97习题 8.
° 甲：我站在这桥头看塔顶仰角为60
° 乙：我站在那桥头看塔顶仰角为30 甲：我们的身高都是1.6m
乙：我们相距30m
请你根据两位同学的对话，计算纪念碑的高度（
例2、学校操场上有一根旗杆，上面有一
根开旗用的绳子（绳子足够长），王同学
A
拿了一把卷尺，并且向数学老师借了一把
解直角三角形的应用举例课件
直角三角形的边和角的关系
1 正弦定理：sin(边/邻边
2 余弦定理：cos(A) =
邻边/斜边，cos(B) = 对边/斜边，cos(C) = 对边/邻边
解直角三角形的应用举例 ppt课件
直角三角形是一种特殊的三角形，它具有很多实用的应用。本课件将介绍直 角三角形的定义、特点、边和角的关系，以及直角三角形在测量、几何图形 和实际生活中的常见应用举例。
直角三角形的定义
1 对于一个三角形来说，如果有一个角是直角（90°角），则该三角形是直角三角形。
直角三角形的特点
直角三角形在实际生活中的应用举例
航海导航
用直角三角形的海图与经纬线相交确定位置。
建筑施工
用直角三角形测量建筑物的角度和比例，确保施 工的准确性。
飞行导航
用直角三角形计算飞机航线、飞行高度、地平线 角度等。
摄影测量
使用直角三角形测量物体的距离和高度，帮助摄 影师选择拍摄的角度和位置。
3
测量斜率
直角三角形可以用来测量地面的斜率， 帮助工程师确定在不同地形上的施工方 法。
直角三角形在几何图形中的应用举例
图形拼接
将多个直角三角形拼接在一起， 可以创建各种几何图形，例如正 方形、长方形和平行四边形。
金字塔
金字塔是由多个直角三角形堆叠 而成，是古代建筑中常见的形式 之一。
三棱柱
三棱柱的两个底面都是直角三角 形，是几何学中常见的立体图形。
直角三角形的特性被电路设计 师用于计算电阻、电流和电压 的关系，对电路的分析和设计 提供了便利。
直角三角形在测量中的应用举例
解直角三角形的应用举例课件[原创]
![解直角三角形的应用举例课件[原创]](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/9f86c84fad02de80d4d840ee.webp)
（2）示意图如右图
（3）BD=a , ∠ACE=ą （4）AB = a tgą+ 1.5
M
C D ą N E B
例
3 校数学兴趣小组同学打算去测量始丰溪岸一铁塔的
高度，他们带了以下工具皮尺一根教学三角板一副高度 为1.5米的测角仪（能测仰角和俯角的仪器）一架。 若测量的铁塔位于始丰溪的对岸，假如人又无法直接到达 对岸，该如何设计测量方案？ 方案1 （1）测量工具 （2）示意图如右图 A
（3）CD=1.5 ,DF=a a （4） AB= + 1.5
ctgą- ctgβ
C ą D F
β
Ｅ Ｂ
例
3 校数学兴趣小组同学打算去测量始某铁塔的高度，
他们带了以下工具皮尺一根教学三角板一副高度为1.5 米的测角仪（能测仰角和俯角的仪器）一架。 若测量的铁塔位于始一河流的对岸，假如人又无法直接到 达对岸，该如何设计测量方案？ 方案2 （1）测量工具 （2）示意图如右图 A
h α
l
（2）仰角和俯角
铅 直 线 仰角
视线
水平线 俯角
北
30° 东
视线
A
（3）方向角 如图：点A在O的北偏东30°
西
点B在点O的南偏西45°（西南方向）
B
O 45° 南
例
1
如图学校里有一块三角形形状的花圃ABC,现测得∠A=30°, AC=40m,BC=25m,请你帮助计算一下这块花圃的面积? 解：过点C作CD⊥AB于D C 在Rt△ADC中， ∠A=30°, AC=40, ∴CD=20,AD=AC•cos30° =20√ 3 B D 在Rt△CDB中， CD=20 , CB=25, A √CB2 – CD2 = 15 ∴DB= 思考1、在上述条件不改 ∴S△ABC= 1 AB•CD= 1 (AD+DB)•CD 变的情况下，如果没有 2 2 给出图形，那么上述的 √3 +150)(m2) =(200 解法是否正确？ 思考2、若例题中已知条件为∠A=30°, AC=40m,BC=25m,如何计算花圃面积？
解直角三角形完整版PPT课件
余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算 山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角 形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则 这两个直角三角形相似。根据此定理， 可以推导出一些重要的直角三角形性 质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的 高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函 数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余 弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为 正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精 度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行 求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。
解直角三角形及其应用
o
F
A
E
B
例2：计算6tan45 -2cos60
o
o
一般地，当ɑ，β为任意角时，sin(ɑ+β)与 sin(ɑ-β)的值可以用下面的公式求得： sin(ɑ+β)=sinɑ cosβ+cosɑ sinβ sin(ɑ-β)=sinɑ cosβ-cosɑ sinβ 例如： o o o o o o sin90 =sin(60 +30 )=sin60 cos30 +cos60 sin o 30 = 3 3 1 1 =1
A F H B C
A F H B E G
C
D
2 3
5 3
10 5
5 5
2 2 2 2
类似的可以求得sin15 的值是
o
例3：某市在创建文明城市活动中，对道路进 行美化。如图，道路两旁分别有两个高度相同 的路灯AB和CD，两个路灯之间的距离BD长为 24米，小明在点E(B,E,D,G在一条直线上）处 o 测得路灯AB顶部A点的仰角为45 ,然后沿BE方 向前进8米到达点G处，测得路灯CD顶端的C 点仰角为30。已知小明的两个观测点F,H距离 地面的高度EF,GH均为1.6米，求路灯AB的高 度。(精确到0.1米，参考数据 2≈1.41， 3≈ 1.73）
1、由直角三角形中已知的边和角，计算出未 知的边和角的过程，叫做解直角三角形。
解直角三角形需要除直角之外的两个元素，且至少有一个元素是边。
2、锐角三角函数：我们把正弦、余弦、正切 统称为“锐角三角函数”。
3、正弦=对边/斜边 余弦=邻边/斜边 正切=对边/邻边 （特殊三角函数值的记忆）
例1：如图，在Rt∆ABC中，∠C=90 ， o ∠A=30 ,E为AB上一点且AE:EB=4:1,EF⊥AC 于点F,连接FB，则tan∠CFB=
解直角三角形及其应用--知识讲解
解直角三角形及其应用—知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.要点二、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，角锐角、对边 (如∠A ，a)∠B=90°－∠A ，，斜边、锐角(如c ，∠A)∠B=90°－∠A ，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h 和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA ，PB ，PC 的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA ，OB ，OC ，OD 的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】 类型一、解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，3b =． 【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由tan bB a =知，tan 4tan6043b a B ==⨯=°． 由cos a B c =知，48cos cos 60a c B ===°． (2)由tan 3bB a==得∠B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ 222a b c +=，∴ 2242c a b =+==．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值． 举一反三：【高清课程名称：解直角三角形及其应用 高清ID 号：395952 关联的位置名称（播放点名称）：例1（1）-（3）】【变式】（1）已知∠C=90°，a=23，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ； 【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°； （2）a=4；b=252．（2016•包头）如图，已知四边形ABCD 中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ． （1）若∠A=60°，求BC 的长； （2）若sinA=，求AD 的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【思路点拨】（1）要求BC 的长，只要求出BE 和CE 的长即可，由题意可以得到BE 和CE 的长，本题得以解决； （2）要求AD 的长，只要求出AE 和DE 的长即可，根据题意可以得到AE 、DE 的长，本题得以解决． 【答案与解析】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6，又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，∴CE==8，∴BC=BE ﹣CE=6﹣8；（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴设BE=4x ，则AE=5x ，得AB=3x ， ∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10， ∴tanE====，解得，DE=，∴AD=AE ﹣DE=10﹣=，即AD 的长是．【总结升华】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答．类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．如图所示，BC 是半圆⊙O 的直径，D 是AC 的中点，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，(1)求证：△ABE ∽△DBC ； (2)已知BC ＝52，CD ＝52，求sin ∠AEB 的值； (3)在(2)的条件下，求弦AB 的长．【答案与解析】(1)∵ AD CD =，∴ ∠1＝∠2，又BC 是⊙O 的直径，∴ ∠BAC ＝∠BDC ＝90°． ∴ △ABE ∽△DBC ．(2)由△ABE ∽△DBC ，∴ ∠AEB ＝∠DCB ． 在Rt △BDC 中，BC ＝52，CD ＝52， ∴ BD ＝225BC CD -=， ∴ sin ∠AEB ＝sin ∠DCB ＝525552BD BC ==． (3)在Rt △BDC 中，BD ＝5，又∠1＝∠2＝∠3，∠ADE ＝∠BDA ，∴ △AED ∽△BAD ． ∴AD DE DB AD=，∴ 2AD DE DB =．又∵52CD AD==，∴ CD2＝(BD－BE)·BD，即25(5)52BE⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，∴354BE=．在Rt△ABE中，AB＝BEsin∠AEB＝32355452⨯=．【总结升华】本题综合了三角函数、相似三角形、勾股定理、圆等方面知识，尤其涉及三角函数问题，都是通过找出或构造直角三角形来解决问题． (1)根据圆周角定理易证△ABE∽△DBC．(2)利用(1)的结论，将∠AEB转化为Rt△BCD中的DCB∠．(3)在Rt△ABE中求AB．举一反三：【高清课程名称：解直角三角形及其应用高清ID号：395952关联的位置名称（播放点名称）：例2】【变式】如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少?【答案与解析】解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6，∴∠A=45°，在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，在Rt△BED中，tan∠DBE==，∴BE=5x，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为1:3i =（i ＝1:3是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)． 【答案与解析】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==． (2)在Rt △DEC 中，∵ 3tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°．又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AG AFG FG ∠=，即3535FB =+，解得535 3.66(m)FB =-=． 答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.1米，参考数据3＝1.73)．【答案与解析】过点C 作CE ⊥AB 于E ．∵ ∠D ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°， ∴ ∠CAD ＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD ＝10，∴ AC ＝12CD ＝5． 在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin ∠ACE ＝5×sin 30°＝52， CE ＝AC ·cos ∠ACE ＝5×cos 30°＝532， 在Rt △BCE 中，∵ ∠BCE ＝45°， ∴ 5553(31)222AB AE BE =+=+=+≈6.8(米)． ∴ 雕塑AB 的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．。
解直角三角形的应用(19张ppt)课件
选择合适的解法
根据实际情况选择合适的解法，如近似计算、 精确计算等。
注意单位统一
在实际应用中，要注意单位统一，避免计算 错误。
考虑多解情况
在某些情况下，解直角三角形可能存在多个 解，需要全面考虑。
06
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基本概念和公式
直角三角形中的角度和边长关系
理解直角三角形中锐角、直角和钝角之间 的关系，以及边长与角度之间的勾股定理 。
利用三角函数定义求解
总结词
通过已知角度和邻边长度，求对边或 斜边长度。
详细描述
根据三角函数定义，已知一个锐角和它 所对的边，可以通过三角函数求出其他 两边。例如，已知∠A=30°和a=1，可 以通过三角函数sin(30°)求出对边b。
利用勾股定理求解
总结词
通过已知两边的长度，求第三边长度。
详细描述
向。
确定建筑物的角度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的角度和方向。
确定建筑物的长度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的长度和方向。
物理问题中的运用
确定物体的运动轨迹
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的运动轨 迹和方向。
确定物体的受力情况
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的受力情 况和方向。
04
实际应用案例
测高问题
01
02
03
测量山的高度
通过测量山脚和山顶的仰 角，利用解直角三角形的 知识，可以计算出山的高 度。
测量楼的高度
利用解直角三角形的知识， 通过测量楼底和楼顶的仰 角，可以计算出楼的高度。
测量树的高度
通过测量树底部和树顶部 的仰角，利用解直角三角 形的知识，可以计算出树 的高度。
2020中考复习第24课时解直角三角形的应用
2
=(4+4 3)m.
图24-14
考点聚焦
5. [2019·南京] 如图24-15,山顶有一塔AB,塔高33 m.计划在塔的正下方沿直线
CD开通穿山隧道EF.从与点E相距80 m的C处测得A,B的仰角分别为27°,22°,从
与点 F相距50 m的D处测得A的仰角为45°.求隧道EF的长度.(参考数据
上的影高为CA;春分日正午,太阳光线与水平面所成的角为55.7°,1号楼在2号楼
墙面上的影高为DA.已知CD=42 m.
(1)求楼间距AB;
(2)若2号楼共有30层,层高均为3 m,则点C位于第几层?
(参考数据:sin32.3°≈0.53,cos32.3°≈0.85,tan32.3°≈0.63,
sin55.7°≈0.83,cos55.7°≈0.56,tan55.7°≈1.47).
建筑的高度BC为
m.
(参考数据:sin17°≈0.29,cos17°≈0.96,tan17°≈0.31)
图24-11
考点聚焦
[答案]262
[解析] 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E,则四边形 ADCE 为矩形.
在 Rt△ACD 中,∵AD=62,∠ACD=∠EAC=17°,
62
∴AE=CD=tan 17°≈0.31 =200.
A.h(tan50°-tan20°)
B.h(tan50°+tan20°)
C.h
D.h
1
−
tan 70°
1
1
tan 40°
1
+ tan 40°
tan 70°
图24-5
)
考点聚焦
[答案] A
[解析] 过点A作AD⊥BC,交CB的延长线于点D,