有限元法基本原理及应用第四章重庆大学龙雪峰

• 如果计算结果揭示事物的内在规律，说明有限元模型 和实际物理模型的力学性能是一致的，是个好模型。
• 如果计算结果不符合实际情况或者计算进行不下去， 可能出现的错误有单元类型不对、网格数量太少、材 料模型错误、约束和载荷的施加方式不对、接触定义 有问题、网格质量差、计算方法不对等，建模过程中 的每个因素都可能造成计算结果错误或计算困难。
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第四章 有限元分析中的若干问题
4.2.2 周期性条件
有些结构可以划分为若干形状完全相同的子结构，当任意一 子结构绕对称轴旋转一定角度时，该子结构的形状将与其他 子结构完全重合，这种结构称为循环对称结构或直接称为周 期对称结构。 工程中如风扇叶片、花键、螺旋桨、齿轮、法兰盘等都是循 环对称结构，如图4.9所示。 如果结构所受载荷和 位移的约束也是周期 对称的，且各子结构 材料和物理特性也完 全相同，则应力和变 形关于同一轴周期对 称。
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第四章 有限元分析中的若干问题
建模之前，了解建模对象： 1、弄清结构几何特征、所受载荷性质、结构材料特性，而且初步 估计响应情况。 • 2、分析判断研究对象属于哪一类性质的问题———— ※是线性问题还是非线性问题： 在平衡方程、应力关系、应变位移关系、边界条件和连接条件中， 只要其中任意一关系式中变量之间出现非线性关系，则整个问题就 属于非线性问题。 ※是静力问题还是动力问题： 当物体变形的大小与物体某个几何尺寸可以相比拟时，应按大变形 来处理；当应变量大于0.3时，应按大应变问题处理。大变形、大 应变问题都属于几何非线性。当材料的应力应变关系不再是线性关 系，比如材料进入屈服以后，应按材料非线性问题处理。 ※是小变形问题还是大变形、大应变问题： 只有当所有变量和关系式都与时间无关时，才能算作静力问题，否 则应按动力问题处理。 ※根据物体的形状和受力情况，是否可以作为一维问题、二维问题， 还是三维问题；有无对称性、反对称性或周期对称等可利用。
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第四章 有限元分析中的若干问题
• （5) 认真选取单元，包括单元类型、形状、阶次，使之能够很 好地模拟几何形状、反映受力和变形情况。单元类型如杆单元、 梁单元、平面单元、板单元或空间单元等，空间块体又分四面 体块单元或六面体块单元，六面体块单元又分八节点六面体或 二十节点六面体等。选取单元时应综合考虑结构的类型、形状 特征、应力和变形特点、精度要求和硬件条件等因素。 • （6) 应根据结构特点、应力分布情况、单元的性质、精度要求 及其计算量的大小等仔细划分计算网格。 • （7) 在几何上要尽可能地逼近真实的结构体，其中特别要注意 曲线与曲面的逼近问题。 • （8) 仔细处理载荷模型，正确生成节点力，同时载荷的简化不 应该跨越主要的受力构件。 • （9) 质量的堆积应该满足质心及惯性矩等效要求。 • （10) 超单元的划分尽可能单级化并使剩余结构最小。
矛盾：解题规模与解题精度
解题规模--------有限元的计算时间----------节点数的多少有很大关系。 在保证计算精度的条件下，应采用各种手段减少节点数，以节约计算时间 和成本。
4.2.1 对称性和反对称性
结构的对称性， 是指结构的几何形状和支撑条件对某轴（面）对称， 同时截面和材料性质也对称于此轴（面）。 结构绕对称轴对折后，左右两部分完全重合。
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4.1.2 边界条件的处理
对于基于位移模式的有限元法，在结构的边界上必须严 格满足已知的位移约束条件。
图a中，uA=vA=θA=0，
a 图b中，uA=vA=vB=0 b 图c中，uA=vA=0 uBx/UBy=tanφ c
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第四章 有限元分析中的若干问题
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第四章 有限元分析中的若干问题
有时对称结构上作用的载荷既不是对称的也不是反对称的，如一个 齿轮的轮齿受到啮合力作用。可利用对称及反对称性计算这样的问 题。如图4.8所示。计算时可以先根据对称条件，计算一半结构， 载荷取原来的一半，给出对称约束条件，计算完后将结果赋值给另 一半，如图4.8a所示。再按反对称问题，计算一半结构，载荷也是 原来的一半，给出反对称约束条件，计算完后将结果按关系赋值给 另一半，如图4.8b所示。最后将两次计算结果叠加，就得出对称结 构只在左边有一集中力F作用下的位移及应力了。
第四章 有限元分析中的若干问题
• 一个复杂结构常常是由杆、梁、板、壳及二维体、三维体等多 种形式的构件组成。由于杆、梁、板、壳及二维体、三维体之 间的自由度个数不匹配，必须妥善加以处理。
如图4.2所示，平面梁每个Βιβλιοθήκη Baidu点有三个自由度，而平面应力单元 每个节点有两个自由度，当这两种构件连接在一起时，交点处的 自由度不协调，如果只约束两个平移自由度，不限制转动，则相 当于铰接，与原结构不符。
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第4章 有限元分析中的若干问题
4.1 有限元计算模型的建立
• 有限元模型是有限元程序可以处理的对象，它是实际 结构的合理模拟。 • 建立有限元模型须权衡两个方面： • 一、要保证力学的完整性。也就是说我们建立的有限 元模型既要承载完整的力学信息，尽可能真实地反映 实际情况。 • 二、要保证计算的有效性。要保证计算机可以快速计 算，这样的模型才是好的模型。
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• 为此可以采取两种解决办法， • 一是人为地将杆件向平面内延伸一段，使i、m两点处梁和平面 位移相一致， • 即ui1= ui2，vi1= vi2，um1= um2，vm1= vm2， • 其中：ui1，vi1，um1，vm1为梁上i、m两点的位移分量；ui2，vi2， um2，vm2为平面上i、m两点的位移分量。 • 从而满足两构件连接条件。 • 另一种是在连接处，梁和平面的变形之间，满足如下约束关系
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对称边界条件，对于不同单元类型，具体会有所不同。如平面 问题中，每个节点两个自由度，对称边界条件：对称轴上节点 垂直于对称轴方向的位移等于零。 图4.6 中AB 边上节点y 方向位移等于零， AD 边上节点x 方向位移等于零。 图4.6 结构若作用的载荷垂直于板面，则为板壳元，板壳元中， 每个节点六个自由度，对称边界条件：对称轴上节点垂直于对 称轴方向的位移等于零，绕着对称轴和绕着法线的转角等于零。 AB 边上节点v=0,θx=0,θz=0。 一般三维情况中对称条件如表4.1 所示。
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4.2.3 降维处理和几何简化
对于一个复杂的工程构件，可根据其在几何上、力学上或 传热学上的特点，进行降维处理。即一个三维物体，如果 可以忽略某些几何上的细节或次要因素，就能按照二维问 题来处理。例如螺纹连接结构中，由于螺纹升角很小，也 可认为螺纹牙的受力在周向是相同的，从而近似看成轴对 称结构。一个二维问题，若能近似地看成一维问题，就尽 量当一维问题计算。维数降低，计算量将降低几倍、几十 倍。例如，齿轮、连杆、径向轴承等许多零件都可以近似 作为平面问题。在复杂的结构计算中，应尽量减少按三维 问题处理的部分。
d 图d中，vC=-Δ
e 图e：当边界与另一弹性体相连，构成弹性边界时，可分两种 情况处理。当弹性体对边界点的支撑刚度已知时，则可将它的 作用简化成弹簧，在此节点上加一弹簧单元，
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图f：当弹性体对边界点的支撑刚度不 清楚时，则可将此弹性体的一部分划 出来和结构连在一起进行分析，所划 区域的大小视其有影响的区域大小而 定。 f
其中θ 为一个子结构所夹圆心角，式中ui1，vi1 为CD 边上 节点的位移， ui2 ， vi2 为C’D’边上对应的节点的位移分量。 另外，还有一种周期对称结构可以看做由一个子结构沿某 一方向多次重复得到，称为重复对称结构，如图4.9b 中的 齿条。如果结构所受载荷和约束同样满足重复对称条件， 与循环对称类似，只需要模拟和分析一个子结构。
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有了准确的力学模型，使有限元建模有了基础。 有限元建模过程包括： 选择单元类型， 确定单元的尺寸大小， 保证网格划分质量， 定义材料和单元特性， 处理载荷和边界条件， 确定计算方法和控制参数， 要求输出结果等
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当整个结构存在刚体位移时，就无法进行静力分析、动力分 析。为此，必须根据实际结构的边界位移约束情况，对模型 的某些节点施加约束，消除结构的刚体位移影响。
图g：根据对称性，C点两方向位移 均为零，因此对C点施加约束是适当 的。若把A、B、D点两方向位移指 定为零，就与实际情况不符。
g
有限元原理及应用 • 4.1.3 连接条件的处理
式中ui1，vi1，θi1 为梁上i 点的位移及转角；ui2，vi2，uj2，vk2 为平面上i、 j、k 点的位移分量；l1 为平面上i、j 点距离，l2 为平面i、k 点距离。
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如图4.3 所示 ，两根梁在A 点用铰链 连接在一起形成交叉梁，这时在A 点梁一和梁二的位移应分别相等， 但转角可以不同，构成铰接关系。 uA1= uA2，vA1= vA2，其中uA1，vA1 为 梁一上A 点的位移分量； uA2， vA2， 为梁二上A 点的位移分量。
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对称结构如果作用的载荷是反 对称的，即将结构绕对称轴对 折后，两载荷的作用点重合， 载荷大小相同，但载荷方向相 反。根据结构力学可知，在反 对称载荷作用下，结构的位移 及应力都将反对称于对称轴。 如图4.7 所示。一般三维情况 中反对称条件如表4.2 所示。
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第四章 有限元分析中的若干问题
• 4.1.1 有限元建模的准则 • 有限元建模的总则是根据工程分析的精度要求，建立合适的、 能模拟实际结构的有限元模型。在连续体离散化及用有限个参 数表征无限个形态自由度过程中不可避免的引入了近似。为使 分析结果有足够的精度，所建立的有限元模型必须在能量上与 原连续系统等价。具体应满足下述准则： • （1) 有限元模型应满足平衡条件。即结构的整体和任意一单元 在节点上都必须保持静力平衡。 • （2) 满足变形协调条件。交汇于一个节点上的各单元在受力变 形后也必须保持汇交于同一节点。 • （3) 满足边界条件和材料的本构关系。边界条件包括整个结构 的边界条件和单元间的边界条件。 • （4) 刚度等价原则。有限元模型的抗拉压、抗弯曲、抗扭转、 抗剪切刚度应尽可能与原来结构等价。
如图4.4 所示，滑动连接关系，两 物体在i 点沿法线方向位移相同， 切向可以不同。
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如图4.5 所示，梁和板紧贴在一起，而梁的节点和板的节点之间有一段 距离l，可以把节点之间看成刚性连接关系，即
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4.2 减小解题规模的常用措施
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对称结构如果作用对称载荷，则变形和应力也是对称的。只 需取一半的结构建模即可，对称轴上的节点给出对称边界条 件，算完后还可以根据对称性扩展出另一半结果。这样解题 规模可减小一半。 如图4.6 所示的一矩形板，两边受均布拉力作用，显然这个 问题属于结构对称、载荷也对称情况，而且有两个对称轴， 我们可以取四分之一来建模即可，计算工作量可节省约四分 之三。
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对于周期对称问题，计算时可以只取一个子结构进行分析。 注意在取一个子结构时使应力集中区域在子结构内部而不 在边界，如图4.10 所示，取CD、C’D’，不取AB、A’B’。
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另外两边线上划分的节点数量要相同、位臵也要对应相同，以便 于在边线上给出周期性边界条件。如在CD 和C’D’边上的节点， 应使它们每对对应点的环向位移和径向位移一一对应相等， 在以结构中心为原点的极坐标系中: ui1=ui2 ，vi1=vi2 若在直角坐标中位移条件可表示为：