高中数学选修1-2学案：2.2.2 反证法
人教版高中数学选修(1-2)-2.2《反证法》教学设计
2.2.2 反证法（陈昌杰）一、教学目标1．核心素养培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力2．学习目标（1）理解反证法的概念（2）体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤（3）会用反证法证明简单的命题3．学习重点对反证法的概念和三个步骤的理解与掌握．4．学习难点理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据．二、教学设计（一）课前设计【学习过程】1．预习任务任务1预习教材P42—P43，思考：什么是反证法？你以前学过反证法吗？任务2反证法证明问题的步骤是什么？值得注意的问题哪些？2．预习自测1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（）①结论相反的判断，即假设②原命题的条件③公理、定理、定义等④原结论A．①②B．①②④C．①②③D．②③答案：C【知识点：三角形内角和的性质，命题的否定，反证法】由反证法的定义可知应选C．2．如果两个实数之和为正数，则这两个数（）A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．两个都是非负数D．至少有一个是正数答案：D3．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为（）A．a<0，b<0，c>0B．a≤0，b>0，c>0C．a，b，c不全是正数D．abc<0答案：C4．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是（）A．有一个解B．有两个解C．至少有两个解D．至少有三个解答案：D（二）课堂设计1．知识回顾著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与。
人教版选修1-2第二章2.2.2反证法课件
司马懿见此情景，心中疑虑：“诸葛亮
一生精明过人，谨慎有余，从不冒险，
今天如此这般，城内恐怕必有伏兵，有
意诱我入城，绝不能中计也。”
数学中常见实例分析：
1.a 0, b 0, a b 1, 求证：a, b中至少有
1
一个不大于 .
2
2.a, b, c不全为零，a b c 0, 求证：a, b, c
只有一个根．
点评：“有且只有”包含了“有根”和“只有这个
根”两层意思．由于a≠0，因此方程至少有一
个根＝ .从正面较难说明为什么只有这个
根．故我们采用反证法．
试一试
求证：在一个三角形中，
至少有一个内角小于或等
于60°.
A
B
C
证明：假设结论不成立，即：
＜
＜
＜
∠A___ 60°, ∠B ___ 60°,
（1）a是实数。
（2)a大于2。
a小于或等于２
a不是实数
（3）a小于2。
（4）至少有2个
a大于或等于２
最多有1个
（5）最多有一个
（6）两条直线平行。
至少有两个
两直线不平行
巩固新知
2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”
的第一步是 假设a=b 。
巩固新知
3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相
中至少有一个大于0.
定义
假设原命题 不成立 ，经过正确的推理，最后得出矛
假设错误
盾，因此说明________，从而证明了
这样的证明方法叫做反证法.
原命题成立，
反证法常见的矛盾类型
人教课标版高中数学选修1-2：《反证法》教案-新版
2.2.2 反证法一、教学目标1．核心素养培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力2．学习目标（1）理解反证法的概念（2）体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤（3）会用反证法证明简单的命题3．学习重点对反证法的概念和三个步骤的理解与掌握．4．学习难点理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据．二、教学设计（一）课前设计【学习过程】1．预习任务任务1预习教材P42—P43，思考：什么是反证法？你以前学过反证法吗？任务2反证法证明问题的步骤是什么？值得注意的问题哪些？2．预习自测1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（）①结论相反的判断，即假设②原命题的条件③公理、定理、定义等④原结论A．①②B．①②④C．①②③D．②③答案：C【知识点：三角形内角和的性质，命题的否定，反证法】由反证法的定义可知应选C．2．如果两个实数之和为正数，则这两个数（）A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．两个都是非负数D．至少有一个是正数答案：D3．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为（）A．a<0，b<0，c>0B．a≤0，b>0，c>0C．a，b，c不全是正数D．abc<0答案：C4．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是（）A．有一个解B．有两个解C．至少有两个解D．至少有三个解答案：D（二）课堂设计1．知识回顾著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与“多李”产生矛盾．所以假设不成立,李为苦李．2．问题探究问题探究一反证法的概念●活动一1．什么是反证法？引例：证明：在一个三角形中至少有一个角不小于60°．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个不小于60°．∆的三个内角∠A，∠B，∠C都小于60°，证明：假设ABC则有∠A <60°，∠B < 60°，∠C <60°，∠A+∠B+∠C<180°这与三角形内角和等于180°相矛盾．所以假设不成立，所求证的结论成立．先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确．这种证明方法就是——反证法一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法也称归谬法●活动二1．常用词语的反义词从上面的引例可以看出：用反证法证明问题时，都是得到一系列矛盾结果，会出现一些反义词，因此，同学们要注意常见词语的反义词，你知道哪些反义词呢？下面是一些常见反义词：问题探究二反证法的证题的基本步骤●活动一反证法的证明过程从前面的引例中你可以总结出反证法证明问题有哪些步骤？反证法的证明过程：否定结论——推出矛盾——肯定结论，即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立；归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立．●活动二归谬矛盾的方法思考一下，归谬矛盾的方法有哪些？归谬矛盾主要有以下方法：（1）与已知条件矛盾．（2）与假设矛盾或自相矛盾．（3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾．●活动三反证法证明问题的适用范围同学们知道用反证法证明问题的范围有哪些吗？是不是所有的问题反证法都适用？反证法证明问题的适用范围（1）否定性命题；（2）限定式命题；（3）无穷性命题；（4）逆命题；（5）某些存在性命题；（6）全称肯定性命题；（7）一些不等量命题的证明；（8）基本命题；（9）结论以“至多……”“至或少……”的形式出现的命题等．问题探究三反证法可以解决哪些问题？●活动一用反证法证明否(肯)定式命题例1 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的零点，命题的否定，反证法；数学思想：函数与方程】详解：假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．而f(0)，f(1)均为奇数，即c 为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数．又a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．点拔：（1）此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法．证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应用．（2）对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．●活动二用反证法证明“唯一性”命题例2 若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．【知识点：函数的零点，函数的单调性，命题的否定，反证法】详解：由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0，所以f (x )在(a ，b )内至少存在一个零点，设零点为m ，则f (m )＝0，假设f (x )在(a ，b )内还存在另一个零点n ，且n ≠m ．，使f (n )＝0，若n ＞m ，则f (n )＞f (m )，即0＞0，矛盾；若n ＜m ，则f (n )＜f (m )，即0＜0，矛盾．因此假设不正确，即f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点．点拔：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．●活动三 用反证法证明“至多、至少”问题例3 已知x ，y ＞0，且x ＋y ＞2．求证：1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】详解： 假设1＋x y ，1＋y x 都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋y x ≥2．∵x ＞0，y ＞0，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x ．∴2＋x ＋y ≥2(x ＋y )．即x ＋y ≤2，这与已知x ＋y ＞2矛盾．∴1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．点拔：反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个等．例4 设二次函数2()f x x px q =++，求证：(1),(2),(3)f f f 中至少有一个不小于12． 【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】 详解：假设(1),(2),(3)f f f 都小于12，则 .2)3()2(2)1(<++f f f （1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确．点拔：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行．议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况．试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？●活动四利用反证法证题时，假设错误而致误例5 已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a ＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．【错解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0，相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2<0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，此不等式不能成立，所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．【知识点：方程的根，反证法】【错因分析】上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，方程没有两个相异实根时Δ≤0．【正解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0．相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*)由题意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立．所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．点拔：用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．3．课堂总结【知识梳理】(1)反证法：假设原命题的反面正确，根据已知条件及公理、定理、定义，按照严格的逻辑推理导出矛盾．从而说明假设不正确，得出原命题正确．(2)反证法是间接证明的一种方法，在证明否定性命题、唯一性命题和存在性命题时运用反证法比较简便．(3)反证法的基本步骤是：①反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果；③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立．【难点突破】用反证法证题时,应注意的事项:（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏．（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性．（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的．（4）反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个．（5）归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木．推理必须严谨．导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾．4．随堂检测1．用反证法证明“如果a＞b，那么3a＞3b”的假设内容应是（）A．3a＝3bB．3a＜3bC．3a≤3bD．3a≥3b答案：C【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】“大于”的对立面为“小于等于”，故应假设“3a ≤3b ”．2．否定“任何一个三角形的外角都至少有两个钝角”时正确的说法为（ ）A ．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角B ．任何一个三角形的外角都没有两个钝角C ．没有一个三角形的外角有两个钝角D ．存在一个三角形，其外角有两个钝角答案：A【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】原命题的否定为：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．3．用反证法证明命题：若a 、b 是实数，且|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1时，应作的假设是________．答案：a ≠1或b ≠1．【知识点：命题的否定，反证法】∵“a ＝b ＝1”的否定为“a ≠1或b ≠1”，故应填a ≠1或b ≠1．4．证明方程2x ＝3有且仅有一个实根．【知识点：命题的否定，反证法】证明：∵2x ＝3，∴x ＝32，∴方程2x ＝3至少有一个实根．设x 1，x 2是方程2x ＝3的两个不同实根，则⎩⎨⎧2x 1＝3， ①2x 2＝3， ② 由①－②得2(x 1－x 2)＝0，∴x 1＝x 2，这与x 1≠x 2矛盾．故假设不正确，从而方程2x ＝3有且仅有一个实根．三、智能提升★基础型 自主突破1．(2013·海口高二检测)用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设（ ）A ．三个内角都不大于60°B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D ．三个内角至多有两个大于60°答案：B三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确．2．实数a，b，c不全为0等价于（）A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0答案：D【知识点：命题的否定，反证法】实数a，b，c不全为0，即a，b，c至少有一个不为0，故应选D．3．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2．用反证法证明时，可假设p＋q≥2．(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1．以下结论正确的是（）A．(1)与(2)的假设都错误B．(1)与(2)的假设都正确C．(1)的假设正确；(2)的假设错误D．(1)的假设错误；(2)的假设正确答案：D【知识点：命题的否定，反证法】(1)的假设应为p＋q>2；(2)的假设正确．答案是D4．下列命题不适合用反证法证明的是（）A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1答案：C【知识点：命题的否定，反证法】A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D 中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明．5．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是_____________．答案：三角形中最少有两个内角是直角【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角．能力型 师生共研1．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中（ ）A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2答案：C【知识点：基本不等式，命题的否定，反证法】假设都大于－2，则1116a b c b c a+++++>-，又()112a a a a ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，同理12b b +≤-，12c c +≤-， 故1116a b c b c a+++++≤-，矛盾．即a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中至少有一个不大于－2,所以答案C ． 2．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为________． 答案：a 、b 不全为0【知识点：命题的否定，反证法】“a 、b 全为0”即“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0，3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°．上述步骤的正确顺序为________．答案：③①②【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】4．甲乙丙三位同学中，有一位同学做了一件好事，这时候老师问他们三人，是谁做的？甲说："丙做的．”丙说：“不是我做的．”乙也说：“不是我做的．”如果知道他们三个人中，有两人说了假话，有一人说真话，你能判断出是谁做的吗？【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：每人讲的话中都有一句真话，一句假话．乙说：“我没有做这件事，丙也没有做这件事．”说明乙丙两人中有一人做了这件事，甲一定没做而甲说：“我没有做这件事，乙也没有做这件事．”前一句是真的，后一句一定是假的．所以，是乙做的这件好事！5．用反证法证明：无论m 取何值，关于x 的方程x 2－5x ＋m ＝0与2x 2＋x ＋6－m ＝0至少有一个有实数根．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：假设存在实数m ，使得这两个方程都没有实数根，则⎩⎨⎧ Δ1＝25－4m ＜0，Δ2＝1－8(6－m )＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞254，m ＜478，无解．与假设存在实数m 矛盾．故无论m 取何值，两个方程中至少有一个方程有实数根．6．已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0，c ＞0．【知识点：不等式的证明，命题的否定，反证法】证明: 假设a ＜0，由abc ＞0得bc ＜0，由a ＋b ＋c ＞0，得b ＋c ＞－a ＞0，于是ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc ＜0，这与已知矛盾．又若a ＝0，则abc ＝0，与abc ＞0矛盾，故a ＞0，同理可证b ＞0，c ＞0．探究型 多维突破1．若x ，y ，z 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，则a ，b ，c 中是否至少有一个大于0？请说明理由．【知识点：推理与证明，实数非负性，命题的否定，反证法】解：假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0．而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，因为π－3>0，且无论x ，y ，z 为何实数，(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，所以a ＋b ＋c >0．这与假设a ＋b ＋c ≤0矛盾．因此，a，b，c中至少有一个大于0．2．如下图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．【知识点：线面垂直，面面垂直，异面直线，命题的否定，反证法】解：(1)如图，取CD的中点G，连接MG，NG，∵ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，∴MG⊥CD，MG＝2，NG＝2．∵平面ABCD⊥平面DCEF，∴MG⊥平面DCEF．∴MG⊥GN．∴MN＝MG2＋GN2＝6．(2)证明假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN∩平面DCEF＝EN．由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，故AB⊄平面DCEF．又AB∥CD，∴AB∥平面DCEF，∴EN∥AB，又AB∥CD∥EF．∴EF∥NE，这与EF∩EN＝E矛盾，故假设不成立．∴ME与BN不共面，它们是异面直线．（四）自助餐1．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab可以被7整除，则a，b中至少有一个能被7整除”，其假设正确的是（）A．a，b都能被7整除B．a，b都不能被7整除C．a不能被7整除D．a，b中有一个不能被7整除答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】“至少有一个”的否定是“一个也没有”．所以选B．2．有下列叙述：①“a＞b”的反面是“a＜b”；②“x＝y”的反面是“x＞y或x＜y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”，其中正确的叙述有（）A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】①错，应为a≤b．②对．③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上．④错，应为三角形的内角中有2个或3个钝角．即选B．3．设正实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于（）A．1 3B．1 2C．3 4D．2 5答案：A【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设a，b，c中至少有一个数不小于x的反命题成立，即假设a，b，c都小于x，即a＜x，b＜x，c＜x，∴a＋b＋c＜3x．∵a＋b＋c＝1，∴3x＞1．∴x＞13，若取x＝13就会产生矛盾．故选A．4．下列命题错误的是（）A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a、b∈Z，若a、b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数答案：D【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】a＋b为奇数⇔a、b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．因此选D．5．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则（）A．a，b都与l相交B．a，b中至少有一条与l相交C．a，b中至多有一条与l相交D．a，b都不与l相交答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】逐一从假设选项成立入手分析，易得B是正确选项，故选B．6．以下各数不能构成等差数列的是（）A．3，4，5B．2，3， 5C．3，6，9D．2，2， 2答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设2，3，5成等差数列，则23＝2＋5，即12＝7＋210，此等式不成立，故2，3，5不成等差数列．7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角【知识点：命题的否定，反证法】“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”．“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．8．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的奇偶性，推理与证明，命题的否定，反证法】证明设f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＝－c．①又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．9．如图，已知平面α∩平面β=直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a=A，c∥a．求证：b与c是异面直线．【知识点：线面平行，线线平行，推理与证明，命题的否定，反证法】证明：证明：假设b，c不是异面直线，则①b∥c；②b∩c＝B．①若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，与a∩b＝A矛盾，∴b∥c不成立．②若b∩c＝B，∵c⊂β，∴B∈β．又A∈β，A∈b，∴b⊂β．又b⊂α，∴α∩β＝b．又α∩β＝a，∴a与b重合．这与a∩b＝A矛盾．∴b∩c＝B不成立．∴b与c是异面直线．10．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．【知识点：判别式，不等式组的解法，命题的否定，反证法】解：设三个方程均无实根，则有⎩⎨⎧ Δ1＝16a 2－4(－4a ＋3)<0，Δ2＝(a －1)2－4a 2<0，Δ3＝4a 2－4(－2a )<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －32<a <12，a <－1，或a >13，－2<a <0，所以－32<a <－1． 所以当a ≥－1，或a ≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根．11．已知函数f (x )＝x 22x －2，如果数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝f (a n )，求证：当n ≥2时，恒有a n <3成立．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】证明：法一(直接证法) 由a n ＋1＝f (a n )得a n ＋1＝a 2n 2a n －2， ∴1a n ＋1＝－2a 2n ＋2a n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －122＋12≤12， ∴a n ＋1<0或a n ＋1≥2；(1)若a n ＋1<0，则a n ＋1<0<3，∴结论“当n ≥2时，恒有a n <3”成立；(2)若a n ＋1≥2，则当n ≥2时，有a n ＋1－a n ＝a 2n 2a n －2－a n ＝－a 2n ＋2a n 2(a n －1)＝－a n (a n －2)2(a n －1)≤0， ∴a n ＋1≤a n ，即数列{a n }在n ≥2时单调递减；由a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3， 可知a n ≤a 2<3，在n ≥2时成立．综上，由(1)、(2)知：当n ≥2时，恒有a n <3成立．法二：(用反证法) 假设a n ≥3(n ≥2)，则由已知得a n ＋1＝f (a n )＝a 2n 2a n －2， ∴当n ≥2时，a n ＋1a n＝a n 2a n －2＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n －1≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝34<1，(∵a n －1≥3－1)， 又易证a n >0，∴当n ≥2时，a n ＋1<a n ，∴当n >2时，a n <a n －1<…<a 2；而当n ＝2时，a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3，∴当n ≥2时，a n <3；这与假设矛盾，故假设不成立，∴当n≥2时，恒有a n<3成立．三、数学视野边际分析法是这一时期产生的一种经济分析方法，同时形成了经济学的边际效用学派，代表人物有瓦尔拉(L．Walras)、杰文斯(W．S．Jevons)、戈森(H．H．Gossen)、门格尔(C．Menger)、埃奇沃思(F．Y．Edgeworth)、马歇尔(A．Marshall)、费希尔(I．Fisher)、克拉克(J．B．Clark)以及庞巴维克(E．von Bohm-Bawerk)等人．边际效用学派对边际概念作出了解释和定义，当时瓦尔拉斯把边际效用叫做稀缺性，杰文斯把它叫做最后效用，但不管叫法如何，说的都是微积分中的“导数”和“偏导数”．西方经济学中,边际分析方法是最基本的分析方法之一,是一个比较科学的分析方法．西方边际分析方法的起源可追溯到马尔萨斯．他在1814年曾指出微分法对经济分析所可能具有的用途．1824年，汤普逊(W．Thompson)首次将微分法运用于经济分析，研究政府的商品和劳务采购获得最大利益的条件．功利主义创始人边沁(J．Bentham)在其最大快乐和最小痛苦为人生追求目标的信条中，首次采用最大和最小术语，并且提出了边际效应递减的原理．边际分析法是把追加的支出和追加的收入相比较，二者相等时为临界点，也就是投入的资金所得到的利益与输出损失相等时的点．如果组织的目标是取得最大利润，那么当追加的收入和追加的支出相等时，这一目标就能达到．边际分析法的数学原理很简单．对于离散discrete情形，边际值marginal value为因变量变化量与自变量变化量的比值；对于连续continuous情形，边际值marginal value为因变量关于某自变量的导数值．所以边际的含义本身就是因变量关于自变量的变化率，或者说是自变量变化一个单位时因变量的改变量．在经济管理研究中，经常考虑的边际量有边际收入MR、边际成本MC、边际产量MP、边际利润MB等．。
「精品」高中数学选修22学案：2.2.2反证法-精品
2.2.2反证法【学习目标】1.了解间接证明的一种基本方法——反证法；2.了解反证法的思考过程、特点;3.会用反证法证明问题.【新知自学】知识回顾：（1）一般地,利用,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法.（2）框图表示：（3）要点：顺推证法，由____导____.2.分析法（1）一般地，从要证明的出发，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．（2）框图表示（3）要点：逆推证法；执____索____.新知梳理：1.反证法：一般地，假设原命题，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设，从而证明了原命题.这种证明方法叫.2.反证法证题的一般规律：（1）证明基本步骤：假设原命题的结论不成立→从假设出发，经推理论证得到矛盾→矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立（2）方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.对点练习：1.用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60︒”时，反设正确的是（）A．假设三内角都不大于60︒B．假设三内角都大于60︒C．假设三内角至多有一个大于60︒D．假设三内角至多有两个大于60︒2. 实数,,a b c不全为0等价于为（）A．,,a b c均不为0B．,,a b c中至多有一个为0C．,,a b c中至少有一个为0D．,,a b c中至少有一个不为03.设,,a b c都是正数，则三个数111,,a b cb c a+++（）A ．都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于24. 用反证法证明命题“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的反设为 .【合作探究】 典例精析：ABC ∆中,若C ∠是直角,那么B ∠一定是锐角.变式练习： 证明：5,3,2不可能成等差数列.例2.设{a n}是公比为q的等比数列．(1)推导{a n}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{a n＋1}不是等比数列.变式练习：60 .【课堂小结】【当堂达标】1. 用反证法证明：“a b >”，应假设为（ ）.A.a b >B.a b <C.a b =D.a b ≤2.用反证法证明命题“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 不都能被5整除D ．a 不能被5整除3.如果12x >,那么2210x x +-≠.4.ABC ∆的三边,,a b c 的倒数成等差数列,求证:90B <︒.【课时作业】1. 用反证法证明命题“若实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是________．2.设x 、y 、z ＞0，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a 、b 、c 三数( ) A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于23.设直线1:,1:2211-=+=x k y l x k y l ，其中k 1,k 2满足k 1+k 2+2=0，证明1l 与2l 相交.4.已知,0x y >,且2x y +>.试证:11,x yy x ++中至少有一个小于2.5.求证22y ax bx c =++,22y bx cx a =++, 22y cx ax b =++(,,a b c 是互不相等的实数),3条抛物线至少有一条与x 轴有两个交点.。
高中数学选修1-2教学设计-反证法教案
2．2.2 反证法(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能结合实例了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程与特点．会用反证法证明数学问题．2．过程与方法使学生经历“总结归纳反证法的操作步骤”的过程，培养学生归纳、总结、推理论证的能力．增强学生的数学应用意识和创新意识．3．情感、态度与价值观注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识．通过让学生体验成功，培养学生学习数学的自信心．通过科学家的故事，培养学生的耐心、恒心、自信心和抗挫折能力．从而发展学生的数学思维能力，提高思维品质．●重点难点重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤．难点：应用反证法解决问题，在推理过程中发现矛盾．在教学中要明确反证法证明的三个步骤：(1)做待证命题的否命题；(2)根据所做出的否命题，结合已知条件或己知的其他的真命题，推导出和已知条件或已知的真命题相矛盾的地方；(3)否定所做的否命题，也就是肯定原命题的正确性．让学生亲身体会并总结三个步骤中的关键因素，集体探索解决方法，突出重点、化解难点．(教师用书独具)●教学建议建议本节课采取探究式教学法，让学生参与证明问题的否定假设，推理归谬，激发学生积极参与的热情，开发其论证推理能力的潜能，培养良好的思维品质．关于反证法的教学需要注意以下几点：(1)书写格式及解题步骤：假设——归谬——指出矛盾——得出结论．(2)提出反设的方式方法：引导学生弄清反设词语的含义，掌握常见量词的反设词．(3)归谬方法：在归谬过程中要注意假设条件的利用，通过例题分析总结归谬的方法技巧．(4)反证法的适用范围及对象：反证法一般适用于题目条件中含有量词“至多”“至少”“全部”“都”或否定性命题．其次是在直接证明受阻的情况下，考虑间接证明．●教学流程创设问题情境，通过“道旁苦李”的故事，引导学生认识反证法，了解其特点、推理方式及应用范畴．让学生自主完成填一填，使学生进一步了解反证法的证明格式、步骤、思维方式、证明思想等．引导学生分析例题1的已知条件，师生共同探究证明思路，学生自主完成证明过程，老师指导完善，并完成变式训练．学生分组探究例题2解法，总结反证法证明唯一性命题的反设方式及证明的方法，完成例题2变式训练．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3互动探究，教师抽查完成情况，对出现问题及时指导．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．课标解读1.了解反证法是间接证明的一种基本方法．(重点)2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(难点)反证法【问题导思】著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？【提示】实质运用了反证法的思想．1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等.用反证法证明否(肯)定式命题设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【思路探究】此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法．证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应用．【自主解答】假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数．又a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．1．对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．2．常见否定词语的否定形式如下表所示：否定词语 否定词语的否定形式 没有 有 不大于 大于 不等于 等于 不存在存在已知非零实数a 、b 、c 成等差数列a ≠c ，求证：1a ，1b ，1c不可能成等差数列．【证明】 假设1a ，1b ，1c成等差数列，则2b ＝1a ＋1c ＝a ＋c ac，又a 、b 、c 成等差数列， ∴2b ＝a ＋c ，∴b ＝a ＋c 2，∴4a ＋c ＝a ＋c ac， ∴(a －c )2＝0，即a ＝c . 这与a ≠c 矛盾．故假设错误，原命题正确.用反证法证明“唯一性”命题若函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象连续不断开，f (a )＜0，f (b )＞0，且f (x )在[a ，b ]上单调递增，求证：f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点．【思路探究】 先由函数零点存在性判定定理判定函数在(a ，b )内有零点，再用反证法证明零点唯一．【自主解答】 由于f (x )在[a ，b ]上的图象连续不断开，且f (a )＜0，f (b )＞0，即f (a )·f (b )＜0，所以f (x )在(a ，b )内至少存在一个零点，设零点为m ，则f (m )＝0， 假设f (x )在(a ，b )内还存在另一个零点n ，即f (n )＝0， 则n ≠m .若n＞m，则f(n)＞f(m)，即0＞0，矛盾；若n＜m，则f(n)＜f(m)，即0＜0，矛盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．已知a与b是异面直线，求证：过a且平行于b的平面只有一个．【证明】如图所示．假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为α和β，在直线a上取点A，过b和A确定一个平面γ，且γ与α、β分别交于过点A的直线c、d，由b∥α，知b∥c，同理b∥d，故c∥d，这与c、d相交于点A矛盾，故假设不成立，原结论成立.用反证法证明“至多、至少”问题已知x，y＞0，且x＋y＞2.求证：1＋xy，1＋yx中至少有一个小于2.【思路探究】明确“至少”的含义―→对结论作出假设―→得出矛盾．【自主解答】假设1＋xy，1＋yx都不小于2，即1＋xy≥2，1＋yx≥2.∵x＞0，y＞0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.∴2＋x＋y≥2(x＋y)．即x＋y≤2，这与已知x＋y＞2矛盾．∴1＋xy，1＋yx中至少有一个小于2.常见结论词与反设词列表如下：成立存在某个x成立一个都没有至少两个在本例中，若x，y>0且x＋y＝2，求证：1＋xy，1＋yx中至少有一个不小于2.【证明】假设1＋xy，1＋yx都小于2.则1＋x<2y,1＋y<2x，，那么2＋x＋y<2x＋2y，∴x＋y>2与已知x＋y＝2矛盾．所以假设不成立，原命题成立.利用反证法证题时，假设错误而致误已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c ＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．【错解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0，相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2<0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，此不等式不能成立，所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．【错因分析】上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，方程没有两个相异实根时Δ≤0.【防范措施】用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．【正解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*)由题意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立．所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．1．反证法：假设原命题的反面正确，根据已知条件及公理、定理、定义，按照严格的逻辑推理导出矛盾．从而说明假设不正确，得出原命题正确．2．反证法是间接证明的一种方法，在证明否定性命题、唯一性命题和存在性命题时运用反证法比较简便．3．反证法的基本步骤是：(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；(2)归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果；(3)存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立．1．用反证法证明“如果a＞b，那么3a＞3b”的假设内容应是( )A.3a＝3b B.3a＜3bC.3a≤3b D．3a≥3b【解析】“大于”的对立面为“小于等于”，故应假设“3a≤3b”．【答案】 C2．否定“任何一个三角形的外角都至少有两个钝角”时正确的说法为( )A ．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角B ．任何一个三角形的外角都没有两个钝角C ．没有一个三角形的外角有两个钝角D ．存在一个三角形，其外角有两个钝角【解析】 原命题的否定为：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角． 【答案】 A3．用反证法证明命题：若a 、b 是实数，且|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1时，应作的假设是________．【解析】 ∵“a ＝b ＝1”的否定为“a ≠1或b ≠1”，故应填a ≠1或b ≠1. 【答案】 a ≠1或b ≠14．证明方程2x ＝3有且仅有一个实根．【证明】 ∵2x ＝3，∴x ＝32，∴方程2x ＝3至少有一个实根． 设x 1，x 2是方程2x ＝3的两个不同实根， 则⎩⎨⎧2x 1＝3， ①2x 2＝3， ②由①－②得2(x 1－x 2)＝0，∴x 1＝x 2， 这与x 1≠x 2矛盾．故假设不正确，从而方程2x ＝3有且仅有一个实根.一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( ) ①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③【解析】由反证法的定义可知应选C.【答案】 C2．(2013·海口高二检测)用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设( )A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°【解析】三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确．【答案】 B3．实数a，b，c不全为0等价于( )A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0【解析】实数a，b，c不全为0，即a，b，c至少有一个不为0，故应选D.【答案】 D4．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2.(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是( )A．(1)与(2)的假设都错误B．(1)与(2)的假设都正确C．(1)的假设正确；(2)的假设错误D．(1)的假设错误；(2)的假设正确【解析】(1)的假设应为p＋q>2；(2)的假设正确．【答案】 D5．下列命题不适合用反证法证明的是( )A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1【解析】A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明．【答案】 C二、填空题6．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是______________．【解析】“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角．【答案】“三角形中最少有两个内角是直角”7．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为________．【解析】“a、b全为0”即“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”【答案】“a、b不全为0”8．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．【答案】③①②三、解答题9．(2013·泰安高二检测)用反证法证明：无论m取何值，关于x的方程x2－5x ＋m ＝0与2x 2＋x ＋6－m ＝0至少有一个有实数根．【解】 假设存在实数m ，使得这两个方程都没有实数根， 则⎩⎨⎧ Δ1＝25－4m ＜0，Δ2＝1－86－m ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞254，m ＜478，无解． 与假设存在实数m 矛盾．故无论m 取何值，两个方程中至少有一个方程有实数根．10．已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0，c ＞0.【证明】 假设a ＜0，由abc ＞0得bc ＜0，由a ＋b ＋c ＞0，得b ＋c ＞－a ＞0，于是ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc ＜0，这与已知矛盾．又若a ＝0，则abc ＝0，与abc ＞0矛盾，故a ＞0，同理可证b ＞0，c ＞0.11．若x ，y ，z 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，则a ，b ，c 中是否至少有一个大于0？请说明理由． 【解】 假设a ，b ，c 都不大于0， 即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0.而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，因为π－3>0，且无论x ，y ，z 为何实数，(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，所以a ＋b ＋c >0.这与假设a ＋b ＋c ≤0矛盾．因此，a ，b ，c 中至少有一个大于0.(教师用书独具)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【思路探究】 第(1)问考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，应用a n ＝a 1＋(n －1)d 和S n ＝na 1＋12n (n －1)d 两式求解．第(2)问先假设任三项b p 、b q 、b r 成等比数列，再用反证法证明．【自主解答】 (1)设公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32， ∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r (p 、q 、r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎨⎧ q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴(p ＋r 2)2＝pr ，(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾． 所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．1．当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．2．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R .(1)若a ＋b ≥0，是否有f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )?(2)若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，是否有a ＋b ≥0?以上两结论若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由．【解】(1)若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)成立．证明：因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．两式相加，得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0成立．证明：(反证法)假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a，而f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)．以上两式相加，得f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．与已知f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，所以假设错误，因此a＋b≥0.。
2018学年高中数学人教B版选修1-2学案：2.2.2 反证法 含解析
2.2.2 反证法1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.(重点、难点)[基础·初探]教材整理反证法阅读教材P39～P40的内容，完成下列问题.1.反证法一般地，由证明p⇒q转向证明﹁q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定﹁q为假，推出q为真的方法，叫做反证法.2.反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾主要是指：(1)与假设矛盾；(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法.()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.()(3)反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾.()【解析】(1)正确.反证法其实是证明其逆否命题成立，所以它属于间接证明问题的方法.(2)错误.反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理.(3)错误.反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾.【答案】 (1)√ (2)× (3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【精彩点拨】 第(1)问应用a n ＝a 1＋(n －1)d 和S n ＝na 1＋12n (n －1)d 两式求解.第(2)问先假设存在三项b p ，b q ，b r 成等比数列，再用反证法证明.【自主解答】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2).(2)证明：由(1)得b n ＝S n n ＝n ＋ 2. 假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾.所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.1.当结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适合应用反证法.例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾.2.反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法.3.常见否定词语的否定形式如下表所示：[再练一题]1.已知方程f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明：方程f (x )＝0没有负数根. 【导学号：37820025】【证明】 假设x 0是方程f (x )＝0的负数根，则x 0<0，x 0≠－1且ax 0＋x 0－2x 0＋1＝0，所以ax 0＝－x 0－2x 0＋1. 又当x 0<0时，0<ax 0<1，故0<－x 0－2x 0＋1<1，即0<－1＋3x 0＋1<1，1<3x 0＋1<2，解得12<x 0<2. 这与x 0<0矛盾， 所以假设不成立，故方程f (x )＝0没有负数根.已知x ，y ，z 均大于零，求证：x ＋4y ，y ＋4z ，z ＋4x 这三个数中至少有一个不小于4. 【精彩点拨】 本题中含有“至少”，不宜直接证明，故可采用反证法证明.【自主解答】 假设x ＋4y ，y ＋4z ，z ＋4x 都小于4，即x ＋4y <4，y ＋4z <4，z ＋4x <4，于是得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋4x <12， 而⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋4x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋4z ≥2 x ·4x ＋2 y ·4y ＋2 z ·4z ＝12，这与⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋4x <12矛盾， 因此假设错误，即x ＋4y ，y ＋4z ，z ＋4x 中至少有一个不小于4.1.用反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨论情况，目标明确.否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误.2.用反证法证明“至多、至少”问题时常见的“结论词”与“反设词”如下：[再练一题]2.若x>0，y>0，且x＋y>2，求证：1＋yx与1＋xy至少有一个小于2.【证明】假设1＋yx与1＋xy都不小于2，即1＋yx≥2，1＋xy≥2.∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x，1＋x≥2y，两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y).∴x＋y≤2，这与已知中x＋y>2矛盾.∴假设不成立，原命题成立.故1＋yx与1＋xy至少有一个小于2.[探究共研型]【提示】(1)反设：假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真.(2)归谬：从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果.(3)存真：由矛盾的结果断定反设不真，从而肯定原结论成立.探究2如何证明两条相交直线有且只有一个交点？【提示】假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾.所以两条相交直线有且只有一个交点.已知一点A和平面α.求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直.【精彩点拨】【自主解答】根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明.(1)如图(1)，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，a⊂α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾.(1)(2)如图(2)，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB 和AC(B，C为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂α，所以AB⊥BC，AC⊥BC.(2)在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾.综上，经过一点A只能有一条直线和平面α垂直.证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了.[再练一题]3.若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.【证明】由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0，假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m，则f(n)<f(m)，即0<0，矛盾.因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.[构建·体系]1.应用反证法推出矛盾的推理过程中可作为条件使用的是()①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论.A.①②B.②③C.①②③D.①②④【解析】根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中可把“结论的否定”“已知条件”“公理、定理、定义”等作为条件使用.【答案】 C2.实数a，b，c不全为0等价于()A.a，b，c均不为0B.a，b，c中至多有一个为0C.a，b，c中至少有一个为0D.a，b，c中至少有一个不为0【解析】不全为0即至少有一个不为0，故选D.【答案】 D3.命题“△ABC中，若A>B，则a>b”的结论的否定应该是()【导学号：37820026】A.a<bB.a≤bC.a＝bD.a≥b【解析】“大于”的否定是“不大于”，即“小于或等于”，故选B.【答案】 B4.用反证法证明某命题时，对某结论：“自然数a，b，c中无偶数”，正确的假设为________.【解析】a，b，c中无偶数，即a，b，c都是奇数，反设应是“a，b，c 中至少有一个偶数”.【答案】a，b，c中至少有一个偶数5.若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根.【证明】假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加得a2－2ab ＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c，这与a，b，c互不相等矛盾.∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是()A.有两个内角是钝角B.有三个内角是钝角C.至少有两个内角是钝角D.没有一个内角是钝角【解析】“最多有一个”的反设是“至少有两个”，故选C.【答案】 C2.下列命题错误的是()A.三角形中至少有一个内角不小于60°B.四面体的三组对棱都是异面直线C.闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D.设a，b∈Z，若a，b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数【解析】a＋b为奇数⇔a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误.【答案】 D3.“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为()A.a，b，c都是奇数B.a，b，c都是偶数C.a，b，c中至少有两个偶数D.a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数【解析】自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数.所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数.【答案】 D4.设x，y，z都是正实数，a＝x＋1y，b＝y＋1z，c＝z＋1x，则a，b，c三个数()A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2【解析】若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6，①而a＋b＋c＝x＋1x＋y＋1y＋z＋1z≥6，②显然①，②矛盾，所以C正确.【答案】 C5.(2016·温州高二检测)用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为()A.①②③B.①③②C.②③①D.③①②【解析】根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论.【答案】 D二、填空题6.(2016·南昌高二检测)命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是__________________.【导学号：37820027】【解析】“至少有一个”的否定是“没有一个”.【答案】任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形7.(2016·汕头高二检测)用反证法证明命题“如果a>b，那么3a>3b”时，假设的内容应是________.【解析】3a与3b的关系有三种情况：3a>3b，3a＝3b和3a<3b，所以“3a>3b”的反设应为“3a＝3b或3a<3b”.【答案】3a＝3b或3a<3b8.(2016·石家庄高二检测)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号).【解析】若a＝13，b＝23，则a＋b＝1，但a<1，b<1，故①不能推出.若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出.若a＝－2，b＝1，则a2＋b2>2，故④不能推出.对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1.反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.【答案】③三、解答题9.已知x∈R，a＝x2＋12，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明：a，b，c至少有一个不小于1.【证明】假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3.而与a＋b＋c＝2x2－2x＋12＋3＝2⎝⎛⎭⎪⎫x－122＋3≥3矛盾，故假设不成立，即a，b，c至少有一个不小于1.10.已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列.【证明】假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，两边同时平方得a＋c＋2ac＝4b.把b2＝ac代入a＋c＋2ac＝4b，可得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列，这与a，b，c不成等差数列矛盾.所以a，b，c不成等差数列.[能力提升]1.有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是()A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确；②的假设错误D.①的假设错误；②的假设正确【解析】用反证法证题时一定要将对立面找准.在①中应假设p＋q>2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确的.【答案】 D2.已知命题“在△ABC中，A≠B.求证sin A≠sin B”.若用反证法证明，得出的矛盾是()A.与已知条件矛盾B.与三角形内角和定理矛盾C.与已知条件矛盾且与三角形内角和定理矛盾D.与大边对大角定理矛盾【解析】证明过程如下：假设sin A＝sin B，因为0<A<π，0<B<π，所以A＝B或A＋B＝π.其中A＝B与A≠B矛盾；A＋B＝π与三角形内角和定理矛盾，所以假设不成立.所以sin A≠sin B.【答案】 C3.(2016·九江高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________.【导学号：37820028】【解析】因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说的对，同时甲、乙中只有一人说的对，假设乙说的对，这样丙就说的错，丁就说的对，也就是甲也说的对，与甲说的错矛盾，所以乙说的错，从而知甲、丙说的对，所以丙为获奖歌手.【答案】丙4.(2016·温州高二检测)设{a n}，{b n}是公比不相等的两个等比数列，c n＝a n ＋b n，证明：数列{c n}不是等比数列.【证明】假设数列{c n}是等比数列，则(a n＋b n)2＝(a n－1＋b n－1)(a n＋1＋b n＋1). ①因为{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p ，q ，所以a 2n ＝a n －1a n ＋1，b 2n ＝b n －1b n ＋1.代入①并整理，得 2a n b n ＝a n ＋1b n －1＋a n －1b n ＋1＝a n b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫p q ＋q p ， 即2＝p q ＋q p . ②当p ，q 异号时，p q ＋q p <0，与②相矛盾；当p ，q 同号时，由于p ≠q ，所以p q ＋q p >2，与②相矛盾. 故数列{c n }不是等比数列.。
高中数学北师大版选修1-2教案-反证法课件
❖ D．两个都是负数
❖ [答案] C
❖ [解析] 假设两个数都是负数，则两 个数之和为负数，与两个数之和为正 数矛盾，所以两个实数至少有一个正
4.已知x，y>0，且x y 2.试证：
1 x ，1 y 中至少有一个小于2. yx
❖ 证明1：假x设两2个, 1数 都y 不 小2 于2，则
CD交于点P，且AB、CD不是 直径.求证：弦AB、CD不被P平
A
O
D
分证. 明：假设弦AB、CD被P平分，
P
C
由于P点一定不是圆心O，连结 B
OP，根据垂径定理的推论，有
OP⊥AB，OP⊥CD，
即过点P有两条直线与OP都垂
这与垂直，线性质矛盾，即假设不成立
所以，弦AB、CD不被P平分。
1、证明：在ABC 中，若C 是直角，B则 一定是锐角。
例2 求证：2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
则存在互质的整数m，n使得 2 = m ， n
∴ m = 2n ∴ m2 = 2n2
∴ m2是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k2 = 2n2，即n2 = 2k2 ∴ n2也是偶数，这与m，n互质矛盾！
假设不成立，故 2 是无理数。
❖ A．两个内角是直角
❖ B．有三个内角是直角
❖ C．至少有两个内角是直角
❖ D．没有一个内角是直角
❖ [答案] C
❖ [解析] “最多只有一个”即为“至 多一个”，反设应为“至少有两个”， 故应选C.
❖ 3．如果两个实数之和为正数，则这 两个数( )
❖ A．一个是正数，一个是负数
❖ B．两个都是正数
高一数学 2.2.2《反证法》教案(新人教A版选修1-2)
§2.2.2反证法一、教学目标：1、知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解 反证法的思考过程、特点。
2、过程与方法:培养学生的辨析能力和分析问题、解决问题的能力；3、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点：了解反证法的思考过程、特点三、教学难点：反证法的思考过程、特点四、教学过程:（一）导入新课：1、复习综合法和分析法的思考过程和特点。
2、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法。
3、思考：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。
你能解释这种现象吗？ 学生尝试用直接证明的方法解释。
采用反正法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上．（二）推进新课1、反证法的特点：一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
2、例题讲解：例1、已知直线,a b 和平面α，如果,a b αα⊄⊂，且||a b ，求证||a α。
证明：因为||a b ,所以经过直线a , b 确定一个平面β。
因为a α⊄，而a β⊂，所以 α与β是两个不同的平面．因为b α⊂，且b β⊂， 所以b αβ=.下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假设直线a 与平面α有公共点P ，则P b αβ∈=，即点P 是直线 a 与b 的公共点，这与||a b 矛盾．所以 ||a α.例2、求证：2不是有理数 分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设2不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如m n（,m n 互质， *,m Z n N ∈∈”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾． 证明：假设2不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数,m n m n=，从而有m =, 因此，222m n =，所以 m 为偶数．于是可设2m k = ( k 是正整数），从而有2242k n =，即所以n 也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！ 由上述矛盾可知假设错误，从而2是无理数．注：正是2的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与 1 是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐。
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2.2.2 反证法
[学习目标] 1.了解反证法是间接证明的一种方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.
知识点一间接证明
不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直接证明的方法通常称为______证明.
常见的间接证明的方法是________.
知识点二反证法
1.反证法定义
假设原命题________，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明__________，从而证明了____________，这种证明方法叫做反证法.
2.反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与__________矛盾，或与______矛盾，或与________________________矛盾等.
3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下：
(2)反证法主要适用于什么情形？
题型一用反证法证明结论否定的问题
例1如图所示，AB，CD为圆的两条相交弦，且不全为直径，求证：AB，CD不能互相平分.
反思与感悟对于结论否定型命题，正面证明需要考虑的情况很多，过程烦琐且容易遗漏，故可以考虑采用反证法.一般当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明.
跟踪训练1已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证a，b，c不可能都是奇数.
题型二用反证法证明唯一性问题
例2用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行.
反思与感悟 证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思.证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法比用同一法更方便. 跟踪训练2 求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直. 已知：平面α和一点P .
求证：过点P 与α垂直的直线只有一条.
题型三 用反证法证明结论中含有“至多”“至少”“都”等词语的问题
例3 用反证法证明：如果函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实数根.(不考虑重根)
反思与感悟 用反证法证明“至少”“至多”型命题，否定结论时，需弄清楚结论的否定是什么，以免出现错误.还应仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意义. 跟踪训练3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y ＞2，求证：1＋x y ＜2与1＋y x ＜2中至少有一个成
立.
因反证法中的反设不当致误
例4用反证法证明：若a＞b＞0，则a＞b.
错解假设a＞b不成立，则a＜b.
若a＜b，则a＜b，与已知a＞b矛盾.
故假设不成立，结论a＞b成立.
错因分析a＞b的否定应为a≤b，即“大于”的否定是“小于或等于”.同理，“小于”的否定是“大于或等于”，不能漏掉“等于”.因此在用反证法证题时，一定要正确地找出结论的否定，不能犯否定不全的错误.
正解假设a＞b不成立，则a≤b.
若a＜b，则a＜b，与已知a＞b矛盾；
若a＝b，则a＝b，与已知a＞b矛盾.
故假设不成立.
所以a＞b成立.
易错警示在利用反证法证明问题时，往往要假设命题结论的反面成立，而问题结论的反面一定要全面，漏掉任何一种情况，证明都是不正确的.
1.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()
A.三角形中至少有一个直角或钝角
B.三角形中至少有两个直角或钝角
C.三角形中没有直角或钝角
D.三角形中三个角都是直角或钝角
2.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中()
A.有一个内角小于60°
B.每一个内角都小于60°
C.有一个内角大于60°
D.每一个内角都大于60°
3.“a<b”的反面应是()
A.a≠b
B.a>b
C.a＝b
D.a＝b或a>b
4.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设()
A.a不垂直于c
B.a，b都不垂直于c
C.a⊥b
D.a与b相交
5.已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数.
1.反证法的证题步骤：①反设；②推理归谬；③存真，即假设不成立，原命题成立.
2.用反证法证明问题时要注意以下三点：
(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能性结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的.
(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法.
(3) 推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的.
[答案]精析
知识梳理
知识点一
间接反证法
知识点二
1．不成立假设错误原命题成立
2．已知条件假设定义、公理、定理、事实
3．至多有一个n一个也没有(n－1)任意某个一定是且不都是且
思考(1)这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题．命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对．
(2)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．
题型探究
例1证明连接AC，CB，BD，DA，假设AB，CD互相平分，则四边形ACBD为平行四边形，
∴∠ACB＝∠ADB，∠CAD＝∠CBD.
∵四边形ACBD为圆的内接四边形，
∴∠ACB＋∠ADB＝180°，∠CAD＋∠CBD＝180°，
∴∠ACB＝90°，∠CAD＝90°，
∴对角线AB，CD均为圆的直径，与已知条件矛盾，
∴AB，CD不能互相平分．
跟踪训练1证明假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数．
左边＝奇数＋奇数＝偶数，右边＝奇数，得偶数＝奇数，矛盾．
∴假设不成立，∴a，b，c不可能都是奇数．
例2 证明 假设过点A 还有一条直线b ′与已知直线a 平行，即b ∩b ′＝A ，b ′∥a ，又b ∥a ，由平行公理知b ′∥b . 这与b ∩b ′＝A 矛盾，故假设错误，
所以过已知直线a 外一点A 只有一条直线b 与已知直线a 平行．
跟踪训练2 证明 如图所示，不论点P 在α内还是在α外，设P A ⊥α，垂足为A (或P )．
假设过点P 不止有一条直线与α垂直，如还有另一条直线PB ⊥α，设P A ，PB 确定的平面为β，且α∩β＝a ，于是在平面β内过点P 有两条直线P A ，PB 垂直于a ，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，∴假设不成立，原命题成立．
例3 证明 假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个实数根，设α，β为它的两个实数根，则f (α)＝f (β)＝0.
因为α≠β，不妨设α＜β，又因为函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，所以f (α)＜f (β)，这与f (α)＝f (β)＝0矛盾，
所以方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实数根． 跟踪训练3 证明 假设1＋x y ＜2和1＋y
x ＜2都不成立，
则有1＋x y ≥2和1＋y
x ≥2同时成立．
∵x ＞0且y ＞0，
∴1＋x ≥2y ，且1＋y ≥2x ， 两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，
∴x ＋y ≤2，这与已知条件x ＋y ＞2相矛盾， ∴1＋x y ＜2与1＋y x ＜2中至少有一个成立．
当堂检测
1．B 2.B 3.D 4.D
5．证明(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数．设a＝2n＋1(n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1.
∵4(n2＋n)是偶数，
∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶数．。