第四讲：比例应用题之和不变
六年级数学下册典型例题系列之第四单元比例的应用部分提高篇(原卷版)人教版
2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列之第四单元比例的应用部分提高篇（原卷版）编者的话：《2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。
典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
本专题是第四单元比例的应用部分提高篇。
本部分内容主要考察比例的应用，包括比例稍复杂的应用题、与正比例和反比例有关的应用题等内容，题型以应用题为主，考点较多，共划分为十个考点，考虑到题型难度，建议作为本章核心内容，根据学生掌握情况选择性进行讲解，欢迎使用。
【方法点拨】相遇问题通常同时出发，则相遇时所用时间相同，所以，当时间相同，路程与速度成正比例，即t甲=t乙时，有S甲∶S乙=V甲∶V乙。
【典型例题】小黄车速度为60km/h，小蓝车速度为50km/h。
（1）求相同时间内两车的路程比。
（2）如果小黄车和小蓝车一共行驶了220km，那么小黄车行驶了多远? 小蓝车呢?【对应练习1】汽车与公交车的速度比为5∶3，两车分别从相距160千米的A、B两地同时出发相向而行，相遇时汽车行驶了多远?公交车呢?【对应练习2】A、B两地距离600千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，那么，（1）若甲车的速度是60干米/时，乙车的速度是40千米/时，相遇时距A地（）千米。
（2）若甲车与乙车的速度比为8∶7，相遇时甲车走了全程的（），距A 地（）千米。
【对应练习3】A、B两地距离450干米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，若甲、乙的速度比为3∶7，则相遇时距B地多少千米？【方法点拨】此类题型的关键是理解同时同地出发再返回的第一次相遇，两车共走完了两倍的全程。
【典型例题】小黄车和小蓝车的速度比为6∶5，两车同时从A地同向出发前往B地，到达B 地后掉头返回A地，两人如此往返。
小升初总复习专题四比和比例第8课时比和比例数学六年级下册
3． 小明从家里去学校，所需时间与行走的速度( B )。
A. 成正比例
B. 成反比例
C. 不成比例
D. 以上都不对
4． 一件工作，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成。甲、
乙效率的最简比是( B )。
A. 6 ∶9
B. 3 ∶2
C. 2 ∶3
D. 9 ∶6
5. 一个三角形三个内角度数的比是6 ∶2 ∶1，这个三角形是
④正、反比例的区别与联系
名称 正比例 反比例
不同点
意义不同 变化方向不同
两种相关联量 一种量扩大（或 中，相对应的 缩小），另一种 两个数的比值，量也随之扩大 也就是商一定 （或缩小）
两种相关联量 一种量扩大（或
中，相对应的 缩小），另一种
两个数的乘积 量反而随之缩小
一定
（或扩大）
关系式不同
相同点
答案:（1）反比例关系。
（2）正比例关系。
（3）不成比例关系。
7. 用一批纸装订练习本，每本25页，可以装订400本。如果要
装订500本，每本有x页。
题中( 纸的总页数 )一定，关系式：( 每本的页数 ) ×
( 本数 )=( 纸的总页数
)（一定），
( 每本的页数
)和( 本数 )成( 反 )比例。
8. 在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中,
( C )。
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 无法确定
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变
一种量扩大（或缩小），另一种量也随之扩大（或缩小）
（2）圆的周长和它的直径成正比例。
（3）大米的总千克数一定，吃了的数量和剩余的数量。
第四单元 比例(讲义)
第四单元比例（讲义）引言：阐述本课需要掌握的前置知识及重要性比例是数学中的一种重要概念，它是指两个量之间的关系，或者是两个量之间的比较，也就是同类事物之间数量的关系。
在本单元中，我们将学习到如何计算比例、如何应用比例、比例变化以及比例方程等知识。
通过学习本单元内容，学生将能够更好地掌握实际生活中的比较、相似以及比例等概念，并能够应用到实际生活中。
一、概念认识1.比例的含义及简要说明将同一性质的两个量相比较的关系叫做比例，比例通常表示成a：b或a/b。
其中，a和b分别称为比例中的“前项”和“后项”。
如果在比例中，前项增加或减少了k倍，那么后项也会增加或减少k倍。
在比例中，扮演不同角色的a/b可以通过相乘、相加、相减等方式得到，如 a：b = c：d，则可以得到a/b= c/d、ad=bc、a = bc/d、b = ad/c等。
2.分数与比例的关系分数和比例是两个数量概念，但它们之间有联系。
将分数的分子作为比例的前项，分母作为比例的后项，就得到了一个比例。
如果将一个分式乘上一个数k，则相当于将分子和分母同时乘上这个数k，这样可以改变比例中的值，但比例的关系不变。
因此，可以把分数看作是一个特殊的比例。
3.比例的应用正如操作分数一样，比例也是数学中非常常见的概念，比例在各种量的关系中都有应用。
例如，体重和身高的比例可以用来判断健康程度；地图中的比例可以帮助我们判断物理距离与实际距离之间的比例；在商品中，“同尺寸不同价”的商品价格就可以用比例来计算出。
因此，掌握比例概念和应用方法对我们的生活产生了很大的作用。
二、比例计算方法及实例1.比例的基本概念中已经介绍了如何表示比例，下面介绍一些比例的计算方法。
1.1 比例的平等关系当两个比例相等时，前者与后者的比值是相等的，如 2：4 = 8：16，可以得出 2/4 = 8/16，因此前者与后者的比值是相等的。
1.2 求未知数在比例中，有时会缺少一个量，我们需要运用已知的比例关系求得未知量。
三年级奥数第四讲__和倍应用题
三年级数学提升班学生姓名：第四讲：和倍应用题只要你有一件合理的事去做，你的生活就会显得特别美好。
——爱因斯坦知识纵横已知两个数的和与两个数间的倍数关系，求这两个数分别是多少，像这样的应用题，通常叫做“和倍问题”。
解答和倍应用题，关键是要找出两数的和以及与其对应的倍数和，从而先求出1倍数，再求出几倍数，数量关系可以这样表示两数和÷（倍数＋1）＝小数（1倍数）小数×倍数＝大数（几倍数）两数和－小数＝大数例题求解【例１】学校将３６０本图书分给二、三两个年级，已知三年级所分得的本数是二年级的２倍，问二、三两个年级各分得多少本图书？【例２】小红有圆珠笔芯２０支，小青有圆珠笔芯２５支，问小青给多少支小红后，小红的圆珠笔芯是小青的２倍？【例３】甲、乙两架飞机同时从机场向相反的方向飞行，３小时共飞行３６００千米，甲的速度是乙的２倍，求它们每小时各飞行多少千米？【例４】甲、乙两个粮库原来共存粮１７０吨，后来从甲库运出２０吨，给乙库运进１０吨，这是甲库存粮是乙库存粮的２倍，两个粮库原来共存粮多少吨？【例５】光明小学有学生７６０人，其中男生比女生的３倍少４０人，男、女生各有多少人？【例６】果园有桃树、梨树、苹果树共５５２棵，桃树比梨树的２倍多１２棵，苹果树比梨树少２０棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？学力训练１.小明和小红共有压岁钱８００元，小红的钱数是小明的３倍，小明和小红分别有压岁钱多少元？２.超市共有白糖和红糖２３４千克，白糖的千克数正好是红糖的２倍，超市有红、白糖各多少千克？３.三年级学生参加文艺小组和科技小组的共有１０８人，参加文艺小组的人数是参加科技小组的人数的２倍，参加文艺小组的有多少人？４.甲、乙两架飞机从机场起飞后相背而行，３小时共飞行２７００米，甲的速度是乙的２倍，求他们的速度各是多少？５.学校将３６０本图书分给二、三年级，已知三年级所得本数比二年级的２倍还少６０本，二、三年级各分得图书多少本？６.同学们采集植物标本，六年级采集了１２０件，比五年级的２倍少１２件，五年级采集了多少件？家长签字：。
比例问题的巧妙解法——统一不变量
比例问题的巧妙解法——统一不变量比例问题在生活中常常会被遇到，但它们却远比我们想象的要复杂。
比例问题的解法一般都是使用代数的方法，然而并不是所有的比例问题都能够用简单的代数计算来解决，有时候我们可能需要采用更加巧妙的方法来处理比例问题。
今天，让我们来学习一种新的比例解法统一不变量法。
统一不变量法是一种解决比例问题的有效方法，它可以帮助我们找出比例问题的解，而不需要使用复杂的代数计算。
统一不变量法的主要思想是，对于一些比例问题，我们可以将它们统一成一个不变量，这个不变量表示的是比例问题中的一个重要参数。
例如，假设有一个比例问题，要求我们推算出 A B 之间的比例。
这时，我们就可以使用统一不变量法，将 A B比例统一为一个不变量，比如 x。
这时，我们就可以对比例问题进行简化数学计算，从而得到x的值，从而得到A和B之间的比例。
举一个比例问题的例子，假设有两个桶，一个桶里有三分之二的水，另一个桶里有四分之三的水，问两个桶里水的比例是多少？这时，我们就可以使用统一不变量法来解决这个问题。
首先，我们将两个桶中的水比例统一成一个不变量x，即x表示这两个桶里水的比例。
接下来，我们可以从原比例问题中推出两个等式：（1）3：2=x：1（2）4：3=x：1把上面两个等式相减，可以得到1：2=x：2由于x表示两个桶中水的比例，因此最终得到 x=1：2，也就是说两个桶中水的比例是 1：2。
由此可见，采用统一不变量法，我们可以很容易地得出比例问题的答案，而不需要进行繁琐的代数计算。
此外，统一不变量法还有一种重要的用处，就是可以帮助我们在解决比例问题时，保证比例的准确度。
比如，假设有一个比例问题，要求给定两个不同的比例，再给出一个容量，计算出各自比例所需要的量。
这时，我们可以使用统一不变量法，将两个比例统一为一个不变量，再结合给定容量，来求出每个比例所需要的量，这样就可以保证比例的准确度。
以上就是统一不变量法比例问题的主要思想，以及它的应用，通过对统一不变量法的学习，我们可以更加快速地解决一些比例问题。
4 比例法解题
第四讲 比例法解题比例题目常用解题方式和思路：解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l ”。
题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。
在解答分数应用题时，要注意以下几点：1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。
2. 若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。
3. 应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成反比例。
找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。
4. 题中有明显的等量关系，用方程的方法去解较为容易。
【例题1】甲、乙两车分别从A 、B 两地同时相对开出，当甲车行了全程的85时与乙车相遇。
已知乙车行完全程要12小时，甲车行完全程要几小时？练习：王师傅加工一批零件。
原计划每小时加工30个，6小时完成，实际每小时比原计划多加工20%。
实际加工这批零件比原计划提前几小时？【例题2】生产一批零件，甲每小时做18个，乙单独做要12小时完成，现在由甲乙二人合做，完成任务时甲乙生产零件数的比是3:5，甲生产了多少个零件？练习：李师傅和王师傅同时加工一批零件，两人合作6小时完成，已知李师傅每小时加工50个，王师傅独自干需要11小时完成，王师傅每小时加工多少个？一项工程,甲单独做8小时完成，乙每小时做30个。
现在甲乙二人合做，完成时，甲做了这项工程的85，乙做了多少个？【例题3】同学们在校园里植树，六年级同学植树比五年级多12棵，已知六年级植树棵树的52等于五年级植树棵树的74，求五六年级同学各植树多少棵？练习：有两根绳，甲绳比乙绳长35米。
已知甲绳的59和乙绳的34相等，两根绳各长多少米？【例题4】 甲、乙两校原有图书本数的比是7：5，如果甲校给乙校650本，甲、乙两校图书本数的比就是3：4。
六年级比例奥数专题
第四讲、比和比例奥数专题讲解教学目标：1、比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；4、单位“1”变化的比例问题5、方程解比例应用题知识点拨：比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：一、比和比例的性质性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数)性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积)正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比；反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比．二、主要比例转化实例①x ay b=⇒y bx a=；x ya b=；a bx y=；②x ay b=⇒mx amy b=；x may mb=(其中0m≠)；③x ay b=⇒x ax y a b=++；x y a bx a--=；x y a bx y a b++=--；④x ay b=，y cz d=⇒x acz bd=；::::x y z ac bc bd=；⑤x的ca等于y的db，则x是y的adbc，y是x的bcad．三、按比例分配与和差关系⑴按比例分配例如：将x个物体按照:a b的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x的比分别为():a a b+和():b a b+，所以甲分配到axa b+个，乙分配到bxa b+个.⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题例如：两个类别A、B，元素的数量比为:a b(这里a b>)，数量差为x，那么A的元素数量为axa b-，B的元素数量为bxa b-，所以解题的关键是求出()a b-与a或b的比值．四、比例题目常用解题方式和思路解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“1”。
小学六年级数学下册：抓住不变量，多样化方法，解决比例应用题
小学六年级数学下册：抓住不变量，多样化方法，解决比例应
用题
数学课程内容“不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法”。
我们要立足于数学，挖掘并渗透数学思想，在知识发生过程和问题解决过程中，体验和凸显数学思想。
在解决比例应用题中，关键是抓住不变量，从而利用数量关系式列出等式。
例题精选
某车间计划在10天内完成一批1200件零件的生产任务，实际在前4天中由于其他的原因，只完成了这批零件的1/3，照这样的工作效率，完成这批生产任务要延长几天? (用比例的方法解答)
分析
例1 方法一：由“照这样的速度”可知，实际的工作效率不变，即实际4天的工作效率=完成这批任务的工作效率，用正比例解决问题。
根据公式工作效率=工作总量÷工作时间，列出等量关系式。
方法二：要知道延长几天，可以先求实际工作时间。
工程问题，把工作总量看作单位“1”。
其它步骤同方法一。
解答
方法一：
解：设完成这批生产任务要延长x天。
答：完成这批生产任务要延长2天。
方法二：
解：实际完成这批生产任务要x天。
答：完成这批生产任务要延长2天。
方法可以多样，但没有优劣之分，选择适合自己的方法来计算。
你更喜欢哪种方法呢？。
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1 六（ ）班同学参加数学竞赛，获奖人数与参赛女生人数的比是 ： ，与参赛男生人数的比是 ： ．参赛同学中，男、女生的人数比是多少？
2 艾迪与薇儿苹果数之比为 个苹果．
，薇儿给了艾迪 个，此时两人苹果之比变为
，求两人一共有
3 有 、 两桶油， 桶油的重量与 桶油的重量之比是 ，如果从 桶倒入 桶 千克的油． 桶
7 甲乙两个筑路队人数比是 ，如果从甲队派 人到乙队，则人数比是 ．问甲乙两个筑路队原
来各有
、
人．
8 一个书架，原来上层和下层中书的本数比是 ，如果从上层取出 本书放入下层，这时上层和下 层的比为 ，原来上层和下层各有图书多少本？
9 仓库有一批货物，运走的货物与剩下的货物的重量比为
只有仓库原有货物的 ，仓库原有货物多少吨？
油与 桶油的重量之比是 ．求原来 桶油有
千克、 桶油有
千克．
4 甲乙两车间人数之比是 ，如果从乙车间调 人到甲车间，两车间人数就相等．则甲车间原来
有
人，乙车间原来有
人．
5 甲、乙两包糖的质量比是 ，从甲包取出 克放入乙包后，甲、乙两包糖的质量比为 ，原 来甲包有多少克糖？
6 甲乙两班人数比为 ，将乙班的 人转到甲班后后，两班总人数比为 ，求原来两班人数．
A.
B.
C.
，如果又运车 吨，那么剩下的货物 D.
10 某小学兴趣小组的男、女生人数之比是 ，学校兴趣小组共有科技组、书法组、合唱组．已知
这三组的人数比是
，科技组中男、女生的人数之比是 ，书法组中男、女生的人数之比
是 ，合唱组中男、女生人数之