流体力学习题课 (4)

（3）
∂u =0 ∂x
∂v =0 ∂y
∂w =0 ∂z
满足不可压缩流体连续性方程
习题四
4. 二维、定常不可压缩流动，x 方向的速度分量为 二维、定常不可压缩流动，
u = e cosh y +1
求 y 方向的速度分量 v 。 已知 y = 0 时 v = 0。 。 [解] 不可压缩流体的 解 连续性方程： 连续性方程：
条件
v = byz
kyzt − kxzt2 + kz(xt2 − yt) = 0
0≡0
无条件满足
习题四
6. 假定流管形状不随时间变化，设A为流管的横断面积，且在 断 假定流管形状不随时间变化， 为流管的横断面积， 为流管的横断面积 且在A断 面上的流动物理量是均匀的。试证明连续方程具有下述形式： 面上的流动物理量是均匀的。试证明连续方程具有下述形式：
u = 2x2 + y v = 2y2 + z w = −4(x + y)z + xy 2xyz y (x 2 − y 2 )z u=− 2 2 2 v = 2 w= 2 2 2 (x + y ) x + y2 (x + y )
u = yzt
v = xzt
w= xyt
满足不可压缩流 体连续性方程
[解] 考察是否满足不可压缩流体的连续性方程： 解 考察是否满足不可压缩流体的连续性方程： （1）
−x
∂u ∂v + =0 ∂x ∂y − e−x cosh y +
已知
∂v −x = e cosh y v = e−x sinh y + vc (x) ∂y
∂v =0 ∂y
y =0 v =0
vc (x) = 0
v = e−x sinh y
习题四ห้องสมุดไป่ตู้
5. 求下列速度场成为不可压缩流体可能流动的条件
（1）u = a1x + b y + c1z 1
习题四
1. 一不可压缩流体的流动，x 方向的速度分量是 u = ax2 +by：z 方向 一不可压缩流体的流动， ： 的速度分量为零， 为常数, 的速度分量为零，求 y 方向的速度分量 v 。其中 a 与 b 为常数 已知 y = 0 时 v = 0。 。 [解] 不可压缩流体的 解 连续性方程： 连续性方程：
7. 粘性流体在圆管中做层流流动时的速度分 布为
y r0 o
u = c(r02 − r 2 )
为常数， 为圆管半径。 其中 c 为常数，r0 为圆管半径。 单位长度圆管对流体的阻力； 求：(1) 单位长度圆管对流体的阻力； (2) 在管内 r = r0 / 2 处沿圆管单位长流体的内摩擦。 处沿圆管单位长流体的内摩擦。 [解] （1）半径 r 处的切应力为： 解 处的切应力为： ）
v = a2 x + b2 y + c2 z
w = a3x + b3 y + c3z
w = cyz + dz2 （2） u = axy z2 2 2 (xt − yt) （3） u = kxyzt v = −kxyzt w = k 2 ∂u ∂v ∂w [解] 考察满足不可压缩流体 解 + + =0 的连续性方程的条件： 的连续性方程的条件： ∂x ∂y ∂z
∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂u + + = 3≠ 0 ∂x ∂y ∂z
不满足不可压缩流体的连续性方程，运动不可能是不可压缩流体的运动。 不满足不可压缩流体的连续性方程，运动不可能是不可压缩流体的运动。
习题四
3. 试证下述不可压缩流体的运动是可能存在的： 试证下述不可压缩流体的运动是可能存在的： （1） （2） （3）
∂ ∂ (ρA) + (ρAu) = 0 ∂t ∂s
是速度， 是流动方向的微元弧长。 其中 u 是速度，ds 是流动方向的微元弧长。 [证] 证
dm d(ρA) d =∫ δs + ∫ ρA δs = 0 l l l dt dt dt r r d ∂u ρA δs = ∫ ρAδs ⋅ ∇u = ∫l ρAes ⋅ ∇u δs d(ρA) + ρA ∂u = 0 ∫
∂w ∂v ∂u = 4y = −4(x + y) = 4x ∂y ∂z ∂x
∂u 2yz 2xyz(−2)2x 8x2 yz − 2yz(x2 + y2 ) 2yz(3x2 − y2 ) （2） = − 2 − 2 = = 2 2 2 3 2 2 3 ∂x (x + y ) (x + y ) (x + y ) (x2 + y2 )3
m = ∫ ρAδs
l
dt
l
r r d(ρA) ∂(ρA) r V ⋅ ∇ρA = ues ⋅ ∇ρA = +V ⋅ ∇ρA dt ∂t ∂ ∂(ρA) ∂(ρA) ∂u = u (ρA) +u + ρA = 0 ∂s ∂t ∂s ∂s
∂(ρA) ∂ + (ρAu) = 0 ∂t ∂s
dt
∂s
习题四
r=
r0 2
x
∂u τr = µ = −2cµr ∂r
单位长度圆管管 壁对流体的阻力
F0 = − 2cµr r
2π r0 = −4π cµ r02 r =r0
(2) 在管内 r = r0 / 2 处沿圆管单位长流体的内摩擦： 处沿圆管单位长流体的内摩擦：
Fr0 = − 2 cµr r=r0
2
2
r0 2 2π = −π cµ r0 2
∂w ∂u ∂v （1） = c3 = a1 = b2 a1 + b2 + c3 = 0 条件为 ∂z ∂x ∂y ∂u ∂v ∂w （2） = ay = bz = cy + 2dz 条件 ay + bz + cy + 2dz = 0 ∂x ∂y ∂z （3） ∂u = kyzt ∂v = −kxzt2 ∂w = kz(xt2 − yt) ∂x ∂z ∂y
∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z ∂v 2ax + = 0 ∂y
已知
∂v = −2ax ∂y
v = −2axy + vc (x)
v = −2axy
y =0 v =0
vc (x) = 0
习题四
2. 试证下述不可压缩流体的运动不可能存在： u =x v=y w=z 试证下述不可压缩流体的运动不可能存在： [解] 由不可压缩流体 解 的连续性方程： 的连续性方程：
∂v − 2yz (x2 − y2 )z(−2)2y − 2yz(x2 + y2 ) − 4(x2 − y2 ) yz − 2yz(3x2 − y2 ) = + = = ∂y (x2 + y2 )2 (x2 + y2 )3 (x2 + y2 )3 (x2 + y2 )3
∂w =0 ∂z
满足不可压缩流体连续性方程