弹塑性力学11塑性极限分析教材
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弹塑性力学10-结构的塑性极限分析与安定性ppt课件
We= P = Pl
Wi = Mp + 2Mp = 3Mp
由We= Wi 得
Pl+ = 3Mp/l 上限解与下限解相同，该
结果即为完全解。
Pl- = Pl+ = Pl = 3Mp/l
➢ 注意——在确定静力容许的内力场时，若 能考虑到形成破坏机构所需的塑性铰数，
则得到的解答可以接近或等于完全解。若
确定的弯矩绝对值等于Mp的截面数小于形 成破坏机构的塑性铰数，此时应检查其余
10－3 梁的极限分析
【例1】如图所示简支梁，梁截 面的塑性极限弯矩为Mp。由 于在静定梁中无多余约束， 其内力由静力平衡条件唯一 确定，即建立起内力（弯矩） 与外载荷的关系式。而且， 在静定梁中仅需要一个截面 达到全塑性状态（即形成一 个塑性铰）该梁就可成为破 坏机构。取弯矩图中仅有的
一个最大值，并令其等于Mp 就可得到极限载荷的完全解。
第10章 结构的塑性极限分析 与安定性
.
第10章 结构的塑性极限分析与安定性
1. 梁的弹塑性弯曲 2. 塑性极限分析的定理与方法 3. 梁的极限分析 4. 刚架的极限分析 5. 轴对称圆板的极限分析 6. 结构的安定性
➢ 弹塑性结构的塑性极限载荷是表征结构承载能力 的最大值。按塑性极限承载能力进行结构设计， 不仅可以充分发挥材料的塑性性能，而且还可以 得到反映结构真实安全裕度的参数。
➢ 刚架极限分析的方法有静力法、机动法以 及机构叠加法。
➢静力法
（1）先求各截面的控制弯矩，即建立弯矩与 外载的关系；
（2）令控制弯矩中有（ n + 1）处达到塑性 极限弯矩，由此建立起静力容许的内力场， 并求其对应的载荷（即下限解）；
（3）如果内力场为静力容许，且形成破坏机 构，则此下限解即为完全解。
Wi = Mp + 2Mp = 3Mp
由We= Wi 得
Pl+ = 3Mp/l 上限解与下限解相同，该
结果即为完全解。
Pl- = Pl+ = Pl = 3Mp/l
➢ 注意——在确定静力容许的内力场时，若 能考虑到形成破坏机构所需的塑性铰数，
则得到的解答可以接近或等于完全解。若
确定的弯矩绝对值等于Mp的截面数小于形 成破坏机构的塑性铰数，此时应检查其余
10－3 梁的极限分析
【例1】如图所示简支梁，梁截 面的塑性极限弯矩为Mp。由 于在静定梁中无多余约束， 其内力由静力平衡条件唯一 确定，即建立起内力（弯矩） 与外载荷的关系式。而且， 在静定梁中仅需要一个截面 达到全塑性状态（即形成一 个塑性铰）该梁就可成为破 坏机构。取弯矩图中仅有的
一个最大值，并令其等于Mp 就可得到极限载荷的完全解。
第10章 结构的塑性极限分析 与安定性
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第10章 结构的塑性极限分析与安定性
1. 梁的弹塑性弯曲 2. 塑性极限分析的定理与方法 3. 梁的极限分析 4. 刚架的极限分析 5. 轴对称圆板的极限分析 6. 结构的安定性
➢ 弹塑性结构的塑性极限载荷是表征结构承载能力 的最大值。按塑性极限承载能力进行结构设计， 不仅可以充分发挥材料的塑性性能，而且还可以 得到反映结构真实安全裕度的参数。
➢ 刚架极限分析的方法有静力法、机动法以 及机构叠加法。
➢静力法
（1）先求各截面的控制弯矩，即建立弯矩与 外载的关系；
（2）令控制弯矩中有（ n + 1）处达到塑性 极限弯矩，由此建立起静力容许的内力场， 并求其对应的载荷（即下限解）；
（3）如果内力场为静力容许，且形成破坏机 构，则此下限解即为完全解。
弹塑性力学第十一章标准详解
弹塑性⼒学第⼗⼀章标准详解第⼗⼀章习题答案11.3使⽤静⼒法和机动法求出图⽰超静定梁的极限载荷。
解1：（1）静⼒法⾸先该超静定梁（a ）化为静定结构（b ）、（c ）。
分别求出其弯矩图，然后叠加，得该超静定梁的弯矩图（f ）在极限情况下,A sB s M M M M =-=设C 点⽀反⼒为C R ，则：12C s R l Pl M -=- 1(2)C s R l l M -=由上⼆式得()()11142p M l l P l l l *-=-当P 值达到上述数值时，结构形成破坏机构，故P 为该梁的完全解。
（2）机动法设破坏机构如图（g ），并设B 点挠度为δ，则：11,(2)A C l l l θδθδ==-()1122B A C l l l l δθθθ=+=-外⼒功e W P δ=内⼒功()11142i A A B B s l l W M M M l l l θθδ-=+=-由e i W W =，可得极限载荷上限为()11142s l l P M l l l *-=-先将该超静定梁化为静定梁（b ）、（c ），分别作弯矩图，叠加得该超静定梁的弯矩图（f ）设A 点为坐标原点，此时弯矩⽅程为：()()()212B M x R l x q l x =---在极限状态时，有()0,0s x M M ==- ()11,s x x M x M == 令()0dM x dx=得1()B q l x R -= （1）⽽212B s R l ql M -=- （2）()()21112B s R l x q l x M ---= （3）联⽴解（1）、（2）、（3）得2122s s M qM ql l ??=-解得21122s M q l=取较⼤的值，可得0211.66sM q l ≈在以上0q 值作⽤下，梁已形成破坏机构，故其解为完全解。
（2）机动法如图（g ）设在A 、C 两点形成塑性铰,2A B C θθθθθ=== 内⼒功为()23i s s s W M M M θθθ=--+=g 外⼒功为e W q x dx q l θθ**==由虚功原理i W W =得：0221211.66s s M M q q l l*=>≈该解与完全解的误差为 03%q q q **-≈解3：（1）静⼒法设坐标原点在C 点，此时弯矩⽅程为：BC 段（02x l ≤≤）21()2c M x R x qx =-AB 段（2l x l ≤≤）11()24c M x R x ql x l ?? =--在x ξ=处，M 为极⼤值，设ξ在BC 段，由()0x dM x dx ξ==得0c R q ξ-= cR qξ=（1）在极限情况下()s M l M =- ， ()s M M ξ=即：238c s R l ql M -=- （2）21221889s M q l=取正号219.2s Mq l=由于此时形成破坏机构，故q 值完全解。
弹塑性力学第一章 PPT资料共54页
16.11.2019
10
§1-2 基本假设和基本规律
2.1基本假设
假设1：固体材料是连续的介质，即固体体积 内处处充满介质，没有任何间隙。
从材料的微观看此假设不正确。因为粒子 间有空隙，但从宏观上看作为整体进行力学分 析时，假设1是成立的。假设1的目的：变形体 的各物理量为连续函数（坐标函数）。
16.11.2019
11
§1-2 基本假设和基本规律
假设2：物体的材料是均匀的。认为物体内 各点的材料性质相同（力学特性相同），所 以从物体内任一部分中取出微元体进行研究， 它的力学性质代表了整个物体的力学性质。
16.11.2019
12
§1-2 基本假设和基本规律
假设3：小变形假设。物体在外因作用下，物 体产生的变形与其本身几何尺寸相比很小。
哑标如：
3
rr1e1r2e2r3e3 riei riei r j e j 3 i1
uu1e1u2e2u3e3 uiei uiei u j e j
i1
33
1e 1 1 e 11e 1 2 e 2 .. ..3.e 3 3 e .3 ie jie jie jie j
排列符号的作用可以简化公式书写，如： 1． 三阶行列式：
A11 A12 A13 AA21 A22 A23eijkAi1Aj2Ak3eijkA1iA2jA3k
A31 A32 A33
（共六项，三项为正，三项为负）。
16.11.2019
32
§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、 张量基本知识
2. 基向量的叉积：右手系
16.11.2019
弹塑性力学
授课教师：龙志飞 目录
工程弹塑性力学课件
工程弹塑性力学课件
目 录
• 弹塑性力学基础 • 弹性力学基本理论 • 塑性力学基本理论 • 工程应用实例 • 工程弹塑性力学展望
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
弹塑性力学
弹塑性力学是一门研究材料在弹 性极限和塑性极限内应力、应变 行为的科学。它广泛应用于工程 领域，为各种结构设计和分析提
供理论基础。
有限差分法
将物体的位移表示为离散的点的 差分形式，通过求解这些点的位 移来近似求解整个物体的位移。
边界元法
将物体的边界离散化为有限个小 的单元，通过求解这些单元的力 学行为来近似求解整个物体的边 界力学行为。
03
塑性力学基本理论
塑性力学基本概念
01
02
03
塑性力学
塑性力学是研究材料在达 到屈服点后，发生不可逆 变形时行为和特性的学科 。
边界元法
通过在边界上离散化求解微分方程的方法，可以减少未知数的数量 ，提高求解效率。
有限差分法
将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解的方法得到近似解。
04
工程应用实例
桥梁工程弹塑性分析
总结词
桥梁结构稳定性
详细描述
桥梁工程弹塑性分析主要关注桥梁结构的稳定性，通过分 析桥梁在不同载荷下的弹塑性响应，评估其承载能力和安 全性。
总结词
材料非线性
详细描述
桥梁工程中的材料多为金属或复合材料，这些材料的弹塑 性行为呈现出非线性特征。在分析过程中，需要考虑材料 在不同应力水平下的弹塑性变形和破坏。
总结词
结构优化设计
详细描述
基于弹塑性分析的结果，可以对桥梁结构进行优化设计， 提高其承载能力和稳定性，同时降低制造成本和维护成本 。
目 录
• 弹塑性力学基础 • 弹性力学基本理论 • 塑性力学基本理论 • 工程应用实例 • 工程弹塑性力学展望
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
弹塑性力学
弹塑性力学是一门研究材料在弹 性极限和塑性极限内应力、应变 行为的科学。它广泛应用于工程 领域，为各种结构设计和分析提
供理论基础。
有限差分法
将物体的位移表示为离散的点的 差分形式，通过求解这些点的位 移来近似求解整个物体的位移。
边界元法
将物体的边界离散化为有限个小 的单元，通过求解这些单元的力 学行为来近似求解整个物体的边 界力学行为。
03
塑性力学基本理论
塑性力学基本概念
01
02
03
塑性力学
塑性力学是研究材料在达 到屈服点后，发生不可逆 变形时行为和特性的学科 。
边界元法
通过在边界上离散化求解微分方程的方法，可以减少未知数的数量 ，提高求解效率。
有限差分法
将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解的方法得到近似解。
04
工程应用实例
桥梁工程弹塑性分析
总结词
桥梁结构稳定性
详细描述
桥梁工程弹塑性分析主要关注桥梁结构的稳定性，通过分 析桥梁在不同载荷下的弹塑性响应，评估其承载能力和安 全性。
总结词
材料非线性
详细描述
桥梁工程中的材料多为金属或复合材料，这些材料的弹塑 性行为呈现出非线性特征。在分析过程中，需要考虑材料 在不同应力水平下的弹塑性变形和破坏。
总结词
结构优化设计
详细描述
基于弹塑性分析的结果，可以对桥梁结构进行优化设计， 提高其承载能力和稳定性，同时降低制造成本和维护成本 。
2011塑性力学教案
学
过
程
思考题 作 业
4.1，4.2，4.3
4.4
石 家 庄 铁 道 学 院 教 案 用 纸
周 次 第9周 日 期 2009．4．13 节 次 第 5-6 节 2 学时
授课内容
塑性应力率、塑性应变率，应变空间的加载曲面 和加载卸载准则。外凸性与正交流动法则。
授课学时
掌握塑性应力率和应变率的概念， 加卸载准则， 了解稳定材料假设、 Drucker 教学目的 假设和依留申公设。 教学重点 教学难点 教 具 和 媒体使用 教学方法 加卸载准则，Drucker 假设和依留申公设。 加卸载准则，Drucker 假设和依留申公设。外凸性与正交流动法则。 课堂讲授 讲授法。
教
三、偏应力张量和偏应变张量（25 分钟） 偏应力张量和偏应变张量（ 分钟） 四、屈服条件（25 分钟） 屈服条件（ 分钟）
学
过
程
思考题 作 业
张量是什么？
石 家 庄 铁 道 学 院 教 案 用 纸
周 次 第8周 日 期 2009．4．6 节 次 第 5-6 节 2 学时
授课内容 教学目的 教学重点 教学难点 教 具 和 媒体使用 教学方法
授课内容 教学目的 教学重点 教学难点 教 具 和 媒体使用 教学方法
应力分析和应变分析。
授课学时
熟悉：三维应力应变分析，会进行简单的证明推理。 熟悉 应力分析和应变分析。 应力分析和应变分析。 课堂讲授 讲授法。 一、应力张量和应变张量（25 分钟） 应力张量和应变张量（ 分钟） 张量 二、应力张量和应变张量的不变量（25 分钟） 应力张量和应变张量的不变量（ 分钟）
过
程
思考题 作 业
机动法和静力法有何不同？
《弹塑性力学》第十一章 塑性力学基础
2021/8/9
30
§11-2 一维问题弹塑性分析
s
-
+
+ -
+ +
s
- = +-
s
M I
y
y y0
x
y0s
y
M I
y
y0 y y0
s
M I
y
y y0
2021/8/9
31
§11-2 一维问题弹塑性分析
2.3 梁具有一个对称轴截面的弹塑性弯曲:
M
x
y
b
M
z
h
y
具有一个对称轴截面梁的弹塑性弯曲特点： 随着弯矩的增大，中性轴的位置而变化。
（a段进入塑性屈服，但 b 段仍处于弹性）
N2=P- N1=P-sA 力 P 作用点的伸长取决于b 段杆的变形
b
N2b EA
(P
s A)b
EA
2021/8/9
17
§11-2 一维问题弹塑性分析
b
N2b EA
(P s A)b
EA
Pe s A(1 a b) s A Pe (1 a b)
应力较少）屈服条件是不变的。当应力满足
屈服条件时，卸载将有残余变形，即塑性变
形存在。卸载按线性弹性。
C
s A B
’s s
A
B
C
o
p
e
p
e
o O’
p e
软钢 -
合金钢 -
2021/8/9
5
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
而对于合金钢，无明显屈服，当 s时进
入强化阶段，在加载即发生弹性变形和塑性变
弹塑性力学PPT课件
早期研究： • 1773年Coulomb提出土质破坏条件，其后推广为
Mohr- Coulomb准则； • 1857年Rankine研究半无限体的极限平衡，提出滑移
面概念； • 1903年Kötter建立滑移线方法； • 1929年Fellenius提出极限平衡法； • 1943年Terzaghi发展了Fellenius的极限平衡法； • 1952~1955年Drucker和Prager发展了极限分析方法； • 1965年Sokolovskii发展了滑移线方法。
.
5
1.1 基本概念
• 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是 研究弹性和弹塑性物体变形规律的一门科学。 应用于机械、土木、水利、冶金、采矿、建 筑、造船、航空航天等广泛的工程领域。
• 目的：（1）确定一般工程结构受外力作用时 的弹塑性变形与内力的分布规律；（2）确定 一般工程结构物的承载能力；（3）为进一步 研究工程结构物的振动、强度、稳定性等力 学问题打下必要的理论基础。
在加载过程中必须对其历史进行记录。
.
18
1.4 塑性力学的研究方法
• 宏观塑性理论 • 以若干宏观实验数据为基础，提出某些假设
和公设，从而建立塑性力学的宏观理论。特 点是： • 数学上力求简单，力学上能反映试验结果的 主要特性。 • 实验数据加以公式化，并不深入研究塑性变 形过程的物理化学本质。
.
.
6
弹塑性力学的基本假设
• （1）物体是连续的，其应力、应变、位移 都可用连续函数表示。
• （2）变形是微小的，忽略变形引起的几何 变化。
• 即连续介质和小变形假设。
.
7
弹性和塑性变形的特点
弹性变形的特点:
• 应力－应变之间具有一一对应的关系，
弹塑性力学课件
5．Ramberg-Osgood模型
其加载规律可写为： （ 9）
如取 就有
说明：这对应于割线余率为0.7E的应力和应变，上式 中有三个参数可用来刻画实际材料的拉伸特性，而在 数学表达式上也较为简单。
6. 等向强化模型及随动强化模型
M
M1 C
等向强化模型
S
A
—— 是刻画塑性变形历史的参数
假定材料是不可压缩的：A0l0=Al，并认为名义应力 达到最高点C时出现颈缩：
[1] 由
则在颈缩时真应力应满足条件
结论：拉伸失稳分界点的斜率正好和该点的纵坐标值相等。
[2] 注意到
颈缩时的条件也可写为：
即
结论： 拉伸失稳点C的斜率为其纵坐标值除以 (1 )
[3] 以截面积收缩比q为自变量
其中
——为变形后第2杆与第1杆（和第3杆）之间的夹角 可见（33）式中有三个未知量 在不卸载的情况下，由本构方程：
得到 P 与 a 之间的非线性关系
结论： 随着 的增长， 的值将会由于强化效应和 角的减小而提高， 但也会随着杆件截面积的收缩而下降。故当 很大时，结构将可能 变成不稳定的。
§1.8 弹性极限曲线
卸载时的载荷-位移曲线（见图9） 与初始弹性加载时的曲线有相同 的斜率。
应力和应变:
最终的应力和应变值可由（21）、（25）和（22）、（26）下式的叠加求得：
残余应力和残余应变:
特别地，当载荷P值全部卸除后，由△P=-P*，便得到杆 中的残余应力和残余应变（见图10）为：
其中
节点O的残余位移为：
不产生新的塑性变形的限制条件：
其中
值满足
（37）式对应于图12中虚线所构成 的六边形区域。 说明： 可见在加载方向一侧屈服载荷有所提高而与加载方向相反 的一侧屈服载荷有所降低。可用来对应变硬化和包氏效应 等现象做一个比较形象的解释。
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P o l/2 z l/2
x
x
P l Me 2 2
he h 2
x
x
h he 2
x0
h Pl he 3 2 2Me
Pl/4
Me
四．全塑性阶段
x0
P
he 0
bs s 3h2 4he2 12
Ms
o l/2 z l/2
塑性极限分析的完全解：
满足平衡条件．极限条件．破坏机构条件的解。
二．虚功原理和虚功率原理
虚功原理：在外力作用下处于平衡的变形体， 若给物体一微小的虚变形（位移）。则外力的 虚功必等于应力的虚功（物体内储存的虚应变 * 能）。 f i ui*dV Fi ui*dS s ij ij dV
结构在塑性极限状态应满足的条件：
（1）平衡条件：平衡微分方程和静力边界条件。 （2）极限条件：达到塑性极限状态时内力场不违背 的条件（屈服条件。） （3）破坏机构条件：塑性极限状态下结构丧失承载 能力时形成破坏机构的形式。（表征结构破坏时 的运动趋势或规律，要求不引起物体的裂开或重 合－几何方程，且被外界约束的物体表面上满足 位移和速度边界条件。）
塑性极限状态：
理想塑性体承受的载荷达到一定的数值时，即 使载荷不再增长，塑性变形也可自由发展，整个结构 不能承受更大的载荷，这种状态称为塑性极限状态。
塑性极限载荷：
塑性极限状态对应的载荷。
塑性极限分析的基本假定：
（1）材料是理想刚塑的，不计弹性变形和强化效应。 （2）变形是微小的。 （3）比例加载。（所有外载荷都按同一比例增加。）
z
bh2 Me ss 6
M max
bh2 Pe ss 6l
bh2 Mp ss 4 bh2 Pp ss 4l
Pe P PP
P
o
x
Me he2 Ms 34 2 2 h he 1 2 P (l x ) 3 h 2 Pe l
x l
z
Ms M p
x
l 6
x
bh2 MP ss 塑性极限弯矩 4 3Me Mp 2 4 M P bh2 PP s s 塑性极限载荷 l l
PP M 2 Pe l l 2 Me 4
ss
h/ 2
l 6 确定塑性区位置
z ss
塑性铰：在全塑性阶段，跨中 截面的上下两塑性区相连，使 跨中左右两截面产生像结构 （机械）铰链一样的相对转动 －－塑性铰。
M Pp l Me Pe l
Pe 2 Pp 3
Mp ss
Me
h/ 2
l 3
z ss
§11－2
塑性极限分析定理与方法
一．有关塑性极限分析的基本概念
弹塑性分析方法的缺点：
（1）分析三个状态：弹性状态、弹塑性状态、塑性 状态。 （2）了解整个加载过程。 （3）材料本构关系是非线性的，只能求解简单问题。
V ST V
Fi
ST V
Su
ui
虚变形（位移）：结构约束所允许的无限小位移。
证明：
V
* f i ui*dV Fi ui*dS s ij ij dV ST V
平衡方程： 边界条件：
s ij x j
fi 0
Green 公式：
s ij l j Fi
i i i i V
f dV fl j dS x j V S
V
f u dV F u dS f u dV s
i i ST ST
ij j
l ui dS
ui u j 1 ij 2 x j x x
f i ui dV
sxΒιβλιοθήκη sxs x ( x, z),s y s z xy yz zx 0
小挠度假设：在梁达到塑性极限状态瞬 间之前，挠度与横截面尺寸相比为一微 小量，可用变形前梁的尺寸进行计算。 Pl/4
d 2w 2 dx 1
二．弹性阶段
Mz s x E x I 6M s x max 2 bh Ez
bh I 12
3
P x
l/2
b h y z
l/2
s x max s s Mises：屈服条件：
bh2 Me s s 弹性极限弯矩 6 1 M e 2s s 2 s ke e EI Eh h 4 M e 2bh2 Pe ss l 3l
ss
s
ss
ss
s
弹性极限载荷
特点： 塑性铰的存在是由于该截面上的 弯矩等于塑性极限弯矩；故不能 传递大于塑性极限弯矩的弯矩。 塑性铰是单向铰，梁截面的转动 方向与塑性极限弯矩的方向一致。 否则将使塑性铰消失。
P o l/2 z
x
l 6
x l/2
P
x
l/2 z
l/2
例题：悬臂梁在自由端受集中力，求弹性极限载荷、塑 性极限载荷、弹塑性分界线。 解： Mmax Pl P b M max P x y h o l l z
三．弹塑性阶段（约束塑性变形阶段）
M s Me
he
塑性区扩展
h/ 2
ss
he h / 2
M s 2b s x zdz 2b s s zdz
0 he
bs s Ms 3h2 4he2 12
zs M s 2b s zdz 2b s s zdz he 0 he
h/ 2
he
z ss P o l/2 z l/2 x
bh2 Me ss 6
Me Ms 2
he2 3 4 h2
P l M x x 2 2
弹塑性区交界线：
he 1 P (l 2 x ) 3 h 2 2Me
弹塑性区交界线：
he 1 P (l 2 x ) 3 h 2 2Me
第11章
结构的塑性极限分析
梁的弹塑性弯曲 塑性极限分析定理和方法 梁的极限分析
§11－1 梁的弹塑性弯曲 一．基本假定 平截面假设：在变形过程中， 变形前为平面的横截面，变形 后仍保持为平面，且与变形后 梁的轴线垂直。 z
x
b
h P z x l/2 l/2 y
纵向纤维互不挤压：不计挤压应力， 横截面上只有正应力。
x
x
P l Me 2 2
he h 2
x
x
h he 2
x0
h Pl he 3 2 2Me
Pl/4
Me
四．全塑性阶段
x0
P
he 0
bs s 3h2 4he2 12
Ms
o l/2 z l/2
塑性极限分析的完全解：
满足平衡条件．极限条件．破坏机构条件的解。
二．虚功原理和虚功率原理
虚功原理：在外力作用下处于平衡的变形体， 若给物体一微小的虚变形（位移）。则外力的 虚功必等于应力的虚功（物体内储存的虚应变 * 能）。 f i ui*dV Fi ui*dS s ij ij dV
结构在塑性极限状态应满足的条件：
（1）平衡条件：平衡微分方程和静力边界条件。 （2）极限条件：达到塑性极限状态时内力场不违背 的条件（屈服条件。） （3）破坏机构条件：塑性极限状态下结构丧失承载 能力时形成破坏机构的形式。（表征结构破坏时 的运动趋势或规律，要求不引起物体的裂开或重 合－几何方程，且被外界约束的物体表面上满足 位移和速度边界条件。）
塑性极限状态：
理想塑性体承受的载荷达到一定的数值时，即 使载荷不再增长，塑性变形也可自由发展，整个结构 不能承受更大的载荷，这种状态称为塑性极限状态。
塑性极限载荷：
塑性极限状态对应的载荷。
塑性极限分析的基本假定：
（1）材料是理想刚塑的，不计弹性变形和强化效应。 （2）变形是微小的。 （3）比例加载。（所有外载荷都按同一比例增加。）
z
bh2 Me ss 6
M max
bh2 Pe ss 6l
bh2 Mp ss 4 bh2 Pp ss 4l
Pe P PP
P
o
x
Me he2 Ms 34 2 2 h he 1 2 P (l x ) 3 h 2 Pe l
x l
z
Ms M p
x
l 6
x
bh2 MP ss 塑性极限弯矩 4 3Me Mp 2 4 M P bh2 PP s s 塑性极限载荷 l l
PP M 2 Pe l l 2 Me 4
ss
h/ 2
l 6 确定塑性区位置
z ss
塑性铰：在全塑性阶段，跨中 截面的上下两塑性区相连，使 跨中左右两截面产生像结构 （机械）铰链一样的相对转动 －－塑性铰。
M Pp l Me Pe l
Pe 2 Pp 3
Mp ss
Me
h/ 2
l 3
z ss
§11－2
塑性极限分析定理与方法
一．有关塑性极限分析的基本概念
弹塑性分析方法的缺点：
（1）分析三个状态：弹性状态、弹塑性状态、塑性 状态。 （2）了解整个加载过程。 （3）材料本构关系是非线性的，只能求解简单问题。
V ST V
Fi
ST V
Su
ui
虚变形（位移）：结构约束所允许的无限小位移。
证明：
V
* f i ui*dV Fi ui*dS s ij ij dV ST V
平衡方程： 边界条件：
s ij x j
fi 0
Green 公式：
s ij l j Fi
i i i i V
f dV fl j dS x j V S
V
f u dV F u dS f u dV s
i i ST ST
ij j
l ui dS
ui u j 1 ij 2 x j x x
f i ui dV
sxΒιβλιοθήκη sxs x ( x, z),s y s z xy yz zx 0
小挠度假设：在梁达到塑性极限状态瞬 间之前，挠度与横截面尺寸相比为一微 小量，可用变形前梁的尺寸进行计算。 Pl/4
d 2w 2 dx 1
二．弹性阶段
Mz s x E x I 6M s x max 2 bh Ez
bh I 12
3
P x
l/2
b h y z
l/2
s x max s s Mises：屈服条件：
bh2 Me s s 弹性极限弯矩 6 1 M e 2s s 2 s ke e EI Eh h 4 M e 2bh2 Pe ss l 3l
ss
s
ss
ss
s
弹性极限载荷
特点： 塑性铰的存在是由于该截面上的 弯矩等于塑性极限弯矩；故不能 传递大于塑性极限弯矩的弯矩。 塑性铰是单向铰，梁截面的转动 方向与塑性极限弯矩的方向一致。 否则将使塑性铰消失。
P o l/2 z
x
l 6
x l/2
P
x
l/2 z
l/2
例题：悬臂梁在自由端受集中力，求弹性极限载荷、塑 性极限载荷、弹塑性分界线。 解： Mmax Pl P b M max P x y h o l l z
三．弹塑性阶段（约束塑性变形阶段）
M s Me
he
塑性区扩展
h/ 2
ss
he h / 2
M s 2b s x zdz 2b s s zdz
0 he
bs s Ms 3h2 4he2 12
zs M s 2b s zdz 2b s s zdz he 0 he
h/ 2
he
z ss P o l/2 z l/2 x
bh2 Me ss 6
Me Ms 2
he2 3 4 h2
P l M x x 2 2
弹塑性区交界线：
he 1 P (l 2 x ) 3 h 2 2Me
弹塑性区交界线：
he 1 P (l 2 x ) 3 h 2 2Me
第11章
结构的塑性极限分析
梁的弹塑性弯曲 塑性极限分析定理和方法 梁的极限分析
§11－1 梁的弹塑性弯曲 一．基本假定 平截面假设：在变形过程中， 变形前为平面的横截面，变形 后仍保持为平面，且与变形后 梁的轴线垂直。 z
x
b
h P z x l/2 l/2 y
纵向纤维互不挤压：不计挤压应力， 横截面上只有正应力。