物理带电粒子在电磁场中的复杂运动轨迹分析
带电粒子在电磁场运动问题的解题策略探索
全 面掌握相关 的知识 ， 同时在解题 时 ， 要对 所掌握 的这 些知 识
灵活进行运用 。
１１要 区分静 电 场和 磁 场 ．
静 电场和磁场的具体区分如下表所示 ：
大小 方向 功 能特点
９
在磁场 中沿着逆时针方 向做 匀速圆周运 动 ，通过公式 Ｂ ｖ ｍ ｑ＝
，
正 电荷受力点与 ① 电场 力做 功
Ｔ ２ ｍｑ ＝ ￣ ／Ｂ计算 出运动的周期 ，可 以通 过圆周的运 动规律来计 算出偏离的距 离和角度 。
２通 过实例分析解题 策略
例１ ． 如图 １ 所示 ， 某真空室 ．： ： ： ： ： ：．
内存 在匀 强磁 场 ，磁场的方 向和 纸面垂直向里 ，磁感应强度 的大 小 为 Ｂ ．０ ， ＝０６ Ｔ 磁场 内有一 块平 行 感光板 ａ ， 面的方 向和磁场 ｂ板
１ 解 题 之前 要 注 意 的 问题 在
发射度都是 ｖ ．×１６／ 的 ｄ粒子 。已知 ０ 粒子的电量 和 ＝３０ ０ ｓ ｍ ｌ 质量 的比值为 ｑｍ－５ ／ － ． ０Ｃｋ ，只考 虑在纸平 面 中运动 的 ０×１ ／ｇ 粒子 ， ａ 上被 ｄ 粒子打 中的区域 长度 。 求 ｎ 看完 了题 目，首先分析题 目的要求 和最终要算 的结果 ， 画 出图形。现对本题 进行 分析解释 ： 我们知道 ， 洛伦兹力是 ｄ粒
ＮＰ１ ＋ＮＰ２ ２ ＝０．０ｍ 。
例 ２在 ｘ ｙ 面内有许 多电子 （ ． Ｏ 平 质量为 ｒ， ｎ 电荷量为 ｅ 从 ） 坐标原点 Ｏ不断 以相 同大小 的速度 ｖ沿不 同的方向射入第一 ０ 象限 ， 如图 ３所示。现加上一个 垂直 于 ｘ ｙ平面的磁感应强度 Ｏ 为 Ｂ的匀强磁场 ， 要求这些 电子穿过该磁场后都能平行 于 Ｘ 轴 向 ｘ 正方向运动 ，试 求出符合 轴
带电粒子在磁场中的运动轨迹的分析
【习题】
1、 如图直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、 负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v 射 入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出 时相距多远？射出的时间差是多少？ mv B r eB 2mv d 2r r r 300 M N eB
．
r
O’
r
3000 5 2m 5m t1 T 0 360 6 eB 3eB 600 1 2m m t2 T 3600 6 eB 3eB
．
B
eBr eB d 2 2 2m 2( )m v t m m (1 cos ) 2 eB eB
d r (1 cos ) v2 qvB m r
D
F
思考：求电子在磁场中运动的 最长时间是多长？
3．如图所示，相互平行的直线M、N、P、Q间存在垂 直于纸面的匀强磁场。某带负电粒子由O点垂直于磁场 方向射入，已知粒子速率一定，射入时速度方向与OM 间夹角的范围为0<θ<90º，不计粒子的重力，则： A.θ越大，粒子在磁场中运动的时间可能越短 B.θ越大，粒子在磁场中运动的路径一定越长 C.θ越大，粒子在磁场中运动轨迹的圆心到MN的距离一 定越小 D.粒子在磁场中运动的轨迹长度与时间的比值与θ无关
B
(1)若电子后来又经过D点，则电子的速度大小是多少？ (2)电子从C到D经历的时间是多少？
(电子质量me= 9.1×10-31kg，电量e = 1.6×10-19C)
◆带电粒子在半无界磁场中的运动
①如果垂直磁场边界进入，粒子作半圆运动后 垂直原边界飞出；
O O1
B
S
②如果与磁场边界成夹角θ进入，仍以与磁场 边界夹角θ飞出（有两种轨迹，图中若两轨迹 共弦，则θ1＝θ2）。
带电粒子在正交匀强电磁场中运动的轨迹和摆线hao
带电粒子在正交匀强电磁场中运动的轨迹和摆线陈升科高中物理中介绍了速度选择器，速度选择器两极板间有正交的匀强电场和匀强磁场，带电粒子在速度选择器中的运动实际上是在正交的匀强电场和匀强磁场中的运动．带电粒子垂直匀强电场和匀强磁场方向进入速度选择器，且速度大小等于电场强度Ｅ跟磁感强度Ｂ之比（Ｅ／Ｂ）（称（Ｅ／Ｂ）为选择速度，用ｖｅｂ表示），将做匀速直线运动．如果带电粒子的速度大小不等于选择速度或偏离垂直匀强电场和匀强磁场方向进入速度选择器，将做什么运动，其运动轨迹怎样?一、带电粒子在正交的匀强电磁场中的运动方程设空间有正交的匀强电场和匀强磁场（下称电磁场），电场强度矢量和磁感强度矢量分别为Ｅ＝Ｅｊ，Ｂ＝Ｂｋ．有一个电量为ｑ、质量为ｍ的带电粒子从坐标原点以初速ｖ０射入电磁场中．初速度矢量为ｖ０＝ｖ０ｘｉ＋ｖ０ｙｊ＋ｖ０ｚｋ，带电粒子射入电磁场后，在某时刻的速度矢量为ｖ＝ｖｘｉ＋ｖｙｊ＋ｖｚｋ．带电粒子在此时刻受到的电场力矢量为Ｆ＝ｑＥ＝ｑＥｊ，受到的磁场力（洛伦兹力）矢量为ｆ＝ｑｖ×Ｂ＝ｑｉｊｋｖｘｖｙｖｚ00Ｂ＝ｑｖｙＢｉ－ｑｖｘＢｊ．带电粒子在电磁场中的动力学方程为Ｆ＋ｆ＝ｍ．动力学方程的三个分量式分别为ｍｘ＝ｑＢｖｙ，①ｍｙ＝ｑＥ－ｑＢｖｘ，②ｍｚ＝0．③令ω＝（ｑＢ）／ｍ，由方程①得ｖｙ＝（1／ω）ｘ．④④式对时间ｔ微分得加速度的ｙ方向分量ｙ＝（1／ω）ｘ．将上式代入②式，并令ｕｘ＝ｖｘ－（Ｅ／Ｂ）＝ｖｘ－ｖｅｂ，得ｘ＋ω２ｕｘ＝0．此微分方程的通解是ｕｘ＝－Ａｃｏｓ（ωｔ＋φ），它可改写为ｖｘ＝－Ａｃｏｓ（ωｔ＋φ）＋ｖｅｂ．⑤⑤式对时间ｔ微分得带电粒子在电磁场中运动时的加速度的ｘ方向的分量ｘ＝Ａωｓｉｎ（ωｔ＋φ），⑥将⑥式代入④式得速度的ｙ方向的分量ｖｙ＝Ａｓｉｎ（ωｔ＋φ），⑦⑦式对时间ｔ微分得加速度的ｙ方向的分量ｙ＝Ａωｃｏｓ（ωｔ＋φ），⑧③式对时间ｔ积分得速度的ｚ方向的分量ｖｚ＝Ｃ３．⑨⑤、⑦、⑨式分别对时间ｔ积分得带电粒子在电磁场中运动的运动学方程的三个分量ｘ＝－（Ａ／ω）ｓｉｎ（ωｔ＋φ）＋ｖｅｂｔ＋Ｃ１，⑩ｙ＝－（Ａ／ω）ｃｏｓ（ωｔ＋φ）＋Ｃ２，⑾ｚ＝Ｃ３ｔ＋Ｃ４．⑿以上三式中Ａ、φ、Ｃ１、Ｃ２、Ｃ３和Ｃ４均为积分常数，可用带电粒子射入电磁场时的初始条件确定．由①、②两式得，带电粒子初始加速度在ｘ方向和ｙ方向的分量分别为０ｘ＝（ｑＢｖ０ｙ）／ｍ＝ωｖ０ｙ，０ｙ＝（ｑＥ－ｑＢｖ０ｘ）／ｍ＝ωｖｅｂ－ωｖ０ｘ．将以上两式分别代入⑥、⑧两式得Ａｓｉｎφ＝ｖ０ｙ，Ａｃｏｓφ＝ｖｅｂ－ｖ０ｘ，解得积分常数Ａ＝．⒀A的大小等于带电粒子的初速度沿ｘ方向以选择速度ｖｅｂ做匀速直线运动的相对速度的大小．称（Ａ／ω）为“幅”，称积分常数φ为初相，它有三种情况若ｖ０ｘ＜ｖｅｂ，φ＝ｔｇ－１[ｖ０ｙ/（ｖｅｂ－ｖ０ｘ）]，若ｖ０ｘ＝ｖｅｂ，ｖ０ｙ＞0，φ＝（π／2），ｖ０ｙ＜0，φ＝－（π／2），若ｖ０ｘ＞ｖｅｂ，φ＝π＋ｔｇ－１[ｖ０ｙ／（ｖｅｂ－ｖ０ｘ）．⒁将带电粒子初速度分量ｖ０ｚ代入⑨式得积分常数Ｃ３＝ｖ０ｚ．将带电粒子射入电磁场时的初始坐标ｘ＝0，ｙ＝0，ｚ＝0．代入⑩⑾⑿三式得积分常数１＝ｖ０ｙ／ω，２＝（Ａ／ω）ｃｏｓφ＝（1／ω）（ｖｅｂ－ｖ０ｘ），Ｃ４＝0．带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中运动的运动学方程为ｘ＝ｖｅｂｔ＋（ｖ０ｙ／ω）－（Ａ／ω）ｓｉｎ（ωｔ＋φ），⒂ｙ＝（1／ω）（ｖｅｂ－ｖ０ｘ）－（Ａ／ω）ｃｏｓ（ωｔ＋φ），⒃ｚ＝ｖ０ｚｔ．⒄式中的A和φ由⒀、⒁两式确定．带正电的粒子原先静止在坐标原点，在电场力和磁场力作用下开始运动，带电粒子初速度的三个分量都为零．由⒀、⒁式得Ａ＝ｖｅｂ，φ＝0．带电粒子运动轨迹的三个参量方程为ｘ＝ｖｅｂｔ－（ｖｅｂ／ω）ｓｉｎωｔ，ｙ＝（ｖｅｂ／ω）（1－ｃｏｓωｔ），ｚ＝0．二、带电粒子在正交的匀强电磁场中的运动图象带电粒子运动轨迹在ｘＯｙ平面内，如图1中“0”曲线．如果粒子带负电，ω＜0，参量方程ｘ不变，而参量方程ｙ的符号相反，带负电粒子的运动轨迹跟带正电粒子运动轨迹关于ｘ轴对称．图1带电粒子（以下只讨论带正电）由坐标原点，沿ｘ方向，以不同速度射入电磁场．它们的入射初速度只有ｘ方向分量ｖ０ｘ．它们的幅（Ａ／ω）和初相φ的值如下表中所示．初速度ｖｏｘ／ｖｅｂ－1 0 0．5 1 1．5 2 3幅Ａω－１／ｖｅｂω－１2 1 0．5 0 0．5 1 2 初相φ0 0 0 0 πππ带电粒子入射初速度分量ｖ０ｘ的大小以选择速度ｖｅｂ对称（如0．5ｖｅｖ跟1．5ｖｅｂ对称）时，它们的幅相等，初相差为．它们的运动轨迹都在ｘＯｙ平面，依次如图1中“－1”、“0”、“0．5”、“1”、“1．5”、“2”、“3”曲线所示．带电粒子由坐标原点射入，初速度既有ｘ方向分量，又有ｙ方向分量．设ｙ方向分量等于1倍选择速度，ｖ０ｙ＝ｖｅｂ．它在电磁场中运动轨迹的参量方程ｘ和ｙ如⒂、⒃两式，ｚ＝0．轨迹在ｘＯｙ平面内，如图2所示，图中“0”、“1”、“2”分别表示ｖ０ｘ＝0、ｖ０ｘ＝ｖｅｂ、ｖ０ｘ＝2ｖｅｂ时粒子的运动轨迹．带电粒子由坐标原点射入，初速度有三个方向的分量．它在电磁场中运动轨迹的参量方程由⒂、⒃、⒄三式确定．运动轨迹在同一平面内，轨迹跟如图1和／ｖ如图2所示轨迹相似，只是轨迹平面绕ｙ轴向纸外或纸内转过ｔｇ－１（ｖ０z）角度．０ｘ图2三、带电粒子在正交匀强电磁场中运动轨迹的分析⑩、⑾、⑿三式和⒂、⒃、⒄三式表明带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中的运动是以速度做匀速直线运动和以（Ａ／ω）为半径、ω为角速度的匀速圆周运动的合成．我们知道，一轮子在水平地面匀速滚动时，轮子上各点的运动是轮心的匀速直线运动和绕轮心的匀速圆周运动的合成．轮子上各点的运动轨迹是摆线，带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中的运动轨迹也应是摆线．现有像火车轮那样的塔轮，大轮半径是小轮半径的两倍，如图3所示．小轮的匀速直线运动，塔轮的在水平轨道Ｏｘ上匀速滚动．塔轮轮心Ｏ′做速度为ｖｅｂ／ｒ）．角速度ω＝（ｖｅｂ图3图4初时刻大轮跟轨道接触点Ａ点的初速度为零，小轮最高点B点的初速度为2ｖｅｂ．这两点的运动轨迹如图4所示．如果将B点运动轨迹向下平移2ｒ，这两点运动轨迹就是图1中的“0”和“2”两条带电粒子在电磁场中运动轨迹．初始时刻小轮最高点Ｃ点有3ｖｅｂ水平向前的初速度，大轮最低点Ｄ点有ｖｅｂ水平向后的初速度．小轮上E点和F点在同一条竖直直径上，到轮心Ｏ′的距离都为（ｒ／2），E点有1．5ｖｅｂ水平向前的初速度，F点有0．5ｖｅｂ水平向前的初速度．这四点的运动轨迹如图5所示．如果C点轨迹向下平移3ｒ，D点轨迹向上平移ｒ，E点轨迹向下平移1．5ｒ，F点轨迹向下平移0．5ｒ，其运动轨迹就是图1中“3”、“－1”、“1．5”和“0．5”四条带电粒子在电磁场中的运动轨迹．图5图6中，初时刻塔轮轮心在Ｏ′．塔轮上的P点到轮心的距离ＰＯ′＝ｒ，Ｐ到水平轨道的距离ＰＯ＝2ｒ，圆心角φ＝（3／4）π．A是塔轮瞬时转轴．图6可以求得P点的初速度ｖ０＝ｖｅｂ，它的ｘ方向分量ｖ０ｘ＝2ｖｅｂ，ｙ方向的分量ｖ０ｙ＝ｖｅｂ，P点的运动轨迹如图6中曲线所示．将P点的运动轨迹向下平移2ｒ，就是图2中曲线“2”所示的带电粒子在电磁场中的运动轨迹．塔轮上Ｑ点（跟坐标原点O重合）、S点的运动轨迹分别跟图2中“1”、“0”两条曲线所示的带电粒子在电磁场中的运动轨迹相对应．如果塔轮在水平轨道上匀速滚动，轨道又在ｘＯｚ平面内沿ｚ轴匀速移动，移动过程中保持轨道跟ｘ轴平行，塔轮上的点的运动轨迹跟初速度有ｚ方向分量的带电粒子在电磁场中运动轨迹相应．带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中运动跟匀速滚动的塔轮上的点的运动相似，运动的轨迹为摆线．。
高三物理备考资料——带电粒子在电磁场中运动的应用实例分析
带电粒子在电磁场中运动的应用1、电视机电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。
电子束经过电压为U 的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区。
磁场方向垂直于圆面。
磁场区的中心为O ，半径为r 。
当不加磁场时，电子束将通过O 点而打到屏幕的中心M 点。
为了让电子束射到屏幕边缘P ，需要加磁场，使电子束转一已知角度θ，此时磁场的磁感应强度B 应为多少？解析： 电子在磁场中沿圆弧运动，如图所示，圆心为O ′，半径为R 。
以v 表示电子进入磁场时的速度，m 、e 分别表示电子的质量和电量，则221mv eU = R mv evB 2= Rr tg =2θ 由以上各式解得 221θtg e mU r B = 2、电磁流量计电磁流量计广泛应用于测量可导电流体（如污水）在管中的流量（在单位时间内通过管内横截面的流体的体积）。
为了简化，假设流量计是如图所示的横截面为长方形的一段管道，其中空部分的长、宽、高分别为图中的a 、b 、c ，流量计的两端与输送液体的管道相连接（图中虚线）。
图中流量计的上下两面是金属材料，前后两面是绝缘材料，现于流量计所在处加磁感强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于前后两面。
当导电液体稳定地流经流量计时，在管外将流量计上、下两表面分别与一串接了电阻R 的电流表的两端连接，I 表示测得的电流值。
已知流体的电阻率为ρ，不计电流表的内阻，则可求得流量为 A. )(ac bR B I ρ+ B. )(c b aR B I ρ+ C. )(b a cR B I ρ+ D. )(abc R B I ρ+ 答案： A3、质谱仪下图是测量带电粒子质量的仪器工作原理示意图。
设法是某有机化合物的气态分子导入图中所示的容器A 中，使它受到电子束轰击，失去一个电子变成正一价的分子离子。
分子离子从狭缝s 1以很小的速度进入电压为U 的加速电场区（初速不计），加速后，再通过狭缝s 2、s 3射入磁感强度为B 的匀强磁场，方向垂直于磁场区的界面PQ 。
带电粒子在电磁场中的运动重点内容解读
带电粒子在电磁场中的运动重点内容解读孝感三中陈继芳带电粒子在电磁场中运动是高中物理中研究的重点之一，也是高考命题重点之一。
近几年高考题中的压轴题都是这类题型；高考对带电粒子在电磁场中运动的考查每年每份试卷都有2个以上的题，分值占总分的12~20%。
高考对带电粒子在电磁场中运动的考查涉及的知识点主要是：电场力、电势差、洛伦兹力、带电粒子在电场中的加速和类平抛运动、带电粒子在磁场中的匀速圆周运动等。
核心考点一、带电粒子在电场中加速、在匀强电场中的类平抛运动与磁场中的圆周运动【核心考点解读】带电粒子在电场中的类平抛运动可按照运动分解把带电粒子的运动分解为垂直电场方向的匀速直线运动和沿电场方向的匀变速直线运动。
带电粒子在电场中加速利用动能定理列方程解答，在磁场中的匀速圆周运动可依据洛仑兹力提供向心力列方程解答。
题1如图所示，一带电微粒质量为m=2．0×10-11kg、电荷量q=+1.0×10-5C，从静止开始经电压为U1=100V的电场加速后，水平进入两平行金属板间的偏转电场中，微粒射出电场时的偏转角θ=60°，并接着沿半径方向进入一个垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，微粒射出磁场时的偏转角也为θ=60°。
已知偏转电场中金属板长L=23cm，圆形匀强磁场的半径R=103cm，重力忽略不计。
求：（1）带电微粒经U1=100V的电场加速后的速率；（2）两金属板间偏转电场的电场强度E；（3）匀强磁场的磁感应强度的大小。
解析：略【名师点评】此题通过带电粒子在电场中加速、在匀强电场中的类平抛运动与磁场中的圆周运动，综合考查对动能定理、平抛运动规律迁移、电场力、速度分解与合成，洛伦兹力、牛顿第二定律、圆周运动等知识的掌握情况。
题2.如图所示，MN 是相距为d 的两平行金属板，O 、O '为两金属板中心处正对的两个小孔，N 板的右侧空间有磁感应强度大小均为B 且方向相反的两匀强磁场区，图中虚线CD 为两磁场的分界线，CD 线与N 板的距离也为d.在磁场区内适当位置放置一平行磁场方向的薄挡板PQ ，并使之与O 、O '连线处于同一平面内．现将电动势为E 的直流电源的正负极按图示接法接到两金属板上，有O 点静止释放的带电粒子（重力不计）经MN 板间的电场加速后进入磁场区，最后恰好垂直撞上挡板PQ 而停止运动。
带电粒子在电磁场中的复杂运动
【例题3】如图所示，在xOy平面内的第Ⅲ象限中有沿 －y方向的匀强电场，场强大小为E．在第I和第II象限有 匀强磁场，方向垂直于坐标平面向里．有一个质量为m， 电荷量为e的电子，从y轴的P点以初速度v0垂直于电场方 向进入电场（不计电子所受重力），经电场偏转后，沿 着与x轴负方向成450角进入磁场，并能返回到原出发点P.
(1)简要说明电子的运动情况， 并画出电子运动轨迹的示意 图；
(2)求P点距坐标 原点的距离； (3)电子从P点出发经 多长时间再次返回P 点？
【例题4】如图所示，粒子源S可以不断地产生质量为m、电荷量 为+q的粒子(重力不计)．粒子从O1孔漂进(初速不计)一个水平方 向的加速电场，再经小孔O2进入相互正交的匀强电场和匀强磁场 区域，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B1，方向如图．虚 线PQ、MN之间存在着水平向右的匀强磁场，磁感应强度大小为 B2(图中未画出)．有一块折成直角的硬质塑料板abc(不带电，宽 度很窄，厚度不计)放置在PQ、MN之间(截面图如图)，a、c两点 恰在分别位于PQ、MN上，ab=bc=L，α= 45°．现使粒子能沿 图中虚线O2O3进入PQ、MN之间的区域． (1) 求加速电压U1． (2) 假设粒子与硬质塑料板相碰后，速度大小不变，方向变化遵 守光的反射定律．粒子在PQ、MN之间的区域中运动的时间和路 程分别是多少？
【例题2】如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场 和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平 向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度 大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电量为q、 不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止 开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又 回到O点，然后重复上述运动过程。求：
高中物理确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法
确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是高考的热点，这些考题不仅涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。
但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。
只要确定了带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。
现将确定带电粒子运动轨迹的方法总结如下：一、对称法带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。
利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。
例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。
正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远射出的时间差是多少解析：正、负电子的半径和周期是相同的。
只是偏转方向相反。
先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。
所以两个射出点相距s=2r=，由图还看出经历时间相差，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。
例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。
一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。
当∠MON＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。
解析：分别过M、N点作半径OM、ON的垂线，此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图6所示。
由图中的几何关系可知，圆弧MN所对的轨道圆心角为60°，O、O'的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为R=r/tan30°=又带电粒子的轨道半径可表示为：故带电粒子运动周期：带电粒子在磁场区域中运动的时间二、旋转圆法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。
带电粒子在电磁场中的运动图形总结
带电粒子在电磁场中的运动图形总结一．“扇面“图形例1 如图所示，在半径为R的圆范围内有匀强磁场，一个电子从Ｍ点沿半径方向以ｖ射入，从Ｎ点射出，速度方向偏转了６０0则电子从Ｍ到Ｎ运动的时间是（）Ａv R2πBv3R2πCv3RπDv3R3π二“心脏”图形例2如图所示,以ab为分界面的两个匀强磁场,方向均垂直于纸面向里,其磁感应强度B1=2B2,现有一质量为m,带电量为+q的粒子,从O点沿图示方向以速度v进入B1中,经过时间t= 粒子重新回到O点(重力不计)三．“螺旋线”图形例3如图所示,水平放置的厚度均匀的铝箔,置于匀强磁场中,磁场方向垂直于纸面向里,一带电粒子进入磁场后在磁场中做匀速圆周运动,粒子每次穿过铝箔时损失的能量都相同,如图中两圆弧半径R=20cm, R=19cm,则该粒子总共能穿过铝箔的次数是多少?四“拱桥”图形例4如图所示,在x轴上方有垂直于xy平面的匀强磁场, 磁感应强度为B,在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场,场强为E，一质量为m，电量为—q的粒子从坐标原点O沿着y轴正方向射出，射出之后，第三次到达x轴时，它与O点的距离为L，求此时粒子射出时的速度和运动的总路程（重力不记）五“葡萄串”图形例5 如图（甲）所示，两块水平放置的平行金属板，板长L=1.4m,板距d=30cm 。
两板间有B=1.25T,垂直于纸面向里的匀强磁场。
在两板上加如图（乙）所示的脉冲电压。
在t=0时，质量m=2×10-15kg ，电量为q=1×10-10C 的正离子，以速度为4×103m/s 从两板中间水平射入。
试求：粒子在板间做什么运动？画出其轨迹。
六 “字母S ”图形例6 如图所示，一个初速为0的带正电的粒子经过M ，N 两平行板间电场加速后，从N 板上的孔射出，当带电粒子到达P 点时，长方形abcd 区域中出现大小不变，方向垂直于纸面且交替变化的匀强磁场，磁感应强度B=0.4T,每经过t=4 ×10-3s ，磁场方向变化一次，粒子到达P 点时出现的磁场方向指向纸外，在Q 处有一静止的中性粒子，PQ 距离s=3.0m ，带电粒子的比荷是1.0×104C/kg,不计重力。
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4、电场+磁场+磁场
例8、如图（a）所示，在竖直方向的匀强电场的场强为E， 场区宽度为L，水平方向足够长，紧接着电场的是两个磁 感应强度都为B的匀强磁场。中间磁场间的宽度为d.一个 质量为m,电量为q的带正电粒子，其重力不计，从电场的 边界MN上的P点由静止释放经电场加速后进入磁场。已 知满足条件d = mv/2qB. ⑴试分析粒子的运动情况，并画 3 出其运动轨迹；⑵若只将上方磁场的磁感应强度改为B/2， 则情况又如何？ 轨迹如图
解析：两种情况的 轨迹如图所示。
例2、如图所示，在半径为R的圆形区域内外分 别存在着垂直纸面向里和向外的匀强磁场，磁感 应强度都为B。一质量为m、电量为q的正离子， 以速度过vo从边界上的P点沿指向圆心O点的方 R 3mv / Bq 向射入磁场。已知满足条件 ⑴试分 析离子的运动情况，并画出其运动轨迹；⑵若将 圆形区域外磁场的磁感应强度的大小改为B/3， 方向改为向外，则情况如何？
例7、如图（a）所示，在半径为R1的圆环区域内和半 径为R2的圆环区域外分别有垂直于纸面处外和向里的 匀强磁场，磁感应强度分别为2B和B；在两圆环之间 的区域是无场区。一质量为m，电量为q的正离子，以 速率vo从外边界上的P点沿指向圆心O的方向射出。已 知R2=2R1= mv 3 o/qB. ⑴试分析离子的运动情况，并画 出其运动轨迹；⑵若只将R2圆环区域外的磁场方向改 为向外，则情况又会如何？ 轨迹如图
带电粒子在电磁场中的复杂运动 ------轨迹分析
带电粒子在电、磁场中的运动要受到电场力和洛仑 兹力的作用,电场力会改变粒子的速度大小和方向，而 洛仑兹力只能改变速度方向.在电场力和洛仑兹力交替 作用下,粒子时而在磁场中做圆周运动,时而进入电场做 匀变速直线运动,时而进入另一磁场,使轨道的圆心发生 变化或轨道的半径发生改变.这样,粒子的运动就在不断 地变化、不断地重复进行着。所以粒子在不同的电磁场 空间运动将会形成各式各样复杂的运动过程。 这些问题中，有的图形很复杂，有的过程很难分 析，对平面几何知识的要求很高，计算也比较复杂， 但是能够很好地训练分析能力和数学计算能力。
例5、如图所示，在半径为R2的圆形区域外有垂直纸面 向里的匀强磁场，磁感应强度为B；在内径为R1，外径 为R2的环状区域内有北向圆心的辐向电场。将一质量为 m，电量为q的正离子在内边界上的P点无初速释放。已 知内外边界之间的电势差U满足条件U =qB2R22/2m.试分 析离子的运动情况，并画出其运动轨迹。 轨迹如图
5、磁场+磁场+磁场
例9、如图所示，空间分布着三个感应强度分别为B/2、B、 2B的匀强磁场区域，一个质量为m，电量为q的带正电粒 子，其重力不计，以速率vo从边界上的P点沿纸面且垂直 3 于边界向下射出。已知满足条件d = mvo/2qB. ⑴试分 析粒子的运动情况，并画出其运动轨迹；⑵若只将MN边 界下方磁场的磁感应强度改为4B,则情况又会如何？ 轨迹如图
3 磁场+无场+磁场
例6、如图(a)所示，在边界S1的上方和S2的下方分别有 垂直纸面向里和向外的匀强磁场，磁感应强度都为B。 两边界之间的区域是无场区。一个质量为m，电量为q 的负离子，以速率vo从S2边界上的P点沿纸面并垂直于 边界向上射出。⑴试分析离子的运动情况，并画出其 运动轨迹。⑵若将边界S1的上方的磁场的磁感应强度 大小改为2B、方向改为向外，则情况又会如何？ 轨迹如图
两种情况的轨 迹如图所示。
2. 磁场+电场
例3、如图所示，在X轴上方有垂直于XY平面向里的 匀强磁场，磁感应强度为B，在X轴下方有沿Y轴负方 向的匀强电场，场强为E。将一质量为m, 电量为q的 负离子在Y轴上的P点无初速释放。已知PO =d .试分 析离子的运动情况，并画出其运动轨迹。 轨迹如图
例4、如图所示，在半径为R1的圆形区域内有垂直 于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度为B;在内径为 R1，外径为R2的环状区域内有指向圆心的辐向电 场。将一质量为m，电量为q的正离子在外边界上 的P点无初速度释放。已知内外边界之间的电势差 U满足条件 U = 3qB2R12/2m .试分析离子的运动情 况，并画出其运动轨迹。1、如图所示，在边界上方和下方分别有垂直纸面向里向外的 匀强磁场，磁感应强度都为B。一质量为m,电量为q的负离子，以 速度vo从边界上的P点沿纸面且垂直于边界向上射出。⑴ 试分析离 子的运动情况，并画出其运动轨迹；⑵若将边界上方磁场的磁感应 强度的大不改为2B,方向改为向外，则情况又会如何？⑶试计算上 面两种条件下，粒子的运动周期T及沿分界面推进的平匀速度大小， 经过n周期进沿分界面推进的距离。