电磁场中的基本方程
麦克斯韦方程组在伽利略变换
麦克斯韦方程组在伽利略变换介绍麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程，它由麦克斯韦首次提出，并成为电磁学的基本理论。
伽利略变换则是描述参考系间相对运动的变换关系。
本文将探讨麦克斯韦方程组在伽利略变换下的性质和应用。
麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组包括四个方程：高斯定律、法拉第电磁感应定律、安培环路定律和法拉第电磁感应定律的积分形式。
高斯定律高斯定律描述了电场的产生和分布与电荷密度之间的关系。
它可以用以下方程表示：∇⋅E=ρε0其中，E是电场强度，ρ是电荷密度，ε0是真空介电常数。
法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律描述了磁场的产生和磁感应强度与电场变化率之间的关系。
它可以用以下方程表示：∇×E=−∂B ∂t其中，B是磁感应强度。
安培环路定律安培环路定律描述了磁场的产生和磁感应强度与电流之间的关系。
它可以用以下方程表示：∇×B=μ0J其中，J是电流密度，μ0是真空磁导率。
法拉第电磁感应定律的积分形式法拉第电磁感应定律的积分形式描述了磁场的产生和磁感应强度与电流回路之间的关系。
它可以用以下方程表示：∮E⋅dl=−ddt∬B⋅dA伽利略变换伽利略变换是描述参考系之间相对运动的变换关系。
它假设时间和空间是绝对的，并忽略了光速的影响。
伽利略变换可以用以下公式表示：r′=r−vtt′=t其中，r是空间坐标，v是相对速度，t是时间。
麦克斯韦方程组在伽利略变换下的性质在伽利略变换下，麦克斯韦方程组的形式保持不变。
由于伽利略变换假设时间和空间是绝对的，因此方程组中的时间和空间导数仍然适用于变换后的坐标系。
麦克斯韦方程组在伽利略变换下的应用麦克斯韦方程组在伽利略变换下的应用主要涉及电磁场与相对运动参考系之间的关系。
例如，在研究电磁波传播时，可以通过伽利略变换将电磁场转换到相对静止的参考系中进行分析。
另外，通过在伽利略变换下对麦克斯韦方程组进行变换，还可以推导出洛伦兹变换和相对论电磁学的基本方程。
总结本文通过介绍麦克斯韦方程组和伽利略变换，探讨了麦克斯韦方程组在伽利略变换下的性质和应用。
第一章 电磁理论基本方程-公式
电磁理论基本方程一、电磁理论基本方程1麦克斯韦方程：d d l S t ⎛⎫∂⋅=+⋅ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎰⎰⎰D H l J S （1-1） d d l St ∂⋅=-⋅∂⎰⎰⎰B E l S （1-2） d d SVV ⋅=⎰⎰⎰⎰⎰ρD S （1-3） d 0S⋅=⎰⎰B S （1-4） 式中：E ——电场强度（/V m ）H——磁场强度（/A m ）D ——电位移矢量或电通密度（2/C m ） B ——磁感应强度或磁通密度（2/Wb m ）J ——电流密度（2/A m ）ρ——电荷密度（3/C m ）式（1－1）全电流安培环路定律，它表示传导电流和位移电流（即变化的电场）都可以产生磁场式（1－2）为法拉第电磁感应定律，它表示变化的磁场产生电场。
式（1－3）为电场高斯定理，它表示电荷可以产生电场； 式（1－4）为磁场高斯定理，也称为磁通连续原理。
t∂∇⨯=+∂DH J （1－5） t∂∇⨯=-∂BE （1－6） 0∇⋅=B （1－7）∇⋅=ρD （1－8）t∂∇⋅=-∂ ρJ （1－9）式（1－5）表示传导电流密度和位移电流是磁场的旋度源； 式（1－6）表示变化的磁场是电场的旋度源； 式（1－7）表示磁场是无散场；式（1－8）表示电荷密度是电场的散度源。
微分形式的麦克斯韦方程描述了空间的任一点上场与场源的时空变化关系。
由于含有对场量的微分，它只适用于媒质物理性质不发生突变的区域。
式（1－5）、（1－6）、（1－9）是相互独立的。
2广义麦克斯韦方程阐述了电型源和磁型源的麦克斯韦方程的对称性即两组方程是对偶的。
但目前电型源电流和电荷是自然界的实际场，而尚未发现自然界有磁荷和磁流。
3时谐麦克斯韦方程电磁场量,,,,E D H B 是空间和时间的函数，在随时间变化的电磁场中最有用而又最重要的是随时间按正弦或余弦变化的场 ——时谐电磁场。
二物质的电磁特性1电磁场对物质的作用对于均匀、各项同性、线型煤质，在电磁场作用下，其物质内部电荷运动导致煤质的极化、磁化、和传导。
第2章--电磁场基本方程---2
B(z) 0Ia
4π
2π 0
(z2
ez a a2 )3/2
d
'
0 Ia 2
2(z2 a2 )3/ 2
可见，线电流圆环轴线上的磁感应强度只有轴向分量，这是因为
圆环上各对称点处的电流元在场点P产生的磁感应强度的径向分 量相互抵消。
在圆环的中心点上，z = 0，磁感应强度最大，即
B(0)
ez
0 I
dB (r )
0
4π
Idl (r r r3
r )
体电流产生的磁感应强度
B(r ) 0 J (r) R dV
4π V R3 面电流产生的磁感应强度
z
C Idl M
r R r y
o
x
B(r ) 0
4π
S
JS
(r ) R3
R
dS
25
电磁场
第二章 电磁场基本方程
3. 几种典型电流分布的磁感应强度
D
rˆ
q
4r 2
4
电磁场
第二章 电磁场基本方程
电通量为
S
D
ds
q
4r 2
4r 2
q
此通量仅取决于点电荷量q, 而与所取球面的半径无关。
如果在封闭面内的电荷不止一个, 则利用叠加原理知, 穿出封闭 面的电通量总和等于此面所包围的总电量
S D ds Q
－－－ 高斯定理的积分形式(1839
K .F .Gauss导出),
r1 R12 r2
o
x
C2
I2dl2
y
安培磁力定律
F12
0
4π
I2dl2 (I1dl1 R12 )
麦克斯维尔方程
麦克斯维尔方程
麦克斯韦方程组（Maxwell's equations）是描述电磁场的基本
方程组，由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪提出。
该
方程组共有四个方程，包括高斯定律、法拉第电磁感应定律、法拉第环路定律和电磁场的无源性定律。
1. 高斯定律（Gauss's law）：电场通过一个封闭曲面的总电场
通量等于该曲面内的电荷总数的1/ε₀（ε₀为真空介电常数）。
数学表达式：∮E·dA = 1/ε₀∫ρdV
2. 法拉第电磁感应定律（Faraday's law of electromagnetic induction）：电磁感应现象是由于磁通量的变化所产生的感应
电动势。
该定律描述了磁场变化引起的感应电势。
数学表达式：∮E·dl = -d(∫B·dA)/dt
3. 法拉第环路定律（Ampere's law with Maxwell's addition）：
通过一个闭合回路的环路积分得到的磁场的环路积分与电流及电场的变化率之和成正比，并且为环路内自由电流和穿过环路的总电流之和。
数学表达式：∮B·dl = μ₀(I_f + ε₀d(∫E·dA)/dt)
4. 电磁场的无源性定律（Gauss's law for magnetism）：磁场的
闭合环路积分为零，即没有磁单极子的存在。
数学表达式：∮B·dA = 0
这些方程描述了电场和磁场的产生和相互作用规律，并为电磁
波的传播提供了理论依据。
麦克斯韦方程组对于电磁理论和电磁学应用有重要意义，成为现代电磁学的基础。
写出麦克斯韦方程组的微分形式并说明其物理意义
写出麦克斯韦方程组的微分形式并说明其物理意义麦克斯韦方程组是电磁学的基本方程,描述了电荷和电磁场之间相互作用的规律.它由4个方程组成，其中两个方程是高斯定理，另外两个方程是法拉第定律和安培定理。
这四个方程分别是：1. 高斯定理：$$\nabla \cdot \mathbf{E} =\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$这个方程描述了电场强度($\mathbf{E}$)在空间中的分布。
左边的散度运算符($\nabla \cdot$)表示电场通过单位体积的流出量，右边的$\rho$表示单位体积内的电荷密度。
方程右边的比例常数$\varepsilon_0$是真空中的介电常数。
2. 高斯-安培定理：$$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$$这个方程描述了磁场($\mathbf{B}$)的散度为零，即磁场不存在磁荷。
散度为零意味着磁场线没有源或汇。
这四个方程是电磁学中的基本方程，通过它们可以推导出所有的电磁现象。
它们的微分形式描述了电磁场在空间中的分布和变化规律。
它们代表了电磁场与电荷和电流的相互作用，可以应用于不同的情况和问题。
高斯定理用于描述静电场，描述了电荷是如何产生电场的；高斯-安培定理描述了磁场的结构，磁场的产生和变化均由电流来决定；法拉第定律描述了变化的磁场如何产生电场；安培定理描述了变化的电场如何产生磁场。
这些方程描述了电荷和电磁场之间的相互作用，是电磁学研究的基础。
这四个方程的微分形式更加具体和详细地描述了电磁场的分布和变化。
通过对这些方程的求解，可以得到电场和磁场在不同条件下的具体数值，进而得到电磁场的行为和特性。
这对于研究电磁波传播、电磁感应、电磁辐射等现象具有重要意义。
总之，麦克斯韦方程组的微分形式描述了电磁场的产生、分布和变化规律，揭示了电荷和电磁场之间的相互作用。
通过对这些方程的求解和分析，可以深入理解电磁学的各种现象和现象的产生原因，为电磁学的研究和应用提供了重要的理论基础。
麦克斯韦方程组矢量形式
麦克斯韦方程组矢量形式
麦克斯韦方程组是描述电磁场的一组基本方程，包括电场和磁场的动力学方程以及电磁场的源项。
麦克斯韦方程组的矢量形式如下：
1. 磁场的高斯定律（磁场无源律）：
$$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$$
2. 磁感应定律（法拉第电磁感应定律）：
$$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial
\mathbf{B}}{\partial t}$$
3. 电场的高斯定律（电场无源律）：
$$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$
4. 安培定律（安培环路定律）：
$$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} +
\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$
其中，$\mathbf{E}$表示电场矢量，$\mathbf{B}$表示磁场矢量，$\rho$表示电荷密度，$\mathbf{J}$表示电流密度，
$\varepsilon_0$表示真空介电常数，$\mu_0$表示真空磁导率。
工程电磁场
E m j Bm
Bm 0
Dm m
不再含有场量对时间t的偏导数，从而使时谐电磁场的分析得 以简化。
例4-2：写出与时谐电磁场对应的复矢量(有效值)或瞬时矢量，
H x jH 0 sin cos(x cos )e
jz sin
E
U e ln( b / a
U I ez ln( b / a ) 2
同轴电缆中的电磁能流
单位时间内流入内外导体间的横截面A的总能量为 b UI P S dA 2d UI A a 2 2 ln b / a 这表明： • 穿出任一横截面的能量相等，电源提供的能量全部被负载吸收。
时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前三章类同，归纳如下：
e n H 2 H 1 k e n E 2 E1 0
E2t E1t
B1n B2n
D2n D1n
e n B2 B1 0
tan 1 1 tan 2 2
时谐电磁场
4.2.1 时谐电磁场的复数表示
E(r, t ) ex Exm r cost x r e y Eym r cost y r ez Ezm r cost z r
（三要素） 是角频率，Exm、Eym、Ezm及x、y、z 分别是 电场强度在直角坐标系下的三个分量的振幅和初相位。 采用相量表示法，上式可表示为如下复矢量(相量)，即
~ j
通常的磁导率
通常的介电常数
表征磁介质中的 磁化损耗
在高频时谐电磁场以上参数通常是频率的函数
当电介质同时存在电极化损耗和欧姆损耗时，其等效复介电 常数可写为 ~ e j 为了表征电介质中损耗的特性，通常采用损耗角的正切
电磁场基本方程
一、电磁场的源——电荷与电流1、电荷与电荷密度宏观上可以用“电荷密度”来描述带电体的电荷分布。
定义体电荷密度为30m C d d lim−→∆⋅=∆∆=VQV Q V ρ其中Q ∆是体积元V ∆内包含的总电荷量。
当电荷存在于一无限薄的薄层或者截面很小的细线上时，可用面电荷密度或线电荷密度来描述20m C d d lim−→∆⋅=∆∆=SQS Q S S ρ10m C d d lim −→∆⋅=∆∆=lQl Q l l ρ一个体积为V 、表面积为S 、线长为l 上包含的电荷总量可以分别对上述三式进行体、面、线积分得到，即∫∫∫=VV Q d ρ、∫∫=SS S Q d ρ、∫=ll lQ d ρ2、电流与电流密度任取一个面，穿过此面的电流定义为单位时间内穿过此面的电荷量，即As C d d lim10或−→∆⋅=∆∆=tQt Q I t 电流的正方向规定与正电荷的运动方向。
体电流密度是一个矢量，方向为正电荷的运动方向，大小等于垂直于运动方向上的单位面积上的电流。
电流密度的大小可表示为20m A lim−→∆⋅∆∆=SI J S 体电流密度矢量由体电荷密度和正电荷的运动速度确定，即vJ r r ⋅=ρ对于任意曲面，穿过此曲面的总电流为∫∫⋅=SSJ I r r d 同样，可以定义面电流密度为10m A lim −→∆⋅∆∆=l IJ l S vJ S S r r ⋅=ρ∫⋅=ls lJ I r r d 3、电流连续性方程（电荷守恒定律）在一个体电荷密度为ρ的带电体内任取一个封闭曲面S ，某瞬间从此封闭曲面流出的电流为i(t)，则()∫∫∫∫∫−=−==⋅V S V t t Q t i S J d d d d d d ρr r 即电流连续性方程（电荷守恒定律）的积分形式。
若体积V 是静止的，则对时间的微分和体积分的次序可以交换，结合散度定理，有∫∫∫∫∫∫∫∫∂∂−=⋅=⋅∇V S V Vt S J V J d d d ρr r r于是，对于任意体积V ，都有tJ ∂∂−=⋅∇ρr 即电流连续性方程（电荷守恒定律）的微分形式。
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第二章 电磁场基本方程
vv
蜒 v
F
0
4
l
Idl (I 'dl ' rˆ)
l'
r2
rˆ 式中, r是电流元I′dl′至Idl的距离, 是由dl′指向dl的单位矢量, μ0是
真空的磁导率:
0 4 107 H / m
v
vv
F Ñl Idl B
蜒 v
B
0
4
v
l
I
'dl ' r2
rˆ
0 4
I
v ' dl
I A U
d t
I C U t
式中C=εA/d为平板电容器的电容。
第二章 电磁场基本方程
§2 .3 麦克斯韦方程组
2 .3 .1 麦克斯韦方程组的微分形式与积分形式
图 2-5 麦克斯韦
第二章 电磁场基本方程 表2-1 麦克斯韦方程组及电流连续性方程
第二章 电磁场基本方程
这四个方程的物理意义可简述如下: ; (a) 时变磁场将激发电场; ; (b) 电流和时变电场都会激发磁场; ; (c) 穿过任一封闭面的电通量等于此面所包围的自由电荷电量; ; (d) 穿过任一封闭面的磁通量恒等于零。
常数:
0
8.854 1012
1
36
109 F
/m
设某点试验电荷q所受到的电场作用力为F, 则该点的电场强度为
v E
v F
(V
/
m)
q
由库仑定律知, 在离点电荷q距离为r处的电场强度为
v E
rˆ
q
4 0r
2
(2-4)
第二章 电磁场基本方程
2 .1 .2 高斯定理, 电通量密度
除电场强度E外, 描述电场的另一个基本量是电通量密度D, 又称为电位移矢量。 在简单媒质中, 电通量密度由下式定义:
一定的电位能。 从而可引入v电位函数φ:
E
第二章 电磁场基本方程
静电场既然是无旋场, 则必然是有散场, 它的通量源就是电
荷。电力线起止于正负电荷。静磁场的特性则正好相反。因为
在自然界中并不存在任何单独的磁荷, 磁力线总是闭合的。这样,
闭合的磁力线穿进封闭面多少条, 也必然要穿出同样多的条数,
结果使穿过封闭面的磁通量恒等于零, 即
第二章 电磁场基本方程
把式(2-30)两端用体积分表示, 对静止体积V有
v Jdv
V
t
V
vdv
V
c dv
t
上式对任意选择的V都成立, 故有
v J
v
这是微分形式的电流连续性方程。
t
麦克斯韦首先注意到上述微分形式的基本方程不符合电流
连续性方程， 因为
v
v
( H ) 0 J
对于静态场是成立的，但对于时变场则不成立。故应 用于时变场时需加以修正。
第二章 电磁场基本方程
麦氏方程组中的四个方程并不都是独立的。 表2-1中两个散
度方程(c) , (d)可由两个旋度方程(a) , (b)导出。例如, 对式(b)取散
度, 得
v J
v D t
0
将连续性方程(e)代入上式, 有
v
v ( D) 0
t t
则
v
v D
C (常n
)
第二章 电磁场基本方程
应用斯托克斯定理, 上式左端的线积分可化为面积分。同时,
如果回路是静止的, 则穿过回路的磁通量的改变只有由于B随时
间变化所引起的项。 因而得
(
v E)
dsv
v B dsv
S
因为S是任意的, 从而有
v E
S vt B
t
这是法拉第电磁感应定律的微分形式。其意义是, 随时间变化的
磁场将激发电场。这导致极重要的应用。我们称该电场为感应电
第二章 电磁场基本方程
(
v H
)
0
v J
v
t
(
v H
)
v J
v D t
v H
v J
v D
t
D / t的量纲是(库仑/米2)/秒=安/米2, 即具有电流密度的量纲,
故称之为位移电流密度(
displacemevnt current density)Jd, 即 v D J d t
第二章 电磁场基本方程
第二章 电磁场基本方程
式(2-26)可写成
d m
dt
(2-26)
vv
Ñl E dl
v
S
B t
dsv
d dt
S
v B
dsv
Ñl (vv
v B)
v dl
右边第一项是磁场随时间变化在回路中“感生”的电动势; 第二 项是导体回路以速度v对磁场作相对运动所引起的“动生”电动 势.
第二章 电磁场基本方程
过一个球面的相同,仍为q。如果在封闭面内的电荷不止一个, 则利
用叠加原理知, 穿出封闭面的电通量总和等于此面所包围的总电
量
v
ÑS D
dsv
Q
这就是高斯定理的积分形式(1839
K .F .Gauss导出), 即
穿过任一封闭面的电通量, 等于此面所包围的自由电荷总电量。
对于简单的电荷分布, 可方便地利用此关系来求出D。
v
R ˆ zˆ(z z '), R [ 2 (z z ')2 ]1/2
vv
dl ' R zˆdz '[ˆ zˆ(z z ')] ˆdz '
v
B
ˆ
0 I
4
l
dz '
l 2 (z z ')2 3/2
ˆ
0 I
lz
lz
4 2 (z l)2 2 (z l)2
对无限长直导线, l→∞, 有
因为
v H
v J
v D
t
v ( H ) 0
vvv (Jc Jv Jd ) 0
对任意封闭面S有
Ñ S
v (Jc
v Jv
v Jd
) dsv
V
v (Jc
v Jv
v Jd
)dv
0
即
Ic Iv Id 0
第二章 电磁场基本方程
穿过任一封闭面的各类电流之和恒为零。这就是全电流连续 性原理。将它应用于只有传导电流的回路中, 得知节点处传导电 流的代数和为零(流出的电流取正号, 流入取负号)。这就是基尔霍 夫(G .R .Kirchhoff, 德)电流定律: ΣI=0。
vv
Ñl H dl I
这一关系式最先由安培基于实验在1823年提出, 故称之为安培环
路定律。它表明, 磁场强度H沿闭合路径的线积分等于该路径所
包围的电流I。这里的I应理解为传导电流的代数和。利用此定律
可方便地计算一些具有对称特征的磁场分布。
s
(
v H
)
dsv
S
v J
dsv
因为S面是任意取的, 所以必有
v
ÑS B
dsv
0
将左端化为▽·B的体积分知
v B 0
第二章 电磁场基本方程
§2 .2 法拉第电磁感应定律和全电流定律
2 .2 .1 法拉第电磁感应定律
静态的电场和磁场的场源分别是静止的电荷和等速运动的电荷 (恒定电流)。 它们是相互独立的, 二者的基本方程之间并无联系。 但是随时间变化的电场和磁场是相互关联的。这首先由英国科学家 法拉第在实验中观察到。 他发现, 导线回路所交链的磁通量随时间 改变时, 回路中将感应一电动势, 而且感应电动势正比于磁通的时间 变化率。 楞次(H .E .Lenz, 俄)定律指出了感应电动势的极性, 即它在 回路中引起的感应电流的方向是使它所产生的磁场阻碍磁通的变化。 这两个结果的结合就是法拉第电磁感应定律, 其数学表达式为
全部采用1960年国际计量大会通过的国际单位制(SI制), 基本单位
是米(m) , 千克(kg) , 秒(s)和安培(A)。 电磁学中其他单位都可由之
导出, 今已列在附录C中, 以供查用。在SI制中, 库仑定律表达为
v F
rˆ
q1q2
4 0r 2
(N)
第二章 电磁场基本方程
式中, q1和q2的单位是库仑(C), r的单位是米(m), ε0是真空的介电
力为qE, 因此, 当点电荷q以速度v在静止电荷和电流附近时, 它所
受的总力为
v F
q(
v E
vv
v B)
第二章 电磁场基本方程 例 2 .1 参看图2-3, 长2l的直导线上流过电流I。 求真空中P点 的磁通量密度。
图 2-3 载流直导线
第二章 电磁场基本方程
［解］ 采用柱坐标, 电流Idz′到P点的距离矢量是
'
rv
l' r3
第二章 电磁场基本方程
矢量B可看作是电流回路l′作用于单位电流元(Idl=1 A·m)的磁场 力, 它是表征电流回路l′在其周围建立的磁场特性的一个物理量, 称为磁通量密度或磁感应强度。它的单位是
N Am
V s m2
Wb m2
T
毕奥-萨伐(J .B .Biot-F .Savart, 法)定律, 于1820年独立地基于磁
第二章 电磁场基本方程 例 2 .2 设平板电容器两端加有时变电压U, 试推导通过电容 器的电流I与U的关系。
图 2-4 平板电容器
第二章 电磁场基本方程
［解］
由全电流连续性原理可知，传导电流应等于 二平板间的位移电流。
I
Id
AJd
A D t
A E
t
设平板尺寸远大于其间距, 则板间电场可视为均匀, 即E=U/d, 从而得