大学物理第1章第1节-质点运动的描述
大学物理第1章质点运动学
大学物理第1章质点运动学质点运动学是物理学中研究物体运动的学科，它是物理学的一个重要分支，是学习物理的基础之一。
一、质点运动学的概念质点运动学是研究质点运动的学科，它把物体看作质点，即把物体看成一个点，而不考虑其体积大小。
质点运动学的主要研究内容包括：位置、速度、加速度等运动量的描述，以及运动的曲线形状、动量、能量等方面的分析。
二、质点的运动质点的运动可以分为匀速运动和非匀速运动两种情况。
1.匀速运动匀速运动是指质点在单位时间内沿着同一直线等距离地移动的运动。
匀速运动的速度大小是恒定的，可以用速度公式v=d/t来计算。
2.非匀速运动非匀速运动是指质点在单位时间内沿任意曲线路径移动的运动。
非匀速运动中质点的速度大小是变化的，需要用微积分的方法进行分析和计算。
三、质点运动中的基本物理量在质点运动中，需要描述质点的运动状态和变化情况。
主要的量包括：1.位置位置是指质点在空间中所处的位置，通常使用坐标表示。
我们可以通过坐标系建立一个参照系，来描述质点的位置。
2.位移位移是指质点从一个位置到另一个位置的距离和方向，通常用符号Δr表示。
位移的大小可以用位移公式Δr=r2-r1来计算。
3.速度速度是指质点在单位时间内所改变的位置，通常用符号v 表示。
速度的大小可以用速度公式v=Δr/Δt来计算。
4.加速度加速度是指质点在单位时间内速度所改变的量，通常用符号a表示。
加速度的大小可以用加速度公式a=Δv/Δt来计算。
四、质点的曲线运动在质点运动中，一些运动路径可能是曲线运动。
曲线运动的路径通常可以用弧长s、曲率半径r、圆心角等来表征。
1.弧长弧长是指质点在曲线路径上所走过的曲线长度，通常用符号s表示。
弧长的大小可以用弧长公式s=rθ来计算。
2.曲率半径曲率半径是指曲线在任一点上的曲率半径，通常用符号r 表示。
曲率半径可以根据曲线的形状计算得出。
3.圆心角圆心角是指质点所在的路径所对应的圆所对应的圆心角度数，通常用符号θ表示。
大学物理-质点运动学
空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段 弧长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。
曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的 曲率，用表示。
描述点运动的弧坐标法
密切面与自然轴系
自然轴系
B(副法线) N(主法线)
自然轴系P－TNB P－空间曲线上的动点；
描述点运动的直角坐标法
例题3
几点讨论
2、关于P点运动的性质：何时 作加速度运动？何时作减速度 运动？
这一问题请同学们自己研究。
第1章 质点运动学
描述点运动的弧坐标法
描述点运动的弧坐标法
弧坐标要素与运动方程 密切面与自然轴系 速度 加速度
描述点运动的弧坐标法
弧坐标要素与运动方程
x
rA
O
r
B
rB
y
速度的方向为轨道上质点所在处的切线方向。 速度的矢量式：
v v x i v y j vz k
dx dy dz vx , vy , vz dt dt dt
速度的三个坐标分量：
速度的大小：
2 2 2 v v vx v y vz
（ 2） 令
b x2 x1 为影长
db l dx2 v dt h dt
代入
l b x2 h
以
dx 2 hv 0 dt h l
得
lv 0 v hl
描述点运动的直角坐标法
椭圆规机构
例 题3
＝常数， ω＝
OA AB AC l , BP d
求：P点的运动方程、速度、加速度。
•
速率
1
在t时间内，质点所经过路程 s 对时间的变化率
《大学物理教学课件》第1章 质点运动学
足右手定则：沿质点转动方向右
旋大拇指指向。
平均角加速度：β Δω Δt
角加速度：β
lim
t 0
Δω Δt
dω dt
d 2
dt 2
单位：rad/s2,
y
B
s
A
RO
x
29
匀变速圆周运动的基本公式
0 t
0
0t
1 2
t 2
2 02 2 ( 0 )
圆周运动线量和角量的关系：
与匀变速直线运动计 算公式有对应关系：
4
§1.2 质点运动的描述
1.2.1 位置矢量 运动方程
1.位置矢量（位矢）
从原点O向质点P所在位置画一矢
量来表示质点位置。
r称为位置矢量，简称位矢。
位矢 用坐标值表示为： r xi yj zk
z
xo
x
i , j , k表示沿x，y，z轴的单位矢量。
位矢的大小：r | r| x2 y2 z2
质点运动时在空间所经历的实际路径叫做运动轨道， 相应的曲线方程称为轨道方程。
在运动方程中，消去t即得轨道方程：f(x,y，z)=0。
6
1.2.2 位移 路程
z A
1.位移
t时刻，A点位矢为
r1
t+Δt时刻在B点位矢为 r2
r B
r1
r2
o
y
x
在t 时间内，位矢的变化量（即A到B的有向线
段）称为位移。
y
B
s
A
RO
x
角位置 ：质点所在的矢径与x 轴的夹角。
运动方程： (t)
角位移： 质点从A到B矢径转过的角度 。
规定： 逆时针转向为正 顺时针转向为负
大学物理——第1章-质点运动学
21
★ 角速度 ω 大小: ω = lim 单位:rad/s ★ 角加速度 β
v
θ dθ = t →0 t dt
v
ω dω d2θ 大小: β = lim = = 2 t →0 t dt dt
单位:rad/s2
22
★ 线量与角量的关系
dS = R dθ
16
取CF的长度等于CD
v v v v vτ vn v v v = lim + lim 加速度: a = lim = aτ + an t →0 t →0 t →0 t t t
v v 当 t →0 时,B点无限接近A点,vA与 vB v v 的夹角 θ 趋近于零,vτ 的极限方向与 vA v 相同,是A点处圆周的切线方向;vn的极 v 限方向垂直于 vA ,沿圆轨道的半径,指向
y
v v v r = r′ + R
v v v dr dr ′ dR 求导: = + dt dt dt
o
y′ M v u v v r′ r v o′ R
x′
z′
x
z v称为质点M的绝对速度, v称为质点M的相对速度, υ υ′
v 称为牵连速度. u
27
v v υ =υ′ +u
v
in 例1-6 一人向东前进,其速率为 υ1 = 50m/ m ,觉得风从 正南方吹来;假若他把速率增大为υ2 = 75m/ m , in
t
9
初始条件:t = 0 , x = 5m 【不定积分方法】
速度表达式是: v = 4+ 2t
x = ∫ vdt = ∫ (4 + 2t)dt = 4t + t 2 + C
大学物理 第一章(1)
a
v2 R
n0
dv dt
t0
R―曲率半径
思考 求抛体运动过程中的曲率半径？
如B 点 at 0 , an g ,v B v 0cosθ
RB
v2
B an
(v 0cosθ)2
g
y v
B
思考
· a4 v
· a1
a·2
O
a3
O
x C
上图中分别是什么情形？ a4情形是否存在？
(2)物体各点运动情况相同
本课程力学部分,除刚体外,一般都可视为质点.
2 位置矢量（position vector of a particle）
表征某时刻质点位置的矢量, 简称位矢或矢径
r xi yj zk
r 位矢 的大小:
y
r r x2 y2 z2 r 位矢 的方向余弦:
a
ddtv
20
2
sin2ti
16
2
t 1s
cos 2tj
dt
t 1s
16 2 j (m / s2 )
x 5 sin2t
x2 y2
{
y 4 cos 2t
52 42 1
解题思路：
位移（求矢量差）
1 运动方程 轨道 方程（消去t）
：
an
v2 R
n0
（改变速度方向）
切向加速度(tangential acceleration)
：at
dv dt t0
v
aτ
（改变速度大小）
v2 dv a R n0 dt t0
大学物理第1章质点运动学的描述
t0
0 2 4
t 2s 4
2
t 2s
x/m
6
-6 -4 -2
例3 如图所示, A、B 两物体由一长为 l 的刚性 细杆相连, A、B 两物体可在光滑轨道上滑行.如物体 A以恒定的速率 v 向左滑行, 当 60 时, 物体B的 速率为多少？ 解 建立坐标系如图, 物体A 的速度
1. 5 arctan 56.3 1
（2） 运动方程
x(t ) (1m s )t 2m
y(t ) ( m s )t 2m
1 4 2 2
1
由运动方程消去参数
1 -1 2 y ( m ) x x 3m 4
轨迹图
t 4s
6
t 可得轨迹方程为
y/m
三、位置变化的快慢——速度
速度是描写质点位置变化快慢和方向的物理量，是矢量。
速率是描写质点运动路程随时间变化快慢的物理量，是标量。 1 平均速度 在t 时间内, 质点从点 A 运动到点 B, 其位移为
B
y
r r (t t) r (t)
r (t t)
s r
质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模 型 . 目的是为了突出研究对象的主要性质 , 暂不考 虑一些次要的因素 .
二、位置矢量、运动方程、位移
1 位置矢量
确定质点P某一时刻在 坐标系里的位置的物理量称 . 位置矢量, 简称位矢 r
y
y j
r xi yj zk
j k 式中 i 、 、 分别为x、y、z
xA xB xB x A
yB y A
o
x
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化, 由 始点 A 指向终点 B 的有向线段 AB 称为点 A 到 B 的 位移矢量 r . 位移矢量也简称位移.
《大学物理1》内容提要(PDF)
1.参考系：描述物体运动时用作参考的其它物体和一套同步的钟.2.位矢和位移一运动的描述➢运动方程kt z j t y i t x t r r)()()()(++==➢位移)()(t r t t r r−∆+=∆注意: 一般rr ∆≠∆ 3.速度和速率tsd d =v k t z j dt y i t x t rd d d d d d d ++==v ➢速度➢速率（速度合成）第一章质点运动学3.加速度任意曲线运动都可以视为沿x ，y ，z 轴的三个各自独立的直线运动的叠加（矢量加法）.——运动的独立性原理或运动叠加原理.kj i t r t a z y x tv t v t v v d d d d d d d d d d 22++===二. 匀加速运动=a常矢量初始条件:or v ,0ta +=0v v 2021ta t r++=0v r➢匀加速直线运动at+=0v v 2021att x ++=0v x ax22=−20v v ➢抛体运动0=x a ga y −=θcos 0x v v =gty −=θsin 0vv t⋅=θcos 0v x 221sin gtt −⋅=θ0vy 三. 圆周运动➢角速度Rt v ==d d θω➢角加速度td d ωβ=➢速度tt t d d e r e e ts ω===v vnn t t e a e a a +=➢圆周运动加速度22nt a a a +=切向加速度22t d d d d ts r t a ===αv 法向加速度rr a 22n v v ===ωω（指向圆心）（沿切线方向）➢力学的相对性原理:动力学定律在一切惯性系中都具有相同的数学形式.四. 相对运动➢伽利略速度变换u+='v v第二章牛顿定律一牛顿运动定律第一定律：惯性和力的概念，惯性系的定义.第二定律：tp F d d =vm p =当时，写作c <<v a m F=第三定律2112F F−=力的叠加原理+++=321F F F F 二国际单位制力学基本单位m 、kg 、s量纲：表示导出量是如何由基本量组成的关系式.t mma F xx x d d v ==tmma F yy y d d v ===直角坐标表达形式自然坐标表达形式d d t t F ma mt ==vn n F ma mρ==2v牛顿第二定律的数学表达式am t p F ==d d 一般的表达形式nn t t y x e F e F j F i F F +=+=（1）万有引力r221e r m m G F−=重力gm P =三几种常见的力(3）摩擦力滑动摩擦力静摩擦力Nf F F μ=N0f0m 0f F F F μ=≤（2）弹性力：弹簧弹力（张力、正压力和支持力）kxF−=四应用牛顿定律解题的基本思路1）确定研究对象，几个物体连在一起需作隔离体，把内力视为外力；2）受力分析：画受力图；3）建立坐标系，列方程求解；(用分量式)4）先用文字符号求解，后代入数据计算结果.第三章动量守恒定律和能量守恒定律一动量、冲量、动量定理vm p =——机械运动的量度质点的动量力的冲量——力对时间的累计⎰=21d t tt F I1221d v v m m t F t t −=⎰质点的动量定理：质点所受合外力的冲量等于质点在此时间内动量的增量。
【大学物理】质点运动学2010级
（2）求出t 1s和t 2s时质点的位置矢量。
（3）求出1s末和2s末的速度与加速度。
解：（1）由题知： x 2t, y 2 t 2
y
消去t得：y 2 1 x2
2
4
轨迹为一抛物线：
o
22 x
(2)t
1s时，r1
2i
j
(3)tv2sd时r ， 2r2i42itj 2 j
t
1sd时t ，v1
质点作匀加速直线运动，加速度为正。
质点作匀加速直线运动，加速度为负。 质点作变加速直线运动，加速度为正。
质点作变加速直线运动，加速度为负。
第一类：已知 r（或x，y），求v，a，用微分;
第二类：已知 a及初始条件v0，r0，求v及r，用积分。
微分
微分
r v a 积分 (r0 )
积分
(v0 )
r (t)
说到平均速度一定要明确是哪一段时间或哪一段位移中的平
均速度。
2 瞬时速度
瞬时速度
v
lim
r
dr
t0 t dt
质点在某时刻或某位置的瞬时速度等于在此时刻附近
取t时间，让t 0时平均速度的极限值。
即速度等于位置矢量对时间的一阶导数。
含义：反映质点在某时或某位置的运动状态。
B
速度是一个矢量，方向沿质点轨迹切线方向
对于作直线运动的质点，采用标量形式
dv adt
两端积分可得到速度
v
v0
d
v
0ta d t
v v at
0
根据速度的定义式：
d x v v at
dt
0
两端积分得到运动方程
x
x0
d
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*加速度的指向: 指向曲线的凹侧
y
v减小 v vP vQ
90
vP
a
v增大
90 v vQ
a
o
x
运动学的两类问题 第一类: 微分问题 (已知 r , 求 v 和 a )
dt 第二类: 积分问题 (已知 a , 求 v a v a dt r v dt
大 学 物 理 (上 册)
注意事项 1. 请记住你的靓号 (1) 写在作业本的左上角, 用于作业登记, (2) 平时的互动交流用于记录平时成绩, (3) 用于考勤记录.
2. 平时成绩=作业+考勤+互动交流 (1) 缺交作业三分之一或考勤有三次旷 课记录者平时成绩将低于60分, (2) 互动交流记入平时成绩.
ds dr
(ii) 在曲线运动中, 当 t 0 时, dr ds .
r (t t ) r (t ) r v t t
3. 速度 (1) 平均速度
z
P1
r (t )
v r
P2
r (t t )
大小:
方向: 沿 r 的方向.
r v t
x
o
y
描述在一段时间内的平均运动情况.
单位: m s 在直角坐标系中
r v t x y z r xi yj zk i j k t t t vx x t ,v y y t ,vz z t vx i vy j vz k
练习册: 每份7元, 期末复习要用到, 自由购买,以自然班为单位收钱.
上 册 内 容
力学 (含相对论) 振动与波 光学 热学
第1章 质点运动学 1.1 质点运动的描述
运动的绝对性和相对性 运动是绝对的: 任何物体任何时刻都在 不停地运动着 运动又是相对的: 运动的描述是相对其 他物体而言的
参考系 (定性描述物体的运动)
方向: 沿 P 点的切线方向. (反映运动的 方向)
v
P
在直角坐标系中
dr v dt dx d y dz r xi yj zk i j k dt dt dt vx d x dt ,v y d y dt ,vz d z dt vx i vy j vz k
dr dv rv a
dt
和r)
例1.1 设一质点做二维运动, 其运动方 2 程为 r 2ti 2 t j , 求其轨道方程和 t 0 秒 及 t 2 秒时质点的速度, 并求后者的大小和 方向. 解 轨道方程 f ( x, y, z ) 0
o
z
r (t )
x
说明:
运动方程实际上是轨道的参数方程.
2. 位移: 质点在运动过程中 由前一个位置指向后一 个位置的矢量.
r r2 r1
y
r1
P1
r
P2
r2
o
z
x
位移是位置矢量的 增量.
y
r1
P1
r
P2
r2
o
z
x
r1 x1i y1 j z1k , r2 x2 i y2 j z2 k r r2 r1 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k xi yj zk x x2 x1 , y y2 y1 , z z2 z1
z 日心系 y o x x
z z 地面系 y o x y o 地心系
地心系是近似程度较好的惯性系, 日心系是近似程度很好的惯性系. 对地面系与地心系, 哪个近似程度高? 地心系的近似程度高 还有比日心系近似程度高的惯性系吗?
如: 以宇宙中心为参考系.
坐标系 (定量描述物体的运动)
一维运动: 数轴 ( x 或 y 或 z ); 平面直角坐标系 ( x, y ), 二维运动: 极坐标系 ( r , );
(质点在运动过程中位置在 空间中变化形成的曲线) 直线轨道----质点作 直线运动
曲线轨道----质点作 曲线运动
z
y
P
r (t )
o
x
路程: 质点在运动过程中轨迹的长度.
轨道方程: 从运动方程中消去参数 t 得 y 到轨道方程.
f ( x, y, z ) 0
P
如:
x2 y 2 1 9 16
vx , vy ,vz 为平均速度在三个坐标轴上的
分量
(2) 瞬时速度 当 t 0 时, QP.
r dr v lim t 0 t dt
r2
Q2
r1
Q1
r
Q
P
称为质点在 P 点的瞬时速度. 单位: m s
大小: v dr dt (反映运动的快慢)
常用的物理模型 力学: 质点、刚体 振动与波: 弹簧振子、平面简谐波
热学: 理想气体
电磁学: 点电荷 流体力学: 理想流体
质点: 将物体看成是具有物体质量的 一个几何点. 可以将物体视为质点的两种情况
(1) 物体不变形, 不作转动 (物体上各点 的速度及加速度都相同, 物体上任一点可以 代表所有点的运动)
2 由 r 2ti (2 t ) j x 2t , y 2 t 2
消去参数 t , 得轨道方程为
y 2 x2 4
任一时刻速度
dr r 2 ti ( 2t 2 ) j 2i 2t j v dt v t 0 s 2i 2 0 j 2i v t 2 s 2i 2 2 j 2i 4 j
(2) 瞬时加速度 平均加速度的极限
v dv a lim t 0 t dt 2 dr v dr dt 2 dt
单位:
m s2
在直角坐标系中
dv dvx dv y dvz i j k a dt dt dt dt d2 x d2 y d2 z 2 i 2 j 2 k dt dt dt ax i a y j az k
2 2 2 x2 y2 z2 x12 y12 z12
( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 )2
r 与 r 的关系
y
r r
r2
(1) 曲线运动
r r
A
r1
B
r
x
o
(2) 直线运动
r1
位移的模 (大小):
y
r1
P1
r
P2
r2
o
z
x
r | r2 r1 | (x) 2 (y) 2 (z) 2
( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2 2
2
位移的大小和位矢大小的增量的区别 位移的大小:
位移
vx , vy ,vz 为速度在三个坐标轴上的分量
速率 平均速率
S v t
z
S
Q
P
r (t )
r
r (t t )
瞬时速率
S dS v lim t 0 t dt 单位: m s
x
o
y
说明: (1) 速度是矢量, 速率是标量;
(2) 在曲线运动中, v | v | ; (3) 在单向的直线运动中, v | v | ;
(2) 物体本身线度比它活动范围小得多 (物体的变形及转动并不是重要因素)
研究运动的基本方法 1. 选择合适的参考系 (确定物体的运 动性质); 2. 建立恰当的坐标系 (定量描述物体 的运动); 3. 应用恰当的物理模型 (以突出问题 中最基本的运动规律).
一. 描述质点运动的四个物理量 1. 位置矢量 (简称位矢) P 由坐标原点 o 指向质 点位置 P 的有向线段. r 用符号 r 表示 o 单位: m 请习惯使用矢量 (向量) 的书写方法
(4) 瞬时速率等于瞬时速度的大小, v | v | .
4. 加速度 (1) 平均加速度
z
v (t )
Q
v (t t ) v (t )
P
r (t )
r (t t )
v
v (t t )
x
o
y
v (t t ) v (t ) v a t t
r
P( x, y, z )
o
z
z
x
x
｜r｜ x2 y 2 z 2
位置矢量的方向
y
y
r
P( x, y, z )
o
z
z
x
x
cos x | r | x x 2 y 2 z 2 cos y | r | y x 2 y 2 z 2 cos z | r | z x 2 y 2 z 2
立体直角坐标系 ( x, y, z ), 三维运动: 球坐标系 ( r , , ), 柱坐标系 ( r, z, ).
自然坐标系: 以运动物体为坐标原点, 以运动的切向和法向为坐标轴的方向.
物理模型 物体的形状和运动过程是很复杂的. 为了简化对物体运动的描述, 去掉次要 的因素, 而保留其最本质的部分, 经过这样 抽象出来的模型称为物理模型. 常用的物理模型有哪些?
参照系: 用于描述物体的运动所选择的 参考物体. 参考系可任意选择 (1) 参照系可以是静止的或运动的;