第1章 教师备课平台

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故而当方程没有正根时，应有 a2＋a＋1 ≤0 a a＋1 a ≥0
，解得 a≤－1.
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∴至少有一正根时应满足 a>－1 且 a≠0， 综上，方程有一正根的充要条件是 a>－1.
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四、逻辑用语在描述数学问题中的应用 逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和 研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展 学生的思维能力而设置的．关于逻辑用语的知识较为抽象，在 高考命题中较少单独考查这一方面知识，更多会作为一种描述 数学问题的语言出现．所以，结合实际问题对逻辑用语进行理 解是掌握这方面知识的关键．
，∴a≤－2.
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综上可知：a＝0 或 a≥2 或 a≤－2.
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六、等价转化思想在解题中的应用 一个命题的原命题与其逆否命题同真假；当一个命题的真 假不易判断时，可以通过判断它的逆否命题的真假，从而得知 原命题的真假．
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题矛盾，从而判定綈 q 为假，推出 q 为真的推证方法．
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反证法主要适用于结论本身是否定形式或含有“至多”、 “至少”等词语的命题的证明． [例 7] 求证：一元二次方程至多有两个不同的根．
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[证明] 假设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)至少有三 个不同的根，不妨设这三个根为 x1，x2，x3. ax2＋bx1＋c＝0 1 2 ∴ax 2＋bx2＋c＝0 ax2＋bx ＋c＝0 3 3
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[点评] 用反证法证题， 必须遵循三步： 否定结论→推出矛 盾→肯定结论．在否定结论时易出现错误，特别当命题中含有 “或”“且”“至少几个”“至多几个 ”等词语时， 一定考虑 清楚后再去做题．
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[解析] (1)要使 x2＋2tx－4t－3≥0 恒成立， 则只要使 Δ1＝(2t)2－4(－4t－3)≤0， 解得－3≤t≤－1，故集合 A＝{t|－3≤t≤－1}． 要使方程 x2＋2tx－2t＝0 有解， 则只要使 Δ2＝(2t)2－4· (－2t)≥0， 解得 t≥0 或 t≤－2，故集合 B＝{t|t≥0 或 t≤－2}． 所以 A∩B＝{t|－3≤t≤－2}．
2 2 ①－②得 a(x1－x2)＋b(x1－x2)＝0.
① ② ③
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由 x1≠x2 知 a(x1＋x2)＋b＝0④ 同理②－③整理得，a(x2＋x3)＋b＝0⑤
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④－⑤得 a(x1－x3)＝0. ∵a≠0，∴x1－x3＝0，即 x1＝x3，此为矛盾． 这一矛盾说明假设不成立，∴原命题成立． 即一元二次方程至多两个不同的根．
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[例 3] (2012· 日照模拟)求关于 x 的方程 ax2－(a2＋a＋1)x ＋a＋1＝0 至少有一个正根的充要条件．
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[解析] 解法 1：若 a＝0，则方程变为－x＋1＝0，x＝1 满 足条件， a＋1 若 a≠0 ， 则 方 程 至 少 有 一 个 正 根 等 价 于 <0 或 a a2＋a＋1 >0 a a＋1＝0 2 a ＋a＋1 或 a＋1 >0 a >0 a Δ＝a2＋a＋12－4aa＋1≥0
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[解析] 选 A.因为¬p：x＋y＝3，¬q：x＝1 且 y＝2，则¬q ⇒¬p 为真，¬p⇒¬q 为假，所以 p⇒q 为真，q⇒p 为假．所以 p 是 q 的充分而不必要条件．
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七、反证法 反证法是间接证明的一种基本方法，其基本内涵为：由证 明 p⇒q 转向证明綈 q⇒r⇒„⇒t，t 与假设矛盾，或与某个真命
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[例 2] 向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度，有如下 结果：赞成 A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人，其余的不赞成；另外，对 A、B 都不 赞成的学生数比对 A、B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人， 问：对 A、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
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(2)设 g(m)＝u，则问题(2)可转化为： 已知函数 u＝g(m)的值域(u∈[－3，－2])，求其定义域． 令－3≤m2－3≤－2，可解得－1≤m≤1， 所以 M＝{m|－1≤m≤1}．
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二、数形结合思想在集合问题中的应用 在解决一些集合问题时，求数集常用的方法为数轴法，取 交、并集，如果是点集，常常通过画出函数的图像，观察图像 的交点以及位置关系来解决问题．Venn 图法在解决有限集之间 的关系时也会经常用到．
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，得 m<－2；
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(2)当 q 为真命题时，则 Δ＝16(m＋2)2－16<0， 得－3<m<－1； 综上，m 的取值范围是 m<－1.
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五、利用集合关系，借助于数轴、维恩图求参数的值或参 数的范围 1．集合关系转化 A∩B＝B⇔B⊆A；A∪B＝B⇔A⊆B 2．借助数轴、维恩图解集合问题使解答直观、简捷． 3．含参数的，常需分类讨论，或进行等价转化．
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记 50 名学生组成的集合为 U， 赞成事件 A 的学生全体为集 合 A，赞成事件 B 的学生全体为集合 B. 设对事件 A、B 都赞成的学生人数为 x，则对 A、B 都不赞 x 成的学生人数为 ＋1，赞成 A 而不赞成 B 的人数为 30－x，赞 3 成 B 而不赞成 A 的人数为 33－x.
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x 依题意(30－x)＋(33－x)＋x＋ ＋1＝50， 3
解得 x＝21. 所以对 A、B 都赞成的同学有 21 人，都不赞成的有 8 人．
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三、充要条件的理解与判定方法 充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要 用来区分命题的条件 p 和结论 q 之间的关系，力求通过不同的 知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的 两个命题的逻辑关系．
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第1章 集合与常用逻辑用语
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一、对集合的理解以及集合思想的应用 集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要 考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合 语言和集合思想在函数与方程、不等式中的运用．通过复习， 考生应树立运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、 集合思想的理解与应用．
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[分析] 解答本题首先要弄懂集合概念，以便准确把握题 意， 集合 A 其实就是“求使不等式 x2＋2tx－4t－3≥0 恒成立的 t 的取值范围”， 集合 B 就是“求使方程 x2＋2tx－2t＝0 有实根 的 t 的取值范围”．至于集合 M，则应先把问题转化为求函数 定义域问题来解决．
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[例 4] 命题 p：方程 x2＋mx＋1＝0 有两个不等的正实数 根， 命题 q： 方程 4x2＋4(m＋2)x＋1＝0 无实数根． 若“p 或 q” 为真命题，求 m 的取值范围．
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[解析] “p 或 q”为真命题，则 p 为真命题，或 q 为真命 题，或 p 和 q 都是真命题． Δ＝m2－4>0 (1)当 p 为真命题时，则x1＋x2＝－m>0 x x ＝1>0 1 2
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⇔－1<a<0 或 a>0. 综上：方程至少有一正根的充要条件是 a>－1.
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解法 2：若 a＝0，则方程即为－x＋1＝0，∴x＝1 满足条 件； 若 a≠0，∵Δ＝(a2＋a＋1)2－4a(a＋1) ＝(a2＋a)2＋2(a2＋a)＋1－4a(a＋1) ＝(a2＋a)2－2a(a＋1)＋1＝(a2＋a－1)2≥0， ∴方程一定有两个实根．
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[例 1] 已知集合 A＝{t|t 使 x2＋2tx－4t－3≥0}，集合 B＝ {t|t 使 x2＋2tx－2t＝0}，其中 x，t 均为实数． (1)求 A∩B； (2)设 m 为实数，g(m)＝m2－3，求 M＝{m|g(m)∈A∩B}．