课时跟踪检测 (三十三) 三角函数的概念

课时跟踪检测 （三十三） 三角函数的概念
层级(一) “四基”落实练 1．sin 780°的值为( ) A ．－
3
2
B ．
32
C ．－12
D ．12
解析：选B sin 780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin 60°＝
32
. 2．若45°角的终边上有一点(4－a ，a ＋1)，则a ＝( ) A ．3 B ．－32
C ．1
D ．32
解析：选D ∵tan 45°＝a ＋14－a
＝1，∴a ＝32.
3．已知角α的终边经过点(－5，m )(m ≠0)，且sin α＝2
5m ，则cos α的值为( )
A ．－55
B ．－
510 C ．－25
5
D ．±255
解析：选C 已知角α终边上一点P (－5，m )(m ≠0)，且sin α＝2
5m ＝
m 5＋m 2
，∴m 2
＝54
， ∴cos α＝
－5
5＋5
4
＝－255.
4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－2,3]
B ．(－2,3)
C ．[－2,3)
D ．[－2,3]
解析：选A 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴
上，所以有⎩
⎪⎨⎪⎧
3a －9≤0，
a ＋2>0，
即－2<a ≤3.
5．已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数f (x )＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |
tan x
的值域是( ) A ．{－3，－1,1,3} B ．{－3，－1} C ．{1,3}
D ．{－1,3}
解析：选D 若x 为第一象限角，则f (x )＝3；若x 为第二、三、四象限角，则f (x )＝－1.所以函数f (x )的值域为{－1,3}．
6．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－12
5
，则sin α＋cos α＝________. 解析：∵tan α＝a 5＝－12
5，∴a ＝－12.
∴r ＝
25＋a 2＝13.
∴sin α＝－1213，cos α＝5
13.
∴sin α＋cos α＝－7
13.
答案：－7
13
7．若点(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限的角.
解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θcos θ＜0，2cos θ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧
sin θ＞0，
cos θ＜0.
因此θ是第二象限角．
答案：二
8．如果角α的终边经过点P (sin 780°，cos(－330°))，则sin α＝________. 解析：因为sin 780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin 60°＝32
， cos(－330°)＝cos(－360°＋30°)＝cos 30°＝3
2
， 所以P
⎝⎛⎭⎫32
，32，sin α＝22.
答案：
2
2
9．判断下列各式的符号．
(1)sin α·cos α(其中α是第四象限角)；
(2)sin 285°·cos(－105°)； (3)sin 3·cos 4·tan ⎝⎛⎭⎫
－23π4. 解：(1)因为α是第四象限角，
所以sin α<0，cos α>0，所以sin α·cos α<0. (2)因为285°是第四象限角，所以sin 285°<0， 因为－105°是第三象限角，所以cos(－105°)<0， 所以sin 285°·cos(－105°)>0. (3)因为π2<3<π，π<4<3π
2，
所以sin 3>0，cos 4<0.
因为－23π4＝－6π＋π
4，所以tan ⎝⎛⎭⎫－23π4>0， 所以sin 3·cos 4·tan ⎝⎛⎭⎫
－23π4<0.
10．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－2
2
，求cos α和tan α的值．
解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)． 由题意，可知sin α＝－
22，即y 1＝－2
2
. ∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上，
∴x 21＋y 2
1＝1，
即x 21＋⎝⎛
⎭
⎫－222
＝1，解得x 1＝±22.
当x 1＝
22时，cos α＝2
2，tan α＝－1； 当x 1＝－22时，cos α＝－2
2
，tan α＝1.
层级(二) 素养提升练
1．已知角α的终边过点P (－4,3)，则2sin α＋tan(2π＋α)的值是( )
A ．－
920
B ．
920
C ．－25
D ．25
解析：选B ∵角α的终边经过点P (－4,3)，∴r ＝|OP |＝5.∴sin α＝35，cos α＝－4
5，tan α
＝－34.∴2sin α＋tan(2π＋α)＝2sin α＋tan α＝2×35＋⎝⎛⎭⎫－34＝9
20
.故选B. 2．已知点P ⎝⎛⎭⎫－3，a a ＋1为角β的终边上的一点，且sin β＝13
13，则a 的值为( )
A ．1
B ．3 C.1
3 D ．12
解析：选A 由三角函数的定义得
sin β＝
a a ＋1(－
3)2＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫a a ＋12＝
13
13
， 整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫a a ＋12＝14
.
∵sin β＞0，∴P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3，a a ＋1在第二象限， ∴a a ＋1＞0，∴a a ＋1＝12
，解得a ＝1. 3.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P ，Q 从点A (1,0)出发在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π
6弧度，点Q 按顺时针方向
每秒钟转11π
6
弧度，则P ，Q 两点在第2 019次相遇时，点P 的坐标是( )
A ．(0,0)
B ．(0,1)
C ．(－1,0)
D ．(0，－1)
解析：选B 因为点P 按逆时针方向每秒钟转π6弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转11π
6弧
度，两点相遇1次的路程是单位圆的周长即2π，所以两点相遇一次用了1秒，
因此当两点相遇2 019次时，共用了2 019秒， 所以点P 转过的弧度为2 019π6＝673π2＝π
2
＋336π.
由终边相同的角的概念可知，2 019π6与π
2的终边相同，
所以此时点P 位于 y 轴正半轴上， 故点P 的坐标为(0,1)．
4．已知1|sin α|＝－1
sin α，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M ⎝⎛⎭⎫3
5，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．
解：(1)由1|sin α|＝－1
sin α，可知sin α<0，
由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．
(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352
＋m 2
＝1， 得m ＝±45
.
又α为第四象限角，故m <0， 从而m ＝－4
5
，
sin α＝y r ＝m |OM |＝－
451＝－4
5
.
5．已知sin θ＜0，tan θ＞0. (1)求角θ的集合； (2)求θ
2的终边所在的象限；
(3)试判断sin θ2cos θ2tan θ
2
的符号．
解：(1)因为sin θ＜0，所以θ为第三、四象限角或在y 轴的负半轴上， 因为tan θ＞0，所以θ为第一、三象限角， 所以θ为第三象限角，
故角θ的集合为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫θ⎪
⎪
2k π＋π＜θ＜2k π＋3π
2，k ∈Z .
(2)由(1)可得，k π＋π2＜θ2＜k π＋3π
4，k ∈Z .
当k 是偶数时，θ
2终边在第二象限；
当k 是奇数时，θ
2终边在第四象限．
(3)由(2)可得，
当k 是偶数时，sin θ2＞0，cos θ2＜0，tan θ
2＜0，
所以sin θ2cos θ2tan θ
2
＞0；
当k 是奇数时，sin θ2＜0，cos θ2＞0，tan θ
2＜0，
所以sin θ2cos θ2tan θ
2＞0.
综上知，sin θ2cos θ2tan θ
2
＞0.。