第1章 电动力学习题山大
电动力学习题集答案
电动力学第一章习题及其答案1、 当下列四个选项:(A 、存在磁单级, B 、导体为非等势体, C 、平方反比定律不精确成立,D 、光速为非普适常数)中的_ C ___选项成立时,则必有高斯定律不成立、 2、 若 a 为常矢量 , r= (x - x ')i + ( y - y ')j + (z -z ')k 为从源点指向场点的矢量 ,E 0 , k 为常矢量,则∇⋅(r 2 a) =∇⋅(r 2 a ) = (∇r ⋅a =2r ⋅a ,)⋅a ) = ddrr ∇r ⋅a = 2r r r2∇r = (i +j + k ) (x - x ') + (y - y ') + (z - z ') = i +j y-y' + k = rr∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z 2 2 2 x-x' r z-z' rr ⎛ ⎫ ⎪ 2(x -x ') = (x -x ') ,同理, ∂ ∂x(x -x ') 2+(y - y ') 2 +(z -z ') 2 = r 2 (x -x ')2+(y -y ')2+(z -z ')2⎝ ⎪⎪ ⎭(y -y ') (x -x ') +(y - y ') 2 +(z -z ') ∂ ∂y (x -x ') 2 +(y - y ') 2 +(z -z ') 2 = , ∂ ∂z 2 2 = (z -z ') r re e e x x x∇⋅r = ∂(x-x')∇⨯ r = + ∂(y-y') ∂y+ ∂(z-z') = 3∂z, ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂zx - x ' y - y ' z - z '= 0, ∂x∇⋅(a ⨯r )=a ⋅(∇⨯r ) = 0 ,) ⨯ r + r ∇ ⨯ r = ∇r 2r ⨯ r = ⨯ r = 0 r ∇ ⨯ rr = ∇( r1 1 3r a ,,∇ ( ⋅ ) = ∂[ a x (x -x' )]+ ∂[ a y (y - y')] j + [ a z ∂ (z -z')] = a r i k ∂x ∂y ∂z∇⋅ r =∇ ⋅ + ∇⋅ =- ⋅ + = r r r 1r 1 r r 3 r2 3 r ,∇ ⋅ (∇ ⨯ A ) = __0___、 r r∇ ⋅[E 0 sin(k ⋅r )] = k ⋅ E 0 cos(k ⋅ r )= __0__、 ∇ ⋅ (E 0 e ik ⋅r ) =, 当 r ≠ 0 时 , ∇ ⨯ = (r / r 3)ik ⋅ E 0 exp(ik ⋅r ) , ∇ ⨯ [rf (r )] = _0_、 ∇ ⋅ [ r f ( r)] 3f (r )+r df (r )drs3、 矢量场 f 的唯一性定理就是说:在以 为界面的区域V 内,若已知矢量场在V 内各点的旋度与散度,以及该矢量在边界上的切向或法向分量,则在 内唯一确定、 f V ∂ρ = 0 ,若 J为稳恒电流情况下的电流密度 ,则 J 满足4、 电荷守恒定律的微分形式为 ∇⋅ J + ∂t∇ ⋅ J = 0 、5、 场强与电势梯度的关系式为, E = -∇ϕ 、对电偶极子而言 ,如已知其在远处的电势为ϕ = P ⋅ r/(4πε 0r ⎛ 4πε 0 ⎝ ⎫ E = 1 3(P ⋅r )r- P3) ,则该点的场强为 ⎪ ⎪ 、 r 5 r 3⎭a (r > a ) 任意一点 D 的散度为 0,Q 6、 自由电荷 均匀分布于一个半径为 的球体内,则在球外内 (r < a )任意一点 D 的散度为 3Q / 4π a 3 、arbr 7、 已知空间电场为 E = + 3 (a ,b 为常数),则空间电荷分布为______、rr 2ar1 r 1 ∇ = - 3 ⇒ E = -b ∇ ⇒r r r 2 r 2 1 a ∇⋅r - 2r ⋅∇r + 4πb δ(r )]ρ = ε 0∇⋅E = ε 0(∇⋅ arr 2 -b ∇ r ) = ε 0[ r 2 r 33a 2r ⋅r + 4πb δ(r )]⇒ ρ = ε 0[ a 2 + 4πb δ(r )] = ε 0[ - r 2r 4 ra8、 电流 I 均匀分布于半径为 的无穷长直导线内,则在导线外 (r > a ) 任意一点 B 的旋度的大小为 0 , 导线内 (r < a )任意一点 B 的旋度的大小为 μ 0I / πa 2 、D ε9、 均匀电介质(介电常数为 )中 ,自由电荷体密度为 ρ f 与电位移矢量 的微分关系为∇ ⋅ D = ρ f , 束缚电荷体密度为 ρ P 与电极化矢量 的微分关系为 ∇ ⋅ P = - ρ P ,则P ρ = - ε - ε 0 ρ 、f ρ P 与 ρ f 间的关系为 P ε10、 无穷大的均匀电介质被均匀极化,极化矢量为 P ,若在σ = -(P - P )θ 21R= -(P cos θ - 0)介质中挖去半径为 R 的球形区域,设空心球的球心到球 P= - P ⋅R面某处的矢径为 R ,则该处的极化电荷面密度为R- P ⋅ R / R 、q ε 11、 电量为的点电荷处于介电常数为 的均匀介质中,则点电荷附近的极化电荷 为 (ε 0 / ε - 1)q 、H 12、 某均匀非铁磁介质中,稳恒自由电流密度为 J f ,磁化电流密度为 J M ,磁导率 ,磁场强度为 ,磁μ 化强度为M ,则∇⨯ H = Jf ,∇⨯ M =J M , JM 与J f 间的关系为J= (μ/ μ 0 - 1)J f、M13、 在 两 种 电 介 质 的 分 界 面 上 , D , E 所 满 足 的 边 值 关 系 的 形 式 为 n ⋅(D2- D1)=σf,- 1 -n ⨯(E2- E1)= 0、ε14、 介电常数为 的均匀各向同性介质中的电场为 E 、 如果在介质中沿电场方向挖一窄缝 ,则缝中电场强度大小为 E 、ε15、 介电常数为 的无限均匀的各项同性介质中的电场为 E ,在垂1 n2直于电场方向横挖一窄缝,则缝中电场强度大小为________、E⎧D 2n - D 1n = 0 ⇒ ⎧ ⎨ ⎩εE = ε 0E 缝 E 2τ = E 1 sin θ1 = 0 ⇒ E 缝 = εE / ε 0 , 、 E E⎨ E 2τ - E 1τ = 0 ⎩ 16、 在半径为 R 的球内充满介电常数为ε 的均匀介质,球心处放一点电荷,球面为接地导体球壳,如果挖去顶点在球 心的立体角等于 2的一圆锥体介质,则锥体中的场强与介 质中的场强之比为_1:1_、Eσ1nE2ε1Rσ 2极化电荷D 2n = D 1n = 0 ⇒E 1 = E 1τ = E 2τ = E 2 ⇒ E 1 : E 2 = 1:1自由电荷17、 在半径为 R 的球内充满介电常数为ε 的均匀介质,球心处放一点电荷,球面为接地导体球壳,如果挖去顶点在球心的立体角等于 2 的一圆锥体介质,锥体处导体壳上的自由电荷密度与介质 附近导体壳上的自由电荷密度之比为ε 0 / ε 、⎧ ⎨ ⎩ D 2n = D 1n = 0 E = E 1τ = E 2τ = E 2σ = σ 1D ε 0 D 2 ε 内球面上 ⇒ 1= ⇒ ε 0 2 ⇒ σ 1 :σ 2 = ε 0 :ε ε 118、 在 两 种 磁 介 质 的 分 界 面 上 , H , B 所 满 足 的 边 值 关 系 的 矢 量 形 式 为n ⨯ (H 2 - H 1)= α f ,n ⋅ B 2 - B = 0 、( ) 1I μ219、一截面半径为 b 无限长直圆柱导体,均匀地流过电流 I ,则储存在单位长度导 μ1体内的磁场能为__________________、rB ⋅ 2πr = μ 0I ππr 22⇒ B = bμ Ir2, 0 2πb22πrdr =⎰b 0 2μ0b W =⎰B μ I 2r 2 2 2πrdr =⎰ μ0I 2r 3dr4πb 4= μ0I 2b 4 16πb 4 = μ0I 216π12μ01 04π 2b 4 020、在同轴电缆中填满磁导率为 μ1,μ 2的两种磁介质,它们沿轴各占一半空间。
电动力学练习题
8.cos ()B e ϕθ球坐系 .z D a e 2.63x yC xye y e + 23.x y z A xe ye xe ++ .x y C axe aye - .()D are ϕ柱坐标系 .x y B aye axe -+ .()r A are 柱坐标系0 0./,A E E ρε∇⋅=∇⨯= 00.,B E E ∇⋅=∇⨯= 0 .,B C E E t ∂∇⋅=∇⨯=-∂0 ./,B D E E t ρε∂∇⋅=∇⨯=-∂p p B are ϕ=333()x y z J c x e y e z e =++21() n J J ⋅-=和。
电动力学练习题第一章电磁现象的基本规律一.选择题1.下面函数中能描述静电场强度的是( )2.下面矢量函数中不能表示磁场强度的是（ ）变化的磁场激发的感应3.电场满足（ ）4.非稳恒电流的电流线起自于（ ）A.正点荷增加的地方；B.负电荷减少的地方；C.正电荷减少的地方；D.电荷不发生改变的地方。
5.在电路中负载消耗的能量是（ ）A.通过导线内的电场传递的；B.通过导线外周围的电磁场传递的；C.通过导线内的载流子传递；D. 通过导线外周围的电磁场传递的，且和导线内电流无关。
二、填空题1.极化强度为 的均匀极化介质球,半径为R,设与球面法线夹角为θ，则介质球的电偶极矩等于_____，球面上极化电荷面密度为_____。
2.位移电流的实质是_________.3.真空中一稳恒磁场的磁感应强度（柱坐标系）产生该磁场的电流密度等于_______。
4.在两种导电介质分界面上，有电荷分布，一般情况下，电流密度满足的边值关系是____。
5.已知某一区域在给定瞬间的的电流密度：其中c 是大于零的常量。
此瞬间电荷密度的时间变化率等于___ ，若以原点为中心，a 为半径作一球面，球内此刻的总电荷的时间变化率等于_____。
6.在两绝缘介质的界面处，电场的边值关系应采用()21 ,n D D ⋅-= 21()n E E ⨯-=。
电动力学习题集答案-1
电动力学第一章习题及其答案1. 当下列四个选项：(A.存在磁单级, B.导体为非等势体, C.平方反比定律不精确成立,D.光速为非普适常数)中的_ C ___选项成立时,则必有高斯定律不成立.2. 若a为常矢量, k z z j y y i x x r )'()'()'(-+-+-=为从源点指向场点的矢量,k E,0为常矢量,则)(2a r ⋅∇=a r a r a r a r a r r r dr dr ⋅=⋅=⋅∇=⋅∇=⋅∇22))()(222,()r r r r r zy x k j i z z y y x x k j i r=++=-+-+-++=∇∂∂∂∂∂∂z'-z y'-y x'-x 222)'()'()'(⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+-+-=-+-+-==-+-+--∂∂-∂∂--+-+--∂∂r z z z r y y yr x x z z y y x x x x x z z y y x x z z y y x x z z y y x x )'(222)'(222)'()'()'()'(2)'(2222)'()'()'(,)'()'()'(,)'()'()'(222同理，=⨯∇r 0'''=---∂∂∂∂∂∂z z y y x x e e e z y x xx x ， 3)z'-(z )y'-(y )x'-(x =++=⋅∇∂∂∂∂∂∂z y x r ，)()(=⨯∇⋅=⨯⋅∇r a r a ,0)(3211=⨯=⨯=⨯∇+⨯∇=⨯∇∇r r r r r r r r r rrr,a k j i r a za ya xa z y x =++=⋅∇∂∂∂∂∂∂)]z'-(z [)]y'-(y [)]x'-(x [)(，r r rr r rrr r r r 23113=+⋅-=⋅∇+⋅∇=⋅∇ ，=⨯∇⋅∇)(A __0___. =⋅⋅∇)]sin([0r k E )cos(0r k E k ⋅⋅, 当0≠r 时,=⨯∇)/(3r r __0__. =⋅∇⋅)(0r k i e E )exp(0r k i E k i ⋅⋅, =⨯∇)]([r f r _0_. =⋅∇)]([r f r dr r df r r f )()(3+3. 矢量场f的唯一性定理是说：在以s 为界面的区域V 内,若已知矢量场在V 内各点的旋度和散度,以及该矢量在边界上的切向或法向分量,则f在V内唯一确定.4. 电荷守恒定律的微分形式为0=∂∂+⋅∇tJ ρ,若J为稳恒电流情况下的电流密度,则J满足0=⋅∇J.5. 场强与电势梯度的关系式为，ϕ-∇=E.对电偶极子而言,如已知其在远处的电势为)4/(30r r P πεϕ ⋅=，则该点的场强为()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=350341r P rr r P Eπε.6. 自由电荷Q 均匀分布于一个半径为a 的球体内,则在球外)(a r >任意一点D的散度为 0,内)(a r <任意一点D的散度为 34/3a Q π.7. 已知空间电场为b a rrb r r a E ,(32 +=为常数），则空间电荷分布为______.)](4[)](423[)](42[)1(1120420320220023r b rar b r r r r a r b rrr r r a r b r r a E r b rr a E r r r δπερδπεδπεεερ+=⇒+⋅-=+∇⋅-⋅∇=∇-⋅∇=⋅∇=⇒∇-=⇒-=∇ 8. 电流I 均匀分布于半径为a 的无穷长直导线内，则在导线外)(a r >任意一点B的旋度的大小为 0 , 导线内)(a r <任意一点B的旋度的大小为20/a Iπμ.9. 均匀电介质（介电常数为ε）中,自由电荷体密度为f ρ与电位移矢量D的微分关系为f D ρ=⋅∇ , 束缚电荷体密度为Pρ与电极化矢量P 的微分关系为P P ρ-=⋅∇,则P ρ与f ρ间的关系为fP ρρεεε0--=.10. 无穷大的均匀电介质被均匀极化，极化矢量为P，若在介质中挖去半径为R 的球形区域，设空心球的球心到球面某处的矢径为R，则该处的极化电荷面密度为R R P /⋅-.11. 电量为q的点电荷处于介电常数为ε的均匀介质中，则点电荷附近的极化电荷为q )1/(0-εε.12. 某均匀非铁磁介质中,稳恒自由电流密度为f J,磁化电流密度为M J ,磁导率μ,磁场强度为H ，磁化强度为M ，则=⨯∇H f J ,=⨯∇M M J ,M J 与f J 间的关系为()f M J J1/0-=μμ.13. 在两种电介质的分界面上,E D ,所满足的边值关系的形式为()f D D n σ=-⋅12,RR P P P P n n P ⋅-=--=--=)0cos ()(12θ()012=-⨯E E n.14. 介电常数为ε的均匀各向同性介质中的电场为E . 如果在介质中沿电场方向挖一窄缝,则缝中电场强度大小为E . 15. 介电常数为ε的无限均匀的各项同性介质中的电场为E ，在垂直于电场方向横挖一窄缝，则缝中电场强度大小为,/0sin 00011201212εεθεετττE E E E E E E E D D n n =⇒⎩⎨⎧===⇒⎩⎨⎧=-=-缝缝. 16. 在半径为R 的球内充满介电常数为ε的均匀介质，球心处放一点电荷，球面为接地导体球壳，如果挖去顶点在球心的立体角等于2的一圆锥体介质，则锥体中的场强与介质中的场强之比为_1:1_.1:1:021221112=⇒===⇒==E E E E E E D D n n ττ17. 在半径为R 的球内充满介电常数为ε的均匀介质，球心处放一点电荷，球面为接地导体球壳，如果挖去顶点在球心的立体角等于2的一圆锥体介质，锥体处导体壳上的自由电荷密度与介质附近导体壳上的自由电荷密度之比为εε/0.εεσσεσεσεεττ::0021201201221112=⇒=⇒=⇒⎩⎨⎧=====D D E E E E D D n n 内球面上 18. 在两种磁介质的分界面上, B H,所满足的边值关系的矢量形式为()fH H n α=-⨯12,()012=-⋅B B n.19. 一截面半径为b 无限长直圆柱导体，均匀地流过电流I ，则储存在单位长度导体内的磁场能为__________________.,2202220b Ir b r B I r B πμππμπ=⇒=⋅ πμπμπμπμμμππ161640402122120442043204222200022I b b I b dr r I b br I b rdr rdr B W =====⎰⎰⎰20. 在同轴电缆中填满磁导率为21,μμ的两种磁介质，它们沿轴各占一半空间。
电动力学习题答案
电动力学习题答案电动力学是物理学中研究电荷、电场、磁场和它们之间相互作用的分支。
以下是一些典型的电动力学习题及其答案。
# 习题一：库仑定律的应用问题：两个点电荷，一个带电为+3μC，另一个为 -5μC，它们之间的距离为 2m。
求它们之间的静电力大小。
解答：根据库仑定律，两个点电荷之间的静电力 \( F \) 由下式给出：\[ F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \]其中 \( k \) 是库仑常数，\( q_1 \) 和 \( q_2 \) 是电荷量，\( r \) 是它们之间的距离。
代入给定的数值：\[ F = 8.9875 \times 10^9 \frac{N \cdot m^2}{C^2} \times\frac{3 \times 10^{-6} C \times (-5 \times 10^{-6} C)}{(2 m)^2} \]\[ F = 37.5 N \]# 习题二：电场强度的计算问题：一个无限大均匀带电平面，电荷面密度为 \( \sigma \)。
求距离平面\( d \) 处的电场强度。
解答：对于无限大均匀带电平面，电场强度 \( E \) 垂直于平面，大小为：\[ E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \]其中 \( \epsilon_0 \) 是真空电容率。
# 习题三：电势能的计算问题：一个点电荷 \( q \) 位于另一个点电荷 \( Q \) 产生的电场中，两者之间的距离为 \( r \)。
求点电荷 \( q \) 在该电场中的电势能。
解答：点电荷 \( q \) 在由点电荷 \( Q \) 产生的电场中的电势能 \( U \) 为：\[ U = -k \frac{qQ}{r} \]# 习题四：洛伦兹力的计算问题：一个带电粒子，电荷量为 \( q \)，以速度 \( v \) 进入一个垂直于其运动方向的磁场 \( B \) 中。
山东大学电动力学期末考试
山东大学电动力学期末考试1.根据 stokes公式dova=dlA证明等式dvo=dl,其中A是矢量,是标量。
证明:构造矢量A=A将A带 Stokes回公式中可以得到dova=dl由于A=A,并且甲是标量,所以可以写成这样的形式 doVo=dl 这样就可以证明原命题。
2.试通过三维的速度和加速度写出四维的加速度解:四维的矢量x=(ct,x,y,z)根据四维的速度定义==dt=(, yvx,, yv2)dt=du同样的道理,四维的加速度=d现在分别写出分量的表达形式:ydcydt题目的意思是要用三维的速度和加速度来表示,于是还应该使用三维速度和三维加速度表示。
3.现在有一个均匀的带电圆环,电荷面密度是p=P(1+sin)圆环的中心取为原点,现在要求求出电偶极子和电四极子,以及表达出远处的电势。
(要求精确到电四极子)解:电单极子为=fdxp(x=r2po电偶极子为P=d2xp(x)( cos oi+rsin)=rpompoR4电四极子为D=--mpoR4求远场的电势直接使用公式就可以了,不再叙述4.一个带电金属空腔的半径为R,里面有一个电荷为q,距离圆心为a<R现在将该空腔接地,腔内的介电常数是,试用电像法求取腔内的电势以及感应面电荷密度解:类似一个无穷大的金属区域内挖出一个球形空中心有一个电荷(因为此时的导体接地,相当于无穷大的导体本身是等势体,电势也是0,另外就是腔外没有电场可以求出来像电荷的大小是像电荷距离心为如果是要求取面电荷密度的话,可以使用p=n(-1e=-n(g-15.已知矩形波导的磁场强度的表达式试求取电磁波的截止频率和导波波长,如果传播的是,那么确定a 和b解:截止频(+导波长根据指数国子计算表的m的导波,带回去计算就可以得出结果6.现在有两个坐标系和5其中它们在==0的时候原点重合,并且在5系的原点固定一个点电荷,大小为,现在5系相对5系以速度为进行运动,速度沿着x轴的方向,现在试用伦变换求出在下的电磁场解:运动系下的电磁场简单磁场为电场高断定律就可以求解是要表达为在直角坐标系下的表示以便济伦变换E-E: B-BE-7(E,-B, ;-7(B,+,le')E;-(E,+,, -,-wE,le')根据上面的式子就可以求解出来7.假设有两个电荷一个是另外一个是并在Z=a+a(1+n)2=-aa(1+sing)上面,试求取(1)电偶极子(2)用柱标表示偶极子的辐射解:(1)电偶极子的表示简单,P=q:即可(2)偶极子的射也可以用公式来求,需要记住的是现在柱坐标,基矢为05+血然后按照电偶极子的计算公式就可以了现在已经知道场强能动张量为现在请求出对偶张量的表示形式,并且使用E和B分别表示k,其中的K=aF解:第一问很简单,直接可以得到B0-B-BE. /c -E,/c E./ 0 E./c E,c-Ec。
电动力学课后习题解答(参考)
∂ ∂y
∂ ∂z
=
(
∂Az ∂y
−
∂Ay ∂z
)ex
+
(
∂Ax ∂z
−
∂Az ∂x
)ey
+
(
∂Ay ∂x
−
∂Ax ∂y
)ez
Ax(u) Ay(u) Az(u)
=
(
∂Az du
∂u ∂y
−
∂Ay du
∂u ∂z
)ex
+
(
∂Ax du
∂u ∂z
−
∂Az du
∂ ∂
u x
)ey
+
(
∂Ay du
∂u ∂x
−
(dl2
·
dl1)
11、平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为l1和l2，电容率为ε1和ε2，今在两板接上电 动势为E的的电池，求
(1)电容器两板上的自由电荷密度ωf (2)介质分界面上的自由电荷密度ωf 若介质是漏电的，电导率分别为σ1和σ2，当电流达到恒定时，上述问题的结果如何？ 解：在相同介质中电场是均匀的，并且都有相同指向，
[∇
1 r
·
∇]m
=
−(m
·
∇)∇
1 r
∴ ∇ × A = −∇ϕ
7、有一个内外半径分别为r1和r2的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质内均匀带静止自由 电荷ρf ，求 （1）空间各点的电场 （2）极化体电荷和极化面电荷分布 解：1) S D · dS = ρf dV ，(r2 > r > r1)
R
)
=
(∇
·
m)∇
1 r
+(m源自·m)∇1 r
电动力学习题
Chapter1电磁现象的普遍规律 计算、证明题1. 真空中有一静电场，场中各点z e E E =，试证明(1)当0≠ρ时，)(z E E =，即E 仅是z 的函数；(2)当0=ρ时，E 是常矢量. 【证】（1）由于z e E E =，且电荷密度0≠ρ，故000=∂∂+∂∂=⨯∇≠=∂∂=⋅∇y x e e E E xE y E z E ερ所以，得0,0≠∂∂=∂∂=∂∂zE x E y E 即z e E E =（2）当0=ρ时，由（1）中的结果，有00=∂∂=∂∂=∂∂=⋅∇xE y E zEE所以，当0=ρ时，电场E 为一常矢量，即均匀电场2. 在一个半径为R 的介质球内，极化强度矢量p 沿径向向外，其大小正比于离开球心的距离)0(>=00r p p p ，试求介质内、外的电荷密度、电场强度和电位移矢量. 【解】：利用介质中极化电荷体密度与极化强度的关系R r <时，00013)(p p p P -=⋅∇-=⋅-∇=r r ρ R r >时，0,022==P p ρ在R r =的球面上，极化电荷体密度R p R r r P 0=⋅=⋅-==p e p -p n 12）（σp ⋅-∇=P ρ由于球内、球面上电荷分布具有球对称性，故电场也具有球对称性，做一半径为r 的同心球面.由高斯定理⎰⎰=⋅dv d Sρε01s E 得，R r <<0时，有,3341400110100013021=+-=+=-==⋅=⋅r p r p p E D r p rE r r E P P εεερρπεπR r >时，有,00)434(142202223022=+===+=⋅p E D E R R r E P P εσπρπεπ3. 证明在载有稳恒电流电流的线性介质中，磁化电流分布在介质的不均匀处以及存在自由电流的地方 【证】：由于磁化电流密度M J ⨯∇=M对于线性介质，H H M )1(-==μμm x ，代入上式，得 HH H J ⨯∇-+⨯-∇=-⨯∇=)1()]1([)1(00μμμμμμM又因为是稳恒电流，故J H =⨯∇，所以J H J )1()]1([00-+⨯-∇=μμμμM4. 在同一空间中存在静止电荷的电场和永久磁铁的磁场，此时可能存在H E S ⨯=矢量，但没有能流，证明对于任一闭合表面有0)(=⋅⨯⎰s H E d S【证】：利用积分变化关系dv d VS⎰⎰⨯⋅∇=⋅⨯)()(H E s H E由于)()()(H E E H H E ⨯∇⋅-⨯∇⋅=⨯⋅∇对于静止电荷、永久磁铁产生的电磁场，属于稳恒场，且传到电流0=J ，故0,0=⨯∇=⨯∇H E代入得0(=⨯∇）H E 所以0)(=⋅⨯⎰Sd s H E5. 电流稳恒地流过两个线性导电介质的交界面，已知两导电介质的电容率和电导率分别为1ε、1σ和2ε、2σ，交界面上的电流密度分别为1J 和2J ，试求交界面上自由电荷面密度σ. 【解】：在介质的交界面上，自由电荷面密度n n D D 1212-=⋅=）（D -D n σ由于E D ε=且E J c σ=，其中c σ为介质的电导率，所以，得到J D cσε=代入，得n n J J 111222σεσεσ-=式中n 2J 、n 1J 是电流密度在界面处的法向分量 由于电流稳恒，J 满足0=⋅∇J ，在界面上有0)(1=-⋅J J n 2，即n n 21J J = 所以界面上自由电荷面密度21J n J n ⋅-=⋅-=)()(11221122σεσεσεσεσ6. 已知一静电场y x x x e e E λλ22--=，其中λ是实数，设某一时刻，在),,(000z y x 点沿z 轴方向把带电粒子注入到此电场中，带点粒子的质量为m ，电荷电量为e ，注入的初速度为)(00c v v <<，求粒子的运动方程的解，并说明所得的解得物理意义.【解】带电粒子运动时满足y x y e x e e dtd me e E rλλ2222--== 沿z y x 、、方向的分量方程分别为022222222=-=-=dtzd y me dty d m xm e dtx d m λλ由已知条件，0=t 时，z z y x v z y x e v e e e r 000,=++=，利用这些初始条件，解得tv z z t y y tx x 0000cos cos +===ωω，式中me λω2=7. 用高斯公式证明【证】用非零的任意常矢量c 点乘上式左边得)1(][⎰⎰⨯∇⋅=⨯∇⋅VVf c f c dV dV根据矢量分析公式)()(B A B A B A ⨯∇⋅-⋅⨯∇=⨯⋅∇）（令其中的f A =，c B =，便得)()(f c c f c f ⨯∇⋅=⋅⨯∇=⨯⋅∇）（因此（1）式左边⎰⎰⨯⋅∇=⨯∇⋅VVc f f c ）（）dV dV ]([又由高斯公式有⎰⎰⎰⎰⎰⨯⋅=⨯⋅=⋅⨯=⋅⨯=⨯⋅∇SSSSd dS S d d dV f S c f n c n c f S c f c f V)()()(）（所以⎰⎰⨯⋅=⨯∇⋅Sd dV f S c f c V因为c 为非零的任意常矢量，故得⎰⎰⨯=⨯∇Sd dV f S f V8.用斯托克斯定理证明⎰⎰⋅=⋅⨯SLS a l r a d d 2）（，式中a 为常矢量. 【证】由矢量分析公式有a a a r a a r r a a r r a 23)()()()()(=+-=⋅∇-⋅∇+∇⋅-∇⋅=⨯⨯∇⎰⎰⨯=⨯∇V f f S dS dV令r a F ⨯=，则由斯托克斯公式⎰⎰⋅=⋅⨯∇LSl F S F d d 和上式得⎰⎰⎰⋅=⋅⨯⨯∇=⋅⨯SSLS a S r a l r a d d d 2）（）（9.设电磁场的能量密度为)(21D H DE ⋅+⋅=w ，能流密度为H E S ⨯=.试由麦克斯韦方程证明：对于各向同性的绝缘介质来说，0=∂∂+⋅∇twS 【证】对绝缘介质来说，电导率为0=σ，这时麦克斯韦方程为)2()1(t t ∂∂-=⨯∇∂∂-=⨯∇DH B E由矢量分析公式)()(g f g f g f ⨯∇⋅-⋅⨯∇=⨯⋅∇）（得)()(H E H E H E S ⨯∇⋅-⋅⨯∇=⨯⋅∇=⋅∇）（将（1）（2）两式代入上式得）（3)(H BD E D E H B S ⋅∂∂+∂∂⋅-=∂∂⋅-⋅∂∂-=⋅∇tt t t对于各向同性的介质来说，E D ε=，H B μ=电容率ε和磁导率μ都是常量，故有）（）（421D E E D E E E E D E ⋅∂∂=∂∂⋅=∂∂⋅=∂∂⋅=∂∂⋅t t t t t εε ）（）（521B H H B H H H H B H ⋅∂∂=∂∂⋅=∂∂⋅=∂∂⋅=∂∂⋅t t t t t μμ将（4）（5）两式代入（3）式便得twt ∂∂-=⋅+⋅∂∂=⋅∇）（H B D E S 21所以0=∂∂+⋅∇twS10.由麦克斯韦方程组出发，求电导率为σ、电容率为ε的均匀介质内部自由电荷量ρ与时间t 的关系【解】设在这介质内部，由于某种原因，在0=t 时刻，有自由电荷分布，电荷量的密度为0ρ；到t 时刻，电荷量的密度变为ρ，则由麦克斯韦方程组得ρεσεσσρ-=⋅∇-=⋅∇-=⋅-∇=-⨯∇⋅∇=∂∂⋅∇=⋅∇∂∂=∂∂D E j j H D D )(tt tεσρρ-=∂∂t 1 求解，并利用初始条件便得teεσρρ-=0当∞→t 时，0→ρ。
电动力学作业及参考解答
习题与参考答案第1章 电动力学的数学基础与基本理论1.1 A 类练习题1.1.1 利用∇算符的双重性质，证明（1）()A A A ϕϕϕ∇×=∇×+∇×r r r（2）2()()A A A ∇×∇×=∇∇⋅−∇r r r1.1.2 证明以下几个常用等式，其中()x r x x e ′=−r r ()()y z y y e z z e ′′+−+−r r ,a r为常矢量，(,,)u u x y z =。
（1）3r r ′∇⋅=−∇⋅=r r ，（2）0r ∇×=r，（3）r r r r ′∇=−∇=r ，（4）31r r r ∇=−r ，（5）30r r∇×=r， （6）330r r r r ⋅⋅′∇=−∇=r r (0)r ≠，（7）()a r a ∇⋅=r r r，（8）()dA A u u du∇×=∇×r r 。
1.1.3 从真空麦克斯韦方程出发，导出电荷守恒定律的微分形式和真空中的波动方程。
1.1.4证明均匀介质中的极化电荷密度与自由电荷密度满足关系式0(1/)p f ρεερ=−−。
1.1.5 已知电偶极子电势304p R R ϕπε⋅=r r ，试证明电场强度53013()[4p R R p E R Rπε⋅=−r r r r r 。
1.1.6 假设存在孤立磁荷（即磁单极），试改写真空中的麦克斯韦方程组以包括磁荷密度m ρ和磁流密度m J r的贡献。
答案：D ρ∇⋅=ur ， m B ρ∇⋅=u r ， m B E J t ∂∇×=−−∂u r u r u r ， D H J t∂∇×=+∂ur uu r ur 。
1.1.7 从麦克斯韦方程出发导出洛伦茨规范下的达朗贝尔方程，并证明洛伦茨规范中的ψ满足齐次波动方程，即222210c tψψ∂∇−=∂。
1.1.8 证明：（1）在静电情况下，导体外侧的电场总是与表面垂直；（2）在稳恒电流的情况下，导体内侧的电场总是平行于导体表面。
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∵ a ´(b´c) = b(a × c) - c(a ×b)
（1）
uuv
uuv
uuv uuv uuv uuv
ห้องสมุดไป่ตู้
∴ B ´ (Ñ ´ A) = Ñ A (B × A) - (B ×Ñ) A
uuv
uuv
uuv uuv uuv uuv
A´ (Ñ ´ B) = ÑB ( A× B) - ( A×Ñ)B 代入（1）式
变化，但该体积元的电荷密度随时间变化，既体积元固定，电荷流动。
故有：
dp dt
=
ò
¶r ¶t
x
'
dV
'
QÑ × j + ¶r = 0 ¶t
\
dp dt
=
-ò (Ñgj)x
' dV
'
Ñg(jx) = (Ñgj)x + (jgÑ)x
= (Ñgj)x + jg(Ñx)
= (Ñgj)x + j
(Ñgj)x = Ñg(jx) - j
×
òS
d
uv
S
´
Ñf
=
uv
a
×
Ñò
v
d lf
uv 由 a 的任意性得
òS
uv
d S ´Ñf
=
ÑòL
v
d lf
[证毕]
第 3 讲 课下作业：教材第 3435 页，5、6。
ò uuv
5、已知一个电荷系统的偶极距定义为： P(t) =
r(uxv¢,t)uxv¢dV ¢
V
——5——
ò uv
利用电荷守恒定律 Ñ × j
+
¶r
=
0
uuv ,证明 P
的变化率：
uv dp
=
uvj(uxv¢,t)dV ¢
¶t
dt V
证明：
方案 1：（参考教材第 163164 页）
将整个电荷系统视为很多带电粒子的组合，第 i 个带电离子具有电荷 qi 和 位置 xi, 速度 vi。
则， vi
=
dxi dt
ò uuv
P(t) =
å r(uxv¢,t)uxv¢dV ¢ =
——6——
\
dp dt
=
ò
jdV
'
-
ò
Ñg(
jx)dV
'
= ò jdV ' - ÑòS dSg(jx)
ò 注d意upv到=在积分uvj(边uxv界¢,上t)djnV=0， ¢ 则有
dt V
方案 3：
随体方式，一般方式，普遍方式，带电粒子的位置和体积都随时间发生变
化。
uv
dp dt
=
d dt
òV
r (uxv¢ , t )uxv¢dV
uv uv
uv
uv uv
左边： òS éëÑ ´ (fa)ùû × d S = òS éëfÑ ´ a + (Ñf)´ aùû × d S
uv uv uv uv
= òS éëÑf ´ aùû × d S = a × òS d S ´Ñf
右边：
Ñò L f
uv
a
×
d
v
l
=
uv
a
×
Ñò
f
d
v
l
即：
uv
a
R3
的旋度等于标量
j
=
uv uv mg R
的梯度的负值。
即： Ñ
uuv
´A
=
-Ñ j
,
其中
R
为坐标原点到场点的距离，
R3
方向由原点指向场点。
——1——
补充题 1：直接给出库仑定律的数学表达式，写明其中各个符号的物理意
义。并推导出真空中静电场的下列公式：
uv v ÑgE( x)
=
uv r(x)
e。
;
∴
uuv
A´
(Ñ
´
uuv
A)
=
1
ÑA2
-
uuv
(A
uuv
×Ñ) A
[毕]
2
2、设 u 是空间坐标 x,y,z 的函数，证明：
Ñf (u) = df Ñu, du
ÑgA(u) = Ñug dA , du
Ñ ´ A(u) = Ñu ´ dA . du
证：(i)
Ñf
(u)
=
df
(u)
×
du
v i+
df
(u)
随体方式，一般方式，普遍方式，带电粒子的位置和体积都随时间发生变
化。
ò ò uv
dp= d dt dt
r(uxv¢,t)uxv¢dV ¢ =
V
V
d dt
é êë
r
(uxv¢,
t)uxv¢
ù úû
dV
¢
uv
uv
uv
uv
利用公式： Ñ × (r v) = (Ñr ) ×v + rÑ × v = (Ñr ) ×v
Ñ
´
éuuv êm ë
´
(
uuv R R3
ù )ú û
uuv uv uv uuv
uv uuv uuv uv
uuv uv
利用Ñ ´( f ´ g) = (g ×Ñ) f + (Ñ × g) f - ( f ×Ñ)g - (Ñ × f )g
uuv
f 为常矢=(Ñ
×
uv uuv g) f
-
uuv (f
×
uv Ñ)g
——3——
=
(
du
v i+
du
uv j
+
du
uv k)
× ( dA(u ) x
v i+
dA(u) y
uv j
+
dA(u ) z
uv k)
dx dy dz
du
du
du
uuv = Ñu × d A
du
v
uv
uv
i
j
k
uuv (iii) Ñ ´ A(u) =
d
d
d
dx dy dz
A(u)x A(u) y A(u)z
Ñ(AgB) = B ´ (Ñ ´ A) + (BgÑ)A + A ´ (Ñ ´ B) + (AgÑ)B
A ´ (Ñ ´ A) = 1 ÑA2 - (AgÑ)A 2
uuv uuv
uuv uuv
uuv uuv
解： (i) Ñ( A× B) = Ñ A ( A × B) + ÑB ( A× B)
uv uv uv uv uv uv uv uv uv
Ñ×B =0
Ñ ´ B = m0J
第 5 讲 课下作业:： 补充题 3：直接给出法拉第电磁感应定律的积分形式和微分形式，写明其
中各个符号的物理意义。
补充题 4：直接给出真空中麦可斯韦方程组的积分形式和微分形式，写明 其中各个符号的物理意义。
补充题 5：设想存在孤立磁荷（磁单极子），试改写 Maxwell 方程组，以 包括磁荷密度 ρm 和磁流密度 Jm 的贡献。
uuv uuv uuv
uuv uuv
uuv uuv uuv uuv uuv
得： Ñ( A× B) = A´(Ñ ´ B) + B ´(Ñ ´ A) + (B ×Ñ)B + ( A×Ñ)B
uuv uuv
(ii) 上式中令 A = B ：
uuv uuv uuv
uuv uuv uuv
则：Ñ( A× A) = 2 éë A´ (Ñ ´ A) + (A×Ñ)Aùû
d dt
é êë
r
(uxv¢
,
t)
v x
'ùúû
=
r
v dx' dt
+
dr dt
v x'
=
r
v
v
+
(
¶r
+
¶rv
¶
v x¢
)
v x
¢
¶t ¶ x¢ ¶t
=
v j
+
¶r (
+
Ñr
vv gv) x
'
¶t
=
v j
+
[
¶r
+
Ñg(
r
vv v)]x
'
¶t
=
v j
+
( ¶r
+
Ñ g vj
)
v x
'
v ¶t
=j
∴
Ñf (u) = df Ñu, du
ÑgA(u) = Ñug dA , du
Ñ ´ A(u) = Ñu ´ dA . du
4、应用高斯定理证明
òV dV Ñ ´ f = ÑòS dS ´ f ,
应用斯托克斯（Stokes）定理，证明
òS dS ´Ñj = ÑòL dlj.
第 3 讲 课下作业：教材第 3435 页，5、6。
uv
dp dt
=
ò
v
jdV
'
[证毕]
——8——
6、若
uuv m
为常矢量，证明除
R
=
0
点以外，矢量
uuv A
=
uuv uuv m´ R
R3
的旋度等于标量
j
=
uv uv mg R
的梯度的负值。
即： Ñ