离散数学(谓词逻辑)课后总结
离散数学总结
总结下就是任意可以改成存在，存在不能变成 任意所以先做存在。 任意（推出ห้องสมุดไป่ตู้则先用德摩根律把推出给换了， 在把量词放进去！ 有限集合中元素的个数称为集合的基数 (cardinality). 集合A的基数表示为|A|(或card(A)=n). n card(P(A)=2 )幂集 设A, B为两个集合，A=B当且仅当AB且B A. 即A=B(AB) (B A)
个人. 则命题符号化为：
(x)(y)(F(x) F(y) H(x, y) L(x, y))
(8) 每个自然数都有后继数.
解： 引入特性谓词 F(x) ： x是自然数.并设 H(x, y)：y是x的后继数. 则命题符号化为： (x)(F(x) (y) (F(y) H(x, y))
证： 任取x，则
xA∩ (B∪C) xA xB∪C xA (xB x C) (xA xB) (xA xC) x A∩B x A∩C
x (A∩B)∪(A∩C)
推广
三、集合中元素的计数
|A∪B∪C |A||B|| |A∩B ||A∩C||B∩C| |A∩B∩C | C| |
(x)A(x) (x)B(x)
量词转化律
E20
三、谓词演算的等价式与蕴含式
(三) 谓词演算中常见的蕴含式： (1)(x)A(x)(x)B(x) (x)(A(x)B(x)) (2)(x)(A(x)B(x)) (x)A(x)(x)B(x) (1), (2)两式反过来均不成立. 反例 设个体域为自然数集合， A(x): x为奇数. B(x): x为偶数.则 (1)(x)(A(x)B(x))为真， 而(x)A(x)为假， (x)B(x)为假， 故(x)A(x)(x)B(x)为假， 所以(1)式反过来不成立； (2)(x)A(x)为真，(x)B(x)为真， 故(x)A(x)(x)B(x)为真, 但(x)(A(x)B(x))为假， 所以(2)式反过来也不成立.
《离散数学》谓词逻辑
§3.5 前束范式
§3.6 谓词逻辑的推理
4
谓词与量词
个体词（individual）是一个命题里表示思维
对象的词，表示独立存在的具体或抽象的客体
具体的、确定的个体词称为个体常项，一般用
a, b, c 表示
抽象的、不确定的个体词称为个体变项，一般
用 x, y, z 表示
个体变项的取值范围称作个体域或论域
那么在解释2下该命题是真命题。
24
谓词公式及分类
类似于命题逻辑，也可以对谓词逻辑
公式进行分类：
设 A 为一个谓词公式，若 A 在任何解
释下真值均为真，则称 A 为普遍有效
的公式或逻辑有效式（logically valid
formula）
例
(x)
(P(x)∨P(x))
(x) P(x) P(y)
第三章 谓词逻辑
《离散数学及应用》
第三章 谓词逻辑
苏格拉底三段论：
凡是人都是要死的。
苏格拉底是人。
所以苏格拉底是要死的。
p∧q r
重言式？正确的推理？
2
第三章 谓词逻辑
为了克服命题逻辑的局限性，引入了
3
谓词和量词对原子命题和命题间的相
互关系做进一步的剖析，从而产生了
为谓词。这是一元（目）谓词，以
P(x), Q(x), …表示。
例
Human
(Socrates)
Mortal (Socrates)
7
谓词与量词
如果在命题里的个体词多于一个，那
么表示这几个个体词间的关系的词称
作谓词。这是多元（目）谓词，有 n
个个体的谓词 P(x1, …, xn) 称 n 元（目）
离散数学谓词逻辑复习
第2章 谓词逻辑一、重点内容1．谓词与量词谓词，在谓词逻辑中，原子命题分解成个体词和谓词. 个体词是可以独立存在的客体，它可以是具体事物或抽象的概念．谓词是用来刻划个体词的性质或事物之间关系的词. 个体词分个体常项(用a , b , c ,…表示)和个体变项(用x , y , z ,…表示)；谓词分谓词常项(表示具体性质和关系)和谓词变项(表示抽象的或泛指的谓词)，用F , G , P ,…表示. 注意，单独的个体词和谓词不能构成命题，将个体词和谓词分开不是命题.量词，是在命题中表示数量的词，量词有两类：全称量词∀，表示“所有的”或“每一个”；存在量词∃，表示“存在某个”或“至少有一个”.在谓词逻辑中，使用量词应注意以下几点：(1) 在不同个体域中，命题符号化的形式可能不同，命题的真值也可能会改变.(2) 在考虑命题符号化时，如果对个体域未作说明，一律使用全总个体域.(3) 多个量词出现时，不能随意颠倒它们的顺序，否则可能会改变命题的含义. 谓词公式只是一个符号串，没有什么意义，但我们给这个符号串一个解释，使它具有真值，就变成一个命题. 所谓解释就是使公式中的每一个变项都有个体域中的元素相对应. 在谓词逻辑中，命题符号化必须明确个体域，无特别说明认为是全总个体域．一般地，使用全称量词∀，特性谓词后用→；使用存在量词∃，特性谓词后用∧.2．公式与解释谓词公式，由原子公式、联结词和量词可构成谓词公式(严格定义见教材). 命题的符号化结果都是谓词公式.例如∀x (F (x )→G (x ))，∃x (F (x )∧G (x ))，∀x ∀y (F (x )∧F (y )∧L (x ,y )→H (x ,y ))等都是谓词公式. 变元与辖域，在谓词公式∀xA 和∃xA 中，x 是指导变元，A 是相应量词的辖域. 在∀x 和∃x 的辖域A 中，x 的所有出现都是约束出现，即x 是约束变元，不是约束出现的变元，就是自由变元. 也就是说，量词后面的式子是辖域. 量词只对辖域内的同一变元有效.换名规则，就是把公式中量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变.代入规则，就是把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号.解释(赋值)，谓词公式A 的个体域D 是非空集合，则(1) 每一个常项指定D 中一个元素；(2) 每一个n 元函数指定D n 到D 的一个函数；(3) 每一个n 元谓词指定D n 到{0,1}的一个谓词；按这个规则做的一组指派，称为A 的一个解释或赋值.在有限个体域下，消除量词的规则为：如D ＝{a 1,a 2,…,a n }，则)(...)()()()(...)()()(2121n n a A a A a A x xA a A a A a A x xA ∨∨∨⇔∃∧∧∧⇔∀ 谓词公式分类，在任何解释下，谓词公式A 取真值1，公式A 为逻辑有效式(永真式)；在任何解释下谓词公式A 取真值0，公式A 为永假式；至少有一个解释使公式A 取真值1，公式A 称为可满足式.3．前束范式 一个谓词公式的前束范式仍是谓词公式. 若谓词公式F 等值地转化成 B x Q x Q x Q k k (2211)那么B x Q x Q x Q k k ...2211就是F 的前束范式，其中Q 1，Q 2，…，Q k 只能是∀或∃，x 1,x 2,…,x k 是个体变元，B 是不含量词的谓词公式.每个谓词公式F 都可以变换成与它等值的前束范式. 其步骤如下：① 消去联结词→，↔；② 将联结词⌝移至原子谓词公式之前；③ 利用换名或代入规则使所有约束变元的符号均不同，并且自由变元与约束变元的符号也不同；④将∀x ,∃x 移至整个公式最左边；⑤ 得到公式的前束范式.二、实例 例1 将下列命题符号化：(1) 每个自然数都是整数，而有些整数不是自然数．(2) 不是所有的素数都不是偶数(3) 鸟会飞．注意：一般地，全称量词“∀”后，跟条件联结词“→”；存在量词“∃”后，跟合取联结词“∧”.解 (1) 设N (x )：x 是自然数，Z (y )；y 是整数，则命题符号化为：))()(())()((x N x Z x x Z x N x ⌝∧∃∧→∀．(2) 设F (x )：x 是素数，E (x )：x 是偶数，命题符号化为：⌝∀x (F (x )→⌝E (x ))或∃x （F （x ）∧E （x ））(3) 设F (x )：x 是鸟，G (x )：x 会飞翔．则命题符号化为：)()((x G x F x →∀) ． 例2 设谓词公式)(),()),,(),((y F z y yR z x y zQ y x P x ↔∀∧∀→∃，试写出量词的辖域，并指出该公式的自由变元和约束变元．解 ∃x 的辖域是：P (x , y )→∀zQ (y , x , z )；∀z 的辖域是：Q (y , x , z )；∀y 的辖域是：R (y , x )公式的自由变元是：y , z ；约束变元是：x , y , z ．例3 求谓词公式))(())((a f R x Q P x ∧→∀的真值．其中P ：4>3，Q （x ）：x >1，R （x ）：x ≤2．f （-3）=1，f （1）=5，f （5）= -3．a ：5．个体域D =（-3，1，5）．解 ))(())((a f R x Q P x ∧→∀=))5(())5(())1(())3((f R Q P Q P Q P ∧→∧→∧-→=)3()11()01()01(-∧→∧→∧→R01100=∧∧∧=注：这是给定解释下，求谓词公式的真值，个体域有限，比较好求．只需将量词消去，函数值代入谓词，根据谓词的真值，即可求出谓词公式的真值.要判断一个谓词公式的真、假是较为难的. 在谓词逻辑中，在任何解释下都真的公式，才是永真式；在任何解释下公式A 为假，才是永假式；公式A 不总是假，或者至少有一个解释使得公式A 为真，才是可满足式. 困难之点是在全总个体域中所有的解释如何说清楚. 因此只能要求会作简单问题.例 4 将谓词公式),()()),()()((z x zS x xR z x Q x R x P x ∃→∃∧∨→∀中的约束变元换名．解 ),()()),()()((z x zS x xR z x Q x R x P x ∃→∃∧∨→∀=),()()),()()((w x wS v vR z u Q u R u P u ∃→∃∧∨→∀例5 求谓词公式),,()),,()((z y x zH z y x yG x F x ∃→∀∧∃的前束范式．. 解 ①消去联结词→(若有↔也要消去).),,()),,()((z y x zH z y x yG x F x ∃→∀∧∃),,()),,()((z y x zG z y x yG x F x ∃∨∀∧⌝∃⇔② 将联结词⌝移至原子公式之前.),,()),,()((z y x zH z y x G y x F x ∃∨⌝∃∨⌝∀⇔③ 换名.),,()),,()((w y x wH z v u G v u F u ∃∨⌝∃∨⌝∀⇔(自由变元的x , y , z 未改) ④ 把量词提到整个公式的前面.)),,(),,()((w y x H z v u G u F w v u ∨⌝∨⌝∃∃∀⇔ (前束范式) (或))),,(),,()((w y x H z v u G u F w v u →∧∃∃∀⇔为所求前束范式.注：变元字母表示不惟一．写在一起，所求前束范式是),,()),,()((z y x zH z y x yG x F x ∃→∀∧∃),,()),,()((z y x zG z y x yG x F x ∃∨∀∧⌝∃⇔),,()),,()((z y x zH z y x G y x F x ∃∨⌝∃∨⌝∀⇔),,()),,()((w y x wH z v u G v u F u ∃∨⌝∃∨⌝∀⇔)),,(),,()((w y x H z v u G u F w v u ∨⌝∨⌝∃∃∀⇔ (前束范式) (或))),,(),,()((w y x H z v u G u F w v u →∧∃∃∀⇔为所求前束范式.注：重要的是弄清楚前束范式的定义，求前束范式主要是利用基本等值式、蕴含式和换名规则，把一个谓词公式化为量词在最前面，后面不含量词的公式，即前束范式. 虽然前束范式是谓词公式的一种标准形式，但是一般一个谓词公式的前束范式并不是唯一的.三、练习题 1. 选择填空题：(1) 谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中量词∀x 的辖域是( C )(A) ))()((y yR x P x ∃∨∀ (B) P (x ) (C) )()(y yR x P ∃∨ (D) )(x Q(2) 谓词公式∃xA (x )∧⌝∃xA (x )的类型是（ B ）(A) 永真式 (B) 矛盾式(C) 非永真式的可满足式 (D) 不属于(A),(B),(C)任何类型(3) 设个体域为整数集，下列公式中其真值为1的是( A )(A) )0(=+∃∀y x y x (B) )0(=+∀∃y x x y(C))0(=+∀∀y x y x (D) )0(=+∃⌝∃y x y x(4) 公式))(),()),()((x S z y zR y x Q x P x →∃∨→∀的自由变元是 , 约束变元是：y ,x ; x ,z(5) 换名规则施于 变元，代入规则施于 变元(6) 谓词公式))()(()(x xQ x Q x x xP ⌝∃→⌝∀→∀的类型是(A )(A) 永真式 (B) 永假式 (C) 非永真的可满足式 (D) 蕴涵式(7) 设个体域是整数集合，P 代表∀x ∀y ((x <y )→(x -y )<x )，下面4个命题中为真的是( C )(A)P 是真命题 (B) P 是假命题(C) P 是谓词公式，但不是命题 (D) P 不是谓词公式(8) 设个体域D ＝{a ,b },公式)),()((y x yH x G x ∃→∀消去量词化为7. (G (a )→(H (a ,a )∨H (a ,b )))∧ (G (b )→(H (b ,a )∨H (b ,b ))) ．2. 设个体域D ＝{岳飞，文天祥，秦荟}，谓词F (x )：x 是民族英雄．求∀xF (x )的真值．3. 设P 是二元谓词，给定解释I 如下：D ＝{a ,b },P (a ,a )=P (b ,a )=1，P (b ,a )=P (b ,b )=0 求下列公式的真值：(1) ),(x x xP ∀； (2) ),(y x yP x ∃∀; (3) ),(y x yP x ∃∃4. 用归谬法，构造下面的推理证明.)()(x xB x xA ∀→∃⇒))()((x B x A x →∀四、练习题答案1. (1) C (2) B (3) A (4) y ,x ; x , z (5) 约束，自由 (6) A(7) C (8) (G (a )→(H (a , a )∨H (a , b )))∧ (G (b )→(H (b , a )∨H (b , b ))) ．2. 设a , b , c 分别为岳飞，文天祥和秦桧，∀xF (x )⇔F (a )∧F (b )∧F (c )⇔03. (1)0；(2)∀x ∃y (P (y , x )⇔∃yP (y , a )∧∃yP (y , b )⇔(P (a , a )∨P (b , a ))∧(P (a , b )∨ P (b , b ))⇔1∧0⇔0(3) ∃x ∃y (P (x , y )⇔∃yP (a , y )∨∃xP (b , y )=P (a , a )∨P (a , b )∨P (b , a )∨P (b . b )⇔14. 前提：)()(x xB x xA ∀→∃ 结论：))()((x B x A x →∀证明：① )))()(((x B x A x →∀⌝ 附加前提② )))()(((x B x A x →⌝∃ T ①E③ ))()((c B c A →⌝ T ①②ES④ A (c )∧⌝B (c ) T ③ E⑤ A (c ) T ④ I⑥ ⌝B (c )∧A (c ) T ④ .E⑦ ⌝B (c ) T ⑥ I⑧ )()(x xB x xA ∀→∃ P⑨ ∀x (⌝A (x )∨B (x )) T ⑧ E ⑩ ⌝A (c )∨B (c ) T ⑨ US11 ⌝A (c ) T ⑩ ,⑦ I12 )()(c A c A ∧⌝ T 11 , ⑤I可见，推理成立．。
2024年学习《离散数学》心得体会模板(二篇)
2024年学习《离散数学》心得体会模板《离散数学》学习心得体会随着信息科学技术的不断发展，离散数学作为计算机科学与技术中的重要学科，越来越受到学生们的关注与重视。
作为一门理论性较强的课程，《离散数学》涉及到一系列的离散结构、数学推理和证明方法等内容，对于学生来说具有一定的挑战性。
在2024年的学习过程中，我对《离散数学》有着一些新的体会和收获。
首先，通过学习《离散数学》，我对离散结构有了更深入的了解。
离散结构是计算机科学与技术的基础，也是离散数学的重要内容。
在这门课程中，我学习了集合论、关系、函数、图论等各种离散结构的概念和性质。
通过对离散结构的学习，我逐渐认识到离散数学在计算机科学中的重要性，这为我以后的学习和研究奠定了坚实的基础。
其次，学习《离散数学》让我了解到数学推理的重要性。
离散数学是一门很有理论性的学科，需要进行严密的推理和证明。
在学习中，我逐渐熟悉了数学推理的方法和步骤，比如直接证明、归纳法、反证法等。
这些方法不仅在离散数学中有所应用，在其他学科中也有很大的作用。
通过锻炼数学推理的能力，我对问题的思考和解决能力也有了明显的提升。
此外，学习《离散数学》还让我明白了数学的抽象思维的重要性。
离散数学中的很多概念和性质都具有很高的抽象程度，需要我们用抽象的思维方式去理解和运用。
在学习过程中，我逐渐适应了这种抽象思维的方式，并通过解决问题和做题的过程中熟练掌握了抽象思维的技巧。
这对于我以后在计算机科学和其他领域的学习和研究有着重要的借鉴意义。
此外，通过学习《离散数学》，我也提高了自己的问题解决能力。
离散数学中的问题往往需要我们通过分析和推理找到解决的方法，这对于培养我们的问题解决能力非常重要。
通过实践和思考，我逐渐掌握了解决问题的一般步骤和方法，提高了自己的问题解决能力。
这对于我以后在工作和生活中遇到问题时会有极大的帮助。
综上所述，通过学习《离散数学》，我对离散结构有了更深入的了解，对数学推理和抽象思维有了更高的要求，并提高了自己的问题解决能力。
离散数学的谓词逻辑详解
全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
如： x P(x) ┐ x P(x) x ┐ P(x)
“对一切x，P(x)是真” “并非对一切x，P(x)是真” “对一切x， ┐ P(x) 是真”
如: “ 所有人都是要死的”
于是令 M（x）：x是人。 （1） x（M(x)→D(x)) （2） x (M（x）∧ ┐G（x））
命题符号化(翻译)：
将汉语(或其他自然语言)语句翻译成逻辑表 达式，这在数学、逻辑编程、人工智能、软 件工程以及许多其他学科中都是一项重要的 任务。翻译的目的是生成简单而有用的逻辑 表达式。
命题符号化：
1.谓词与个体词
将简单命题分解成个体与谓词这样两个组成部分。谓词，通 常是用来描述个体的性质或特征，或者个体之间的关系。谓 词逻辑，是命题逻辑的扩充与发展 。
例1：下面两个命题 1. 张华是学生 2. 李明是学生
a: 张华 b:李明 H：是学生 ，则 H（x）:x是学生
1，2可分别表示成 H(a) ，H(b). 这样表示就揭示了两命题间有相同的谓语这一特征。
变元的约束
例1 ： 令 P（x， y）：“ x<y ”， Q（x）：x是有理数； F（x）：x可以表示为分数。
判断下列式子那些是命题函数，那些是命题？
P(x， y)
P(x， y)∧Q(x)
Q(x) → F(x) x（Q(x)→ F(x)) x Q(x)→ F(x)
自由变元与约束变元
[定义] 紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖 域．(量词的辖域是紧接其后的公式，除非辖域是个 原子公式，否则应在公式的两侧插入圆括号。)
离散数学知识点总结
注意/技巧：析取符号为V，大写字母Vx + y = 3不是命题前件为假时，命题恒为真运用吸收律命题符号化过程中要注意命题间的逻辑关系，认真分析命题联结词所对应的自然语言中的联结词，不能只凭字面翻译。
也就是说，在不改变原意的基础上，按照最简单的方式翻译通用的方法：真值表法VxP（x）蕴含存在xP（x）利用维恩图解题证明两个集合相等：证明这两个集合互为子集常用的证明方法：任取待证集合中的元素<,>构造相应的图论模型第一章命题逻辑命题和联结词命题的条件：表达判断的陈述句、具有确定的真假值。
选择题中的送分题原子命题也叫简单命题，与复合命题相对简单联结词的真值表要记住非（简单）合取（当且仅当P，Q都为真时，命题为真）析取（当且仅当P，Q都为假时，命题为假），P，Q可以同时成立，是可兼的或条件（→）（当且仅当P为真，Q为假时，命题为假）P是前件，Q是后件只要P，就Q等价于P→Q只有P，才Q等价于非P→非Q，也就是Q→PP→Q特殊的表达形式：P仅当Q、Q每当P双条件（↔）（当且仅当P与Q具有相同的真假值时，命题为真，与异或相反）命题公式优先级由高到低：非、合取和析取、条件和双条件括号省略条件：①不改变先后次序的括号可省去②最外层的括号可省去重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、偶然式可满足式：包括重言式和偶然式逻辑等价和蕴含（逻辑）等价:这是两个命题公式之间的关系，写作“⇔”，要与作为联结词的↔区分开来。
如果命题公式A为重言式，那么A⇔T常见的命题等价公式：需要背过被标出的，尽量去理解。
关键是掌握公式是将哪个符号转换为了哪个符号，这对于解证明题有很大的帮助！验证两个命题公式是否等价：当命题变元较少时，用真值表法。
当命题变元较多时，用等价变换的方法，如代入规则、替换规则和传递规则定理：设A、B是命题公式，当且仅当A↔B是一个重言式时，有A和B逻辑等价。
蕴含:若A→B是一个重言式，就称作A蕴含B，记作A⇒B常见的蕴含公式的运用方法同上面的命题等价公式证明A⇒B：①肯定前件，推出后件为真②否定后件，推出前件为假当且仅当A⇒B且B⇒A时，A⇔B，也就是说，要证明两个命题公式等价，可以证明它们相互蕴含联结词的完备集新的联结词：条件否定、异或（不可兼或）、或非（析取的否定）、与非（合取的否定）任意命题公式都可由仅含{非，析取}或{非，合取}的命题公式来等价地表示全功能联结词集合极小全功能联结词集合对偶式对偶式：将仅含有联结词非、析取、合取（若不满足，需先做转换）的命题公式A中的析取变合取，合取变析取，T变F，F变T得到的命题公式A*称为A的对偶式范式析取式：否定+析取合取式：否定+合取析取范式：（合取式）析取（合取式）……析取（合取式）。
离散数学第五章__谓词逻辑详述
又如，在命题“武汉位于北京和广州之间” 中，武汉、北京和广州是三个个体，而“…位 于…和…之间”是谓词，它刻划了武汉、北京和 广州之间的关系。设P：…位于…和…之间，a： 武汉，b：北京，c：广州，则
P(a，b，c)：武汉位于北京和广州之间。
定义5.1.2 一个原子命题用一个谓词(如P)和n 个有次序的个体常元(如a1，a2，…，an)表示 成P(a1，a2，…，an)，称它为该原子命题的谓 词形式或命题的谓词形式。
注意：
1. n元谓词不是命题，只有其中的个体变元用特定个体或个 体常元替代时，才能成为一个命题。
例如，令S(x)：x是大学生,这是一元谓词，不是命题； S(c)：张明是位大学生，这就是一个命题。 2. 个体变元在哪些论域取特定的值，对命题的真值有影响。
例如，令S(x)：x是大学生。若x的论域为某大学的计 算机系中的全体同学，则S(x)是真的；若x的论域是某中 学的全体学生，则S(x)是假的；若x的论域是某剧场中的 观众，且观众中有大学生也有非大学生的其它观众，则 S(x)是真值是不确定的。
例如，著名的亚里士多德三段论苏格拉底推理： 所有的人都是要死的， 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。
根据常识，认为这个推理是正确的。若用命题逻 辑来表示，设P、Q和R分别表示这三个原子命题， 则有
P，Q┣ R
(P∧Q)→P, (P∧Q)→Q都是永真式
然而，(P∧Q)→R并不是永真式，故上述推理形 式又是错误的。一个推理，得出矛盾的结论， 问题在哪里呢? 问题就在于这类推理中，各命题 之间的逻辑关系不是体现在原子命题之间，而 是体现在构成原子命题的内部成分之间，即体 现在命题结构的更深层次上。对此，命题逻辑 是无能为力的。所以，在研究某些推理时，有 必要对原子命题作进一步分析，分析出其中的 个体词，谓词和量词，研究它们的形式结构的 逻辑关系、正确的推理形式和规则，这些正是 谓词逻辑的基本内容。
离散数学第2章 谓词逻辑
在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数 解 ：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓 词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章 谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。 二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。 三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章 谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上） （1） （2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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第二章谓词逻辑2—1基本概念例题１. 所有的自然数都是整数。
设N(x)：x是自然数。
I(x)：x是整数。
此命题可以写成∀x(N(x)→I(x))例题２. 有些自然数是偶数。
设E(x)：x是偶数。
此命题可以写成∃x(N(x)∧E(x))例题3. 每个人都有一个生母。
设P(x):x是个人。
M(x,y):y是x的生母。
此命题可以写成：∀x(P(x)→∃y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化例题1. 如果x是奇数，则2x是偶数。
其中客体x与客体2x之间就有函数关系，可以设客体函数g(x)=2x，谓词O(x)：x是奇数，E(x)：x是偶数，则此命题可以表示为：∀x(O(x)→E(g(x)))例题2 小王的父亲是个医生。
设函数f(x)=x的父亲，谓词D(x):x是个医生，a:小王，此命题可以表示为D(f(a))。
例题3 如果x和y都是奇数，则x+y是偶数。
设h(x,y)=x+y ，此命题可以表示为:∀x∀y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y))命题的符号表达式与论域有关系两个公式：一般地，设论域为{a1,a2,....,an}，则有(1). ∀xA(x)⇔A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an)(2). ∃xB(x)⇔B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an)1.每个自然数都是整数。
该命题的真值是真的。
表达式∀x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的,因∀x(N(x)→I(x))⇔(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an))式中的x不论用自然数客体代入，还是用非自然数客体代入均为真。
例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。
而∀x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。
∀x(N(x)∧I(x))⇔(N(a1)∧I(a1))∧(N(a2)∧I(a2)) ∧…∧(N(an)∧I(an))比如x用0.2代入(N(0.2)∧I(0.2))就为假。
所以此表达式不能表示这个命题。
2.有些大学生吸烟。
此命题的真值也是真的。
∃x(S(x)∧A(x))⇔(S(a1)∧A(a1))∨(S(a2)∧A(a2))∨…∨(S(an)∧A(an))且x只有用吸烟的大学生代入才为真，例如a2不是大学生或者不会吸烟的客体，则(S(a2)∧A(a2))为假。
所以用∃x(S(x)∧A(x))表示此命题是对的。
而∃x(S(x)→A(x))中的x用非大学生的客体代入时也为真，例如(S(a2)→A(a2))为真。
所以表达式∃x(S(x)→A(x))不能表示这个命题。
3.所有大学生都喜欢一些歌星。
令S(x)：x是大学生，X(x)：x是歌星，L(x,y)：x喜欢y。
则命题的表达式为：∀x(S(x)→∃y(X(y)∧L(x,y)))4.没有不犯错误的人。
此话就是“没有人不犯错误”，“没有”就是“不存在”之意。
令P(x)：x是人，F(x)：x犯错误，此命题的表达式为：⌝∃x(P(x)∧⌝F(x)) 或者∀x(P(x)→F(x))5.不是所有的自然数都是偶数。
令N(x)：x是自然数，E(x)：x是偶数，命题的表达式为: ⌝∀x(N(x)→E(x)) 或者∃x(N(x)∧⌝E(x))6.如果一个人只是说谎话，那么他所说的每句话没有一句是可以相信的。
令A(x)：x是人，B(x,y)：y是x说的话，C(x):x是谎话，D(x)：x是可以相信的命题的表达式为:∀x(A(x)→(∀y(B(x,y)→C(y))→⌝∃z(B(x,z)∧D(z))))7.每个自然数都有唯一的后继数。
令N(x)：x是自然数，A(x,y)：y是x的后继数，E(x,y)：x=y 则命题的表达式为∀x(N(x)→∃y(N(y)∧A(x,y)∧∀z((N(z)∧A(x,z))→E(y,z))))小结1.命题的符号表达式形式与论域有关系。
论域扩大需要用特性谓词对客体进行说明.注意如何添加特性谓词(即要注意特性谓词后边是什么联结词)。
2.如果量词前有否定符号，如“没有...”“不是所有的...”等，可以按照字面直译。
如“⌝∃x…”“⌝∀x...”3.命题的符号表达式中所有客体变元必须都是约束变元，才表示命题。
有时给定命题中有些量词没有明确给出，要仔细分析并写出这隐含的量词。
例如a) 金子闪光，但闪光的不一定都是金子。
G(x),F(x)∀x(G(x)→F(x))∧⌝∀x(F(x) →G(x))b) 没有大学生不懂外语。
S(x),K(x,y),F(x)⌝∃x(S(x)∧∀y(F(y)→⌝K(x,y)))2-3谓词演算的等价式与蕴涵式例1.设论域D={1,2} a=1 b=2 f(1)=2 ，f(2)=1P(1,1)=T ，P(1,2)=T ，P(2 ,1)=F P(2,2)=F 求谓词公式∀x∃y(P(x,y)→P(f(x),f(y)))的真值。
解：∀x∃y(P(x,y)→P(f(x),f(y)))⇔∃y(P(1,y) →P(f(1),f(y))) ∧∃y(P(2,y) →P(f(2),f(y)))⇔((P(1,1) →P(f(1),f(1)))∨ (P(1,2) →P(f(1),f(2))))∧((P(2,1) →P(f(2),f(1)))∨(P(2,2) →P(f(2),f(2))))⇔((P(1,1) →P(2,2))∨(P(1,2) →P(2,1)))∧((P(2,1) →P(1,2))∨(P(2,2) →P(1,1)))⇔((T→F )∨ (T→F))∧((F→T) ∨ (F→T))⇔(F∨ F)∧(T ∨ T)⇔F∧T ⇔F量词辖域的扩充公式1. ∀xA(x)∨B⇔∀x(A(x)∨B)2. ∀xA(x)∧B⇔∀x(A(x)∧B)3. ∃xA(x)∨B⇔∃x(A(x)∨B)4. ∃xA(x)∧B⇔∃x(Ａ(x)∧B)5. B→∀xA(x)⇔∀x(B→A(x))6. B→∃xA(x)⇔∃x(B→A(x))7. ∀xA(x)→B⇔∃x(A(x)→B)8. ∃xA(x)→B⇔∀x(A(x)→B)量词分配公式1. ∃x(A(x)∨B(x))⇔∃xA(x)∨∃xB(x)2. ∀x(A(x)∧B(x))⇔∀xA(x)∧∀xB(x)3. ∃x(A(x)∧B(x))⇒∃xA(x)∧∃xB(x)4. ∀xA(x)∨∀xB(x)⇒∀x(A(x)∨B(x))其它公式1. ∃x(A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)2. ∃xA(x)→∀xB(x)⇒∀x(A(x)→B(x))两个量词的公式1. ∀x∀yA(x,y)⇔∀y∀xA(x,y)2. ∀x∀yA(x,y)⇒∃y∀xA(x,y)3. ∃y∀xA(x,y)⇒∀x∃yA(x,y)4. ∀x∃yA(x,y)⇒∃x∃yA(x,y)5. ∀y∀xA(x,y)⇒∃x∀yA(x,y)6. ∃x∀yA(x,y)⇒∀y∃xA(x,y)7. ∀y∃xA(x,y)⇒∃x∃yA(x,y)8. ∃x∃yA(x,y)⇔∃y∃xA(x,y)下面证明公式1.。
证明：设论域为{a1,a2,....,an}，则∀x∀yA(x,y)⇔∀yA(a1,y)∧∀yA(a2,y)∧…∧∀yA(an,y) ⇔(A(a1,a1)∧A(a1,a2)∧…∧A(a1,an))∧(A(a2,a1)∧A(a2,a2)∧…∧A(a2,an))∧…∧(A(an,a1)∧A(an,a2)∧…∧A(an,an))⇔(A(a1,a1)∧A(a2,a1)∧…∧A(an,a1))∧(A(a1,a2)∧A(a2,a2)∧…∧A(an,a2))∧…∧(A(a1,an)∧(A(a2,an)∧…∧A(an,an))⇔∀xA(x,a1)∧∀xA(x,a2)∧…∧∀xA(x,an)⇔∀y∀xA(x,y)例2. 令A(x,y)表示x+y=xy, 论域是{1,2,3}, 求谓词公式⌝∀x∃yA(x,y)的真值。
解：⌝∀x∃yA(x,y)⇔∃x∀y⌝A(x,y)⇔∀y⌝A(1,y)∨∀y⌝A(2,y)∨∀y⌝A(3,y)⇔(⌝A(1,1)∧⌝A(1,2)∧⌝A(1,3))∨(⌝A(2,1)∧⌝A(2,2)∧⌝A(2,3))∨(⌝A(3,1)∧⌝A(3,2)∧⌝A(3,3))⇔(T∧T∧T)∨(T∧F∧T)∨(T∧T∧T)⇔T∨F∨T⇔T2-4 前束范式例1. ∀xA(x)→∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x) ⇔∃x⌝A(x)∨∃xB(x)⇔∃x⌝A(x)∨∃yB(y) (换元)⇔∃x(⌝A(x)∨∃yB(y)) (量词辖域扩充)⇔∃x∃y(⌝A(x)∨B(y))另一个方法：∀xA(x)→∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x) ⇔∃x⌝A(x)∨∃xB(x)⇔∃x(⌝A(x)∨B(x)) (量词分配公式)例2.∀x(P(x)∧R(x))→(⌝∃xP(x)∧Q(x))⇔⌝∀x(P(x)∧R(x))∨(⌝∃xP(x)∧Q(x)) (去→)⇔∃x⌝(P(x)∧R(x))∨(∀x⌝P(x)∧Q(x)) (量词转换)⇔∃x(⌝P(x)∨⌝R(x))∨(∀x⌝P(x)∧Q(x)) (后移⌝)⇔∃x(⌝P(x)∨⌝R(x))∨(∀y⌝P(y)∧Q(z)) (换变元)⇔∃x(⌝P(x)∨⌝R(x))∨∀y(⌝P(y)∧Q(z)) (扩量词辖域)⇔∃x∀y((⌝P(x)∨⌝R(x))∨(⌝P(y)∧Q(z)))(扩量词辖域)2-5 谓词演算的推理理论例1. 令A(x)表示x是自然数，B(x)表示x是整数。
⑴∀x(A(x)→B(x)) P⑵A(c)→B(c) US 如c=0.1⑶∃xA(x) P⑷A(c) ×ES A(0.1)为F⑴∃xB(x) P⑵B(c) ES 如c=-1⑶∃xA(x) P⑷A(c) ×ES A(-1)为F正确解法如下：⑴∃xA(x) P⑵A(c) ES⑶∀x(A(x)→B(x)) P⑷A(c)→B(c) US⑸B(c) T ⑵⑷I11例2 所有金属都导电。
铜是金属。
故铜导电。
令M(x):x是金属。
C(x):x导电。
a:铜。
符号化为：∀x(M(x)→C(x)),M(a) ⇒C(a)⑴∀x(M(x)→C(x)) P⑵M(a)→C(a) US ⑴⑶M(a) P⑷C(a) T ⑵⑶I11例3 所有自然数都是整数。
有些数是自然数。
因此有些数是整数。
令A(x)表示x是自然数，B(x)表示x是整数。
∀x(A(x)→B(x))，∃xA(x) ⇒∃xB(x)⑴∃xA(x) P⑵A(c) ES ⑴⑶∀x(A(x)→B(x)) P⑷A(c)→B(c) US ⑶⑸B(c) T ⑵⑷I11⑹∃xB(x) EG ⑸例4不认识错误的人，也不能改正错误。
有些诚实的人改正了错误。
所以有些诚实的人是认识了错误的人。