线面积分习题word版

第9章 线面积分习题课一. 内容提要1.第一类曲线积分和曲面积分—Riemann 积分的一种 (1) ①当Riemann 积分⎰ΩΩ d )(M f 中2R ⊂=ΩL (平面曲线段) 或⊂Γ=Ω3R (空间曲线段),f 是定义在L 或Γ上的函数时,就是对弧长的曲线积分,也称为第一类曲线积分,记为⎰Ls x,y f )d (或⎰Γ)d ,(s z x,y f ,其中s d 是L 或Γ的弧微分.②当Riemann 积分⎰ΩΩ d )(M f 中3R ⊂∑=Ω(曲面块), f 是定义在∑上的函数时,就是对面积的曲面积分,也称为第一类曲面积分,记为⎰⎰∑S z y x f d ),,(,其中S d 是曲面(∑的)面积元素.(2) 存在条件及性质--------与重积分相同. (3) 计算方法 ①基本方法由于线面积分的被积函数f 是定义在曲线段Γ或曲面块∑上的,其自变量z y x ,,必然要满足Γ或∑的方程,故有下面的基本计算方法:对于⎰Γ)d ,(s z x,y f ,将曲线段Γ的参量方程⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(t z z t y y t x x βα≤≤t ,代入被积式,化为对参量t 的定积分(注意:上限必须大于等于下限):⎰Γ)d ,(s z x,y f ⎰'+'+'=βα222d )()()()](),(),([t t z t y t x t z t y t x f ;对于⎰⎰∑S z y x f d ),,(,将曲面块∑的显式方程),,(y x z z =xyDy x ∈),((或),,(z x y y =zx D z x ∈),(,或),,(z y x x =yz D z y ∈),()代入被积式,化为投影域xy D (或zx D ,或yz D )上的二重积分: ⎰⎰∑S z y x f d ),,(⎰⎰'+'+=xyD y x y x z z y x z y x f d d 1)],(,,[22,或 ⎰⎰∑S z y x f d ),,(⎰⎰'+'+=zxD z x z x y y z z x y x f d d 1)]),,(,[22, 或⎰⎰∑S z y x f d ),,(⎰⎰'+'+=yzD z y z y x x z y z y x f d d 1],),,([22.②利用对称性或几何意义进行计算 ③当曲线段Γ以一般式方程⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 给出时,原则上要将其化为参量方程来计算(为了比较容易地写出参量方程,可将⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 尽量化简,);但有时可利用对称性或几何意义进行计算, (4)应用①曲线段Γ的弧长⎰Γ= d s s ,曲面块∑的面积⎰⎰∑=S S d ;②曲线状物体Γ的质量⎰Γ=d ),,(s z y x m μ,曲面状物体∑的质量⎰⎰∑=S z y x m d ),,(μ;③曲线状物体与曲面状物体的转动惯量 对于平面曲线段L ,有=x I ⎰Ls y x y 2d ),(μ,=y I ⎰Ls y x x 2d ),(μ,及=O I ⎰+Ls y x y x 22d ),()(μ等;对于空间曲线段Γ,有=x I ⎰Γ+ 22d ),,()(s z y x z y μ,=O I ⎰Γ++ 222d ),,()(s z y x z y x μ,=xy I ⎰Γ2d ),,(s z y x z μ等;对于曲面块∑,有=x I ⎰⎰∑+S z y x z y d ),,()(22μ, =O I ⎰⎰∑++S z y x z y x d ),,()(222μ,=xy I ⎰⎰∑+S z y x z y d ),,()(22μ等; ④曲线状物体与曲面状物体的重心坐标),,(z y x C 线密度为),,(z y x μ的曲线段Γ的重心坐标为⎰⎰ΓΓ== d ),,(d ),,(s z y x s z y x x mM x yzμμ, ⎰⎰ΓΓ==d ),,(d ),,(s z y x s z y x y mM y zx μμ, ⎰⎰ΓΓ==d ),,(d ),,(sz y x s z y x z mM z xyμμ; 面密度为),,(z y x μ的曲面块∑的重心坐标为⎰⎰⎰⎰∑∑==dS),,(dS),,(z y x z y x x mM x yzμμ,⎰⎰⎰⎰∑∑==dS),,(dS),,(z y x z y x y m M y zxμμ,⎰⎰⎰⎰∑∑==dS),,(dS),,(z y x z y x z mM z xyμμ.2.第二类曲线积分和曲面积分—向量值函数的曲线积分和曲面积分 (1) 向量值函数,有向曲线与有向曲面向量值场A 在直角坐标系中可表示为一个向量值函数A k j i A ),,(),,(),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x ++==.),,(z y x A 连续,当且仅当其坐标函数),,(),,,(z y x Q z y x P 和),,(z y x R 都连续.有向曲线段 AB =Γ+(BA =Γ-有向曲面块+∑(-∑(2)研究变力沿曲线做功的问题,可引出),,(z y x A 沿AB Γ+的曲线积分⎰+Γ⋅ d ),,(s A z y x ∑=→∆∆∆⋅≡ni i i i i i i z y x 10},,{),,(lim ςηξλA (若存在), =∑=→∆ni i i i i x P 10),,(lim ςηξλ +∑=→∆n i iiiiyQ 10),,(lim ςηξλ+∑=→∆ni i iiiz R 1),,(limςηξλ,其中k j i s z y x s s d d d }cos ,cos ,{cos d d d 0++===νμλτ,称为有向弧长元素.于是此积分可写为⎰+Γ⋅ d ),,(s A z y x z z y x R y z y x Q x z y x P d ),,(d ),,(d ),,( ++=⎰+Γ⎰+Γ= d ),,(x z y x P ⎰+Γ+ d ),,(y z y x Q ⎰+Γ+ d ),,(z z y x R就),,(z y x A 的坐标函数),,(z y x P 而言,这里得到了数值函数),,(z y x P 的另一种曲线积分—对坐标x 的曲线积分(或称第二类曲线积分)⎰+Γ d ),,(x z y x P ∑=→∆≡ni iiiix P 10),,(lim ςηξλ（若存在）， 类似地,⎰+Γ d ),,(y z y x Q 是Q 对坐标y 的曲线积分,⎰+Γ d ),,(z z y x R 是R对坐标z 的曲线积分.当第三个坐标不出现时,即为平面第二类曲线积分⎰+⋅L y x d ),(s A y y x Q x y x P Ld ),(d ),( +=⎰+⎰+=Lx y x P d ),(⎰++Ly y x Q d ),((3)由流速场流向曲面块正侧的流量问题,可引出),,(z y x A 沿+∑的曲面积分⎰⎰+∑⋅S A d ),,(z y x ∑=→∆∆∆⋅≡ni i xy i zx i yziii10},,{),,(lim σσσςηξλA (若存在),=∑=→∆n i i yz i i i P 10),,(lim σςηξλ +∑=→∆ni i zxiiiQ 10),,(lim σςηξλ +∑=→∆ni i xyiiiR 1),,(limσςηξλ,其中k j i n S y x x z z y S S d d d d d d }cos ,cos {cos d d d 0++===γβα,称为有向曲面面积元素.于是此积分可写为⎰⎰+∑⋅S A d ),,(z y x y x z y x R x z z y x Q z y z y x P d d ),,(d d ),,(d d ),,(++=⎰⎰+∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++∑∑∑++=y x z y x R x z z y x Q z y z y x P d d ),,(d d ),,(d d ),,(就),,(z y x A 的坐标函数),,(z y x P 而言,这里得到了数值函数),,(z y x P 的另一种曲面积分—对坐标(面yOz )的曲面积分(或称第二类曲面积分)⎰⎰+∑z y z y x P d d ),,(∑=→∆≡ni i yziiiP 1),,(lim σςηξλ（若存在），类似地,⎰⎰+∑x z z y x Q d d ),,(是Q 对坐标(面zOx )的曲面积分,⎰⎰+∑y x z y x R d d ),,(是R 对坐标(xOy )的曲面积分.(2)存在条件必要条件是),,(z y x A 在曲线段Γ或在曲面块∑上有界,而),,(z y x A 在曲线段Γ或曲面块∑上连续,则是第二类线面积分存在的一个充分条件.(3)主要性质 ①线性性;②对积分域的可加性;③方向性:⎰-Γ⋅ d ),,(s A z y x ⎰+Γ⋅-= d ),,(s A z y x⎰⎰-∑⋅S A d ),,(z y x ⎰⎰+∑⋅-=SA d ),,(z y x(4)计算 ①直接法 对于⎰+Γ⋅ d ),,(s A z y x z z y x R y z y x Q x z y x P d ),,(d ),,(d ),,( ++=⎰+Γ,将+Γ的参量方程⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x (t 从α变到β)代入被积式,化为对参量t 的定积分z z y x R y z y x Q x z y x P d ),,(d ),,(d ),,( ++⎰+Γ ⎰'+'=βα)())(),(),(()())(),(),(([t y t z t y t x Q t x t z t y t x Pt t z t z t y t x R d )]())(),(),(('+,注意:下限是起点的参量值α,上限是终点的参量值β.当)(:x y y L =+(x 从a 变到b )或)(:y x x L =+(y 从c 变到d )时,y y x Q x y x P Ld ),(d ),( +⎰+x x y x y x Q x y x P bad ])())(,())(,([ ⎰'+=. y y x Q x y x P Ld ),(d ),( +⎰+x y y x Q y x y y x P dcd ])),(()()),(([ ⎰+'=. 对于⎰⎰+∑z y z y x P d d ),,(, 将∑的显式方程),(z y x x =(yzDz y ∈),()代入被积式,化为在∑的有向投影域yz D 上(正或负)的二重积分⎰⎰+∑z y z y x P d d ),,(⎰⎰±=yzD z y z y z y x P d d ),),,((,当+∑为∑的前侧,即+∑的法向量n 与Ox 轴正向的转角α为锐角(0cos >α)时,取“+”; 当+∑为∑的后侧,即+∑的法向量n 与Ox 轴正向的转角α为钝角(0cos <α)时,取“—”. 类似地,有⎰⎰+∑x z z y x Q d d ),,(⎰⎰±=zx D zx z z x y x Q d d )),,(,(及⎰⎰+∑y x z y x R d d ),,(⎰⎰±=xyD y x y x z y x R d d ),(,,(.②利用Green 公式、Stokes 公式、Gauss 公式进行计算.③利用对称性简化计算.对于第二类线、面积分利用对称性简化计算时，要注意：10不能就组合积分整体使用，要分成单个积分进行；20与Riemann 积分的对称性的结论刚好相反，例如曲面光滑∑关于0x =（即yoz 平面）对称（包括侧也对称），则有0, (,,)d d 2( d , ,,)d f f x y z y z f x y z y z x x f ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰半若为的函数，若函数;奇为的偶30对组合积分也可利用轮换对称性. ④z z y x R y z y x Q x z y x P d ),,(d ),,(d ),,( ++⎰+Γ可化为平面第二类曲线积分计算. (5)应用①向量场),,(z y x A 沿曲线Γ正向的环量⎰+Γ⋅=s A d ),,(z y x I ,例如力),,(z y x F 沿曲线),(B A Γ所做的功⎰Γ⋅=),( d ),,(B A z y x W s F .②向量场),,(z y x A 穿过曲面∑正侧的通量⎰⎰+∑⋅=ΦS A d , 例如流量.3.两类曲线(面)积分之间的关系 ①z z y x R y z y x Q x z y x P d ),,(d ),,(d ),,( ++⎰+Γy x R z y x Q z y x P ,,(cos ),,(cos ),,([ μλ++=⎰Γ②,]d ),,([d ),,(0⎰⎰⎰⎰∑∑⋅=⋅+S z y x z y x n A S A 即x z y x R x z z y x Q z y z y x P d ),,(d d ),,(d d ),,(++⎰⎰+∑),,(cos ),,(cos ),,([z y x R z y x Q z y x P βα++=⎰⎰∑4.各种积分之间的关系——Green 公式、Stokes 公式、Gauss 公式①Green 公式—平面域D 上的二重积分与沿L D =∂的曲线积分的关系⎰⎰⎰⎰+=+=∂∂-∂∂+LL Ds Q P y Q x P y x y P x Q d ]cos cos [d d d d )(μλ;注意:Green 公式对复连通域也是成立的.②Stokes 公式—曲面块∑上的曲面积分与沿Γ=∑∂的曲线积分的关系⎰⎰ΓΓ++=+++sR Q P z R y Q x P d ]cos cos cos [d d d νμλy x yP x Q x z x Rz P z y z Q y R d d d d d d )()()(⎰⎰+∑∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂= 记为=⎰⎰+∑∂∂∂∂∂∂RQ P z y x y x x z z y d d d d d d 或=S RQ P z y x d cos cos cos ⎰⎰∑∂∂∂∂∂∂γβα, 其中+∑与+Γ遵从右手法则.值得注意的是,式中的∑只要以Γ为边界即可,而与其形状无关.此外不难看出:当第三个坐标不出现时,此公式退化为Green 公式.③Gauss 公式—空间域Ω上的三重积分与沿∑=Ω∂的曲面积分的关系V z R y Q x P d )(⎰⎰⎰Ω∂∂+∂∂+∂∂y x R x z Q z y P d d d d d d ++=⎰⎰∑外.d ]cos cos cos [S R Q P γβα++=⎰⎰∑外注: 1Gauss 公式对复连通域也是成立的;2 设}cos ,{cos 0βα=n 是+L 上任意一点),(y x 处的单位法向量,则有λβμαcos cos ,cos cos -==,于是得Green 公式的另一形式⎰+Ls Q P d ]cos cos [βα⎰-=Ls Q P d ]cos cos [λμ⎰-=Lx Q y P d dσd )(⎰⎰∂∂+∂∂=Dy Q x P ;由此可见,Gauss 公式是Green 公式向空间域上的推广.5.第二类曲线和曲面积分与路径无关的条件(1) 平面第二类曲线积分与路径无关的条件—基于Green 公式的结论若y Q x P B A L d d ),( +⎰与路径无关,则可记其为y Q x P BA d d +⎰.①设G 是开区域,若),(),,(y x Q y x P 在G 内连续,则对于两点G B A ∈,,y Q x P B A L d d ),( +⎰与路径无关,当且仅当对G 内任意一条分段光滑闭合曲线C 有0d d =+⎰Cy Q x P ;当且仅当存在二元函数),(y x u u =,使得y Q x P u d d d +=(G y x ∈∀),(),并称),(y x u 为y Q x P d d +的一个原函数,且可表示为⎰⎰⎰+=+=yy x x y x y x y y x Q x y x P y Q x P y x u 0),(),(000d ),(d ),(d d ),(.②当G 是单连通域,且),(),,(y x Q y x P 在G 内具有连续的一阶偏导数时,y Q x P B A L d d ),( +⎰与路径无关的充要条件是:yPx Q ∂∂=∂∂ (G y x ∈∀),().③沿着包围奇点的任意分段光滑闭合曲线1C 和2C 同方向的积分均相等,即=+⎰1d d C y Q x P ⎰+2d d C y Q x P .(不满足条件“),(),,(y x Q y x P 具有连续的一阶偏导数”的点为奇点.)(2) 空间第二类曲线积分与路径无关的条件—基于Stokes 公式的结论 ①设G 是开区域,若),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在G 内连续,则对于两点G B A ∈,,z R y Q x P B A d d d ),( ++⎰Γ与路径无关,当且仅当对G 内任意一条分段光滑闭合曲线C 有0d d d =++⎰Cz R y Q x P ;当且仅当存在三元函数),,(z y x u u =,使得z R y Q x P u d d d d ++=(G z y x ∈∀),,(),并称),,(z y x u 为z R y Q x P d d d ++的一个原函数,且可表示为⎰++=),,( ),,( 000d d d ),,(z y x z y x z R y Q x P z y x u⎰⎰⎰++=zz yy xx z z y x R y z y x Q x z y x P 0 000d ),,(d ),,(d ),,(.②当G 是一维单连通域,且),,(,,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在G 内具有连续的一阶偏导数时,则z R y Q x P B A d d d ),( ++⎰Γ与路径无关的充要条件是:G y x ∈∀),(,Jacobi P P P x y z QQ Q x y z R R R x yz ∂∂∂⎡⎤∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥'∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎣⎦的矩阵A A =是对称的,即有 z Q y R ∂∂=∂∂,x R z P ∂∂=∂∂,yP x Q ∂∂=∂∂. (3) 曲面积分与曲面无关的条件—基于Gauss 公式的结论设S ,∑是以Γ为边界曲线的任意的简单光滑(或片光滑)曲面块,其正向与Γ的正向遵从右手法则,若y x R x z Q z y P d d d d d d ++⎰⎰+∑y x R x z Q z y P S d d d d d d ++=⎰⎰+,则称y x R x z Q z y P d d d d d d ++⎰⎰+∑与曲面无关.①设G 是二维单连通域,且),,(,,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在G 内具有连续的一阶偏导数,则y x R x z Q z y P d d d d d d ++⎰⎰+∑与曲面无关,当且仅当0d d d d d d =++⎰⎰y x R x z Q z y P S(S 是G 内任一简单光滑闭合曲面); 当且仅当0=∂∂+∂∂+∂∂zR y Q x P . ②沿着包围奇点的任意闭合曲面正向的积分均相等,即d d d d d d P y z Q z x R x y +∑++⎰⎰d d d d d d S P y z Q z x R x y +=++⎰⎰.6. 数量场的梯度、向量场的散度、向量场的旋度 (1) 定义(略)(2) 直角坐标系中的计算公式① 当),,(z y x u u =可微时,必有=u grad k j i zu y u x u ∂∂+∂∂+∂∂, 沿l 方向导数0grad l ⋅=∂∂u lu. ②设A k j i ),,(),,(),,(z y x R z y x Q z y x P ++=,Ω∈),,(z y x ,则当R Q P ,,具有连续的一阶偏导数时,对任意的Ω∈),,(z y x ,有A div zR y Q x P ∂∂+∂∂+∂∂=, Gauss 公式可表示为S A d ⋅⎰⎰∑外V d )(div ⎰⎰⎰Ω=A .③设A k j i ),,(),,(),,(z y x R z y x Q z y x P ++=,Ω∈),,(z y x ,则当R Q P ,,具有连续的一阶偏导数时,对任意的Ω∈),,(z y x ,有RQ Pz y x ∂∂∂∂∂∂=k j i A rot , 沿n 方向环量面密度0rot n A ⋅=n μ.Stokes 公式可表示为 d rot d ++Γ∑⋅=⋅⎰⎰⎰A s A S .二. 练习例1证明积分⎰-++),( 221d d B A L y x y y x x在域1:22>+y x D 与路径无关, 并求⎰-++)3,0( )0,2( 221d d y x yy x x .解 易知1d 1d d 2222-+=-++y x y x yy x x ,故积分与路径无关. 所以⎰-++)3,0( )0,2( 221d d y x y y x x 381)3,0()0,2(22-=-+=y x . 或:在D 内x Q y P ∂∂∂∂,连续,且122-+-=∂∂=∂∂y x xy x Qy P ,故对任意不包围域:1D 122≤+y x 的闭合曲线L ,有01d d 22=-++⎰Ly x y y x x ;而沿任意包围域:1D 122≤+y x 的闭合曲线L 积分均相等,(121页例题3.3)记:C 422=+y x ,于是有=-++⎰Ly x y y x x 1d d 220d 0313d d 1d d 42222⎰⎰⎰⎰≤+=±=+=-++y x CCyy x x y x y y x x σ; 因此,在D 内⎰-++),( 221d d B A L y x yy x x 与路径无关.⎰-++)3,0( )0,2( 221d d y x y y x x +-+=⎰3 0 2212d y y y ⎰-+022213d x x x3883023022-=+++=x y.y例2求⎰+Γ++=d d d z x y z x y I ,其中⎩⎨⎧=+=++Γ+2:222a z x azz y x (0>a ),且从Oz 轴正向看去为逆时针方向.解法一 直接化为定积分为了求+Γ的参量方程,将x a z -=代入az z y x 2222=++得2222a y x =+,这是一个椭圆,故易得+Γ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===)sin 211( sincos 2t a z t a y t a x (从0变到π2于是⎰+-+-=π2 0]d sin 2cos 2cos )cos 21()sin 2(sin [t t at a t a t a a t a t a I ⎰-=π2 02d 2t a 2a =.解法二 化为平面曲线积分——只需将对坐标z 的积分,通过Γ的方程消去被积式中的z ,化为在xOy 面上沿+L (+Γ在xOy 面上的投影)的曲线积分. 因为x a z -=,x z d d -=,故 ⎰⎰++-+-=-+-+=LL y x a x x y x x y x a x y I d )(d )()d (d )(d22222(11)d x y a a σ+≤=--=⎰⎰.解法三 利用Stokes 公式选Γ所围的圆域S 之上侧为公式中的+∑,其法向量}21,0 ,21{0=n ,故 S S xz y z y x I d 21021⎰⎰∂∂∂∂∂∂=2(2)d S S a =-=.例3 (34) 计算曲面积分()⎰⎰∑++++=23222d d d d d d zy xyx z x z y z y x I ，其中∑是曲面()()16125211022-+--=y x z在xOy 面之上部分的上侧.解()23222zy xxP ++=,()23222zy xyQ ++=,()23222z y xzR ++=,除点()0 ,0 ,0O 外,z R y Q x P ∂∂∂∂∂∂,,处处连续,且0=∂∂+∂∂+∂∂zR y Q x P . ∑为顶点在()10 ,1 ,2的椭圆锥面的一部分,它在xOy 面上的投影域为xyD :()()141522222≤-+-y x .设0>ε充分小,取-S 为222 :y x z S --=ε之下侧,又取-∑1为平面域}),{(\222ε<+y x y x D xy 之下侧,于是1∑++∑S 构成一封闭曲面,记其所围成的空间域为Ω.由⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+--+∑+∑∑--=∴S S I 11(⎰⎰⎰Ω=z y x d d d 0⎰⎰+∑+1(++=00⎰⎰+S y x d d 13ε22223 013d d x y z z x y εε++≤≥⎡⎢=⎢⎢⎣⎰⎰⎰例4 (32) 设S 为椭球面122222=++z y x 的上半部分,点()S z y x P ∈,,,Π为S 在点P 处的切平面,()z y x ,,ρ为点()0 ,0 ,0O 到平面Π的距离，求()⎰⎰SS z y x zd ,,ρ. 解 切平面的法矢量{}z y x n 2,,=，切平面Π的方程为()()()02=-+-+-z Z z y Y y x X x ，即 022=-++zZ yY xX ,(),,x y z ρ===.S :22122y x z --=,d d d S x y x y ==,S 在xOy 面上的投影xy D 为⎩⎨⎧≤≤≤≤2020ρπθ. ()⎰⎰⎰⎰+=S S S z z S z y x z d 121d ,,2ρ()⎰⎰--=xyD y x y x d d 44122)2π21d 4d 4θρρρ=-⎰3π2=. 另解(化为第二类曲面积分):cos γ=取故()d d d 22,,S S x yz zS zx y z ρ+=⎰⎰⎰⎰2222211(4)d d (4)d 44xyDS x y z x y x y σ+=++=--⎰⎰⎰⎰2π20031d )d π.42θρρρ=-=⎰例5 (习题9-3, №8(3))证明：在不包含原点的单连域内存在函数()y x u u ,=,使得22323d d d yxy x yx x y u +--=，并求()y x u u ,=. 解 22323yxy x y P +-=,22323y xy x xQ +--=, ()xQy xy x y x y P ∂∂=+--=∂∂2222232333. 由()()222222323y x y x y xy x ++-=+-知,在不包含原点的单连域内存在函数()y x u u ,=,使得y Q x P u d d d +=. ()()()⎰++=y x C y Q x P y x u , 0 ,1 d d ,⎰⎰++--+=xy C y yxy x xx 122d 323d 0 ⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=y C x y xx y x 0 223d 98313C xx y +--=223arctan 221.例6 求222222()d ()d ()d y z x z x y x y z Γ++++++⎰，其中222222,:(0,0),2, x y z Rx r R z x y rx ΓΓ+⎧++=<<≥⎨+=⎩与z 轴正向成右手系.解 222222()d ()d ()d y z x z x y x y z Γ++++++⎰222222d y x Rz R R RS x y zy z z x x y∑-∂∂∂=∂∂∂+++⎰⎰2()d 2d 2d 2d z y S z S y S z ∑∑∑∑=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222d 2π2π.xyDR z R r Rr z σ=⋅==⎰⎰例7 设),,(z y x u u =有连续二阶偏导数,且满足Laplace 方程02=∇u . Ω是由光滑闭曲面∑所围成的空间域,n 是∑的外法向量,试证=∂∂⎰⎰∑S n u u d V z u y u x u d ])()()[(222∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰⎰Ω.证=∂∂⎰⎰∑S nu ud S zu y u x u u d cos cos cos ][γβα∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰∑ ][d d d d d d y x zu x z y u z y x u u ∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰+∑ V zu u z y u u y x u u x d )]()()([∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=⎰⎰⎰ΩVu z u y u x u d ])()()[(2222∇+∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰⎰Ω.d ])()()[(222V z u y u x u ∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰⎰Ω例8 设(,)Q x y 在xOy 平面上有连续一阶偏导数,曲线积分2d (,)d Lxy x Q x y y +⎰与路径无关，并且对任意的t ，恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2d (,)d 2d (,)d t t xy x Q x y y xy x Q x y y +=+⎰⎰，求(,)Q x y .解 因为积分与路径无关，故有2,Q Px x y∂∂==∂∂于是得n2(,)().Q x y x y ϕ=+从而(,1)(,1)2(0,0)(0,0)2d (,)d 2d ()d t t xy x Q x y y xy x x y y ϕ⎡⎤+=++⎣⎦⎰⎰1122020d [()]d ()d ,t x x t y y t y y ϕϕ=⋅++=+⎰⎰⎰(1,)(1,)2(0,0)(0,0)2d (,)d 2d ()d t t xy x Q x y y xy x x y y ϕ⎡⎤+=++⎣⎦⎰⎰120d [1()]d ()d ;t tx x y y t y y ϕϕ=⋅++=+⎰⎰⎰由题设得120()d ()d ty y t t y y ϕϕ=-+⎰⎰，两边对t 求导得 ()2 1.t t ϕ=-所以，2(,)2 1.Q x y x y =+-（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。