自旋和角动量

第六章 自旋和角动量

一、填空

1. ______实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一.为了解释该实验，____和____提出了电子具有自旋角动量的说法.

2. 在),ˆ(x 2σσ

的共同表象中，算符z y x σσσ、、对应的矩阵分别是_____、_____和_____.

二、概念与名词解释

1. 电子自旋

2. 泡利矩阵

3. 无耦合表象，耦合表象

4. 塞曼效应，正常塞曼效应和反常塞曼效应

三、计算

1. 求自旋角动量算符在(cos α, cos β, cos γ)方向的投影S n =S x cos α+S y cos β+S z cos γ的本征值和相应的本征矢. 在其两个本征态上，求S z 的取值概率及平均值.

2. 求下列状态中算符)S L J (J ,J z 2

+=的本征值： {}

{}).

,()Y (S (4)),()Y (S ),()Y (S 231/ (3)),()Y (S ),()Y (S 231/ (2))

,()Y (S (1)1- 1z 1/2- 41- 1z 1/2 10z 1/2- 311z 1/2- 10z 1/2211z 1/21ϕθχ=ψϕθχ+ϕθχ=ψϕθχ+ϕθχ=ψϕθχ=ψ

3. 对自旋态.)S ()S ( ,01)(S 2y 2x 21/2∆⋅∆⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=χ求 4. 一个由两个自旋为1/2的非全同粒子组成的体系. 已知粒子1处在S 1z =1/2的本征态，粒子2处在S 2x =1/2的本征态，取ħ＝1，求体系

总自旋S 2的可能值及相应的概率，并求体系处于单态的概率.

5. 考虑三个自旋为1／2的非全同粒子组成的体系. 体系的哈密顿量是 , S )S S B(S S A H 32121

⋅++⋅=A 、B 为实常数，试找出体系的守恒量，并确定体系的能级和简并度(取ħ＝1为单位).

6. 设氢原子处于状态 ,)/2,((r)Y R 3-)/2,((r)Y R )r (10211121⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛ϕθϕθ=ψ 求轨道角动量z 分量

和自旋z 分量的平均值，进而求出总磁矩c /S e -c /2L -e μμ=μ 的z 分量的平均值.

7. 设总角动量算符为J ˆ

，记算符J 2与J z 的共同本征函数为|jm>，当j=1时：

(1) 写出J 2、J x 的矩阵表示，并求出其共同本征矢|1m x >x ；

(2) 若体系处于状态 ,2]/1-111[+=ψ求同时测J 2与J x 的取值概率；

(3) 在|ψ>状态上，测量J z 得ħ时，体系处于什么状态上；在|ψ>状态上，计算J y 的平均值.

8. 在激发的氦原子中，若两个电子分别处于p 态和s 态，求出其总轨道角动量的可能取值.

9. 用柱坐标系，取磁场方向沿z 轴方向，矢势A φ=B ρ/2，A ρ=A z =0，求均匀磁场中带电粒子的本征能量.

10. 自旋为1/2的粒子，在均匀磁场中运动，磁场的绝对值不变，但各个分量随时间变化，满足B x =Bsin θcos ωt ，B y =Bsin θsin ωt ，B z ＝Bcos θ.设t=0时自旋在磁场方向上的分量等于1/2，求在时刻t 粒子跃迁到自旋在磁场方向上的分量等于-1/2的态中的概率.

11. 带电粒子在均匀磁场和三维谐振子势场U(r)=m e ω02r 2/2中运动，

求粒子的能谱.

12. 自旋为ħ/2的粒子处于线谐振子位势中，t=0时粒子处于状态 . )/3(S (x)2)/3(S (x)2-)/3(S (x),0)S (x,z 1/21z 1/2- 1z 1/20z χϕ+χϕχϕ=ψ求t>0时的波函数及能量的取值概率与平均值. (x )n ϕ为该线谐振子的第n 个本征态.

13. 设体系由两个自旋为ħ/2的非全同粒子构成，若体系处于两个粒子的自旋状态分别为|χ1>、|χ2>的状态中，分别求出体系处于单态与三重态的概率.其中./2)exp(i sin /2)exp(-i cos ; 0121⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛ϕθϕθ=χ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=χ 14. 两个自旋为ħ/2的非全同粒子构成一个复合体系，设两个粒子之

间的相互作用为 , S ˆS ˆc 21 ⋅其中c 是常数. 设t=0时粒子1的自旋沿z 轴正方向，粒子2的自旋沿z 轴负方向，求t>0时测量粒子1的自旋仍处于z 轴正方向的概率.

四、证明

1. 设B

ˆA ˆ 、是与泡利算符对易的两个矢量算符，证明 )B ˆA ˆ(ˆi B ˆA ˆ)B ˆˆ)(A ˆˆ( ⨯⋅σ+⋅=⋅σ⋅σ

2. 如果ψm 是L z 的本征态，满足本征方程L z ψm ＝m ħψm ，现在将z 轴转一个角度θ，变成z ＇轴，求证：=m ħcos θ.

3. 设 , J J J 21 +=求证：

(1) , jm J m j'jm J m'j'1z 1z =即J 1z 的矩阵对于量子数m 是对角化的； (2) ; jm J 1m j'jm J m'j'1m m'11±±±δ±=

(3) 当1j'-j >时，. 0jm J m'j'1=

4. 对于两个自旋1/2的粒子组成的体系，证明张量算符

2122112-)/r r )(r 3(S σ⋅σ⋅σ⋅σ= 和S 2及J 对易. S 为总自旋，J 是总角动

量，L L S J ，+=是体系的轨道角动量，在质心坐标系中，L 的算符形式是21r r r ,r i p r L

-=∇⨯-=⨯=. 五、综合题

1. 在σz 表象中，写出算符2/)ˆi ˆ(ˆ 2/)ˆ1(Q ˆy x z σ±σ=σσ±=±±

和的矩阵形式，并证明如下关系成立：.ˆˆˆ-ˆˆ ;Q ˆˆˆ ;Q ˆˆˆ 0;ˆˆ;0a b a Q ˆ ;0a b a Q ˆ

0;Q ˆQ ˆQ ˆQ ˆ ;Q ˆQ ˆ ;Q ˆQ ˆ 1;Q ˆQ ˆz -----2-2----2-2--σ=σσσ

σ=σσ=σσ=σ=σ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=====++++++++++++ 2. 证明 , )ˆˆ2(-3)ˆˆ(21221σ⋅σ=σ⋅σ 并由此求出21ˆˆσ⋅σ

的本征值. 3. 对于两个自旋为1/2的粒子组成的体系，令

)r (/r r e , r -r r r 21，方向上的单位矢量 ==取ħ＝1，定义张量算符

21r 2r 112-)e )(e 3(S σ⋅σ⋅σ⋅σ=

(1) 证明(S 12)2=4S 2

-2S 12，S 是总自旋. 再进而证明S 12的任意正整数次幂均可表示为S 12和S 2的线性组合；

(2) 求S 12的本征值；

(3) 令r e

机会均等地经历各种方向，求S 12的平均值.

4. 氘是质子和中子的束缚态，其总角动量J ＝1. 现已知它主要是由

S(l=0)态组成并且有很少的D(l=2)态参与进来：

(1) 解释为什么P 态不能参与？

(2) 解释为什么G 态不能参与？

(3) 计算n-p 体系(总角动量J=1)处在纯D 态时的磁矩.假设n 和p 自

旋耦合形成总自旋S ，然后总自旋在与轨道角动量L 耦合形成总角