自旋算符

散射简介

散射实验在近代物理学的发展中起了特别重要的作用。

特别是在认识原子、分子、核及粒子的结构性质方面，Rutherford的粒子散射→原子的结构。

从此揭开了原子结构的新篇章，夫兰克赫兹实验证明了玻尔关于原子有定态的假设，原子很小，很难看到其微观结构，只能通过粒子与其作用，探测其性质，结构,就像用石头探水深，投石问路的方式探测其结构。

散射现象也称为碰撞现象

通过散射表现出的宏观现象，研究靶的结构性质

散射过程的一些基本概念

①一个粒子与另一粒子碰撞的过程中，只有动能变换，粒子内部状态无改变态，则称为弹性碰撞（散射）若碰撞中粒子内部状态有所改变，如原子被激发或电离，则为非弹性碰撞，注意和经典物理中物体碰撞的比较。

②粒子和另一粒子的散射实质是粒子与力场的作用，微观原子为靶时，实质是粒子与原子的作用，场电、电场、核力确定

原子、粒子很小靶粒子称为散射中心，当靶A的质量能入射粒子质量大得多时，可忽略靶的运动。这样以来入射粒了受A的作用偏离原来运动方向，发生散

射于原来方向的夹解θ，为散射角，如以极坐标描述，取入射粒子流方向为z 轴，则θ用就为散射角。 研究dn

单位时间内散射到面积元ds 上的粒子数dn ，当r 一定时，取求面上面积元ds 则，当r 变化时2ds r ∞

∴2ds

dn d r

∞

=Ω 即与ds 所张的立体角成正比，同时dn 与入射粒子流强度N 成正比 N 定义，单位时间穿过单位横截面的粒子数 d n N d ∞Ω

一般情下，不同方向(,)θϕ散射到的粒了数不同 (,)d N q N d θϕ=Ω

(,)dn q Nd θϕ=Ω 当N 一定时，单位时间散射到(,)θϕ方向立体角ds 内的

粒子数dn 由(,)q θϕ确定，(,)q θϕ与入射粒子，散射中心的性质等有关

(,)q θϕ的量纲为2L 面积

(,)dn

q Nd θϕ=

Ω

(,)q θϕ称为微分散射截面

一个粒子(,)q d θϕΩ散到(,)θϕ方向d Ω立体内的几率 N 个粒子 (,)q Nd θϕΩ散到(,)θϕ方向d Ω立体内的个数 N 为单位时间入射粒子则(,)q Nd θϕΩ单位时 个数 将(,)q d θϕΩ对所有方向积分

2(,)(,)sin o o Q q d q d dp ππ

θϕθϕθθ=Ω=⎰⎰⎰ 称为总截面

取散射中心为坐标原点，用()U r 表示入射粒子与散射中心之间的相互作用

势能，则体系的薛方程为

222U E ψψψμ

-∇+= 式中的μ为入射的质量，E 是它的能量 为了方便，定义

22

222E p k μ== p k v μμ==

22()()V r U r μ

=

h

p k λ

==

2p k π

λ

==

方程变为 22(())0k V r ψψ∇++=

我们关心r →∞时ψ的行为，假设r →∞时()0U r →

在粒子远离散射中心时，作用超于零，()U r 比1

r

更快超于零，对电场不适

用。

这样在r →∞地方，波函数由两部分组成

12(,)

ikr

ikz

r e Ae f r

ψψψθϕ→∞→+=+ 1ikz

Ae ψ= 2(,)i k r e f r

ψθϕ=

入射粒子平面波 散射粒子的球面波，向外传播

我们只考虑弹性散射，散射波能量不改变，波矢k 不变，(,)f θϕ是,θϕ的函数与r 无关。

取1A =则2

11ψ=表示每位体积内有一个入射粒子，入射几率流密度是

****11111111[][]22z i i J ik ik z z ψψψψψψψψμμ

∂∂=-=--∂∂

[2]2i k ik V μμ

=

-== 即入射粒的粒了流强度N 散射波的几率流密度：

*2*222

222

()[](,)22ikr

ikr ikr r i i e re ik e J f r r r r

ψψψψθϕμμ--⎡∂∂--=-=⎢∂∂⎣ 2

2

12

222(,)

(,)2ikr ikr ikr

e re ik e i ikr r rik r

f f r r r r r θϕθϕμ-⎤----⎡⎤

-=-⎥⎢⎥⎣⎦⎦

222

222

21(,)(,)(,)2i ik k v f f f r r r

θϕθϕθϕμμ-=

⋅=⋅= 即2

2

1(,)r J J f r

θϕ∂

= 散射流密度单位时间内穿过球面上单位面积几率

22

2

(,)(,)r v dn J ds f ds v f d r θϕθϕ==

=Ω V=N

则d Ω为单位时间穿过面积ds 或在(,)θϕ方向d Ω立体角内的粒子数。 ∴2

(,)(,)f q θϕθϕ=微分散射截面(,)f θϕ称散射振幅，可见剩下的问题是要求解(,)f θϕ和具体的()U r 有关

对于中心力场，势能()U r 只和粒子到散射中心的距离r 有关，与r

的方向无

关

薛方程写为 22()0K V r ψψ⎡⎤∇++=⎣⎦

我们在极坐标下解此方程，取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴，波函数ψ和散射振幅f 与ϕ角无关

一般解可写为 (,,)(,)l lm lm

r RY ψθϕθϕ=∑ lm Y 球函数

因 (,)(1)(cos )m m im lm lm l Y N P e ϕθϕθ=- m l P 缔合勒组征 现在ψ与ϕ无关，故0m =

∴(,)()(cos )l l l

r R r P ψθθ=∑ l P 勒让德多项式

即将波函数用勒让德多项式展开或按角动量的本征态展开，这样分解出的角