自旋算符
量子力学中的自旋
量子力学中的自旋自旋是量子力学中的重要概念之一，它描述了粒子的内禀角动量性质。
本文将介绍自旋的基本原理、量子力学中的自旋算符以及自旋的应用。
一、自旋的概念和基本原理自旋是描述粒子的旋转性质的量子数，与经典物理中的角动量不同，自旋不涉及物体的实际旋转。
自旋可以是整数或半整数，用量子数s表示，对于电子来说，其自旋量子数为1/2。
自旋在物理学中具有很多重要性质，例如自旋角动量守恒以及自旋与磁矩的关系等。
二、自旋算符在量子力学中，自旋算符用来描述自旋的性质和运动规律。
自旋算符有两个分量，即Sz和Sx。
其中，Sz表示自旋在z方向（沿磁场方向）的投影，Sx表示自旋在x方向的投影。
这两个算符的本征值即为自旋的量子数。
三、自旋的应用1.自旋磁矩根据量子力学的理论，自旋与磁矩之间存在固有的关系。
自旋磁矩可用于解释原子和分子的磁性行为，例如顺磁性和抗磁性。
2.自旋共振自旋共振是一种重要的实验技术，广泛应用于核磁共振(NMR)和电子顺磁共振(ESR)等领域。
通过外加磁场和射频脉冲的作用，可以使带有自旋的粒子发生能级跃迁，从而实现信号的产生和检测。
3.自旋量子计算自旋也被用于量子计算领域。
通过调控带有自旋的粒子之间的相互作用，可以实现量子比特的存储和操作，为量子计算提供了一种新的实现方案。
四、总结自旋作为量子力学中的重要概念，描述了粒子的内禀角动量性质。
自旋算符用于描述自旋的性质和运动规律，自旋在物理学中有着广泛的应用，例如自旋磁矩、自旋共振和自旋量子计算等。
深入了解自旋的原理和应用对于理解和研究量子力学具有重要意义。
以上是关于量子力学中的自旋的文章，介绍了自旋的概念和基本原理、自旋算符以及自旋在物理学中的应用。
希望对您有所帮助。
量子力学(第八章自旋)
乌仑贝克（Uhlenbeck）和哥德斯密脱
（Goudsmit）为了解释这些现象，于1925年 左右提出了电子自旋的假设：
（1）每个电子都具有一个自旋角动量 sr ，它
在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
r （2S）z 每个h2 （电若子将具空有间自任旋意磁方矩向r 取s 它为与z方自向旋）角动 量 s 的关系是
因而
ˆ x
0
b*
b
0
(31)
而
ˆ
2 x
0
b*
b 0
0
b*
b
0
b2 0
0 1 (32)
b 2
所以 b 2 1，因而可以令 b ei ( 为实)
于是
ˆ x
0
ei
ei
0
(33)
再利用 y i z x ，可得
ˆ y
0
i
ei
ei 0
0
e i (
2)
ei( 2)
系，即
^^
^ ^^
^ ^^
^
[S x , S y ] ih S z ,[S y , S z ] ih S x ,[S z , S x ] ih S y
(11)
或
^r ^r
^r
S S ih S
由于Srˆ 在任意空间方向上投影只能取 h 2这
两 的个 本函征数值值都，是故hSˆ2x ，Sˆy而Sˆz分量这平三方个算分符量的算本符征
1
ir
[(
pr
e
r A)
(
pr
e
r A)]
2 c
2
c
c
其中利用了公式
(r
Ar )(r
自旋是一个力学量,在量子力学中,它应该用线性厄米算符表示。其
（6.2.21）
01 0 i
10
S x2 10 ,S y2 i 0 ,S z2 0 1
（6.2.22）
6.2 电子自旋算符和自旋函数
可以表泡x ,示利y ,为矩 z单阵称位非为矩常泡阵有利和用矩。阵x ,。y ,因 z为三任个何矩2阵 2的的线厄性米组矩合阵，都所
y
x 与
y
令
ˆ x
a
c
b
d
（6.2.16）
由于 S x 是厄米矩阵， x 也是厄米矩阵，则 c b *
ˆxˆz
ˆzˆx
a
b*
b 1
d
0
0 1
1 0
0 a 1b*
b
d
a b a b
6.2 电子自旋算符和自旋函数
自旋是一个力学量，在量子力学中，它应该用线性厄
米算符表示。其次，既然是算符，它的性质就应该由算符
所满足的对易关系决定。由于自旋具有角动量性质，而角
动量算符 Jˆ 满足的对易关系是：
JˆJˆi Jˆ
（6.2.1）
在量子力学中，不要误以为角动量就是 r pˆ ，r pˆ 只是
而
的本征值为 1 ，而且
ˆx2 ˆy2 ˆz2 1
定义：任意算符A 和 B 的反对易关系为
[A,B] ABBA
则
[ˆx,ˆy]ˆxˆy ˆyˆx
=21i(ˆyˆz ˆzˆy)ˆy21iˆy(ˆyˆz ˆzˆy)
=0
（6.2.9）
（6.2.10） （6.2.11） （6.2.12）
Sx2Sy2Sz224
16讲电子自旋
实验上，高温炉中的氢原子处于高压， 从炉中出来后气压骤降迅速冷却，使得 电子处于基态： ) = (10)， l = 0 → m = 0 (nl ∴ 所以， 所以， → Fz =0,原子似乎不应该偏转。 ∴→ M z电子偏转必然不来自轨道磁矩
7
一、电子自旋实验(6) 电子自旋实验
∂B 实验表明 Fz = − M z ≠ 0, 且 M z = ± µ B ∂z 分析表明 M z 不应该是轨道磁矩( M z = µ B m ) 由此，人们猜测： (1)除轨道磁矩外，必然存在别的磁矩。 (2)如果存在某种磁矩，它应该只取两个值。 此外，对银原子、钠原子这些多电子原 子，该如何解释？
20
三、自旋角动量算符与泡里算符(2) 自旋角动量算符与泡里算符 r
三、自旋角动量算符与泡里算符(3) 自旋角动量算符与泡里算符 r ˆ 引进无量纲的算符 σ → Pauli 算符， r r ˆ ˆ 其定义为 S = (h 2)σ , 有 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σ xσ y − σ yσ x = 2iσ z S x S y − S y S x = ih S z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S y S z − S z S y = i h S x → σ yσ z − σ zσ y = 2i σ x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S S − S S = ihS ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σ σ − σ σ = 2i σ
14
二、自旋态与自旋波函数(2) 自旋态与自旋波函数
∴ψ ( r , s z )可用一个列向量来表示 ψ 1 ( r ) → s z = h / 2的自旋态 ψ = ψ 2 ( r ) → s z = − h / 2的自旋态 按波函数的统计诠释，电子以 一定的概率处于 ψ 1 ( r )或 ψ 2 ( r )，
自旋算符的本征值
自旋算符的本征值自旋算符是量子力学中的一个重要概念，用来描述粒子的自旋性质。
自旋算符的本征值是指在给定自旋算符下，对应的本征态所具有的特定自旋值。
本文将以自旋算符的本征值为标题，介绍自旋算符的概念、本征值及其物理意义。
一、自旋算符的概念自旋算符是描述粒子自旋性质的数学运算符，用符号S表示。
自旋算符是一个矢量算符，包括自旋算符的x分量Sx、y分量Sy和z 分量Sz。
自旋算符的本征值为标题，即自旋算符在某个本征态下的测量结果。
自旋算符的本征值可以是半整数或整数，分别对应不同的自旋粒子。
对于自旋为1/2的粒子，其自旋算符有两个本征值，即自旋向上的本征态|↑⟩和自旋向下的本征态|↓⟩。
自旋向上的本征值为+1/2，自旋向下的本征值为-1/2。
这两个本征态是正交归一化的。
三、自旋算符的物理意义自旋算符的本征值描述了粒子自旋的量子态。
自旋是粒子的内禀角动量，类比于经典物理中的自转。
自旋算符的本征值可以用来描述粒子的自旋状态，进而推导出粒子的其他性质。
自旋算符的本征值在量子力学中具有重要的物理意义。
首先，自旋算符的本征值可以用来描述粒子的自旋态，即粒子自旋的量子叠加态。
例如，对于自旋为1/2的粒子，其自旋态可以是自旋向上和自旋向下的叠加态。
自旋算符的本征值还可以用来描述粒子的自旋测量结果。
通过对自旋算符的测量，可以得到粒子的自旋值，从而确定粒子的自旋状态。
自旋算符的本征值是自旋测量的结果，可以用来验证量子力学的预言。
自旋算符的本征值还可以用来描述粒子之间的相互作用。
自旋是一种粒子之间的相互作用方式，不同自旋态的粒子之间存在着不同的相互作用。
自旋算符的本征值可以用来描述粒子之间的自旋相互作用，从而揭示了粒子之间的一些基本物理规律。
总结:本文以自旋算符的本征值为标题，介绍了自旋算符的概念、本征值及其物理意义。
自旋算符是量子力学中描述粒子自旋性质的重要概念，其本征值描述了粒子自旋的量子态和测量结果，同时也揭示了粒子之间的自旋相互作用。
电子的自旋算符与自旋波函数
e 2c
可见电子回转磁比率是轨道 回转磁比率的二倍
§2 电子的自旋算符和自旋波函数
（一）自旋算符 （二）含自旋的状态波函数 （三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵 （四）含自旋波函数的归一化和几率密度 （五）自旋波函数 （六）力学量平均值
（一）自旋算符
•自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释。 •自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学量有着根本的差别 通常的力学量都可以表 示为坐标和动量的函数
ˆ) ˆ ˆ F F (r , p
而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态 的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。 与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算 符描写，记为 ˆ
S
自旋角动量 轨道角动量
与坐标、动量无关 同是角动量
ˆ r p
不适用
异同点
1 s 2
自旋量子数 s 只有一个数值
（二）含自旋的状态波函数
因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用 (x, y, z) 三个坐标变量外，还需要一个自旋变量 (SZ），于是电 子的含自旋的波函数需写为： ( x ,y , z , S , t ) ( r t ) ( x ,y ,z , ,t ) z 1 , 2 ( r ,t ) ( x ,y ,z , ,t ) 2 2 由于 SZ 只取 ±/2 两个值，
x y
由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 ±/2 两个值 所以
ˆ S x
ˆ S y
ˆ S z
的本征值都是±/2，其平方为[/2]2
3 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ S S S S x y z 4
量子力学 中科大课件 一些自旋算符及它们组成的Hamiltonian讨论
量子力学中科大课件一些自旋算符及它们组成的Hamiltonian讨论一些自旋算符及它们组成的Hamiltonian 讨论[问题I]，单个12自旋向任一方向r r e r=的投影算符()r e σ⋅。
1) 算符()r e σ⋅为书上已研究过的（p.204-205）。
它满足()2r e I σ⋅=，所以其本征值为1±，其本征函数()()()()()()()()cos exp 2sin exp 222;sin exp 2cos exp 222r r i i e e i i θθϕϕχχθθϕϕ+-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以可将它写为它本身的谱表示：()()()()()()()()()r r r r r e e e e e σχχχχ++--⋅=-2) 计算对易子()(),1,2i r i e i σσ⋅=⎡⎤⎣⎦。
下面略去脚标1,2i =。
先计算(),r x e σσ⋅⎡⎤⎣⎦：()(),,222r x x x y y z z x z y y z r xe n n n i n i n i e σσσσσσσσσ⎡⎤⋅=++⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-+=⨯于是有()(),2r r e i e σσσ⋅=⨯⎡⎤⎣⎦3) 再往算(),r e l σ⎡⎤⋅⎣⎦先算轨道角动量的z l 分量的对易子：[](),,r z x y z y x r z x y z e l i x y i e r r r σσσσσ⎡⎤⋅=-++∂-∂=-⨯⎢⎥⎣⎦于是有()(),r r e l i e σσ⎡⎤⋅=-⨯⎣⎦4) 再往算()(),,σσ⎡⎤⎡⎤⋅=⋅+⎣⎦⎣⎦r r e J e l S 总之有,,02r r e J e l σσσ⎡⎤⎡⎤⋅=⋅+=⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 于是，这种()r e σ⋅算符将保持此费米子的总角动量不变。
5) 再往算()2,r e σσ⎡⎤⋅⎣⎦。
显然，由于单个12自旋的23σ=，有()2,0r e σσ⎡⎤⋅=⎣⎦6) 再往算()2,r e l σ⎡⎤⋅⎣⎦()()()()()()(){}()(){}2,,,r r r r r r r r re l e l l l e l i e l i l e i e l l e i e l l e σσσσσσσσ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⋅⋅+⋅⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦=-⨯⋅-⋅⨯=-⋅⨯-⨯⋅=-⋅⨯-⨯ 为计算()r l e ⨯，先算它的x 分量：()()()()()223333112ryz x z y x x x z y x y zz y z y l e l l i z x x y r r r r x z z y x y i z x xz z x x xy y x y r r r r r r r r x z y i l l r r r⎧⎫⨯=-=-∂-∂-∂-∂⎨⎬⎩⎭⎧----⎫⎛⎫⎛⎫=---+∂-∂-+--∂-∂⎨⎬⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭=+-于是有()()2rr r l e ie e l ⨯=-⨯最后得()(){}(){}(){}222,222r r rr r r r r r e l i e l i e re e e r e e r e σσσσ⎡⎤⋅=-⋅⨯-⎣⎦=-⋅⨯⨯∇+=-⋅⋅∇-∇+7) 再往算(),r e l s σ⎡⎤⋅⋅⎣⎦()()()222211,,,22r r r e l s e J l s e l σσσ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅⋅=⋅--=⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦即有()()(){}21,,2r r r r e l s e l i e l i e σσσ⎡⎤⎡⎤⋅⋅=-⋅=⋅⨯-⎣⎦⎣⎦ ※ ※ ※[问题II]，两个12自旋算符()()()1212123r r S e e σσσσ≡⋅⋅-⋅的研究。
什么是量子力学的角动量和自旋
什么是量子力学的角动量和自旋？量子力学中的角动量和自旋是描述粒子旋转和自旋性质的重要概念。
下面我将详细解释角动量和自旋，并介绍它们的特性和相互关系。
1. 角动量:在经典力学中，角动量是描述物体旋转的物理量，由角速度和惯性矩阵相乘得到。
在量子力学中，角动量是描述粒子旋转的量子性质。
量子力学中的角动量由角动量算符表示，通常记作L。
角动量算符是量子力学中的一个观察算符，它与粒子的旋转和角动量相关。
角动量算符具有一系列重要的性质，包括：-角动量算符是一个矢量算符，它有三个分量：Lx、Ly和Lz。
这些分量对应于粒子在三个不同方向上的角动量。
-角动量算符满足角动量代数，即它们之间存在一组对易关系。
这些对易关系决定了角动量算符的本征值和本征态之间的关系。
-角动量算符的本征值是量子力学中的角动量量子数，通常用l表示。
角动量量子数可以取整数或半整数，分别对应于不同的粒子类型。
-角动量算符的本征态是球谐函数，它们描述了粒子在不同方向上的角动量分布。
2. 自旋:自旋是量子力学中描述粒子内禀自旋性质的概念。
自旋可以看作是粒子固有的旋转，与粒子的轨道运动无关。
自旋由自旋算符表示，通常记作S。
自旋算符是量子力学中的一个观察算符，它与粒子的自旋和自旋角动量相关。
自旋算符具有一系列重要的性质，包括：-自旋算符是一个矢量算符，它有三个分量：Sx、Sy和Sz。
这些分量对应于粒子在三个不同方向上的自旋角动量。
-自旋算符满足自旋代数，即它们之间存在一组对易关系。
这些对易关系决定了自旋算符的本征值和本征态之间的关系。
-自旋算符的本征值是量子力学中的自旋量子数，通常用s表示。
自旋量子数可以取整数或半整数，分别对应于不同的粒子类型。
-自旋算符的本征态是自旋函数，它们描述了粒子在不同方向上的自旋分布。
角动量和自旋是量子力学中描述粒子旋转和自旋性质的重要概念。
它们在原子物理、凝聚态物理和粒子物理等领域发挥着重要的作用。
通过研究角动量和自旋，我们可以更好地理解和描述量子体系的旋转行为和内禀性质。
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散射简介散射实验在近代物理学的发展中起了特别重要的作用。
特别是在认识原子、分子、核及粒子的结构性质方面，Rutherford的粒子散射→原子的结构。
从此揭开了原子结构的新篇章，夫兰克赫兹实验证明了玻尔关于原子有定态的假设，原子很小，很难看到其微观结构，只能通过粒子与其作用，探测其性质，结构,就像用石头探水深，投石问路的方式探测其结构。
散射现象也称为碰撞现象通过散射表现出的宏观现象，研究靶的结构性质散射过程的一些基本概念①一个粒子与另一粒子碰撞的过程中，只有动能变换，粒子内部状态无改变态，则称为弹性碰撞（散射）若碰撞中粒子内部状态有所改变，如原子被激发或电离，则为非弹性碰撞，注意和经典物理中物体碰撞的比较。
②粒子和另一粒子的散射实质是粒子与力场的作用，微观原子为靶时，实质是粒子与原子的作用，场电、电场、核力确定原子、粒子很小靶粒子称为散射中心，当靶A的质量能入射粒子质量大得多时，可忽略靶的运动。
这样以来入射粒了受A的作用偏离原来运动方向，发生散射于原来方向的夹解θ，为散射角，如以极坐标描述，取入射粒子流方向为z 轴，则θ用就为散射角。
研究dn单位时间内散射到面积元ds 上的粒子数dn ，当r 一定时，取求面上面积元ds 则，当r 变化时2ds r ∞∴2dsdn d r∞=Ω 即与ds 所张的立体角成正比，同时dn 与入射粒子流强度N 成正比 N 定义，单位时间穿过单位横截面的粒子数 d n N d ∞Ω一般情下，不同方向(,)θϕ散射到的粒了数不同 (,)d N q N d θϕ=Ω(,)dn q Nd θϕ=Ω 当N 一定时，单位时间散射到(,)θϕ方向立体角ds 内的粒子数dn 由(,)q θϕ确定，(,)q θϕ与入射粒子，散射中心的性质等有关(,)q θϕ的量纲为2L 面积(,)dnq Nd θϕ=Ω(,)q θϕ称为微分散射截面一个粒子(,)q d θϕΩ散到(,)θϕ方向d Ω立体内的几率 N 个粒子 (,)q Nd θϕΩ散到(,)θϕ方向d Ω立体内的个数 N 为单位时间入射粒子则(,)q Nd θϕΩ单位时 个数 将(,)q d θϕΩ对所有方向积分2(,)(,)sin o o Q q d q d dp ππθϕθϕθθ=Ω=⎰⎰⎰ 称为总截面取散射中心为坐标原点，用()U r 表示入射粒子与散射中心之间的相互作用势能，则体系的薛方程为222U E ψψψμ-∇+= 式中的μ为入射的质量，E 是它的能量 为了方便，定义22222E p k μ== p k v μμ==22()()V r U r μ=hp k λ==2p k πλ==方程变为 22(())0k V r ψψ∇++=我们关心r →∞时ψ的行为，假设r →∞时()0U r →在粒子远离散射中心时，作用超于零，()U r 比1r更快超于零，对电场不适用。
这样在r →∞地方，波函数由两部分组成12(,)ikrikzr e Ae f rψψψθϕ→∞→+=+ 1ikzAe ψ= 2(,)i k r e f rψθϕ=入射粒子平面波 散射粒子的球面波，向外传播我们只考虑弹性散射，散射波能量不改变，波矢k 不变，(,)f θϕ是,θϕ的函数与r 无关。
取1A =则211ψ=表示每位体积内有一个入射粒子，入射几率流密度是****11111111[][]22z i i J ik ik z z ψψψψψψψψμμ∂∂=-=--∂∂[2]2i k ik V μμ=-== 即入射粒的粒了流强度N 散射波的几率流密度：*2*222222()[](,)22ikrikr ikr r i i e re ik e J f r r r rψψψψθϕμμ--⎡∂∂--=-=⎢∂∂⎣ 2212222(,)(,)2ikr ikr ikre re ik e i ikr r rik rf f r r r r r θϕθϕμ-⎤----⎡⎤-=-⎥⎢⎥⎣⎦⎦22222221(,)(,)(,)2i ik k v f f f r r rθϕθϕθϕμμ-=⋅=⋅= 即221(,)r J J f rθϕ∂= 散射流密度单位时间内穿过球面上单位面积几率222(,)(,)r v dn J ds f ds v f d r θϕθϕ===Ω V=N则d Ω为单位时间穿过面积ds 或在(,)θϕ方向d Ω立体角内的粒子数。
∴2(,)(,)f q θϕθϕ=微分散射截面(,)f θϕ称散射振幅，可见剩下的问题是要求解(,)f θϕ和具体的()U r 有关对于中心力场，势能()U r 只和粒子到散射中心的距离r 有关，与r的方向无关薛方程写为 22()0K V r ψψ⎡⎤∇++=⎣⎦我们在极坐标下解此方程，取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴，波函数ψ和散射振幅f 与ϕ角无关一般解可写为 (,,)(,)l lm lmr RY ψθϕθϕ=∑ lm Y 球函数因 (,)(1)(cos )m m im lm lm l Y N P e ϕθϕθ=- m l P 缔合勒组征 现在ψ与ϕ无关，故0m =∴(,)()(cos )l l lr R r P ψθθ=∑ l P 勒让德多项式即将波函数用勒让德多项式展开或按角动量的本征态展开，这样分解出的角量子数 0,1,2,3l =各项分别叫做S 波、P 波、d 波、f 波 径向波函数()e R r 满足径向方程2222()1(1)()()()0l l dR r d l l r K V R R r dr dr r r +⎡⎤⋅+--=⎢⎥⎣⎦ 令 ()()l l u r R r r=则()r r u 满足方程2222(1)()0l l d u l l K V r u dr r +⎡⎤+--=⎢⎥⎣⎦用数值方法解出波函数计算出微分截面。
例：[],c so v s r V V W W i V V ++++=(1)其中，实部光学势：23012(-)-()()r i V N Z V V V E V E f r A=+++, (2) 虚部体吸收势：2V 012i W (r)-(U U E U E )f (r)=++, (3)虚部表面吸收势：=)(r W s i 01n 2df (r)(N Z)(4W W E W )A dr-++, (4) 自旋轨道耦合势：[])1()1()1()(2)(+-+-+=b b so so so s s l l j j dr r df r U r V , (5)库仑势：=)(r V c ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<-cb cc c R r rZ Z R r R r R Z ,440975.1),3(Z 0.72044822b , (6)其中，A 和Z 为靶核的质量数和电荷数，j 和l 分别是靶核的总角动量和轨道角动量，b s 和b Z 为入射粒子的自旋和电荷，E 为中子入射能量。
其中形状因子：,,,,,)(exp 11)(so v s r i a R r r f i i i =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=(7),,,,so v s r 分别代表实部、面吸收、体吸收和自旋轨道耦合。
所有的光学势半径参数及c R 为：31A r R i i =, c so s r i ,,,,ν=, (8)so v s r r r r r ,,,, 库仑半径c r ，光学势扩散宽度r α，v α，s α，so α和能量相关项系数V 0，V 1，V 2，V 3，V 4，W 0，W 1，W 2，U 0，U 1，U 2在理论上都是常数，对不同的核可在物理意义允许的范围内调节。
由（3），（4）式给出的体系收和面吸收势如是正值则令其为零。
本文讨论中子入射反应的中子势参数，不包含库仑势。
本文中能量的单位为MeV ，长度的单位为fm 。
中子入射天然Zr 和90Zr 的总截面和弹性角分布的实验数据很多，能量分布已很广，在这些数据的基础上可以得到比较精确的光学势参数。
图. n+90Zr 弹性散射截面和实验数据的比较 图. n+90Zr 总截面和实验数据的比较每个电子都有自旋角动量S ，且在空间任意方向上的分量取两个值：2z S =±每个电子都有自旋磁矩M ，且与自旋角动量S 关系为：e e M S m c=-电子自旋算符之间对易关系x y y x zy z z y x z x x z yS S S S i S S S S S i S S S S S i S -=-=-=同时有 （对本征态任意态）22224xy z S S S === 22222231(1)42x y zS S S S s s s =++==+=222[,][,][,]0x y zS S S S S S ===波函数 两个本征态 2z S =±波函数112122(,)(,)(,)(,)()()z z z z z r s r s r s r s r r ψψψψψχψχ-+-+=+=+()()x x ψψ-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦22(),()x x ψψ-+ 意义？22()()1x x ψψ-++=算符2S 本征值22231(1)42S s s s ==+=对应矩阵222230103340144304I ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦z S 本征值2z S =±对应矩阵0102012202z z S σ⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦x S 在2,z S S 共同表象中矩阵表示对应矩阵0012102202x x S σ⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦y S 在2,z S S 共同表象中矩阵表示对应矩阵00202202y y i i S i i σ⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦S 在任意方向(,)n θϕ的投影n S ，在2,z S S 共同表象中矩阵表示sin cos sin sin cos sin cos sin sin cos cos sinsin cos n x y zx y zi i S S n S S S e eϕϕθϕθϕϕσθϕσθϕσϕϕθθϕ--=⋅=++=++⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦本征值？ 对角化？1[,]2[,]2[,]2x y zy z x z x y i i i σσσσσσσσσ===22221xyzσσσ===3{} {} {}0,0,0,0,0,0x y y x y z z y z x x zx yy zz xσσσσσσσσσσσσσσσσσσ+=+=+====222x y y x z z z z y z z y x x x x z x x z yy x y z y z x z y x yy i i i i i ii i i i i i σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ=-=====-=====-====。