第3章 角动量与电子自旋

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2012-12-23
3.1 角动量 有人把这种圆锥面表示形式说成是轨道角动量矢量
主动地绕z轴进动, 这种说法是不准确的.
当不施加外场时, 矢量静止在圆锥面上某个不确定的
位置上; 若在z轴方向施加外场, 则轨道角动量z分量不同
的态具有不同的能量, 若将能量等价地以频率来表示, 就
是所谓的Larmor进动频率.
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n,l,m,m n,l,m (ms ) s
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3.2 电子自旋 3. 自旋算符
应采用一个厄米线性算符来表示，用符号 S 表示自旋 角动量算符，与轨道角动量算符一样，也有三个分量和对 应的对易关系：
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ S x , S y ] iS z , [ S y , S z ] iS x , [ S z , S x ] iS y
第3章 角动量与电子自旋
3.1 角动量 3.2 电子自旋
3.3 角动量耦合
3.4 原子光谱项
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3.1 角动量 1 经典力学中的角动量 设电子的空间坐标为(x,y,z) ,其速度v在三个坐标方向的 分量为vx , v y , vz .在经典力学中,质量为m的质点的角动量 之定义为:
实验中原子束分裂的根源只能是电子自旋的客观 存在。而原子束一分为二说明电子自旋磁矩只可能有 两种取向，即顺着磁场方向和逆着磁场方向取向。
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3.2 电子自旋
用 ms （自旋磁量子数）来表示电子的自旋方向。
ms = 1/2
1
ms= -1/2
对电子而言，自旋量子数 s =1/2。 碱金属原子外层ns , 自旋磁矩的大小为:
i M r mv r p x px M xi M y j M zk j y py k z pz (3 2)
( ypz zp y )i ( zpx xpz ) j ( xp y ypx )k
角动量M的三个分量为:
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(3 4)
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3.1 角动量
球坐标系中的表达形式:
ˆ i sin cot cos Mx ˆ i cos cot sin My ˆ i Mz 1 1 2 2 2 ˆ M sin (sin ) sin 2 2
应用Euler公式,则得:
i 1 1 exp( C1 2) cos( C1 2) i sin( C1 2) 1 C1 / m , or C1 m (m 0,1,2,, )
(3 9)
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3.1 角动量
自旋磁矩可能有两 种取向,如图所示:
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3.2 电子自旋
作用能 由于 有两种取值，则作用能可能为正或负. 这样电子穿过磁场后就一分为二束。 故电子除了有轨道运动外还有自旋运动。 电子的运动状态需用n,
l, m, ms四个量子数来描述。
n, l, m说明电子所在的轨道 .
谱线的分裂一定是始态和终态存在着能级的差异。
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3.2 电子自旋
量子数 态和能级。
n, l 已完全可以确定电子绕核运动的状
故双线光谱结构不可能因轨道运动不同而引起， 一定存在着电子的其它运动。 1925年,乌伦贝克和哥德斯密脱提出电子具有不 依赖于轨道运动的固有磁矩的假设。 后由著名的斯特恩—盖拉赫实验证实。斯特恩 是美国人，因为第一个发现电子自旋现象获得了 1946年的诺贝尔物理学奖。

(3 11)
ˆ ˆ 式中Pl|m| (cos) 为连带Legendre多项式. Yl m (, )为 M 2 和 M z 的
共同本征函数,称为球谐函数(见氢原子的波函数求解),它 受l 和m两个量子数的限制.对角动量由 Yl m (, ) 所描述的 体系,测量其角动量平方的值,一定等到 l (l 1) 2 ,测量角动 量z方向的分量,一定得到m.但测量角动量本身及其在x方 向和y方向的分量, 则得不到确定的值.
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3.1 角动量
M x ypz zp y , M y zp x xpz , M z xpy ypx
2 M 2 M x2 M y M z2 2 角动量算符
(3 2) (3 3)
按算符转化规则,可得:
ˆ yp zp i y z M x ˆ ˆ z ˆˆ y z y ˆ ˆˆ ˆˆ M y zp x xp z i z z z x ˆ xp yp i x z M z ˆˆ y ˆˆ x y x ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ2 M 2 Mx My Mz
ˆ 可以看出，由于对波函数的限制, M z的本征值必然为量子 化的取值.即测量体系的角动量z分量时,只能得到量子化的 精确值.再由波函数的归一化条件可以得到系数 N 1 / 2 ˆ 故 M z 的本征函数为:
()
1 2
exp(im)
(3 10)
将上述结果代入(3-7)式的第二个方程,经数学处理并结合 ˆ 波函数平方可积的限制, 得 M 2的本征函数及本征值:
自旋平方算符为：
ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ S 2 S x S y S z2
且有关系：
ˆ ˆ [S 2 , S ] 0
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( x, y, z )
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3.2 电子自旋 自旋算符的本征值：用 s 表示自旋量子数，它是与自 旋角动量有关的量子数；用 ms表示自旋磁量子数，它是 与自旋角动量z分量有关的量子数。 ˆ 2 的 本征值： s(s 1) 2 S ˆ S Z 的 本征值： m s s的取值：从-s到+s的整数或半整数，共有2s+1个值。 对于电子，实验证明， s =1/2，故ms =+1/2或 -1/2 。 相应的本征值： S2 1 ( 1 1) 2 3 2
() sin
m


j
l m
a j cos j (6 13)
( j 0,2,4,; or l m
j 1,3,5)
(3 10)
C2 l (l 1)
(l 0,1,2,)
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总体结果为:
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3.1 角动量
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3.2 电子自旋 2 电子自旋的假设 Uhlenbeck等首先提出，电子除了饶核作轨道运动外， 还有自旋运动，故有自旋角动量。后来，在 Dirac 的相对 论量子力学中，可自然得出电子自旋的结论。 碱金属原子，外层ns ,
1
无轨道磁矩.
l 0, | ul | l (l 1)uB 0
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3.2 电子自旋
Stern-Gerlach实验：钠原子束在非均匀磁场中被分为两束. 装置参见右图, 一 束碱金属原子经过一个 不均匀磁场后射向屏幕， 实验发现原子束一分为 二，射向屏幕。 分析：实验体系中的原子肯定有两种不同的磁 矩，才会因与外磁场作用能不同，而导致分裂。
(3-5)

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3.1 角动量
对易关系:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ M x M y M y M x iM z , M y M z M z M y iM x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ M z M x M x M z iM y , M 2 M z M z M 2 0
M=r×mv =r× p (3-1)
其中 r 代表质点在空间的 矢径, v代表运动速度. M 为角动量,并符合约定 (r,v,M)三个矢量组成的右 手系(见图)
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3.1 角动量
在笛卡尔坐标系中, r=xi+yj+zk, v=vxi+vyj+vzk, 式中 i,j,k, 为x,y,z方向的单位矢量,根据矢量的运算规则: i×j=k, k×i=j, j×k=i, i×i=j×j=k×k=0 i· k · j · j= i= k=0, i· · · i=j j=k k=1 得M的具体形式:
ms 则表示电子的自旋方向。
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3.2 电子自旋
电子的自旋状态用自旋波函数描述.
自旋波函数

自旋波函数也是正交归一的.
（波函数
2d 1; 2d 1; d 0
称此为轨-旋波函数.
l |m| Yl m (, ) () () 1 sin |m| a j cos j exp(im) 2 j 1/ 2 2l 1 (l | m |)! |m| Pl (cos) exp(im) 4 (l | m |)!
(3-6)
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