空间解析几何数学竞赛辅导
空间解析几何数学课程竞赛辅导
空间解析几何数学竞赛辅导一. 向量代数1、已知空间中任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则向量),,(12121221z z y y x x M M ---=→2、已知向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→，则 （1）向量→a 的模为232221||a a a a ++=→（2）),,(332211b a b a b a b a ±±±=±→→（3）),,(321a a a a λλλλ=→ 3、向量的内积→→⋅b a（1）><⋅⋅=⋅→→→→→→b a b a b a ,cos |||| （2）332211b a b a b a b a ++=⋅→→其中><→→b a ,为向量→→b a ,的夹角，且π>≤≤<→→b a ,0注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。
4、向量的外积→→⨯b a （遵循右手原则，且→→→⊥⨯a b a 、→→→⊥⨯b b a ）321321b b b a a a k j ib a →→→→→=⨯ （1）332211//b a b a b a b a b a ==⇔=⇔→→→→λ （2）00332211=++⇔=⋅⇔⊥→→→→b a b a b a b a b a（3）几何意义： ||a b ⨯代表以,a b 为邻边的平行四边形的面积S ；平面上三点11(,,0)A x y ,22(,,0)B x y ,33(,,0)C x y 构成的三角形的面积为2121313111|||0|22ABCij k SAB AC x x y y x x y y =⨯=---- 2121313112x x y y x x y y --=--的绝对值也可以写成11223311121ABCx y Sx y x y =的绝对值。
数学竞赛中的解析几何问题(二)
（ １ ）证 明 ： △Ｐ ＡＢ 的 内切 圆 的 圆 心 在 一
条 定直 线上 ；
（ ２ ）若 ＡＰＢ一 ６ ０ 。 ， 求 △ ＰＡＢ 的 面 积 ．
号 （ 土 ） ．
５ △ Ｐ ＾ Ｂ一 — １（ ｚ 。一 ｚ２ ）一 １ （
ｚ ・
（ ２ ０ １ １年 全 国 赛 ）
，——一
—— — 、
尸
一
（ ２ ）解 ： 当 ＡＰＢ：６ ０ 。 时， 直线 Ｐ Ａ， Ｐ Ｂ
／
／ ＼ 、 ｊ
＼ ＼
、 、
０
圈 １
夕
方程分别为 ｙ 一± 屈 ． ④
④ 代 入 ① 得 ： ＋ （ 辽 ６ － ＋ ２ ／ １ ｚ 一 。
一
．
直线 Ｐ Ａ 方程 为 ： Ｙ 一 一 （ ｚ～３ ）
＝ ： ＞ 一
一３ ＋ ， 代人 椭 圆方程得 ，
（ １ — ３ ） ３ ［ ７ ＋１ ８（ １ ３ ～３ ） Βιβλιοθήκη 为 。．詈
ｍ 一十 ｌ
１ ４ ｘ 。 ＋ ９
一 ０， （＊ ）
于是， ｍ一 一ｍ ， 一—
（ 一
） －Ｘ （ √ ） ） 一一√ ｚ 一一√ ・
解
（ １ ）证 明 ： 平移 坐 标 系至 以 Ｐ 为 原
（ 号 ） ・ （ （ ） 。 一 （ ） 。 ） ＝ １ 可 １ ７ ￣ － ．
作 为对 照 ， 看在 原 坐标 系 中的解 ：
点， 则 椭 圆方 程为
， 即 曲线 为 圆
它 有 一 个 根 为
１ ８ （ １ ３ —３ ）
一
３√ ２ ，故 ｚ ＝
竞赛辅导-立体几何
（ 2） 求侧面 A1 B1 BA 与底面 ABC 所成二 ） 面角的度数． 面角的 度数．
19
变式五
20
21
练习 1: (1998 年全国高中数学联赛题 年全国高中数学联赛题) 设 E、F、G 分 别 是 正 四 面 体 ABCD 的 棱 AB、BC、CD 的中点 , 则二 面角 C ─FG ─E 的大 的中点, 小是( 小是( ) 6 π 3 (A) arc sin (B) + arc cos 3 2 3
所在的半平面为α 所在的半平面为 ， 所在的半平面为 ，∆C D1 B所在的半平面为 β，BD1 所在的直线是 α与 β 的交线。求二面角 α—BD1 —β 与 的交线。 C1 的度数 分析 因为二面角的平面角的度数是 D1
由相应平面角的来表示的， 由相应平面角的来表示的，所以解 题的一个方向是找平面角。 题的一个方向是找平面角。 A1 B1
二、 平 面 化 的 思 考
在空间,选取一个恰当的平面, 在空间,选取一个恰当的平面,使问题在这个平面上获得 突破性的进展,甚至全部解决,是一种自然而重要的思考, 突破性的进展,甚至全部解决,是一种自然而重要的思考,怎样 选取平面呢?有以下几个主要方法 选取平面呢?有以下几个主要方法 1、 截面法 、 2、隔离法 、 3、展平法 、 4、投影法 、
D
(C)
π
2
− arctan 2
(D) π − arctan 2
22
三、 图 形 变 换
例3、若空间四边形的两组对边相等，则两条对角线的中点 、若空间四边形的两组对边相等，
高中数学竞赛专题讲座之五：解析几何_2_
高中数学竞赛专题讲座之五： 《解析几何》各类竞赛试题选讲一、选择题1．（04湖南）湖南）已知曲线已知曲线C ：x x y 22--=与直线0:=-+m y x l 有两个交点，则m 的取值范围是(C) A ．)2,12(-- B ．)12,2(--C ．)12,0[-D ．)12,0(-2．（05全国）方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线轴上的双曲线3．（06浙江）已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有（共有（ C ）条. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解: 由,5=AB 分别以A ，B 为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。
正确答案为C. 4．（06安徽）过原点O 引抛物线224y x ax a =++的切线，当a 变化时，两个切点分别在抛物线（线（ ）上）上A ．2213,22y x y x == B ．2235,22y x y x ==C ．22,3y x y x ==D ．223,5y x y x ==5．若在抛物线)0(2>=a ax y 的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点O ，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r 的最大值是(A ) A ．a 21 B ．a1C ．aD ．a 26．（06江苏）已知抛物线y 2=2px ，o 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的点P 共有(B) A ．0个B ．2个C ．4个D ．6个7．（06全国）如图3，从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ．延长FT 交双曲线右支于P 点.若M 为线段FP 的中点，O 为坐为坐 标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为（的大小关系为（ ） A ．||||MO MT b a ->-B ．||||MO MT b a -=-C ．||||MO MT b a -<-D ．不确定．不确定8．（05四川）双曲线12222=-b y a x 的左焦点为1F ，顶点为21,A A ，P 是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段211,A A PF 为直径的两圆一定为直径的两圆一定 （ ）A ．相交．相交B ．内切．内切C ．外切．外切D ．相离．相离解：设双曲线的另一个焦点为2F ，线段1PF 的中点为C ，在△PF F 21中，C 为1PF 的中点，O 为21F F 的中点，从而|)||(|21||212112A A PF PF OC -==，从而以线段211,A A PF 为直径的两圆一定内切. 9．点A 是直线x y l 3:=上一点，且在第一象限，点B 的坐标为（3，2），直线AB 交x 轴正半轴于点C ，那么三角形AOC 面积的最小值是（A ）10．（02湖南）已知A （-7，0），B （7，0），C （2，-12）三点，若椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为（两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为（ ）（奥析263） A ．双曲线．双曲线 B ．椭圆．椭圆 C ．椭圆的一部分．椭圆的一部分 D ．双曲线的一部分．双曲线的一部分11．（03全国）过抛物线)2(82+=x y 的焦点F 作倾斜角为60O的直线。
数学竞赛中解析几何问题的解法(一)-最新教育资料
数学竞赛中解析几何问题的解法（一）
解析几何是各种考试中的重点和难点内容，解析几何题的运算量往往较大，所以很多同学容易出错或者做着做着就做不下去了.所以减少运算量、降低难度常常是解析几何题能否顺利做出来的关键.本文就选了近年的部分考题，来说明解好解析几何题的一些方法.
一、抓住定义解题――要熟练掌握圆锥曲线的两个定义，很多考题都是从定义出发求解的
二、用好韦达定理――韦达定理是解题的重要工具，圆锥曲线问题中恰当运用韦达定理可以减少不必要的运算
三、结合向量――近年解析几何题常常安一个向量的外壳，所以熟练运用向量知识在解这类题中至关重要
例6对于两条互相垂直的直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中心轨迹.（上海交大自主招生考试）
解以两条直线的交点为原点，两条直线为坐标轴建立直角坐标系.设椭圆的长轴长与短轴长分别为2a，2b（a>b>0）.中心为P（x，y），两个焦点分别为F1，F2.
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数学竞赛中解析几何问题的解法(一)-最新教育资料
数学竞赛中解析几何问题的解法（一）
解析几何是各种考试中的重点和难点内容，解析几何题的运算量往往较大，所以很多同学简易出错或者做着做着就做不下去了.所以减少运算量、降低难度常常是解析几何题能否顺利做出来的关键.本文就选了近年的部分考题，来说明解好解析几何题的一些方法.
一、抓住定义解题――要烂熟掌握圆锥曲线的两个定义，很多考题都是从定义出发求解的
二、用好韦达定理――韦达定理是解题的严重工具，圆锥曲线问题中恰当运用韦达定理可以减少不必要的运算
三、结合向量――近年解析几何题常常安一个向量的外壳，所以烂熟运用向量知识在解这类题中至关严重
例6对于两条互相垂直的直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中心轨迹.（上海交大自主招生考试）
解以两条直线的交点为原点，两条直线为坐标轴建立直角坐标系.设椭圆的长轴长与短轴长分别为2a，2b（a>b>0）.中心为P（x，y），两个焦点分别为F1，F2.
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解析几何竞赛题求解的几种常见策略_2
解析几何竞赛题求解的几种常见策略 陈硕罡 吴国建（浙江省东阳中学322100）解析几何作为高中数学的重要内容之一，研究问题的主要方法是坐标法，解题的基本过程是：首先用代数语言（坐标及其方程）描述几何元素及其关系，将几何问题代数化，解决代数问题，得到结果，分析代数结果的几何意义，最终解决几何问题。
解决几何问题的解决往往需要具有较强的观察、分析问题、解决问题的能力，需要熟练掌握数形结合与转换的思想，同时还要具有较强的运算能力，所以解析几何一直是各级高中数学竞赛命题的热点和难点。
在近几年的全国数学联赛中一试试题中，一般有一或两道填空题和一道解答题，分值在30分左右，占一试总分值的四分之一，其重要性不言而喻。
下面笔者结合自己的教学实践，提出解析几何竞赛题求解的几种常见策略，与同仁们探讨。
一、用函数(变量)的观点来解决问题函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型。
抓住问题中引起变化的主变量，并用一个具体的量（斜率或点的坐标等）来表示它，同时把问题中的的因变量用主变量表示出来，从而变成一个函数的问题， 这就是解决问题的函数观点。
在解析几何问题中，经常会碰到由于某个量（很多时候是线或点）的变化，而引起图形中其它量（面积或长度等）的变化的情况，所以函数观点成为了解决解析几何的一种重要方法。
【例1】（2010全国高中数学联赛试题）已知抛物线26y x =上的两个动点11(,)A x y 和22(,)B x y ,其中12x x ≠且124x x +=.线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ,求△ABC 面积的最大值.【分析】通过对题目的分析可以发现线段AB 中点的横坐标已经是定值，只有纵坐标在变化，可以把AB 中点的纵坐标作为主变量，这样只要把∆ABC 的面积表示成以AB 中点的纵坐标的函数即可，这是问题就转化为求函数的最值问题。
【解析】设线段AB 的中点M 坐标为（0(2,)y ，则 则直线AB 的斜率：12122212121206366--====-+-y y y y k y y x x y y y 线段AB 的中垂线方程：00(2)3-=--y y y x ，易知线段AB 的中垂线与x 轴的交点为定点(5,0)C 直线AB 的方程：003(2)-=-y y x y ，联立抛物线方程消去x 可得：220022120-+-=y y y y （1）， 由题意，12,y y 是方程（1）的两个实根，且12≠y y，所以2200044(212)0∆=-->⇒-<y y y弦长12|||=-==AB y y 点C(5，0)到直线AB的距离：||==h CM则1||2∆=⋅==ABC S AB h≤=当且仅当22009242+=-y y ，即0=y ，点5,A B或A B 时等号成立，所以∆ABC。
大学生数学竞赛 74页PPT文档
课堂要求：
1、不迟到、不早退。有事要请假，不无故缺课； 2、上课要带笔记本和草稿纸； 3、注意力集中，认真听课，不讲小话。带有手机的要关闭； 4、勤于思考，积极回答老师提出的问题； 5、课后要-10月20日进行培训，时间约为2个月，总培 训时数为54学时（讲课48学时，测试两次6学时）。 培训分为两个阶段： 第一阶段：2009年8月24日-9月20日。第一阶段培训结束后进 行一次综合测试，选拔参加全国赛的选手。 第二阶段：2009年9月22日-10月20日主要针对参加全国大学 生数学竞赛的选手进行强化培训。 2、培训课程
林群院士在谈到教改动态时说，微积分的发展可分为以下几代，第 一代是牛顿积分，其特点是说不清楚，行之有效。第二代是柯西积分， 其特点是说得清楚，学生知其然，不知其所以然。这就是现在我们的 微积分教学，教师在教学时可以清楚地说明微积分的理论，使用各种 方法去解决问题，学生在课堂上也可以听得明白，但一到考试时学生 就糊涂，不知道要用什么方法来解决问题。现在需要发展第三代微积 分。所谓第三代微积分，本质上还是柯西积分，但需要换一种观念， 力求让学生学习轻松，这就是要求多题一解，使学生不但在课堂上可 以听明白，而且在考试时也能应付自如。
§5 线性空间
§6 线性变换
则
§7 λ-矩阵
§8 欧氏空间
是正交变换.
§9 双线性函数与二次型
记为 T
B=
则
令
根据正交化做法, 存在上三角矩阵, 使 这时
§10 矢量及其线性运算
§11 曲面与曲线
法向量是(1,2,3), 即是这个平面与垂线
本次竞赛的目的
北航高宗升教授在谈到竞赛目的时说，竞赛目的有二个，一是提 高、促进大学数学教学改革。二是发现人才。关于人才，高宗升教 授特别说明，这是指具有数学思想、能够用数学思想去解释实际问 题，用发散思维去考虑实际问题的人才。他还举了一个例子，在莫 斯科数学竞赛中，有这样一个题目，给出19个ε－δ的表述，要求学 生对每一种表述是从哪个方面去解释ε－δ进行说明，并对每一种表 述构造出一个函数。高宗升教授特别说明，对于这样的题目，如果 学生不具备数学思想，不能用发散思维去考虑问题，将无法完成这 种题目。
数学竞赛精品课解析几何的高效解题方法
数学竞赛精品课解析几何的高效解题方法解析几何是数学竞赛中的重要内容之一，也是相对较难的部分。
为了提高在解析几何题目上的解题效率，我们需要掌握一些高效的解题方法和技巧。
本文将介绍一些数学竞赛精品课中教授的解析几何的高效解题方法。
一、题目分析与几何性质的归纳在解析几何的题目中，首先我们需要仔细分析题目，理解题目的要求和条件。
同时，我们需要总结几何图形的性质和定理，将题目中的几何要素和已知条件归纳整理。
这样不仅可以帮助我们更好地理解题目，还能够为后续解题过程中的思路提供指导。
二、构建辅助线与辅助图形在解析几何的题目中，合理地构建辅助线与辅助图形是提高解题效率的重要一环。
通过构建辅助线和辅助图形，我们可以产生新的几何关系，简化原题的解决过程。
在构建辅助图形时，我们可以根据题目中的几何要素和已知条件来选择合适的辅助线和辅助图形，以减少问题的复杂性。
三、利用相似性与对称性在解析几何的题目中，相似性和对称性是经常使用的思想和方法。
通过观察几何图形的相似性和对称性，我们可以得到一些有用的信息，简化题目的解决过程。
当题目中的几何图形具有相似性或对称性时，我们可以利用相似性定理、对称轴等性质来推导和求解题目。
四、利用三角函数和向量方法解析几何中常常涉及到角度、距离和方向等概念，因此利用三角函数和向量方法可以帮助我们更快地解决问题。
通过运用三角函数的性质和向量的运算法则，我们可以得到一些有用的结论，从而更好地解析几何的题目。
五、利用面积和体积的性质在解析几何中，面积和体积的性质经常用于推导和求解题目。
通过利用面积和体积的性质，我们可以得到一些有关几何图形的关键信息，帮助我们更快地解决问题。
在解析几何的题目中，常用的面积和体积的性质包括三角形的面积公式、平行四边形的面积公式、立体图形的体积公式等。
六、几何题目的综合解题方法除了以上介绍的一些高效解题方法和技巧外，还有一些综合解题方法可以帮助我们更好地解决解析几何题目。
比如运用直线的垂直性与平行性、利用圆的切线与弦的性质、通过解析几何与代数几何的结合等等。
数学竞赛数学类b类解析几何知识点
数学竞赛数学类b类解析几何知识点摘要：1.数学竞赛简介2.数学类B类竞赛大纲概述3.解析几何知识点概述4.解析几何在数学竞赛中的应用5.提高解析几何能力的方法和建议6.总结正文：一、数学竞赛简介数学竞赛是一项旨在选拔和培养数学人才的重要活动。
在我国，数学竞赛分为不同类别，其中数学类B类竞赛针对中学生，注重考察学生的基本数学素养和数学应用能力。
解析几何作为数学的重要组成部分，在数学竞赛中占据一定比重。
二、数学类B类竞赛大纲概述数学类B类竞赛大纲涵盖了初等代数、几何、三角函数、概率与统计等多个领域。
对于几何部分，大纲要求掌握基本几何图形的性质和计算方法，了解几何变换、坐标几何等相关知识。
而解析几何作为现代几何的基石，更是竞赛中的关键内容。
三、解析几何知识点概述解析几何主要研究平面直角坐标系中点、线、面及其相关性质。
数学类B类竞赛要求掌握以下知识点：1.平面直角坐标系中的基本概念和运算；2.直线、圆、椭圆、双曲线等二次曲线的性质和方程；3.空间几何中的坐标变换；4.解析几何中的数学建模。
四、解析几何在数学竞赛中的应用在数学竞赛中，解析几何知识点的应用主要体现在以下几个方面：1.解题思路：运用解析几何方法，可以将复杂问题转化为简单问题，提高解题效率；2.数学建模：竞赛题目常常涉及实际问题，通过建立解析几何模型，可以更好地理解和解决问题；3.题目创新：解析几何内容丰富，可以为竞赛题目提供更多创新空间。
五、提高解析几何能力的方法和建议1.扎实掌握基本概念和公式；2.多做竞赛题目，积累经验，提高解题速度；3.学习高等数学，拓宽知识面；4.参加培训班或请教专业人士，提升自己的解析几何水平。
六、总结数学类B类竞赛中的解析几何部分，对于选拔和培养数学人才具有重要意义。
要想在竞赛中取得好成绩，就需要扎实掌握解析几何的基本知识和应用，不断提高自己的解题能力。
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空间解析几何数学竞赛辅导一. 向量代数1、已知空间中任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则向量),,(12121221z z y y x x M M ---=→2、已知向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→，则 （1）向量→a 的模为232221||a a a a ++=→（2）),,(332211b a b a b a b a ±±±=±→→（3）),,(321a a a a λλλλ=→ 3、向量的内积→→⋅b a（1）><⋅⋅=⋅→→→→→→b a b a b a ,cos |||| （2）332211b a b a b a b a ++=⋅→→其中><→→b a ,为向量→→b a ,的夹角，且π>≤≤<→→b a ,0注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。
4、向量的外积→→⨯b a （遵循右手原则，且→→→⊥⨯a b a 、→→→⊥⨯b b a ）321321b b b a a a k j ib a →→→→→=⨯ （1）332211//b a b a b a b a b a ==⇔=⇔→→→→λ （2）00332211=++⇔=⋅⇔⊥→→→→b a b a b a b a b a（3）几何意义： ||a b ⨯代表以,a b 为邻边的平行四边形的面积S ；平面上三点11(,,0)A x y ,22(,,0)B x y ,33(,,0)C x y 构成的三角形的面积为2121313111|||0|22ABCij k SAB AC x x y y x x y y =⨯=---- 2121313112x x y y x x y y --=--的绝对值也可以写成11223311121ABCx y Sx y x y =的绝对值。
5. 混合积：(,,)()a b c a b c =⋅⨯。
(1)注意：(,,)(,,)(,,)a b c b c a c a b ==(2)坐标表示：111222333(,,)()x y z a b c a b c x y z x y z =⋅⨯=, 其中， ()111,,a x y z =，()222,,b x y z =, ()333,,c x y z =。
(3)几何意义：(,,)a b c 的绝对值表示以,,a b c 为三条邻边的平行六面体的体积。
,,a b c 共面的充要条件是(,,.)0a b c =。
空间不共面的四点111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,333(,,)C x y z ,444(,,)D x y z 构成的四面体的体积为11121212122231313133341414144411111661xy z x x y y z z x y z V x x y y z z x y z x x y y z z x y z ---==------的绝对值。
（它实际是以,,AB AC AD 为邻边的平行六面体的体积的六分之一）例1 设径矢1r OA =, 2r OB =,3r OC =, 证明 133221r r r r r r R⨯+⨯+⨯=垂直于平面.证明 :由于 R AB ⋅=)(12r r -⋅[)()()(133221r r r r r r ⨯+⨯+⨯]=)()()()()()(131321211132322212r r r r r r r r r r r r r r r r r r ---++ =0)()(321321=-r r r r r r ,所以 R AB ⊥.同理可证 R AC ⊥.所以 R ⊥平面.例2．设P 是球内一定点，A ，B ，C 是球面上三个动点.2/CPA B PC APB π=∠=∠=∠. 以，，为棱作平行六面体，记与P 相对的顶点为Q ，求Q 点的轨迹.（见北京大学2007考研题）二．直线与平面方程 (一)、平面1、平面的点法式方程已知平面过点),,(000z y x P ，且法向量为),,(C B A n =→，则平面方程为0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A注意：法向量为),,(C B A n =→垂直于平面2、平面的一般方程0=+++D Cz By Ax ，其中法向量为),,(C B A n =→3、求平面方程的主要方法 （1）过直线⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A 的平面方程可设为0)()(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A λ如果直线方程是点向式或参数式可转化为上述形式处理 例（1）在过直线⎩⎨⎧=++=+++0204z y x z y x 的平面中找出一个平面，使原点到它的距离最长。
（2）平面过OZ 轴，且与平面0=-z y 的夹角为060，求该平面方程（两平面夹角等于两法向量的夹角或两法向量的夹角的补角） （3）求过点)1,0,1(-M 和直线110122-=-=-z y x 的平面方程 （4）过直线⎩⎨⎧=+-=-+083042z y z x 作平面，使它平行于直线⎩⎨⎧=--=--0604z y y x(5)过平面02=+y x 和6324=++z y x 的交线作切于球面4222=++z y x 的平面（6）求由平面0173,0122=++=+-y x z x 所构成的两面角的平分面方程 （2）利用点法式求平面方程注意：（i ）任何垂直于平面的向量→n 均可作为平面的法向量 （）和平面0=+++D Cz By Ax 平行的平面可设为01=+++D Cz By Ax （）如存在两个向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→和平面平行（或在平面内），则平面的法向量为321321b b b a a a k j ib a n →→→→→→=⨯= 例1（1）已知两直线为111111--=-=-z y x ，221113-=--=-z y x ，求过两直线的平面方程（2）求过)1,3,8(-A 和)2,7,4(B 两点，且垂直于平面02153=--+z y x 的平面（3）一平面垂直于向量)2,1,2(且与坐标面围成的四面体体积为9，求平面方程（4）已知球面0642222=-+-++z y x z y x 与一通过球心且与直线⎩⎨⎧=-=0z y x 垂直的平面相交，求它们的交线在xoy 面上的投影 例2．已知椭球面1222222=++cz b y a x )(b a c <<， 试求过x 轴且与椭球面的交线是圆的平面方程。
解 平面过x 轴，从而过原点，得0D =。
设法向量(,,)n A B C =，由平面过x 轴得(,,)n A B C =与(1,0,0)i =垂直，得0A =，平面方程：0By Cz +=。
又0y =与0z =都不符合题意，所以0,0B C ≠≠。
不妨令Bz y ky C=-=，它与椭球面的交线为 2222222222222211x y z x c b k y a b c a b c z ky z ky ⎧⎧+++=+=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎩⎩（1）由于交线圆的圆心在原点，且该圆过点(,0,0),(,0,0)a a -，故该圆的方程也可表示为22222222211x kx y z a y a a z ky z ky⎧+⎧++=+=⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩(2)比较（1）和（2）得22222221c b k k c k b c a ++=⇒=±，所求平面方程为：0±=。
(3)轨迹法求方程方法：（i ）设平面上任一一点),,(z y x M （）列出含有z y x ,,的方程化简的平面方程例 求由平面013=++-z y x 和023=--+z y x 所构成的二面角的平分面的方程（二）、直线 1、直线的对称式方程过点),,(000z y x P 且方向向量为),,(321v v v v =→直线方程32010v z z v y y v x x -=-=- 注意：方向向量),,(321v v v v =→和直线平行 2、直线的一般方程⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A ，注意该直线为平面01111=+++D z C y B x A 和02222=+++D z C y B x A 的交线3、直线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=tv z z t v y y t v x x 3020104、求直线方程的主要方法(1)把直线的一般方程化为点向式方程 方法：已知直线方程为⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A ，则该直线的方向向量为),,(321222111v v v C B A C B A kj i v ==→→→→在直线上任取一点),,(000z y x ，则直线方程为32010v z z v y y v x x -=-=- 例化直线的一般方程⎩⎨⎧=--+=-++0132052z y x z y x 为标准方程(2)根据直线的方向向量求直线方程例（1）过点)2,1,0(M ，且平行于两相交平面013=++-z y x 和023=--+z y x 的直线方程（2求过点)0,4,2(M ，且与直线⎩⎨⎧=--=-+023012z y z x 平行的直线方程（3）求过点)2,0,1(-M ，且与平面0643=+-+z y x 平行，又与直线14213zy x =+=-垂直的直线方程 注意：一直线和两直线垂直；一直线和两平面平行；一直线和一平面平行，和另一直线垂直均可确定直线的方向向量 (3)利用直线和直线的位置关系求直线方程 注意：（1）两直线平行，则332211n m n m n m ==，其中),,(321m m m 和),,(321n n n 为直线的方向向量（2）两直线302010m z z m y y m x x -=-=-和312111n z z n y y n x x -=-=-相交，则 0321321010101=---=∆n n n m m m z z y y x x 且332211n m n m n m ≠≠ （3）两直线302010m z z m y y m x x -=-=-和312111n z z n y y n x x -=-=-异面，其中公垂线的方向向量为),,(321321321v v v n n n m m m kj iv ==→→→→，则两异面直线的距离为||||→∆=v d ；公垂线方程为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=---=---0032132111132132100v v v n n n z z y y x x v v v m m m z z y y x x例（1）求通过点)1,1,1(M 且与两直线321z y x ==和431221-=-=-z y x 都相交的直线方程解：设所求直线的方向向量为),,(c b a ，已知两直线的方向向量为)3,2,1(、)4,1,2(，且分别过点)0,0,0(、)3,2,1(则0321111=cb a ，即02=+-c b a ；0412210=--cba，即02=-+c b a 故b c a 2,0==，故)2,1,0(),,(=c b a 所求直线为211101-=-=-z y x （2）已知两异面直线0111+=-=z y x和011111-=-=-z y x ，求它们的距离与公垂线方程 （3）求与直线137182-=-=+z y x 平行且与下列两直线相交的直线 ⎩⎨⎧+=-=3465x z x z 和⎩⎨⎧+=-=5342y z x z （4）求过点)3,2,1(-P 与z 轴相交，且与已知直线22334--=-=z y x 垂直的直线方程（三）有关知识补充:1. 不在一条直线上的三点(,,)(1,2,3)i i i i P x y z i =的平面等价于11213,,PP PP PP 共面⇔11213(,,)0PP PP PP =⇔1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=---。