粱昆淼第四版数学物理方法第3和4章
数学物理方法第一章
(或微商)，以 f '(z) 或 df/dz 表示
讨论：
1、从形式上看，复变函数导数的定义与实变函数的定义相同，
因而实变函数论中关于导数的规则和公式往往可以适用于实变 函数。
则
x cos y sin
z (cos i sin )
z e
i
指数式
讨论：i)复数的辐角不能唯一地确定。如果 0 是其中一个辐角， 则
0 2k (k 0,1,2,) 也是其辐角，把属于 [0,2 ) 的辐角称为主值辐角，记为arg z .
存在，且连续，并
且满足柯西-黎曼条件。 证明：由于这些偏导数连续，二元函数 u 和 v 的增量可分别写为
各 个
，于是有
根据柯西-黎曼条件，上式即
这一极限是与 z 0 无关的有限值。证毕。
讨论：复变函数与实变函数的导数有本质上的差别，复变函数 可微，不但要求复变函数的实部与虚部可微，而且还要求其实 部与虚部满足柯西-黎曼条件。
单连通区域：在区域 B 做任何简单的闭曲线，曲线包围 的点全属于 B。否则为多连通区域。
三、复变函数例
多项式
a0 a1 z a2 z an z
2
n
n 为正整数
有理分式
a0 a1 z a2 z 2 an z n b0 b1 z b2 z 2 bm z m
ii)当 1时，z cos i sin ei 称为单位复数。
iii)复数 z 的共轭复数
z x iy (cos isin ) e
精选数学物理方法第四版梁昆淼期末总结讲义
设函数 f(z)在回路 l 所围区域 B上除有限个孤
立奇点b1，b2，…，bn外解析，在闭区域 B 上除b1，
b2，…，bn外连续，则f(z)沿l正向积分 l f (z)dz 之值
等于f(z)在l所围区域内各奇点的留数和的2 i倍.
n
l
f
( z )dz
2 i
Re sf
j 1
1 cos 2 2
u v 1 sin sin
2 2
22
第14页，共84页。
u 1 cos 2 2
u sin 2 2
将上面第二式对 积分， 视作参数，有
u
u
d
R(
)
sin d R()
22
2
sin
2
d
R(
)
2 cos R()
2
其中 R() 为 的任意函数。 将上式两边对 求导，
0 arg z 2 ,
辐角：Argz arg z 2k (k 0,1,2,)
共轭复数: z x iy z* x iy
第2页，共84页。
2、复数的运算: 加、减、乘、除、乘方、开方 (1)、加法和减法
z1 x1 iy1 z2 x2 iy2
z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 ) (2)、乘法和除法
2kπ n
i sin
2kπ n
i 2k
n e n
( k 0, 1, 2, , n 1 )
复数的乘、除、乘方和开方运算，采用三角式
或指数式往往比代数式来得方便。
第5页，共84页。
二、六种初等复变函数：
1. 幂函数 w z n
2 .指数函数 w e z
数学物理方法 教学大纲
《数学物理方法》教学大纲Methods of Mathematical Physics课程编码：17A03090 学分：4.5 课程类别：专业基础课（必修课）计划学时：72 其中讲课: 72 实验或实践：0 上机：0适用专业：通信工程推荐教材：梁昆淼编，《数学物理方法》（第四版），高等教育出版社，2010。
参考书目：1. 吴崇试编著，《数学物理方法》（第二版），北京大学出版社，2003。
2. 管平，计国君，黄骏，《数学物理方法》，高等教育出版社，2006。
课程的教学目的与任务该课程分为复变函数论与数学物理方程两篇。
复变函数部分是介绍复变函数和积分变换的基础知识，数学物理方程部分是介绍物理学中常遇到的三种典型偏微分的基本求解方法和求解偏微分方程中遇到的常微分方程的求解方法。
通过该课程的学习，使得学生能够掌握复变函数的基本性质和复变函数的微分、积分方法，以及复变函数积分变换方法。
更重要是的掌握常见偏微分方程的基本解法，目的是为理论物理课程所遇到的偏微分方程的求解奠定数学基础，同时培养学生数学建模思维方式和解决数理问题的基本能力。
课程的基本要求1.定期完成教师布置的作业和积极参加讨论活动；2.熟练掌握复数的基本性质、定理和傅里叶变换规律；3.领会三类典型数理方程的推导方法，学写方程的初始条件、边界条件和衔接条件；4.掌握求解三种典型数学物理方程的基本方法；5.掌握特殊函数方程的级数求解方法。
各章节授课内容、教学方法及学时分配建议（含课内实验）第一章：解析函数建议学时：6 [教学目的与要求]1.熟练掌握复数的各种表示方法及六则运算；2.掌握复变函数及其极限、连续、可导的概念；3.掌握邻域等概念，理解复变函数的几何意义；4.正确理解解析性定义，掌握并熟练运用C-R条件；5.掌握由解析函数实部求虚部，或由虚部函数求实部的方法，以及关复势的概念。
[教学重点与难点] 重点：解析函数的概念与性质，以及C-R条件；难点：对C-R条件的理解和应用。
王成优_“数学物理方法”(第4版)勘误表
1 d d 1 dx d d (sin ) ( sin 2 ) sin d d sin d dx dx d d (1 x 2 ) dx dx
d m2 2 d (1 x ) [ l ( l 1) ] 0 dx d 1 x2
2π
[ei x f ( x)] f ( 0 )
0
f (t ) f ( ) (t )d
r
[ei x f ( x)] F ( 0 )
0
f (t ) f ( ) (t )d
( x a) ( x a)
2a
( x a) ( x a)
2x
( x a) ( x a)
2a
删去
，下式符号 δ 函数 1 lim π 2 x 2
，下式符合 δ 函数 1 lim 0 π 2 x 2
2 x lim arctan 0 π 0
G ( )
(1 2rx r 2 ) lr l 1Pl ( x)
l 0
(1 2rx r 2 ) lr l 1Pl ( x)
王成优©山东大学(威海) 数学物理方法
2
WangChengyou © Shandong University, Weihai
梁昆淼 编, 刘法 缪国庆 修订. 数学物理方法(第 4 版)[M]. 高等教育出版社, 2010.01.
F ( )
1
2
[ xJ1 ( x) x] 0
F ( )
1
2
[ xJ1 ( x)] 0
渐进
渐近
a k cos a, b k sin a eikp cos( a )
数学物理方法第4章
1
1
Re sf ( z)
k 1
n
z 1
表示f(z)在单位圆内所 有奇点的留数和
证明： 令:
ze
i
则:
dz ie d izd
i
0 2
cos (e e sin (e e
1 1 Re sf () Re s[ ,0] 10 2 (1 / z i ) (1 / z 1)(1 / z 3) z z10 Re sf () Re s[ ,0] 0 10 (1 iz ) (1 z )(1 3z )
得：
1 I 10 2(3 i )
§4.2 利用留数定理计算实变函数定积分
1 2 1 i f ( i ) i d 2i 0 re re
1 2 1 i i f ( i ) i 2 d ( re ) 2i 0 re ( re ) 1 1 i f ( ) 2 d Re s() 2i 1
f(z)在ρ<|z|<+∞解析，从而f(1/ξ)在0<|ξ|<1/ρ内解析， 除ξ=0外没有其它奇点，由留数定理得：
( z z0 ) f ( z ) a1 a0 ( z z0 ) a1 ( z z0 )
2
lim ( z z0 ) f ( z ) a1
z z0
非零的有限值
Re sf ( z0 )
若
P( z ) f ( z) Q( z ) P( z ) z z0 Re sf ( z ) lim ( z z0 ) lim P( z ) z z0 Q ( z ) z z0 Q ( z ) P ( z0 ) Q ' ( z0 )
第四章 留数定理 习题梁昆淼数学物理方法
第四章 留数定理1. 函数z ze z f /1)(=在0=z 的奇点类型为 本性奇点 ，其留数为 1/2 。
2. 设n m ,为整数,则=⋅⎰-dx nx mx )cos (sin ππ0 。
3.函数23)(22+++=z z z z z f 有____1___个极点，为_____1____阶极点，在极点处的留数为____________－2____________。
4.为的单极点，则为__________________。
5.函数sin /()z z f z e =在0=z 的奇点类型为 可去奇点 ，其留为 06.函数43)(22-+-=z z zz z f 有________个极点，为__________阶极点；在极点处的留数 为________________________。
7.为的 。
A) 单极点 B) 二阶极点C) 三阶极点 D) 四阶极点8.已知函数，试判断是的几阶极点，然后计算、和在的留数，再利用所得结果给出在的邻域上洛朗展开级数的前三项。
(注意：此题亦可用的泰勒展开直接求出的洛朗展开的前几项，然后利用所得结果求出留数。
)9.求函数的奇点所在的位置，然后计算积分。
10.用留数定理计算复积分⎰=-+=2/3||22)2)(1(z z z dzI 。
解： 回路内有两个一阶极点.,21i z i z -== （2分）其留数为分）（350/)34(])2(2/[1])2)(/[(1lim )]()[(lim )(Re 22221i i i z i z z f i z z sf iz iz -=-=-+=-=→→分）（350/)34(])2(2/[1])2)(/[(1lim )]()[(lim )(Re 22222i i i z i z z f i z z sf iz iz +=---=--=+=→-→25/8))(Re )((Re 221i z sf z sf i I ππ=+= （2分）。
数学物理方法基础(复变函数)
1.2 复变函数
为了更好的理解这个定义，我们需要 了解以下概念：区域、邻域、内点、外点 、境界线、闭区域、开区域等。
邻域：以Zo为圆心，以任意小正数ε 为 半径作一圆，则圆内所有点的集 合称为Zo的邻域。
内点： Zo及其邻域均属于点集E，则该 点叫作E的内点。 外点： Zo及其邻域均不属于点集E，则 该点叫作E的外点。
1
2)
z n n cos n i sin n n ein
n
n z cos i sin e n n n
n i
1-1 课堂练习
1、下列各式在复平面上表示什么？ （1）|z-a|=|z-b| （2）Rez>1/2
答案
再看Δz沿虚轴逼近于0的情形：
f ( z z ) f ( z ) lim z 0 z u ( x, y y ) iv( x, y y ) u ( x, y ) iv( x, y ) lim y 0 iy v( x, y ) u ( x, y ) i y y
上篇
复变函数论
主要内容: 复变函数和解析函数 复变函数的积分 复变函数的级数 拉普拉斯变换与傅立叶变换 线性常微分方程的级数解法及特殊函数等。
第一章 复变函数
1—1 复数及复数运算 1.复数的基本概念 2.复数及其表示形式 3.无穷远点 4.复数的基本运算
1、什么是复数
一个复数可表示为 z=x + i y, 其中x, y为实数，分别为复数z的实部与虚部，记 为:x=ReZ, y=ImZ;(i即虚单位)。复数的上述表示 称为复数的代数式. 1)实部为零的复数称为纯虚数,虚部为零的复数z=x 称为实数。全体实数只是全体复数的一部分. 2)若实部x=0 ,虚部y=0 ,则z=0——复数零. 3)如果把x，y看做是平面上的点，那么复数Z就与 平面上的 点一一对应起来，这个平面称作复平面。
梁昆淼 数学物理方法教学大纲
《数学物理方法》教学大纲（供物理专业试用）前言一、课程概述1．《数学物理方法》是物理教育专业本科的一门重要的基础课，它是前导课程《高等数学》的延伸，为后继开设的《电动力学》、《量子力学》和《电子技术》等课程提供必需的数学理论知识和计算工具。
本课程在本科物理教育专业中占有重要的地位，本专业学生必须掌握它们的基本内容，否则对后继课的学习将会带来很大困难。
在物理教育专业的所有课程中，本课程是相对难学的一门课，学生应以认真的态度来学好本课程。
2．本课程的主要内容包括复变函数、傅立叶级数、数学物理方程、特殊函数等。
理论力学中常用的变分法，量子力学中用到的群论以及现代物理中用到的非线性微分方程理论等，虽然也属于《数学物理方法》的内容，但在本大纲中不作要求。
可以在后续的选修课中加以介绍。
3．本课程的内容为数学课程，注重逻辑推理和具有一定的系统性和严谨性。
但是，它与其它的数学课有所不同。
本课程内容有很深广的物理背景，实用性很强。
因此，在这门课的教学过程中，不能单纯地追求理论上的完美、严谨，而忽视其应用。
学生在学习时，不必过分地追求一些定理的严格证明、复杂公式的精确推导，更不能死记硬背，而应重视其应用技巧和处理方法。
4．本课程的内容是几代数学家与物理学家进行长期创造性研究的成果，几乎处处都闪耀创新精神的光芒。
教师应当提示学生注意在概念建立、定理提出的过程中所用的创新思维方法，在课堂教学中应尽可能地体现历史上的创造过程，提高学生的创造性思维能力。
二、目的要求1．本课程要求学生对规定的内容有一个总体了解。
掌握其中的基本概念，熟悉一些重要的理论及公式，并使所学到的知识在头脑中形成合理的结构。
2．本课程要求学生能运用学到的基本数学方法解决一类常见的物理问题，能较顺利地学习本专业后继的物理课程。
3．本课程要求学生能熟悉在数学物理方法的创立过程中用过的创新思维方法，如类比、推广、猜想及模型化等，为写出有特色的学年论文和/或毕业论文创造条件。
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发散 绝对收敛
lk imk ak (zz0)k 1
发散
R lim 1 a k k
k
(zz0) R 绝对收敛
(zz0) R 发散
3、收敛圆与收敛半径 以z0为圆心半径为R的圆内级数绝对收敛，这个圆称 为收敛圆。R为收敛半径
例：求幂级数 z k k0
解： ak 1
的收敛半径
R lim ak a k
k 1
1
收敛圆： 以0为圆心 半径为1
z 1
事实上：
如
z 1
n zk
k0
1 z n1 1 z
zk
1 zn1 lim
1
k0
n 1z 1 z
( z 1)
例：求幂级数 (1)k z2k 的收敛半径
k 0
解： ak (1)k
R lim ak a k
k 1
1
公比为 z2
如 z 1
收敛圆： 以0为圆心 半径为1
f '(z) 1
z
f
''
(z)
1! z2
f '(1) 1 f ''(1) 1
f (3)(z) 2! z3
f(k)(z)(1)k
(k1)! zk
f (3)(1)2!
f(k)(1)(1)k(k1)
lnzn 2i 1 (z 1 ) 1 !(z 1 )2 ( 1 )k(k 1 )(z ! 1 )k0
k
z0
z
(z z0)k
k0 ( z0)k1
z z0
CR1 CR
f(z)21iCR1 f(z)d
1
2 i
CR 1k0((z zz00 ))kk 1f(
)d
k 0(z z0)k2 1iC R 1(
1 z0)k 1f()d
1 ! 2 !
k !
lnzn 2i 1 (z 1 ) 1 !(z 1 )2 ( 1 )k(k 1 )(z ! 1 )k
1 ! 2 !
k !
n 2 i (z 1 ) 1 (z 1 )2 ( 1 )k(z 1 )k
2
k
( z1 1)
§3.4 解析沿拓
1、解析沿拓概念
比较两个
函数：
cozs1(eizeiz) (1)k z2k
2
k0 (2k)!
z
例：在z0=0邻域上把
f
(z)
1 1
z
展开
解：
1
1
z
1zz2
zk
z 1
k0
例：在z0=0邻域上把
f
(z)
1 1 z2
展开
1
1 z2
z 2k
z 1
k0
例：在z0=1邻域上把 f(z)lnz 展开
解： f(z)lnz
f(1)ln1n2i
第三章 幂级数展开
§3.1 复数项级数 §3.2 幂级数 §3.3 泰勒级数展开 §3.4 解析沿拓 §3.5 洛朗级数展开 §3.6 孤立奇点的分类
§3.1 复数项级数
1、 复数项级数
称级数
w kukikvk0,1,2,
wk
k 1
收敛于F
复数项级数和
wk ukivk
k1
k1
k1
n
这时 ln imk1uk u
z 1
k 0
(1)k
z2k
1
1 z
2
( z 1)
例：求幂级数
(z / 2)2k
解：R lim 1 a k 2k
2k
k 0
的收敛半径
lim 1 k 2k 1/ 22k
2
§3.3 泰勒级数展开
定理：设f(z)在以z0为圆心的
圆CR内解析，则对圆内的任意
f(z) ak(zz0)k
z点，f(z)可展开为
R lim ak lim k
a k k 1
k
z
例：在z0=0邻域上把 f(z)sinz和 f(z)cozs 展开
解： sinz1(eizeiz)
1 (iz)k (iz)k
(
)
2i
2i k0 k! k0 k!
1(
(iz)k
(iz)k)
2i k0 k! k0 k!
z
(1)k z2k1 k0 (2k 1)!
zk 1zz2
z 1
k0
1
和
1 z
除 z=1 以外 两者在较小区域等同
设某个区域b 上的解析函数f(z)，找出另一函数F(z),它在
含有b 的一个较大的区域B上解析，且在区域b上等于f(z)
称F(z)为 f(z)的解析沿拓
bB
2、解析沿拓唯一性概念
设f(z)， F(z)在某个区域B上解析，若在B的任一 子区域b 中f(z) F(z)，则在整个区域B上必有 f(z) F(z)。
k0
其中a ：k2 1i ( C R 1 f( z0) )k 1df(kk )( !z0)
CR1为圆CR内包含z且与CR
同心的圆
z0
z z z0 CR1 CR
证：cauch公式 f(z)21i CR1 f(z)d
1
1
1
1
z z0(zz0) z01(zz0)/(z0)
1z01z zz00z zz002
前n 项和
n
n
n
wk uki vk Fn
k1
k1
k1
n
ln imk1vk v 也收敛
n
若
lim
n k1
wk
F
有限
科西收敛判据： (级数收敛必要条件)
2、复变函数项级数
对于任意 >0,有N，使得n>N时 wk(z)w1(z)w2(z)
F npF nw n 1w n 2w np
k1
各项都是z
k 0
为以z0 为中心的幂级数
考虑
a0a 1(zz0)a2(zz0)2
1、比值判别法
令：
lim
k
ak1 ak
(z z0)k1 (z z0)k
limak1 k ak
(zz0)
R lim ak a k
k 1
(zz0) R
1 绝对收敛
1 发散
绝对收敛
(zz0) R
2、根值判别法
lk imk ak (zz0)k 1
的函数
n p
w k
对于B（或l 上）任意 z,给定 >0,有N，使
k n1
得n>N() 时
p 为任意正整数
n p
绝对收敛：
wk ( z )
k n1
wk
uk2 vk2
k 1
k1
收敛
称为级数在B上一致收敛
此时，若每项连续， 则和连续
§3.2 幂级数
讨论幂
级数
a k(zz0)ka 0a 1(zz0)a 2(zz0)2
而由cauch
公式
f(k)(z)2k !i l(f(z))k1d
f(z) ak(zz0)k k0
ak
f (k) (z0) k!
例：在z0=0邻域上把 f (z) ez 展开
解：
ak
f (k) (z0) k!
1 k!
d k ez dzk
z0
1 k!
公比为
ez 1zz2 zk
2!
k!
z k k0 k!
§3.5 洛朗级数展开
考虑如下幂级数
a 2 ( z z 0 ) 2 a 1 ( z z 0 ) 1 a 0 a 1 ( z z 0 ) a 2 ( z z 0 ) 2