2018年高考天津卷理科数学含答案
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+U . 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B = .棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高. 棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高. 一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()=R I A B ð (A) {01}x x <≤(B) {01}x x << (C) {12}x x ≤<(D) {02}x x <<(2)设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+的最大值为(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为 (A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(4)设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 (A) a b c >> (B) b a c >>(C) c b a >>(D) c a b >>(6)将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 (A)在区间35[,]44ππ上单调递增(B)在区间3[,]4ππ上单调递减(C)在区间53[,]42ππ上单调递增(D)在区间3[,2]2ππ上单调递减 (7)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B两点. 设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为(A)221412x y -=(B)221124x y -= (C)22139x y -=(D) 22193x y -= (8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则⋅uu u r uurAE BE 的最小值为(A)2116(B)32(C)2516(D) 3第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2. 本卷共12小题，共110分。
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
(9) i 是虚数单位，复数67i12i+=+ . (10) 在5(2x x的展开式中，2x 的系数为 .(11) 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为 .(12)已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线21,2232⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y (t为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 .(13)已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab +的最小值为 . (14)已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 .三.解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-. （I ）求角B 的大小；学科*网（II ）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值. (16)(本小题满分13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；（ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.(17)(本小题满分13分)如图，AD BC ∥且AD =2BC ，AD CD ⊥,EG AD ∥且EG =AD ，CD FG ∥且CD =2FG ，DG ABCD ⊥平面，DA =DC =DG =2.（I ）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN CDE ∥平面； （II ）求二面角E BC F --的正弦值；学.科网（III ）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长.(18)(本小题满分13分)设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是等差数列. 已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+.（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）设数列{}n S 的前n 项和为()n T n *∈N ，（i ）求n T ；（ii ）证明221()22()(1)(2)2n nk k k k T b b n k k n +*+=+=-∈+++∑N . (19)(本小题满分14分)设椭圆22221x x a b+=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 已知椭圆的离心率为3，点A 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅=（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若sin 4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值. (20)(本小题满分14分)已知函数()xf x a =，()log a g x x =，其中a >1.（I ）求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；（II ）若曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线与曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线平行，证明122ln ln ()ln ax g x a+=-； （III ）证明当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线.参考答案：一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分． （1）B （2）C （3）B （4）A （5）D（6）A（7）C（8）A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分． （9）4–i （10）52（11）112（12）12（13）14（14）(48)，三、解答题（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分． （Ⅰ）解：在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B =，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =．又因为(0π)B ∈，，可得B =π3．（Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b． 由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．因为a <c，故cos A =sin 22sin cos A A A =21cos22cos 17A A =-=． 所以，sin(2)sin 2cos cos2sin AB A B A B -=-=1127-= （16）本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．学.科网（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i ）解：随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P （X =k ）=34337C C C k k-⋅（k =0，1，2，3）．所以，随机变量X 的分布列为P 13512 351835435随机变量X的数学期望11218412()0123353535357E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．（ii）解：设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以，事件A发生的概率为67．（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．依题意，可以建立以D为原点，分别以DAu u u r，DCu u u r，DGu u u r的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，32，1），N（1，0，2）．（Ⅰ）证明：依题意DCu u u r=（0，2，0），DEu u u r=（2，0，2）．设n0=(x，y，z)为平面CDE的法向量，则DCDE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r，，nn即20220yx z=⎧⎨+=⎩，，不妨令z=–1，可得n0=（1，0，–1）．又MNu u u u r=（1，32-，1），可得MN⋅=u u u u rn，又因为直线MN⊄平面CDE，所以MN∥平面CDE．（Ⅱ）解：依题意，可得BCu u u r=（–1，0，0），(122)BE=-u u u r，，，CFu u u r=（0，–1，2）．设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，则BCBE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r，，nn即220xx y z-=⎧⎨-+=⎩，，不妨令z=1，可得n=（0，1，1）．设m =（x ，y ，z ）为平面BCF 的法向量，则00BC BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u ur ，，m m 即020x y z -=⎧⎨-+=⎩，， 不妨令z =1，可得m =（0，2，1）．因此有cos<m ，n>=||||⋅=m n m n sin<m ，n．所以，二面角E –BC –F． （Ⅲ）解：设线段DP 的长为h （h ∈［0，2］），则点P 的坐标为（0，0，h ），可得(12)BP h =--u u u r，，． 易知，DC u u u r=（0，2，0）为平面ADGE 的一个法向量，故cos BP DC BP DC BP DC ⋅<⋅>=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，解得h∈［0，2］． 所以线段DP. （18）本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.（I ）解：设等比数列{}n a 的公比为q.由1321,2,a a a ==+可得220q q --=. 因为0q >，可得2q =，故12n n a -=.设等差数列{}n b 的公差为d ，由435a b b =+，可得13 4.b d +=由5462a b b =+， 可得131316,b d += 从而11,1,b d == 故.n b n =所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，数列{}n b 的通项公式为.n b n =（II ）（i ）由（I ），有122112nn n S -==--，故 1112(12)(21)22212n nnkkn n k k T n n n +==⨯-=-=-=-=---∑∑.（ii ）证明：因为11212()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21k k k k k k+k T +b b k k k k k k k k k k k k ++++--++⋅===-++++++++，所以，324321221()2222222()()()2(1)(2)3243212n n n nk k k k T b b k k n n n ++++=+=-+-++-=-+++++∑L . （19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2c ，由已知知2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=，可得ab =6，从而a =3，b =2．所以，椭圆的方程为22194x y +=． （Ⅱ）解：设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ =．由AQ AOQ PQ =∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =．易知直线AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221ky k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）=，两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =． 所以，k 的值为111228或．（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.（I ）解：由已知，()ln xh x a x a =-，有()ln ln xh x a a a '=-. 令()0h x '=，解得x =0.由a >1，可知当x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表：所以函数()h x 的单调递减区间(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞.（II ）证明：由()ln x f x a a '=，可得曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线斜率为1ln x a a .由1()ln g x x a'=，可得曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线斜率为21ln x a . 因为这两条切线平行，故有121ln ln x a a x a=，即122(ln )1x x a a =. 两边取以a 为底的对数，得212log 2log ln 0a x x a ++=，所以122ln ln ()ln a x g x a +=-. （III ）证明：曲线()y f x =在点11(,)x x a 处的切线l 1：111ln ()x x y a a a x x -=⋅-.曲线()y g x =在点22(,log )a x x 处的切线l 2：2221log ()ln a y x x x x a -=⋅-. 要证明当1e e a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线，只需证明当1ee a ≥时，存在1(,)x ∈-∞+∞，2(0,)x ∈+∞，使得l 1和l 2重合.学*科网 即只需证明当1e e a ≥时，方程组1112121ln ln 1ln log ln x x x a a a x a a x a a x a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩①②有解，由①得1221(ln )x x a a =，代入②，得111112ln ln ln 0ln ln x x a a x a a x a a-+++=. ③ 因此，只需证明当1e e a ≥时，关于x 1的方程③有实数解.设函数12ln ln ()ln ln ln x xa u x a xa a x a a =-+++，即要证明当1e e a ≥时，函数()y u x =存在零点. 2()1(ln )x u x a xa '=-，可知(,0)x ∈-∞时，()0u x '>；(0,)x ∈+∞时，()u x '单调递减，又(0)10u '=>，21(ln )2110(ln )a u a a ⎡⎤'=-<⎢⎥⎣⎦，故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得0()0u x '=，即0201(ln )0x a x a -=.由此可得()u x 在0(,)x -∞上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减. ()u x 在0x x =处取得极大值0()u x . 因为1e e a ≥，故ln(ln )1a ≥-， 所以0000002012ln ln 12ln ln 22ln ln ()ln 0ln ln (ln )ln ln x x a a a u x a x a a x x a a x a a a +=-+++=++≥≥. 下面证明存在实数t ，使得()0u t <.由（I ）可得1ln x a x a ≥+， 当1ln x a>时， 有2212ln ln 12ln ln ()(1ln )(1ln )(ln )1ln ln ln ln a a u x x a x a x a x x a a a a ≤+-+++=-++++， 所以存在实数t ，使得()0u t < 因此，当1ee a ≥时，存在1(,)x ∈-∞+∞，使得1()0u x =. 所以，当1e e a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线.。
2018年高考天津卷理科数学真题与答案
.2018 年一般高等学校招生全国一致考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时 120 分钟。
第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。
答卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在答题考上，并在规定地点粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务势必答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第 I 卷注意事项：1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。
2．本卷共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。
参照公式：假如事件 A，B互斥，那么P( AU B)P( A) P(B) .假如事件 A，B 互相独立，那么P( AB)P( A) P(B) .棱柱的体积公式V Sh ，此中 S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高 .1棱锥的体积公式 V Sh，此中S表示棱锥的底面面积，h 表示棱3锥的高 .一.选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.(1) 设全集为 R，会合A { x 0x 2} ， B{ x x1} ，则A I (e R B)(A){ x 0x1}(B){ x 0x1}(C){ x 1x2}(D) { x 0x2}x y5,(2) 设变量x，y知足拘束条件2x y4,则目标函数 z3x 5y 的最大x y1,y0,值为(A)6(B)19(C) 21(D)45(3)阅读如图的程序框图，运转相应的程序，若输入 N的值为20，则输出 T 的值为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(4) 设x R ，则“| x 1 | 1”是“x31”的2 2(A)充分而不用要条件(B)必需而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不用要条件(5) 已知a log 2 e ， b ln 2 ， c log 11，则 a，b，c 的大小关系为23(A) a b c(B) b a c(C) c b a(D) c a b(6) 将函数y sin(2 x) 的图象向右平移个单位长度，所得图象对应510的函数(A) 在区间[3,5] 上单一递加(B) 在区间[3, ]上单一444递减(C) 在区间[5,3] 上单一递加(D) 在区间[3,2 ]上单422调递减(7) 已知双曲线x2y20) 的离心率为2，过右焦点且垂直于a2b21( a0, bx 轴的直线与双曲线交于A，B 两点.设 A，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2，且 d1d2 6 ，则双曲线的方程为(A)x2y21(B) x2y21412124.(C)x2y21(D) x2y213993(8) 如图，在平面四边形ABCD中，AB BC，AD CD ， BAD 120，AB ADuuur uur1.若点E为边CD上的动点，则AE BE 的最小值为(A)21(B) 3(C)25(D)316216第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或署名笔将答案写在答题卡上。
2018年高考数学(理科)天津卷(精校版)
2018年高考数学（理科）天津卷（精校版）一、选择题：1.[2018天津理1]设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()R A C B = （ ）A.{01}x x <≤B.{01}x x <<C.{12}x x ≤<D.{02}x x <<【答案：B 】2.[2018天津理2]设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+的最大值为（ ）A.6B.19C.21D.45【答案：C 】3.[2018天津理3]阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为（ ）A.1B.2C.3D.4【答案：B 】4.[2018天津理4]设x R ∈，则“11||22x -<”是“31x <”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案：A 】5.[2018天津理5]已知2log e a =，ln 2b =，121log 3c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A.a b c >> B.b a c >> C.c b a >>D.c a b >>【答案：D 】6.[2018天津理6]将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A.在区间35[,]44ππ上单调递增 B.在区间3[,]4ππ上单调递减 C.在区间53[,]42ππ上单调递增D.在区间3[,2]2ππ上单调递减【答案：A 】7.[2018天津理7]已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为（ ）A.221412x y -= B.221124x y -= C.22139x y -= D.22193x y -= 【答案：C 】8.[2018天津理8]如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==.若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为（ ）A.2116B.32C.2516D.3【答案：A 】二、填空题：9.[2018天津理9] i 是虚数单位，复数6712ii+=+ . 【答案：4i -】10.[2018天津理10]在5(x 的展开式中，2x 的系数为 .【答案：52】 11.[2018天津理11]已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点,,,,E F G H M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为 .【答案：112】 12.[2018天津理12]已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1,3x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)与该圆相交于,A B 两点，则ABC ∆的面积为 . 【答案：12】 13.[2018天津理13]已知,a b R ∈，且360a b -+=，则128a b+的最小值为 . 【答案：14】 14.[2018天津理14] 已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 . 【答案：(48)，】三、解答题：15.[2018天津理15]在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin cos()6b A a B π=-.（1）求角B 的大小；（2）设2,3a c ==，求b 和sin(2)A B -的值.【答案】：（1）3B π=；（2.16.[2018天津理16]已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. （1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.①用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； ②设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.【答案】：（1）甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人； （2）①12()7E X =；②67.17.[2018天津理17]如图，AD BC ∥且2AD BC =，AD CD ⊥,EG AD ∥且EG AD =，CD FG ∥且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===.（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN CDE ∥平面； （2）求二面角E BC F --的正弦值；（3）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60 ，求线段DP 的长.【答案】：（1）略；（2；（318.[2018天津理18]设函数设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()n S n N *∈，{}n b 是等差数列.已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n S 的前n 项和为()n T n N *∈.①求n T ；②证明221()22()(1)(2)2n nk k k k T b b n N k k n +*+=+=-∈+++∑. 【答案】：（1）.n b n =；（2）①122n T n +=--；②略.19.[2018天津理19]设椭圆22221x x a b+= (0)a b >>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的，点A 的坐标为(,0)b，且FB AB ⋅=（1）求椭圆的方程；（2）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若AQ AOQ PQ=∠( O 为原点) ，求k 的值.【答案】：（1）22194x y +=；（2）12k =或1128k =.20.[2018天津理20]已知函数()xf x a =，()log a g x x =，其中1a >.（1）求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；（2）若曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线与曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线平行，证明122lnln ()ln ax g x a+=-； （3）证明当1e e a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线. 【答案】：（1）函数()h x 的单调递减区间(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞； （2）略；（3）略；。
2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 理科数学试题及详解
2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高.棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高.一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()=R A B （）(A){01}x x <≤(B){01}x x << (C){12}x x ≤<(D){02}x x <<1．【答案】B【解析】由题意可得{}1Bx x =<R ，结合交集的定义可得(){}01A B x =<<R ，故选B ．(2)设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩则目标函数35z x y =+的最大值为（）(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D)452．【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：51x y x y +=-+=⎧⎨⎩，可得点A 的坐标为()2,3A ，据此可知目标函数的最大值为max 35325321z x y =+=⨯+⨯=，故选C ．(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为（） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)43．【答案】B【解析】结合流程图运行程序如下：首先初始化数据：20N =，2i =，0T =， 20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=，此时不满足5i ≥； 203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=，此时满足5i ≥； 跳出循环，输出2T =，故选B ．(4)设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的（）(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 4．【答案】A【解析】绝对值不等式111110122222x x x -<⇔-<-<⇔<<， 由311x x <⇔<，据此可知1122x -<是31x <的充分而不必要条件．故选A ．(5)已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） (A) a b c >> (B) b a c >>(C)c b a >>(D)c a b >>5．【答案】D【解析】由题意结合对数函数的性质可知：2log e 1a =>，()21ln 20,1log e b ==∈，12221log log 3o 3e l g c ==>， 据此可得c a b >>，故选D ．(6)将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 (A)在区间35[,]44ππ上单调递增 (B)在区间3[,]4ππ上单调递减(C)在区间53[,]42ππ上单调递增(D)在区间3[,2]2ππ上单调递减6．【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为：sin 2sin210ππ5y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则函数的单调递增区间满足：()2π22π2ππ2k x k k -≤≤+∈Z ， 即()ππ4π4πk x k k -≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数的单调递减区间满足：()3π2π22π2π2k x k k +≤≤+∈Z ，即()3πππ4π4k x k k +≤≤+∈Z ，令1k =可得一个单调递减区间为5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选A ．(7)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为（）(A)221412x y -=(B)221124x y -= (C)22139x y -=(D)22193x y -= 7．【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为()(),00F c c >，则A B x x c ==， 由22221c y a b -=可得2b y a =±，不妨设2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得21bc b d c -==，22bc b d c +==， 则12226bcd d b c +===，则3b =，29b =，双曲线的离心率为2c e a ==，据此可得23a =，则双曲线的方程为22139x y -=，故选C ．(8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==.若点E 为边CD 上的动点，则⋅AE BE 的最小值为（） (A)2116 (B) 32 (C) 2516(D) 38．【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则10,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ⎫⎪⎪⎝⎭，30,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，点E 在CD 上，则()01DE DC λλ=≤≤，设(),E x y ，则：32x y λ⎛⎫⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即32x y λ⎧⎪=⎨=⎪⎪⎪⎩，据此可得32E λ⎫⎪⎪⎝⎭，且331222AE λ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，3322BE λ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，由数量积的坐标运算法则可得：33312222AE BE λλ⎛⎛⎫⋅=-+⨯+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 整理可得：()()23422014AE BE λλλ⋅=-+≤≤，结合二次函数的性质可知，当14λ=时，AE BE ⋅取得最小值2116，故选A ．第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2018年高考理科数学天津卷-答案
2 3a 3a 2 3 3
2 3a 3a 2 3 3
2 33 2 33
d1
2
a ，d2
2
2
2 a ，所以 d1 d2 2 a 2 a 2 3a 6 ，
x2 y2 解得 a 3 ，故双曲线的方程为 1．
39
【考点】双曲线的方程与几何性质、点到直线的距离公式．
8．【答案】A
2a x
0,
当
x 0 时， 1 =a2
4a
；当
x
0
时，
2 =a2 8a ；根据题目条件可知函数 g x 恰有 2 个不同的零点（前提条件是 a 0 ），可以分为以下三种情
1 =0，
1 0，
况：①当
时，解得 a 0 ，不满足条件 a 0 ，此时无解；②当
时，解得 4 a 8 ，此时函数
9 4
y kx,
2k
x
y
2
0,
消去
x
，可得
y2
k
1
，由
5 y1
9 y2
，可得
5k
1
3
9k 2 4 ， 两边平方 ，整理得
56k 2 50k 11 0 ，解得 k 1 或 k 11 ．
k
0,1,2,3 ．
4/9
所以随机变量 X 的分布列为
1 12 18 4 12 随机变量 X 的数学期望 EX 0 1 2 3 ．
35 35 35 35 7
（ii）设事件 B 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2 人”；事件 C 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人”，则 A B C ，且 B 与 C 互斥．由（i）知
2018年高考天津卷理数真题(含答案)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+ .如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B = .棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高. 棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高. 一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()=R I A B ð(A) {01}x x <≤(B) {01}x x << (C) {12}x x ≤<(D) {02}x x <<(2)设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+的最大值为(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为 (A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(4)设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 (A) a b c >> (B) b a c >>(C) c b a >>(D) c a b >>(6)将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 (A)在区间35[,]44ππ上单调递增(B)在区间3[,]4ππ上单调递减 (C)在区间53[,]42ππ上单调递增 (D)在区间3[,2]2ππ上单调递减 (7)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为(A)221412x y -=(B)221124x y -= (C)22139x y -=(D) 22193x y -= (8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==.若点E 为边CD 上的动点，则⋅uu u r uurAE BE 的最小值为(A)2116(B)32(C)2516(D) 3第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2018年天津市高考数学试卷(理科)及答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.
答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.
2.本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.
参考公式:
·如果事件A , B 互斥, 那么
)()()(B P A P A P B ⋃=+
·棱柱的体积公式V =Sh ，
其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.
·如果事件A , B 相互独立, 那么
)()(()B P A A P P B =
·球的体积公式34.3
V R π= 其中R 表示球的半径.。
2018年普通高等学校招生统一考试理科数学真题及参考答案(天津卷)
2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学试卷（理工类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么 .()()()P A B P A P B =+ ·如果事件A ，B 相互独立，那么 .()()()P AB P A P B =·棱柱的体积公式，其中表示棱柱的底面面积，表示棱柱的高.V Sh =S h·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高.13V Sh =S h 一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设全集为R ，集合，，则 {02}A x x =<<{1}B x x =≥()=R I A B ð(A) (B) {01}x x <≤{01}x x <<(C)(D) {12}x x ≤<{02}x x <<(2)设变量x ，y 满足约束条件 则目标函数的最大值为5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩35z x y =+(A) 6(B) 19(C) 21(D) 45(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为 (A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(4)设，则“”是“”的 x ∈R 11||22x -<31x <(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为 2log e =a ln 2b =121log 3c =(A) (B)(C)(D) a b c >>b a c >>c b a >>c a b>>(6)将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 sin(2)5y x π=+10π(A)在区间上单调递增 (B)在区间上单调递减35[,44ππ3[,]4ππ(C)在区间上单调递增 (D)在区间上单调递减53[,]42ππ3[,2]2ππ(7)已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与22221(0,0)x y a b a b-=>>双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且1d 2d ，则双曲线的方程为 126d d += (A)(B)221412x y -=221124x y -=(C)(D) 22139x y -=22193x y -=(8)如图，在平面四边形ABCD 中，，，，AB BC ⊥AD CD ⊥120BAD ∠=︒. 若点E 为边CD 上的动点，则的最小值为1AB AD ==⋅u u u r u u rAE BE (A)(B)(C)(D)21163225163第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2018年天津高考数学试卷(理科)
2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学(理工类)一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （2018年天津理）设全集为R ，集合{}20<<=x x A ，{}1≥=x x B ，则=⋂)(B C A RA ．{}10≤<x x B ．{}10<<x xC ．{}21<≤x xD ．{}20<<x x【答案】B【解析】由题意可得：{}1<=x x B C R ，结合交集的定义可得：.{}10)(<<=⋂x x B C A R 【考点】交集的运算法则+补集的运算法则 【难度】★★★2．（2018年天津理）设变量,x y 满足约束条件52410x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，，，，则目标函数35z x y =+的最大值为（ ）A ．6B ．19C ．21D ．45【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：51x y x y +=⎧⎨-+=⎩，可得点(2,3)A ，所以max 35325321z x y =+=⨯+⨯=. 本题选择C 选项.【考点】求线性目标函数()0z ax by ab =+≠的最值， 【难度】★★★3．（2018年天津理）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】结合流程图运行程序如下： 首先初始化数据：20,2,0N i T ===，10Ni=，结果为整数， 执行11,13T T i i =+==+=，此时不满足5i ≥；203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12,15T T i i =+==+=，此时满足5i ≥； 跳出循环，输出2T =.故选择B 选项. 【考点】程序框图 【难度】★★★4. （2018年天津理）设R x ∈，则“2121<-x ”是“13<x ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不重复条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】绝对值不等式 102121212121<<⇔<-<-⇔<-x x x ，由113<⇔<x x .据此可知2121<-x 是13<x 的充分而不必要条件.本题选择A 选项.【考点】绝对值不等式的解法+充分不必要条件 【难度】★★★5．（2018年天津理）已知e a 2log =，2ln =b ，31log 21=c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D【解析】由题意结合对数函数的性质可知：1log 2>=e a ，)1,0(log 12ln 2∈==eb ，ec 2221log 3log 31log >==，据此可得：c a b >>.本题选择D 选项. 【考点】对于指数幂的大小的比较. 【难度】★★★6．（2018年天津理）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间]45,43[ππ上单调递增 B ．在区间],43[ππ上单调递减 C ．在区间]2,4[ππ上单调递增D ．在区间],2[ππ上单调递减【答案】A【解析】由函数sin(2)5y x π=+的图象平移变换的性质可知： 将sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin[2())]sin 2105y x x ππ=-+=则函数的单调递增区间满足：222()22k x k k z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k z ππππ-≤≤+∈，令1=k 可得函数的一个单调递增区间为]45,43[ππ，选项A 正确. 函数的单调递减区间满足：3222()22k x k k z ππππ+≤≤+∈， 即3()44k x k k z ππππ+≤≤+∈， 令1=k 可得函数的一个单调递减区间为]47,45[ππ，选项C ，D 错误；故选择A 选项. 【考点】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调性 【难度】★★★7．（2018年天津理）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点．设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为（ ）A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22193x y -= 【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为(,0)(0)F c c >，则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得：2b y a=±，不妨设： 22(,),(,)b b A c B c a a-，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：221bc b d c -==，222bc b d c +==， 则12226,bcd d b c+===则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====， 据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=，故选择C 选项.【考点】待定系数法求双曲线的标准方程；渐近线方程 【难度】★★★★8．（2018年天津理）如图，在平面四边形ABCD 中，BC AB ⊥，CD AD ⊥，︒=∠120BAD ，1==AD AB . 若点E 为边CD 上的动点，则⋅的最小值为（ ）A ．1621 B ．23 C.．1625D ． 3【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则)210(，A ，)023(，B ，)230(，C ，)023(，-D ，点E 在CD 上，则)10(≤≤=λλ，设),(y x E ，则：)23,23(),23(λ=+y x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+λλ232323y x ， 据此可得：)23,23,23(λλ-E ，且：31)22AE λ=+u u u r，3)2BE λ=-u u u r ，由数量积的坐标运算法则可得：331()(()222222AB BE λλλλ⋅=-+⨯+u u u r u u u r ，整理可得：23(422)(01)4AB BE λλλ⋅=-+≤≤u u u r u u u r ，结合二次函数的性质可知，当41=λ时，BE AB ⋅取得最小值1621. 本题选择A 选项.【考点】向量的数量积+向量的坐标运算+数量积的几何意义 【难度】★★★★第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．（2018年天津理）i 是虚数单位，复数67i___________12i+=+． 【答案】4i -【解析】由复数的运算法则得：67i (67i)(12i)205412i (12i)(12i)5ii ++--==-++-. 【考点】复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 【难度】★★★10．（2018年天津理）在5)21(xx -的展开式中，2x 的系数为____________.【答案】25【解析】结合二项式定理的通项公式有：r r r rrr r x C xx C T 2355551)21()21(--+-=-=，令2235=-r 可得：2=r ，则2x 的系数为：251041)21(252=⨯=-C . 【考点】二项式定理 【难度】★★★11．（2018年天津理）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥EFGH M -的体积为__________.【答案】121 【解析】分析：由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积. 详解：由题意可得，底面四边形EFGH 为边长为22的正方形，其面积21222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=EFGH S ， 顶点M 到底面四边形EFGH 的距离为21=d ， 由四棱锥的体积公式可得：.121212131=⨯⨯=-EFGH M V 【考点】四棱锥的体积 【难度】★★★12．（2018年天津理）已知圆0222=-+x y x 的圆心为C ，直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=t y t x 223221(为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC ∆的面积为___________. 【答案】21【解析】分析：由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.详解：由题意可得圆的标准方程为：1)1(22=+-y x ， 直线的直角坐标方程为：)1(3+-=-x y ，即02=-+y x ， 则圆心到直线的距离：222201=-+=d ， 由弦长公式可得：2)22(122=-⨯=AB ， 则2122221=⨯⨯=∆ABC S . 【考点】直线与圆的位置关系+点到直线的距离.【难度】★★★13．（2018年天津理）已知,a b R ∈，且360a b -+=，则128ab+的最小值为__________． 【答案】14【解析】由360a b -+=可知36a b -=-，且：312228aa b b -+=+， 因为对于任意x ， 20x >恒成立，结合均值不等式的结论可得：31122284aa b b-+=+≥==. 当且仅当32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩，即31a b =-⎧⎨=⎩时等号成立.综上可得128ab +的最小值为14. 【考点】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 【难度】★★★★14．（2018年天津理）已知0>a ，函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+-≤++=0,220,2)(22x a ax x x a ax x x f ，若关于x 的方程ax x f =)(恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________. 【答案】)8,4( 【解析】：分类讨论：当0≤x 时，方程ax x f =)(即ax a ax x =++22，整理可得：)1(2+-=x a x ，很明显1-=x 不是方程的实数解，则12+-=x x a ，当0>x 时，方程ax x f =)(即ax a ax x =-+-222， 整理可得：)2(2-=x a x ，很明显2=x 不是方程的实数解，则22-=x x a ，令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤+-=0,20,1)(22x x x x x x x g ，其中）2-111(12+++-=+-x x x x ，424222+-+-=-x x x x原问题等价于函数)(x g 与函数a y =有两个不同的交点，求a 的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数)(x g 的图象， 同时绘制函数a y =的图象如图所示，考查临界条件， 结合0>a 观察可得，实数a 的取值范围是)8,4(.【考点】函数零点的求解与判断 【难度】★★★★15．（2018年天津理）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin cos()6b A a B π=-．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设2a =，3c =，求b 和sin(2)A B -的值．【答案】（Ⅰ）3B π=；（Ⅱ）b =；sin(2)A B -=【解析】（Ⅰ）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =．又因为(0,π)B ∈，可得3B π=．（Ⅱ）在ABC ∆中，由余弦定理及2,3,3a c B π===，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b =．由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．因为a c <，故cos A =．因此sin 22sin cos A A A ==21cos22cos 17A A =-=． 所以，sin(2)sin 2cos cos2sin AB A B A B -=-=1127-= 【考点】1.同角三角函数的基本关系；2.两角差的正弦与余弦公式；3.二倍角的正弦与余弦公式；4.正弦定理、余弦定理 【难度】★★★16．（2018年天津理）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. （I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； （ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率. 【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）答案见解析；（ii ）76． 【解析】（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为2:2:3， 由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．)3,2,1,0()(37334=⋅==-k C C C k x P kk 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望712354335182351213510)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ． （ii ）设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”； 事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”， 则C B A ⋃=，且B 与C 互斥，由（i ）知，)2()(==X P B P ，)1()(==X P C P ，故76)1()2()()(==+==⋃=X P X P C B P A P ．所以，事件A 发生的概率为76．【考点】超几何分布+分层抽样. 【难度】★★★ 17．（2018年天津理）如图，//AB BC 且BC AD 2=,CD AD ⊥,//EG AD 且AD EG =，//CD FG 且FG CD 2=， DG ⊥平面ABCD ，2===DG DC DA . （I ）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN//平面CDE ； （II ）求二面角F BC E --的正弦值；（III ）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为︒60，求线段DP 的长.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)1010；(Ⅲ)33. 【解析】依题意，可以建立以D 为原点，分别以，DC ，DG 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图）， 可得)0,0,0(D ，)0,0,2(A ，)0,2,1(B ，)0,2,0(C ，)2,0,2(E ，)2,1,0(F ，)2,0,0(G ，)1,23,0(M ，)2,0,1(N ．（Ⅰ）依题意)0,2,0(=，)2,0,2(=． 设),,(0z y x n =为平面CDE 的法向量，则 0000n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r 即 ⎩⎨⎧=+=02202z x y 不妨令1-=z ，可得)1,0,1(0-=n ．又3(1,,1)2MN =-u u u u r ，可得00=⋅n ，又因为直线MN ⊄平面CDE ，所以MN//平面CDE ．（Ⅱ）依题意，可得(1,0,0)BC =-u u u r ，(1,2,2)BE =-u u u r ，(0,1,2)CF =-u u u r．设),,(z y x n =为平面BCE 的法向量，则 0n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即 ⎩⎨⎧=+-=-0220z y x x 不妨令1=z ，可得)1,1,0(=n ． 设),,(z y x m =为平面BCF 的法向量，则0m BC m CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u rur u u u r 即 ⎩⎨⎧=+-=-020z y x 不妨令1=z ，可得)1,2,0(=m ．因此有10103,cos =<，于是sin ,10m n <>=u r r ． 所以，二面角F BC E --的正弦值为1010．（Ⅲ）设线段DP 的长为])2,0[(∈h h ，则点P 的坐标为),0,0(h ， 可得),2,1(h BP --=．易知，)0,2,0(=为平面ADGE 的一个法向量，故cos ,BP DC BP DC BP DC ⋅<==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由题意，可得2360sin 522==+︒h ，解得]2,0[33∈=h ． 所以线段DP 的长为33. 【考点】空间向量的应用+线面平行的证明+二面角 【难度】★★★★18．（2018年天津理）设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为)(*N n S n ∈，{}n b 是等差数列，已知11=a ，223+=a a ，534b b a +=，6452b b a +=. （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）设数列{}n S 的前n 项和为)(*N n T n ∈，（i ）求n T ；（ii ）证明)(222)2)(1()(*212N n n k k b b T n nk k k k ∈-+=++++=+∑ 【答案】(Ⅰ)12-=n n a ，n b n =；(Ⅱ)（i ）221--=+n T n n .（ii ）证明见解析.【解析】（I ）设等比数列{}n a 的公比为q .由11=a ，223+=a a可得022=--q q .因为0>q ，可得2=q ，故12-=n n a .设等差数列{}n b 的公差为d ，由534b b a +=，可得431=+d b 由6452b b a +=，可得 161331=+d b 从而 1,11==d b 故n b n = 所以数列{}n a 的通项公式为12-=n n a ，数列{}n b 的通项公式为n b n =（II ）（i ）由（I ），有122121-=--=n nn S ，故.2221)21(2)2()12(111--=--⨯=-=-=+==∑∑n n T n nk nk n kkn （ii ）因为1222)2)(1(2)2)(1()222()2)(1()12112+-+=++⋅=++++--=++++++++k k k k k k k k k k k k b b T k k k k k k k （，所以222)1222()3242()2232()2)(1()(212342312-+=+-+++-+-=++++++=+∑n n n k k b b T n n n nk k k k Λ 【考点】数列通项公式+数列求和【难度】★★★★19．（2018年天津理）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，上顶点为B . 已知椭圆的离心率为35，点A 的坐标为)0,(b ，且26=⋅AB FB . （I ）求椭圆的方程；（II ）设直线)0(:>=k kx y l 与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q . 若AOQ PQAQ ∠=sin 425(O 为原点) ，求k 的值. 【答案】(Ⅰ)14922=+y x ；(Ⅱ)21或2811 【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ，由已知有9522=a c ，又由222c b a +=，可得b a 32=．由已知可得，a FB =，b AB 2=， 由26=⋅AB FB ，可得6=ab ，从而3=a ，2=b ．所以，椭圆的方程为14922=+y x ．（Ⅱ）设点P 的坐标为),(11y x ，点Q 的坐标为),(22y x ． 由已知有021>>y y ，故21sin y y AOQ PQ -=∠． 又因为OAB y AQ ∠=sin 2，而4π=∠OAB ，故22y AQ =．由AOQ PQAQ ∠=sin 425，可得2195y y =． 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=14922y x kxy 消去x ，可得49621+=k k y ． 易知直线AB 的方程为02=-+y x ，由方程组⎩⎨⎧=-+=02y x kx y 消去x ，可得122+=k ky ．由2195y y =，可得493)1(52+=+k k ， 两边平方，整理得01150562=+-k k ，解得21=k ，或2811=k ． 所以，k 的值为21或2811【考点】直线与椭圆的综合问题 【难度】★★★★20．（2018年天津理）已知函数xa x f =)(，x x g a log )(=，其中1>a .（I ）求函数a x x f x h ln )()(-=的单调区间；（II ）若曲线)(x f y =在点))(,(11x f x 处的切线与曲线)(x g y =在点))(,(22x g x 处的切线平行，证明aax g x ln ln ln 2)(21-=+； （III ）证明当e e a 1≥时，存在直线l ，使l 是曲线)(x f y =的切线，也是曲线)(x g y =的切线.【答案】(Ⅰ)单调递减区间)0,(-∞，单调递增区间为)0(∞+，；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析.【解析】（I ）由已知，a x a x h xln )(-=，有a a a x h xln ln )(-='. 令0)(='x h ，解得0=x由，可知当x 变化时，)(x h '，)(x h 的变化情况如下表：所以函数)(x h 的单调递减区间为)0,(-∞，单调递增区间为)0(∞+，. （II ）由a a x f xln )(='，可得曲线)(x f y =在点))(,(11x f x 处的切线斜率为a a x ln 1.由a x x g ln 1)(='，可得曲线)(x g y =在点))(,(22x g x 处的切线斜率为a x ln 12. 因为这两条切线平行，故有ax a a x ln 1ln 21=，即1)(ln 222=a a x x .两边取以a 为底的对数，得0ln log 2log 212=++a x x a ，所以aax g x ln ln ln 2)(21-=+. （III ）曲线)(x f y =在点),(11x a x 处的切线.)(ln :1111x x a a a y l xx -⋅=-曲线)(x g y =在点)log ,(22x x a 处的切线)(ln 1log :2222x x ax x y l a -⋅=- 要证明当e e a 1≥时，存在直线l ，使l 是曲线)(x f y =的切线，也是曲线)(x g y =的切线， 只需证明当e e a 1≥时，存在),(1+∞-∞∈x ，),0(2+∞∈x ，使得1l 和2l 重合.即只需证明当e e a 1≥时，方程组1112121ln ln 1ln log ln x x x a a a x a a x a a x a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩有解，由①得22)(ln 11a a x x =，代入②，得.0ln ln ln 2ln 1ln 1111=+++-aa a x a a x a x x ③ 因此，只需证明当e e a 1≥时，关于1x 的方程③存在实数解. 设函数aaa x a xa a x u xx ln ln ln 2ln 1ln )(+++-=， 即要证明当e e a 1≥时，函数)(x u y =存在零点.x xa a x u 2)(ln 1)(-='，可知)0,(-∞∈x 时，0)(>'x u ； ),0(+∞∈x 时，)(x u '单调递减，又01)0(>='u ，01])(ln 1[2)(ln 12<-='a a a u ，故存在唯一的0x ，且00>x ，使得0)(0='x u ，即0)(ln 1002=-x a x a .由此可得)(x u 在),(0x -∞上单调递增，在)(0∞+，x 上单调递减.)(x u 在0x x =处取得极大值)(0x u .因为e e a 1≥，故1)ln(ln -≥a ， 所以.0ln ln ln 22ln ln ln 2)(ln 1ln ln ln 2ln 1ln )(02000000≥+≥++=+++-=aa a a x a x a a a x a a x a x u x x 下面证明存在实数t ，使得0)(<t u .由（I ）可得a x a x ln 1+≥， 当ax ln 1>时， 有aaa x a x a x x u ln ln ln 2ln 1)ln 1)(ln 1()(+++-+≤ aaa x x a ln ln ln 2ln 11)(ln 22++++-=，所以存在实数t ，使得0)(<t u因此，当e e a 1≥时，存在),(1+∞-∞∈x ，使得0)(1=x u .所以，当e e a 1≥时，存在直线l ，使l 是曲线)(x f y =的切线，也是曲线)(x g y =的切线. 【考点】用导数求函数的单调性、极值(最值) 【难度】★★★★★。
2018年高考理科数学天津卷及答案解析
数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷参考公式：● 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B ⋃=+. ● 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.● 棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高. ● 棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高. 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设全集为R ，集合{}|02A x x =<<，{}|1B x x =≥，则()R A C B ⋂= ( )A .{}|01x x <≤B .{}|01x x <<C .{}|12x x ≤<D .{}|02x x <<2.设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩则目标函数35z x y =+的最大值为 ( )A .6B .19C .21D .453.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为( )A .1B .2C .3D .4 4.设x R ∈，则“1122x -<”是“31x <”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.已知2log a e =，ln2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A .a b c >>B .b a c >>C .c b a >>D .c a b >>6.将函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数( )A .在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B .在区间3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C .在区间53,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D .在区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减7.已知双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点.设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为( ) A .221412x y -=B .221124x y -= C .22139x y -=D . 22193x y -=8.如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==.若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为()毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）A .2116B .32C .2516D .3第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.请把答案填写在题中横线上) 9.i 是虚数单位，复数6+712ii=+ . 10.在5x ⎛ ⎝的展开式中，2x 的系数为 .11.已知正方形1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M （如图），则四棱锥M EFGH -的体积为 .12.已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1,3x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 .13.已知,a b R ∈，且360a b -+=，则128a b +的最小值为 .14.已知0a >，函数()222,0,22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤⎪=⎨-+->⎪⎩若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 .三、解答题：共80分。
【真题】2018年天津市高考数学(理科)试题含答案
(4)设，则“”是R x ∈11||22
x -<(A)充分而不必要条件
(B)必要而不重复条件
2018
进行睡眠时间的调查.
（I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；
（ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概
率.(17)(本小题满分13分)
如图，且AD =2BC ，,且EG =AD ，且CD =2FG ，//AD BC AD CD ⊥//EG AD //CD FG ，DA =DC =DG =2.
DG ABCD ⊥平面（I ）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：；
MN CDE ⊥平面（II ）求二面角的正弦值；学科*网
E BC
F --（III ）若点P 在线段D
G 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长.
(18)(本小题满分13分)。