《几何与多元微积分》东华大学2017-2018多元A(下)答案
《多元函数积分学》练习题参考答案
∫ ∫
2 1 2
dx ∫ dy ∫
2
4− x 1 4− y 1
f ( x, y ) dy f ( x, y ) dx
2 4− y 1
（B） （D）
∫
2 1 2 1
dx ∫
4− x
x
2
f ( x, y ) dy
1
∫
dy ∫ f ( x, y ) dx
y
2 4− y 1 1
∫
2
1
dx ∫ f ( x, y ) dy + ∫ dy ∫
0 < r < R, 顺时针 ，沿 L 与 L1 围成 D ，
I =� ∫=
L
L + L1
− ⎟ dσ − � � ∫ −� ∫ = =∫∫ ⎜ ∫ ⎝ ∂x ∂y ⎠
L1 D
⎛ ∂Q
∂P ⎞
L1
y dx − x dy y dx − x dy = ∫∫ 0dσ − � 2 2 ∫ L1 x + 4y r2 D
） ． （ D） I 4
（ A） I 1 解：由对称性 I 2 =
（B） I 2
（C） I 3
∫∫ y cos xdxdy = 0 ，
D2 D1
I 4 = ∫∫ y cos xdxdy = 0 ，
D4
在 D1 上， y cos x > 0 ，所以 I1 = 在 D3 上 y cos x < 0 ， 所 以 I 3 =
则 f ( x, y ) = xy +
1 8
P105-练习 3 计算 I = 解
2 2
∫∫ x
D
2
+ y 2 − 1 dσ ，其中 D : 0 ≤ x ≤ 1 ， 0 ≤ y ≤ 1 ．
东华大学《线性代数》期末考试题2017-2018(1)线代A试卷A
东华大学 2017-2018 学年第一学期线性代数A 试卷A踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。
一1. 03121111x中一次项x 的系数为 .2. 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=010311A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=310101B ，则=AB . 3. 设三阶方阵B A ,满足关系式BA A BA A +=61-，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=714131000000A 则=B . 4.矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3223-01-042A 的秩为 . 5.设B A ,均为n 阶矩阵，3-2==B A ，，则=1-*2BA6.正交矩阵的行列式为7. 、设C B A ,,为n 阶方阵，且E ABC =，则必有=BCA .8.已知二次型32312123222142244x x x x x tx x x x f +-+++=为正定二次型的条件为9.已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11a β是矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=302212221A 的特征向量，则=a 10.设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=a b b a A ，其中1,022=+>>b a b a ，则A 为 矩阵.二.（10分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为11321==-=λλλ，，对应于1λ的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1101ξ，求A 。
三、（10分）已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100110111A ，且I AB A =-2,其中I 为三阶单位阵，求矩阵B .四、（10分）已知3R 中的向量组321ααα，，线性无关，向量组,211ααβk -=,322ααβ+=,133ααβk +=线性相关，求k 的值。
五、（12分）设矩阵B A 、相似，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=a A 33242111，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=b B 00020002（1）求b a 、的值。
（2）求可逆矩阵P 使得B AP P =1-六、（12分）λ取何值时方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+-=-+1554212321321321x x x x x x x x x λλ无解？有唯一解？有无穷多解？并在无穷多解时写出方程组的通解。
《几何与多元微积分》东华大学2017-2018多元A(下)答案
课程名称 几何与多元微积分 A（下）
教师
班号
姓名
使用专业________________
学号
考试教室
一
二
三
四
五
六
总分
一、填空（每小题 5 分，共 35 分）
1、曲面 z − ez + 2xy = 3 在点 (1,2,0) 处的切平面方程为 2x + y − 4 = 0 .
2、函数 z = xe2y 在点 P(1,0) 处沿从点 P(1,0) 到点 Q(2, −1) 方向的方向导数为 −
0
1
五、(8 分) 计算第二类曲面积分 I = x2dydz + ( y2+2)dzdx + (3z +1)dxdy , 其中 为上半
球面 z = 1 − x2 − y2 的上侧.
解：作辅助面 1 : z = 0 (x2 + y2 1) ，取下侧。则 …………………… . (1 分)
解：设水箱的长为 x , 宽为 y , 则其高为 V . xy
…………………… . (2 分)
水箱的表面积为
S
=
2
xy
+
x
V xy
+
y
V xy
=
2
xy
+
V y
+
V x
,
(x 0, y 0) ……. (2 分)
S x
=
2
y
−
V x2
课程名称几何与多元微积分a下使用专业教师班号姓名学号考试教室一二三四五六总分一填空每小题5分共35分1曲面z?ez2xy3在点120处的切平面方程为2xy?40
参考答案2015-2016几何与多元微积分A(上)_A卷
（2） 若 r > 1 ，则由 lim
n →∞
an +1 = r > 1 ，推知 n 充分大时 an +1 > an ，故 an
lim an ≠ 0 ⇒ lim an ≠ 0 ，此与条件矛盾。
n →∞ n →∞
（3） 若 r = 1 ，则由 lim 件收敛矛盾。 综上得
∞
∞ an +1 = 1 ，推知 n 充分大时， an 同为正值或同为负值，与 ∑ an 条 n →∞ a n =1 n
x − 2 y − 2z +1 12 + (Leabharlann 2) 2 + (−2) 2
去掉绝对值符号，得所求平面方程为
=
3x − 4 y + 5 32 + (−4) 2
7 x − 11 y − 5 z + 10 = 0
或
2 x − y + 5z + 5 = 0
4、求常数项级数
∞
3n −1 − 1 的和. ∑ n −1 n =1 6
π ⎧ ⎪1, 0 ≤ x < 2 ⎪ π ⎪ = < x≤π 和函数 s ( x) ⎨0, 2 ⎪ π ⎪1 ⎪2 , x = 2 ⎩
四、 （6 分）求直线 L : 曲面？ 解：设 P ( x, y , z ) 为旋转曲面上任一点，它是由直线 L 上 Q( x1 , y1 , z1 ) 点绕 z 轴旋转所得，则
4、在空间直角坐标系中，方程 y = 2 x 表示的曲面是 抛物柱面 ，方程 z = 1 −
2
示的曲面是 圆锥面 . 5、设 u ( x, y , z ) = z
z z x −3 x dx − y 2 dy + ，则 du = 2 y 2 xy
《几何与多元微积分》东华大学2018-2019 学年考试试题
2
d
0
2 12
2dz
=
2
2
2 3(2 − 1 2)d
0
2
= 16 3
此题解法不唯一.
( ) 4、计算积分
x2 + y2 + z2 dV ，其中 : a2 x2 + y2 + z2 2az
解: 采用球面坐标计算, 则
原式=
2
d
3 d
(x, y)dxdy .
( x,y) a
解: D = D1 D2 , 其中
D1 = (x, y) (2 − a)2 x2 + y2 4 , D2 = (x, y) 4 x2 + y2 (2 + a)2
(x, y)dxdy
a
( ) ( ) = − 2 − x2 + y2 dxdy + x2 + y2 − 2 dxdy
2、设 f (x, y) 连续，则二次积分
4 d
1
f ( cos, sin)d =
0
0
【C 】
2
1− x2
A. 2 dx
f (x, y)dy
0
x
2
1− x2
B. 2 dx
f (x, y)dy
0
0
2
1− y2
C. 2 dy
f (x, y)dx
0
y
2
1− y2
东华大学 2018----2019 学年第 二 学期 月考试卷
踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。
课程名称 教师
东华大学-几何与多元微积分A(上)(09-10)
n
).
（A）平行于 π ;
4、在下列级数中，收敛的级数是(
∞ n
n ∞ ∞ ∞ ⎛ n + ( −1) 1 ⎞ ⎛ n ⎞ （A） ∑ ( −1) ⎜ ;（ B ） ;（ C ） ;（ D ） n3e − n . ln 1 + ⎜ ⎟ ∑ ∑ ∑ ⎟ n n +1 ⎝ n +1 ⎠ n =1 n =1 n =1 n =1 ⎝ n n⎠
∑ ( −1)
n =1
∞
n −1
1 x 2 n 的和函数. n ( 2n − 1)
七、(5 分)设 a n > 0, 且 a n +1 ≤ a n ( n = 1,2,3, ") ,若
∑ (−1) n a n 发散,证明 ∑
n =1
∞
1 收敛. n n =1 (1 + a n )
∞
4
y x
. . .
∂z = ∂x
.
4、 设 z = xe y + ln( x 2 + y 2 ), 则 dz (1,0) = 5、数项级数
∞
∑ (2n − 1)(2n + 1) 的和为
n =1
∞
1
.
6、幂级数
∑ n⋅2
n =1
1
n
( x − 1) n 的收敛域为
1
.
7、若级数
∑ an 收敛, 且 lim n p (e n − 1)an = 1 , 则 p 的取值范围是
四、 （8 分）将函数 f ( x ) = arctg
1+ x (n) 展为 x 的幂级数, 并求 f (0) . 1− x
多元微分学 答案
多元微分学例1求函数yx y x z --=24定义域，并在平面上画出定义域的图形。
解：此函数可以看成两个函数214y x z -=与yx z -=12的乘积。
214y x z -=的定义域是x y 42≤ yx z -=12的定义域是⎩⎨⎧≥>-00y y x ，即02≥>y x 。
从而yx y x z --=24的定义域是214y x z -=与yx z -=12定义域的公共部分，即⎩⎨⎧≥>≥≥042y x y x 。
例2设),(y x f y x z -++=当0=y 时,2x z =求.z 解：代入0=y 时,2x z =得),(2x f x x +=即,)(2x x x f -= 所以 .2)(2y y x z +-= 例3 求11lim222200-+++→→y x y x y x解：法1 原式＝2)11(lim )11)(11()11)((lim220022*******0=++++++-++++++→→→→y x y x y x y x y x y x y x法2 化为一元函数的极限计算。
令t y x =++122，则当0,0→→y x 时，1→t 。
原式＝2)1(lim 11lim121=+=--→→t t t t t 。
例4 求22200lim y x yx y x +→→解：法1 用夹逼准则。
因为22||2y x xy +≤，所以2||22||022222x y x xy x yx y x ≤+⋅=+≤ 而02||lim 00=→→x y x ，从而0||lim 22200=+→→y x y x y x 于是 0lim 22200=+→→y x yx y x法2利用无穷小与有界函数的乘积是无穷小的性质。
因为22||2y x xy +≤所以2122≤+y x xy ，又0lim 00=→→x y x 所以 0)(lim lim 220022200=⋅+=+→→→→x y x xyy x y x y x y x例5求极限(x,y)(0,0)lim→解 (x,y)(0,0)(x,y)lim lim →→= （3分）(x,y)1lim4→==（2分） 例6 研究yx xyy x +→→00lim解：取路径+∈+-=R k kx x y ,2，则,1lim0k y x xy y x -=+→→由k 是任意非零的常数，表明原极限不存在。
东华理工大学高等数学A练习册答案(下)(学生用)
第7章 微分方程§7.5 可降阶的高阶微分方程一、填空题答：1. 2121ln arctan C x C x x x y +++-= 2.22121C x x e C y x +--= 3．121C xy C e =+二、 y =C 1ln x +C 2 . 三、 22x x y -=.§7.6 高阶线性微分方程一、判断题1．（ √ ）2．（ ╳ ）3．（ √ ） 二、选择题答：1.C 2.C 3.C 4.B§7.7 常系数齐次线性微分方程一、判断题1．（ √ ）2．（ ╳ ）3．（ ╳ ） 二、填空题1、y =C 1e x +C 2e-2x2、 t t e C e C x 252251t +=, 3、 y =e -3x (C 1cos2x +C 2sin2x ).4、 y =C 1+C 2x +C 3e x +C 4xe x5、y =e 2x sin3x三、选择题答：1.B 2.B 3.A 4.C 5.B四、求下列微分方程(1) y =C 1+C 2e 4x . (2) y =e 2x (C 1cos x +C 2sin x ). (3) y =C 1+C 2x +C 3e x +C 4xe x . (4))2(21x e y x+=-.§7.8 常系数非齐次线性微分方程一、填空题 答：1、x x xe e C e C y ++=-2211，2、x xe x C x C e y x x 2cos 41)2sin 2cos (21-+=.3、x x x y 2sin 31sin 31cos +-+-= 4、x xx y cos 2sin 21+= 二、选择题答：1.D 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D三、)323(2221x x e e C e C y x x x -++=--- 四、 2527521++-=x x e e y . 第12章 无穷级数§12.1 常数项级数的概念与性质一、判断题答：1. √2. √ 3. ×4. ×5. √ 6. √ 二、填空题答：1. 1/2、3/8 、5/16 2. [（-1）^(n-1)]*[(n+1)/n] 3. [x^(n/2)]*(1/2*n!) 4. 0 三、选择题答：1.C 2.A 3.C 4.C四、判定下列级数的收敛性(1)级数收敛. (2) 该级数发散. (3) 级数发散.§12.2 常数项级数的审敛法一、判断题答：1. √ 2. × 3. √4.√ 5√6. ×7. √8. √9.√ 二、填空题答：1.P>1 2. {}n s 有界 3. 绝对收敛 4. 收敛5.1lim 0n nn u u u +=⎧⎨>⎩三、选择题答：1. D 2.C 3.D 4.A 5.C四、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性: (1) 级数发散. (4) 级数收敛.五、用比值审敛法判定下列级数的收敛性: (1) 级数发散. (2) 级数收敛.六、用根值审敛法判定下列级数的收敛性:(1) 级数收敛； (2) 当b <a 时级数收敛, 当b >a 时级数发散. 七、 (1) 此级数是收敛的. 条件收敛的. (2) 级数收敛, 并且绝对收敛.§12.3 幂级数一、判断题答：1. √ 2. √ 3. √ 4. √ 5. × 二、填空题答：1.[-1/2、1/2] 2. [-1，5) 3. (-1,1) ,11ln21xx+- 4. 绝对收敛三、选择题 答：1.D 2.B 3 D四、求下列幂级数的收敛域:(1) 收敛域为(-1, 1). （2） 收敛域为[-1, 1]. 五、利用逐项求导或逐项积分, 求下列级数的和函数: (1) ()S x 21(11)(1)x x =-<<-. (2) ()S x 11ln (11)21x x x+=-<<- . 提示: 由)0()()(0S x S dx x S x-='⎰得⎰'+=xdx x S S x S 0)()0()(.§12.4 函数展开成幂级数一、判断题答：1. √2. × 3. × 二、填空题 1. 答：1.11ln 2(1)2nn nn x n ∞-=+-∑ ，（-2，2 ] 2. 1111()(4)23nn n n x ∞++=-+∑ ，（-6，-2） 3.)( ])3()!12(3)3()!2(1[)1(211202+∞<<-∞++++-+∞=∑x x n x n n n n nππ 三、选择题答：1.B 2.C 3.C四、(1) 210sh (21)!n n x x n -∞==-∑, x ∈(-∞, +∞). (2) 212212sin (1)(2)!n n n n x x n -∞=⋅=-∑ x ∈(-∞, +∞). 五、∑=<<--=n n n n x x x 0)60( )33()1(311.§12.5 函数的幂级数展开式的应用一、填空题答：1.3. ； 2、)( !4cos2cos 02+∞<<-∞=∑∞=x x n n x e n n nx π.§12.7 傅立叶级数一、判断题 答：1. × 2. √3.√4.√二、填空题 1.5 2. ,n n a b - 3. nx nx f n sin 1)(1∑∞==(0<x ≤π), 级数在x =0处收敛于0. 三、选择题答：1.A 2.C 3.B 4A 5.B四、∑∞=+--+=121cos 141)1(422cos n n nx n x ππ(-π≤x ≤π). 五、正弦级数为nx n n nx f n n sin ]2)2()1[(4)(1323∑∞=---=ππ(0≤x <π), 级数在x =0处收敛于0.余弦级数为 nx nx f n n cos )1(832)(122∑∞=-+=π(0≤x ≤π).§12.8 一般周期函数的傅里叶级数一、 ∑∞=+-+=12122cos )1(11211)(n n x n n x f ππ, x ∈(-∞, +∞).二、正弦级数13218(1)2[(1)1]{}sin2n n n n xn n πππ+∞=---+∑, x ∈[0, 2). 余弦级数:221416(1)cos 32n n n xn ππ∞=-+∑, x ∈[0, 2].第8章 空间解析几何与向量代数§8.1 向量及其线性运算一、判断题。
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2、函数 z = xe2y 在点 P(1,0) 处沿从点 P(1,0) 到点 Q(2, −1) 方向的方向导数为 −
2 .
2
3、函数 z = x2 + y2 在闭域 D: x + y 1上的最小值是
0
.
4、当 D = {(x, y) x2 + y2 4} 时，则 2dxdy 的值等于 4 2 .
0
0
= 4 2 cos4d 0
= 3 4
…………………… . (3+2 分)
4、计算三重积分 z2 dxdydz ，其中 是由曲面 z = x2 + y2 与 z = 所围成的闭区域.
解：原式 = z2dz 0
dxdy
x2 + y2z2
…………………… . (5 分)
2
二、选择题（每题 5 分，共 10 分）
1、设 L 为取顺时针方向的圆周 x2 + y2 = a2 ，则 ydx − xdy =
L
A. 2 a2 .
B. −2 a2 .
C. − a2 .
【A 】
D. a2 .
2、设 L 是曲线 y = x3, y = x 围成区域的整个边界曲线， f (x, y) 是连续函数，则曲线积分
曲线在 t = 1处的切向量 = (1, 1 , 2) …………………… . (3 分) 4
切点坐标
1,
1 2
,
2
…………………… . (2 分)
切线方程:
x −1 =
y−1 2
=
z−2
…………………… . (2 分)
4
1
8
法平面方程:
4
(
x
− 1)
+
y
−
1 2
I = − x2dydz + ( y2 + 2)dzdx + (3z +1)dxdy
+1 1
因为 I1 = x2dydz + ( y2 + 2)dzdx + (3z +1)dxdy
+1
= (2x + 2 y + 3) dV = 3dV =2 …………………… . (2+2 分)
f
( x,
x3)
1+ 9x4 +
2 f (x, x) dx .
三、计算下列各题（每小题 9 分，共 36 分）
1、求曲线 x = t, y = t , z = 2t 上 t = 1处的切线方程和法平面方程. 1+ t
解:
(
x(t),
y(t),
z(t))
=
1,
1 (1 + t)2
,
2
+
zx2
+
z
2 y
dxdy
=
2dxdy
…………………… . (2 分)
M = (10 − z)dS = (10 − x2 + y2 ) 2dxdy …………………… . (2 分)
D
2
4
= 2 d (10 − )d = 108 2 …………………… . (1+2 分)
据实际意义, 水箱所用材料的最小值一定存在, 又驻点唯一, 所以当长、宽、高均为 3 V
时，所用材料最少。 …………………… . (1 分)
( ) 2
3、计算二次积分 I = dx
2x−x2 x2 + y2 dy .
0
0
解： I =
2
d
2cos 2d
…………………… . (4 分)
东华大学 2017----2018 学年第 二 学期 试卷 A 卷 （参考答案）
踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。
课程名称 几何与多元微积分 A（下）
教师
班号
姓名
使用专业________________
学号
考试教室
一
二
三
四
五
六
总分
一、填空（每小题 5 分，共 35 分）
1、曲面 z − ez + 2xy = 3 在点 (1,2,0) 处的切平面方程为 2x + y − 4 = 0 .
0
1
五、(8 分) 计算第二类曲面积分 I = x2dydz + ( y2+2)dzdx + (3z +1)dxdy , 其中 为上半
球面 z = 1 − x2 − y2 的上侧.
解：作辅助面 1 : z = 0 (x2 + y2 1) ，取下侧。则 …………………… . (1 分)
= z4dz = 6
0
5
…………………… . (2+2 分)
四、(7 分) 计算面密度 = 10 − z 的圆锥面 z = x2 + y2 (1 z 4) 形漏斗的质量.
解： 在 xOy 面上的投影为 D = {(x, y) 1 x2 + y2 16}
dS =
1
f (x, y)ds =
L
A.
1 f (x, x3)dx +
1
f (x, x)dx .
0
0
【D】
B.
1 f (x, dx +
2
1
f (x, x)dx .
0
0
C.
1 f (x, x3) 1 + 9x4dx +
−1
f (x, x) 2dx .
−1
1
D.
1 −1
=
2
xy
+
V y
+
V x
,
(x 0, y 0) ……. (2 分)
S x
=
2
y
−
V x2
=
0
S y
=
2
x
−
V y2
=
0
( ) 得 D 内唯一的驻点 3 V , 3 V .
…………………… . (2 分) …………………… . (2 分)
D
1
y
1
1
5、交换积分次序： dy
0
0
f (x, y)dx =
dx
0
x2 f (x, y)dy .
6、计算三重积分 (x2 + y2 + z2 )dV = 4 5 ，其中 为球体 x2 + y2 + z2 1.
7、 为从点 A(2,0,0) 到点 B(3,4,5) 的一条定向折线，计算 ydx + zdy + xdz = 49 .
+
8(
z
−
2)
=
0
…………………… . (2 分)
2、某工厂要用铁板做成一个容积为 V 的有盖长方体水箱, 问长、宽、高各为多少时， 使用材 料最少？
解：设水箱的长为 x , 宽为 y , 则其高为 V . xy
…………………… . (2 分)
水箱的表面积为
S
=
2
xy
+
x
V xy
+
y
V xy
又 I2 = x2dydz + ( y2+2)dzdx + (3z +1)dxdy
1
= − dxdy = − …………………… . (1+1 分)