多输入多输出系统的状态空间表达式
状态反馈极点配置基本理论与方法
第2章 状态反馈极点配置设计基本理论2.1引言大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。
反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。
其中状态反馈能够提供更加丰富的状态信息。
状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。
图2.1是一个多输入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：图2.1 多输入-多输出系统的状态反馈结构图其中受控系统的状态空间表达式为：x Ax Buy Cx=+= (2.1)由图2.1可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：u Fx v =+ (2.2)其中v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式：()x A BF x Bv y Cx=++= (2.3)闭环系统的传递函数矩阵：()()1s W s C sI A BF B -=-+⎡⎤⎣⎦ (2.4)由此可见，引入状态反馈后，通过F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，是系统获得所要求的性能。
2.2极点配置方法的选择对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法： （1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。
（2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。
（3） 矩阵方程法—对矩阵F ，直接解方程AX X BG -Λ= (2.5a) FX G = (2.5b)（4） 特征向量法—先找到特征向量x j （等式(2.5)中矩阵X 的列向量），然后利用等式(2.5b)求解F 。
方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。
方法（3）需要解(2.5a)方程，并且对于系统矩阵A 的特征值不能再分配。
最有效并且数值稳定的方法是方法（2）和方法（4）。
其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。
对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒性。
状态反馈极点配置基本理论与方法
状态反馈极点配置基本理论与方法IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第2章 状态反馈极点配置设计基本理论引言大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。
反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。
其中状态反馈能够提供更加丰富的状态信息。
状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。
图是一个多输入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：图 多输入-多输出系统的状态反馈结构图其中受控系统的状态空间表达式为：x Ax Buy Cx=+=由图可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：u Fx v =+其中v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式：()x A BF x Bv y Cx=++=闭环系统的传递函数矩阵：()()1s W s C sI A BF B -=-+⎡⎤⎣⎦由此可见，引入状态反馈后，通过F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，是系统获得所要求的性能。
极点配置方法的选择对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法： （1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。
（2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。
（3）矩阵方程法—对矩阵F ，直接解方程AX X BG -Λ=FX G =（4）特征向量法—先找到特征向量x j （等式中矩阵X 的列向量），然后利用等式求解F 。
方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。
方法（3）需要解方程，并且对于系统矩阵A 的特征值不能再分配。
最有效并且数值稳定的方法是方法（2）和方法（4）。
其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。
对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒性。
本文结合以上方法提出了一种新的设计方法：首先通过酉变换将状态方程化为一种控制规范形，然后利用最小二乘法解方程的得到最佳的状态反馈矩阵。
基于时域方法的多输入多输出控制系统的设计与优化
基于时域方法的多输入多输出控制系统的设计与优化多输入多输出（MIMO）控制系统是现代控制理论中的一个重要研究方向。
它涉及利用多个输入和多个输出信号来控制和调节系统的行为。
针对这个任务名称，本文将基于时域方法介绍多输入多输出控制系统的设计与优化。
1. 介绍多输入多输出控制系统的基本概念多输入多输出控制系统是指在控制过程中，存在多个输入信号和多个输出信号，并且这些信号之间存在相关性。
MIMO控制系统的设计与优化是为了提高系统的控制性能和稳定性，通过设计合适的控制器参数来实现对多个输入输出通道之间的交叉耦合的解耦和优化。
2. 时域方法在多输入多输出控制系统中的应用时域方法是MIMO控制系统设计与优化中常用的一种方法。
时域方法主要通过对系统的实际响应进行分析和控制，在时间域内进行系统性能的分析和参数的优化。
常用的时域方法包括传递函数模型、状态空间模型、扰动响应模型等。
a. 传递函数模型传递函数模型是一种常见的描述系统动态行为的方法。
通过将输入与输出之间的关系转化为传递函数形式，可以方便地进行系统性能分析和控制器的设计。
在多输入多输出控制系统中，传递函数模型可以表示为一个多变量传递函数矩阵，其中每个传递函数都描述了一个输入与一个输出之间的关系。
b. 状态空间模型状态空间模型是另一种常用的描述系统动态行为的方法。
状态空间模型可以将系统的状态表示为一组状态变量，并利用状态方程和输出方程来描述系统的行为。
在多输入多输出控制系统中，状态空间模型可以表示为一个多变量状态空间方程组，其中每个方程描述了一个输入与一个输出之间的关系。
c. 扰动响应模型扰动响应模型是一种用于分析和优化系统鲁棒性的方法。
扰动响应模型通过引入扰动信号，探索系统在面对不确定性和外界干扰时的动态行为。
在多输入多输出控制系统中，通过考虑不同输入信号和扰动信号对多个输出信号的影响，可以设计鲁棒控制器来提高系统的稳定性和抗干扰能力。
3. 多输入多输出控制系统设计与优化的关键问题多输入多输出控制系统设计与优化面临一些关键问题，包括控制器参数的选择、系统的稳定性分析、控制通道的解耦等。
中科大考研自动控制理论内部讲义四(19-24)
第六讲 控制系统的状态空间分析与综合经典控制理论主要以传递函数为基础，采用复域分析方法，由此建立起来的频率特性和根轨迹等图解解析设计法，对于单输入—单输出系统极为有效，至今仍在广泛成功地使用。
但传递函数只能描述线性定常系统的外部特征，并不能反映其全部内部变量变化情况，且忽略了初始条件的影响，其控制系统的设计建立在试探的基础之上，通常得不到最优控制。
复域分析法对于控制过程来说是间接的。
现代控制理论由于可利用数字计算机进行分析设计和实时控制，因此可处理时变﹑非线性﹑多输入-多输出系统的问题。
现代控制理论主要以状态空间法为基础，采用时域分析方法，对于控制过程来说是直接的。
它一方面能使设计者针对给定的性能指标设计出最优控制系统，另一方面还可以用更一般的输入函数代替特殊的所谓“典型输入函数”来实现最优控制系统设计。
随着控制系统的高性能发展，最优控制﹑最佳滤波﹑系统辨识﹑自适应控制等理论都是这一领域研究的主要课题。
在用状态空间法分析系统时，系统的动态特性是由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的。
它能反映系统的全部独立变量的变化，从而能同时确定系统的全部运动状态，而且可以方便地处理初始条件。
第0节 必要的数学基础集和线性空间 基和基底变换向量范数、内积和格兰姆矩阵 线性变换及其矩阵表达式和范数 线性变换结构和线性代数方程组 特征值、特征向量和约当标准型 矩阵多项式和矩阵函数第一节 控制系统的状态空间描述一、状态空间的基本概念 1． 状态和状态变量表征系统运动的信息称为状态，足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量称为状态变量。
一个用n 阶微分方程式描述的系统，就有n 个独立变量，当这n 个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动状态也就被揭示无遗了。
因此，可以说该系统的状态变量就是n 阶系统的n 个独立变量。
状态变量的选取具有非唯一性，既可用某一组又可用另一组数目最少的变量作为状态变量。
状态变量不一定在物理上可量测，有时只具有数学意义，但实用时毕竟还是选择容易量测的量作为状态变量，以便满足实现状态反馈﹑改善性能的要求。
状态反馈极点配置基本理论与方法
第2章 状态反馈极点配置设计基本理论2.1引言大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。
反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。
其中状态反馈能够提供更加丰富的状态信息。
状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。
图2.1是一个多输入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：图2.1 多输入-多输出系统的状态反馈结构图其中受控系统的状态空间表达式为：x Ax Buy Cx=+= (2.1)由图2.1可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：u Fx v =+ (2.2)其中v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式：()x A BF x Bv y Cx=++= (2.3)闭环系统的传递函数矩阵：()()1s W s C sI A BF B -=-+⎡⎤⎣⎦ (2.4)由此可见，引入状态反馈后，通过F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，是系统获得所要求的性能。
2.2极点配置方法的选择对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法： （1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。
（2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。
（3） 矩阵方程法—对矩阵F ，直接解方程AX X BG -Λ= (2.5a)FX G = (2.5b)（4） 特征向量法—先找到特征向量x j （等式(2.5)中矩阵X 的列向量），然后利用等式(2.5b)求解F 。
方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。
方法（3）需要解(2.5a)方程，并且对于系统矩阵A 的特征值不能再分配。
最有效并且数值稳定的方法是方法（2）和方法（4）。
其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。
对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒性。
现代控制理论知识点汇总
第一章 控制系统的状态空间表达式１． 状态空间表达式n 阶 DuCx y Bu Ax x +=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯:r n B ⨯:n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２． 状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４． 状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。
多输入多输出的状态空间方程 仿真 matlab
多输入多输出的状态空间方程仿真 matlab
多输入多输出的状态空间方程（MIMO State-Space Equation）
定义：
MIMO系统指的是含有多个输入和多个输出的线性时不变系统，其状
态空间方程可以表示为：
dx/dt = Ax + Bu
y = Cx + Du
其中，x是系统的状态向量，A、B、C、D是矩阵系数，u是输入向量，y是输出向量。
方程解释：
dx/dt = Ax + Bu代表系统的状态变量随着时间的推移而变化，这种
变化是由输入向量u和状态向量x决定的。
y = Cx + Du表示输出向量y是状态向量x和输入向量u的线性组合，
其中矩阵C和D称为输出矩阵和直接转移矩阵。
仿真MATLAB：
MATLAB提供了多种仿真MIMO系统的工具箱，如Control System Toolbox、Simulink、Stateflow等。
我们可以使用这些工具箱来构建系统的状态空间方程并进行仿真。
例如，可以使用Control System Toolbox中的ss函数来生成系统的状态空间方程：
sys = ss(A,B,C,D)
然后，使用sim函数进行仿真：
[t,y] = sim(sys,u,t)
其中，u是输入矩阵，t是时间向量，y是输出矩阵。
仿真的结果可以
使用plot函数进行可视化。
总结：
MIMO系统的状态空间方程可以用于描述多个输入和多个输出的系统，
该方程可以使用MATLAB中的工具箱进行仿真和可视化。
这些工具可以帮助我们更好地理解和设计复杂的控制系统。
一种多输入多输出系统传递函数的实用计算方法
决问题。 本方法分 2 步：分别为（SI-A）行列式的
计算和最终结果计算 。
1 行列式的计算
根据 G（s）的表达式，首先应计算（SIA)-1 而任何矩阵在求逆运算的过程中都不可避 免地计算行列式，这里是 A 矩阵的特征多项式， 下面给出方法。
[ 特征多项式算法 ]：给定 nxn 系统矩阵 A, 其特征多项式具有形式：
an-3= Step n-1：计算 R1=R2A+a2I
a1= Step n：计算 R0=R1A+a1I
a0= 典型例题：给定 4×4 系统矩阵 A 为：
计算其特征多项式。 解：
a3=
=2
a2=
=-10
同理有 a1=-28，a0=-14 所以 a(s)=det(sI-A)=S4+2S3-10S2-28S-14
y1(s)=g11(s)u1(s)+g12(s)+u2(s)+……+g1p(s) up(s)
y2(s)=g21(s)u1(s)+g22(s)u2(s)+……+g2p(s) up(s)
…… yq(s)=gq1(s)u1(s)+gq2(s)u2(s)+……+gqp(s) up(s) 简写为 y(s)=G(s)U(s) 考虑线性时间连续系统，状态空间描述 为：
=Ax+Bu Y=Cx+Du 则 传 递 函 数 矩 阵 G(s) 的 基 于 系 数 矩 阵 ｛A,B,C,D｝的基本关系式为 G(s) =C(SI-A)-1B+D 证：对上述两个方案取拉普拉斯变换后， 可导出： （SI-A）x(s) = BU(s) 因为矩阵（SI-A）非奇异， 故有 x(s)=(SI-A)-1u(s), 结论成立。 显 然， 基 于 关 系 式 建 立 了 G（s） 和 ｛A,B,C,D｝间的显式关系，为分析和揭示系 统两种描述间的关系提供了基础，但是，在求 解过程中包含了对含有字母 S 的方阵的求逆运 算，若系统为 6 维，求逆必求行列式，则在求 行列式时人们还需计算 6 个 5 维子式。在计算 每个子式又要 5 个 4 维子式，计算每个 4 维子 式又需计算 4 个 3 维子式，操作十分繁琐，人 工极易出错，且即使使用计算机，后续过程亦 十分复杂。况且，大型过程中又要经常用到这 样的计算和操作，因此，本文给出了一种实用、 便捷、易于计算机编程的算法，能够迅速地解
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X AX bu
5、输出方程：系统输出与状态变量间的函数关系。例如， 前例中，若取 uc为输出，则有 y uc x1 写出矩阵形式：
x1 y [1 0] x2
若指定 i 为输出，则 若指定
y i x2
x1 y [0 1] x2
ur ( s ) u1 ( s ) I (s) R1 1 u ( s ) [ I ( s ) I ( s )] 2 1 sC1 I ( s ) u1 ( s ) uC ( s ) 2 R2 u ( s ) I ( s ) 1 C 2 sC2
uc ur 1 1 u u 1 1 C R C R C1R2 C1R1 1 1 1 2 1 1 uc u1 uc C2 R2 C2 R2 y uc
1 1 uc 1 1 1 x1 C1 R1 C1 R2 C1 R2 C1 R1 C1 R2 x x C1 R1 ur 1 1 x2 0 C2 R2 C2 R2 y x2 0 1 x
du1 (t ) C1 dt i (t ) i2 (t ) C duc (t ) i (t ) 2 2 dt u (t ) uc (t ) i2 (t ) 1 R2 u (t ) u1 (t ) i (t ) r R1 y uc
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定义不同的状态变量 可以得到不同的状态 方程。但传递函数具 有唯一性。
uc ur 1 1 1 1 u1 uc (u1 uc ) uc C1R1 C1 R1 C1 R2 C1 R2 C1R1 C1R2 1 1 uc u1 uc C2 R2 C2 R2 y uc 定义： x1 u1 uc , x2 uc
模拟结构图用来反映系统各状态之间的信息传递关系。
五、状态空间表达式的特点：
1、状态变量的选择不是唯一的，选择不同的状态变量，就得 一个 n 阶系统只能有 n 个状态。这 n 个状态： x1(t), 2、状态空间描述是系统“输入－状态－输出”诸变量间的时 域描述，揭示了系统的全部信息。因面比传递函数描述更为 全面、完善。
A
0 x 1 x k x2 m
B
1 0 x 1 f 1 u x2 m m
状态方程
y(t ) 1 0 x2
C x 1
记为
Ax Bu x 输出方程 y Cx
输入矩阵 控制矩阵 n×r维
b11 B b n1
b1r bnr
u1 u U 2 u r
r维输入 向量
y1 y Y 2 ym
m维输出向量
输出矩阵 m×r维
c11 C c m1
到不同的状态变量描述方程。但是不论选择哪一组状态变量，
x2(t), … , xn(t)构成了系统变量中线性无关的一个极大变量组。
4、系统状态变化是一个运动过程，用微分方程进行描述；而
输出方程为代数方程。
例：写出双T网络 的状态方程：
i
ur
R1
i1
u1
R2
i2
i2
uc
ur ( s ) u1 ( s ) I (s) R1 1 u1 ( s ) [ I ( s ) I 2 ( s )] sC 1 I ( s ) u1 ( s ) uC ( s ) 2 R2 消除中间变量: I (s), u1 (s), I 2 (s) u ( s ) I ( s ) 1 C 2 sC2 uc ( s ) 1 G( s) ur ( s) R1R2C1C2 s 2 ( R1C1 R2C2 R1C2 ) s 1
X AX bu Y CX
多输入多输出系统的状态空间表达式为：
X AX BU Y CX DU
x1 其中： x2 N维向量 X xn
a11 A a n1
a1n 系统矩阵 n×n方阵 ann
uc ur 1 1 对于： u1 u 1 C1 R2 C1 R1 C1 R1 C1 R2 1 1 uc u1 uc C2 R2 C2 R2 y uc
定义： x1 u1 , x2 uc
1 1 1 1 x1 C1 R1 C1 R2 C1 R2 x x C1 R1 ur 1 1 x2 0 C2 R2 C2 R2 y x2 0 1 x
uc du1 (t ) ur (t ) u1 (t ) u1 (t ) uc (t ) ur 1 1 C u u 1 1 1 dt R R C R C R C1 R2 C1 R1 1 2 1 1 1 2 du ( t ) u ( t ) u ( t ) 1 1 c C2 c 1 uc u1 uc dt R C2 R2 C2 R2 2 y uc
3、状态空间：以状态变量x1,x2,…xn为坐标轴,组成的n维空 间称为状态空间。状态空间中的每一点都代表了状态变量 的唯一的、特定的一组值。状态随时间的变化过程，则构 成了状态空间中的一条轨迹，这条轨迹称为状态轨迹。 4、状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称 为状态方程。状态方程反映了输入与状态变量间的关系。
c1n cmn
d11 D d m1
d1r d mr
直接传递矩阵 m×r维
三、状态空间描述的状态图
单线表示一维信号，双线表示多维信号。既反映了输入 对系统内部状态的因果关系，由反映了内部状态对外 部输出的影响。
D U
+
B
+
X
x
+
A
C
Y
+
四、状态空间表达式的模拟结构图
1 C
uc 0 向量矩阵表示形式： i 1 L
令
x1 uc x2 i
x1 0 x 1 2 L x1 0 1 u R L x2 L
1 C
则其变为
将以上方程组写矩阵形式
uc , i均为输出，则
y1 1 0 x1 y 0 1 x 2 2
y1 uc x1 y2 i x2
Y CX
二、状态空间表达式： 系统的状态方程和输出方程合起来称为系统的状态空间 表达式，或称状态空间描述。 对于前例，其状态空间描述为：
状态变量描述
一、基本定义 RLC电路u-输入变量 列写微分方程：
d uc C i dt L di Ri u u c dt
R
u
i
L
C
uc
图1-1
消去中间变量后，得： 传函表示形式：
d 2 uc du LC RC c uc u dt dt
U c ( s) 1 U ( s) LCS 2 RCS 1
另一种模型表示方法：状态变量描述 一阶微分方程表示形式：
d uc C i dt L di Ri u u c dt
duc 1 uc i u c L L L dt
uc 0 1u R L i L
A——系统矩阵 B——输入矩阵 C——输出矩阵
进一步令
0 x1 X , A 1 x2 L
0 , b 1 R L L
1 C
则可写为：
X AX bu
1、状态变量：足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组 变量称为状态变量。如果给定了t=to时刻这组变量值，和 t>=to时输入的时间函数，那么，系统在t>=to的任何瞬间 的行为就完全确定了。 2、状态向量：以状态变量为元所组成的向量,称为状态向量。 如x1(t)、x2(t)……xn(t)是系统一组状态变量。则状态向 量为： x1 (t ) x (t ) T X (t ) 2 或 X x ( t ) , x ( t )... x ( t ) 2 n 1 ... x ( t ) n