多输入多输出系统的状态空间表达式
状态反馈极点配置基本理论与方法
第2章 状态反馈极点配置设计基本理论2.1引言大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。
反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。
其中状态反馈能够提供更加丰富的状态信息。
状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。
图2.1是一个多输入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：图2.1 多输入-多输出系统的状态反馈结构图其中受控系统的状态空间表达式为：x Ax Buy Cx=+= (2.1)由图2.1可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：u Fx v =+ (2.2)其中v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式：()x A BF x Bv y Cx=++= (2.3)闭环系统的传递函数矩阵：()()1s W s C sI A BF B -=-+⎡⎤⎣⎦ (2.4)由此可见，引入状态反馈后，通过F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，是系统获得所要求的性能。
2.2极点配置方法的选择对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法： （1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。
（2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。
（3） 矩阵方程法—对矩阵F ，直接解方程AX X BG -Λ= (2.5a)FX G = (2.5b)（4） 特征向量法—先找到特征向量x j （等式(2.5)中矩阵X 的列向量），然后利用等式(2.5b)求解F 。
方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。
方法（3）需要解(2.5a)方程，并且对于系统矩阵A 的特征值不能再分配。
最有效并且数值稳定的方法是方法（2）和方法（4）。
其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。
对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒性。
现代控制理论课件2
38
二、从系统的机理出发建立状态空间表达式
例1、求图示机械系统的状态空间表达式
外力 u(t)
K ---弹性系数 m
牛顿力学定律 my u by ky
阻 尼 系 数
y(t) b
位移 令
b u(t ) ky m y y
x1 y
x2 y
39
动态方程如下
x1 x2
x1 y 1 0 x2
41
例：设有如图所示的机 械系统。它由两个彼 此耦合的平台构成。 并借助于弹簧和阻尼 到达地基。试选择合 适的状态变量，写出 该系统的状态空间模 型。
42
解答：依题意，进行受力分析，可得如下的微分方程：
M1y1 = u -k1 (y1 - y 2 )-f1 (y1 - y 2 ) M2y 2 = k1 (y1 - y 2 ) + f1 (y1 - y 2 )-k 2y 2 -f 2y 2
其中： a11 a12 a1n a a22 a2 n 21 A — 系统内部状态的联系， an1 an 2 ann
18
称为系统矩阵 , 为n n方阵；
多输入——多输出定常系统： 用向量矩阵表示时的状态空间表达式为：
Ax Bu x y Cx Du
其状态变量为： x1 , x2 ,, xn , 则状态方程的一般形式 为：
1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b12u2 b1r ur x 2 a21x1 a22 x2 a2 n xn b21u1 b22u2 b2 r ur x n an1 x1 an 2 x2 ann xn bn1u1 bn 2u2 bnr ur x
状态反馈极点配置基本理论与方法
状态反馈极点配置基本理论与方法IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第2章 状态反馈极点配置设计基本理论引言大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。
反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。
其中状态反馈能够提供更加丰富的状态信息。
状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。
图是一个多输入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：图 多输入-多输出系统的状态反馈结构图其中受控系统的状态空间表达式为：x Ax Buy Cx=+=由图可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：u Fx v =+其中v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式：()x A BF x Bv y Cx=++=闭环系统的传递函数矩阵：()()1s W s C sI A BF B -=-+⎡⎤⎣⎦由此可见，引入状态反馈后，通过F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，是系统获得所要求的性能。
极点配置方法的选择对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法： （1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。
（2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。
（3）矩阵方程法—对矩阵F ，直接解方程AX X BG -Λ=FX G =（4）特征向量法—先找到特征向量x j （等式中矩阵X 的列向量），然后利用等式求解F 。
方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。
方法（3）需要解方程，并且对于系统矩阵A 的特征值不能再分配。
最有效并且数值稳定的方法是方法（2）和方法（4）。
其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。
对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒性。
本文结合以上方法提出了一种新的设计方法：首先通过酉变换将状态方程化为一种控制规范形，然后利用最小二乘法解方程的得到最佳的状态反馈矩阵。
双输入双输出状态空间方程转传递函数
双输入双输出状态空间方程转传递函数在控制系统工程中，状态空间方程是描述系统动态行为的一种数学模型。
它通常由一个或多个状态变量的一阶微分方程和输出公式组成。
当一个系统有两个输入和两个输出时，我们称之为双输入双输出系统。
在实际工程应用中，我们常需要将双输入双输出状态空间方程转换为传递函数形式，以便更方便地进行分析和设计。
将双输入双输出状态空间方程转换为传递函数的步骤如下：1. 确定系统的状态变量，并将它们表示为向量形式。
令x(t) = [x1(t), x2(t), …, xn(t)]T为状态向量，其中T表示向量的转置。
2. 设计系统的输入输出方程。
对于双输入双输出系统，我们有：y1(t) = c1 x(t) + d11 u1(t) + d12 u2(t)y2(t) = c2 x(t) + d21 u1(t) + d22 u2(t)其中y1(t)和y2(t)为系统的两个输出，u1(t)和u2(t)为系统的两个输入，c1、c2、d11、d22、d12、d21分别为系统的常数系数。
3. 将状态方程和输出方程合并为一个矩阵方程。
将状态方程写成向量形式得到：x˙(t) = Ax(t) + Bu(t)其中x˙(t)表示状态的一阶导数，A表示状态变量之间的关系矩阵，B表示控制输入和状态变量之间的关系矩阵，u(t) = [u1(t), u2(t)]T表示输入向量。
将输出方程中的x(t)代入状态方程中：y(t) = Cx(t) + Du(t)其中y(t) = [y1(t), y2(t)]T表示输出向量，C表示输出和状态变量之间的关系矩阵，D表示输入和输出之间的关系矩阵。
4. 将上述矩阵方程整理并求解，得到系统的传递函数形式。
将状态方程中的x(t)用Laplace变换表示，得到：(sI – A)X(s) = BU(s)其中I是单位矩阵，s是Laplace变换的复变量，X(s)和U(s)分别表示状态变量和输入变量的Laplace变换。
基于时域方法的多输入多输出控制系统的设计与优化
基于时域方法的多输入多输出控制系统的设计与优化多输入多输出（MIMO）控制系统是现代控制理论中的一个重要研究方向。
它涉及利用多个输入和多个输出信号来控制和调节系统的行为。
针对这个任务名称，本文将基于时域方法介绍多输入多输出控制系统的设计与优化。
1. 介绍多输入多输出控制系统的基本概念多输入多输出控制系统是指在控制过程中，存在多个输入信号和多个输出信号，并且这些信号之间存在相关性。
MIMO控制系统的设计与优化是为了提高系统的控制性能和稳定性，通过设计合适的控制器参数来实现对多个输入输出通道之间的交叉耦合的解耦和优化。
2. 时域方法在多输入多输出控制系统中的应用时域方法是MIMO控制系统设计与优化中常用的一种方法。
时域方法主要通过对系统的实际响应进行分析和控制，在时间域内进行系统性能的分析和参数的优化。
常用的时域方法包括传递函数模型、状态空间模型、扰动响应模型等。
a. 传递函数模型传递函数模型是一种常见的描述系统动态行为的方法。
通过将输入与输出之间的关系转化为传递函数形式，可以方便地进行系统性能分析和控制器的设计。
在多输入多输出控制系统中，传递函数模型可以表示为一个多变量传递函数矩阵，其中每个传递函数都描述了一个输入与一个输出之间的关系。
b. 状态空间模型状态空间模型是另一种常用的描述系统动态行为的方法。
状态空间模型可以将系统的状态表示为一组状态变量，并利用状态方程和输出方程来描述系统的行为。
在多输入多输出控制系统中，状态空间模型可以表示为一个多变量状态空间方程组，其中每个方程描述了一个输入与一个输出之间的关系。
c. 扰动响应模型扰动响应模型是一种用于分析和优化系统鲁棒性的方法。
扰动响应模型通过引入扰动信号，探索系统在面对不确定性和外界干扰时的动态行为。
在多输入多输出控制系统中，通过考虑不同输入信号和扰动信号对多个输出信号的影响，可以设计鲁棒控制器来提高系统的稳定性和抗干扰能力。
3. 多输入多输出控制系统设计与优化的关键问题多输入多输出控制系统设计与优化面临一些关键问题，包括控制器参数的选择、系统的稳定性分析、控制通道的解耦等。
多输入多输出系统的状态空间表达式
X AX bu
5、输出方程：系统输出与状态变量间的函数关系。例如， 前例中，若取 uc为输出，则有 y uc x1 写出矩阵形式：
x1 y [1 0] x2
若指定 i 为输出，则 若指定
y i x2
x1 y [0 1] x2
ur ( s ) u1 ( s ) I (s) R1 1 u ( s ) [ I ( s ) I ( s )] 2 1 sC1 I ( s ) u1 ( s ) uC ( s ) 2 R2 u ( s ) I ( s ) 1 C 2 sC2
uc ur 1 1 u u 1 1 C R C R C1R2 C1R1 1 1 1 2 1 1 uc u1 uc C2 R2 C2 R2 y uc
1 1 uc 1 1 1 x1 C1 R1 C1 R2 C1 R2 C1 R1 C1 R2 x x C1 R1 ur 1 1 x2 0 C2 R2 C2 R2 y x2 0 1 x
du1 (t ) C1 dt i (t ) i2 (t ) C duc (t ) i (t ) 2 2 dt u (t ) uc (t ) i2 (t ) 1 R2 u (t ) u1 (t ) i (t ) r R1 y uc
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定义不同的状态变量 可以得到不同的状态 方程。但传递函数具 有唯一性。
uc ur 1 1 1 1 u1 uc (u1 uc ) uc C1R1 C1 R1 C1 R2 C1 R2 C1R1 C1R2 1 1 uc u1 uc C2 R2 C2 R2 y uc 定义： x1 u1 uc , x2 uc
状态空间表示法
状态空间表示法状态空间表示是一种基于解答空间的问题表示和求解方法，它是以状态和操作符为基础的。
在利用状态空间图表示时，从某个初始状态开始，每次加一个操作符，递增地建立起操作符的试验序列，直到达到目标状态为止。
由于状态空间法需要扩展过多的节点，容易出现“组合爆炸”，因而只适用于表示比较简单的问题。
状态空间是控制工程中的一个名词。
状态是指在系统中决定系统状态的最小数目的变量的有序集合。
而所谓状态空间则是指该系统的全部可能状态的集合。
简单来说，状态空间可以视为一个以状态变量为坐标轴的空间，因此系统的状态可以表示为此空间中的一个向量。
一个实际的物理系统通常以微分算子方程P(D)Z(t)=Q(D)u( t)Y(t)=R(D)Z(t)+H(D)u(t)来描述。
在一般控制原理中基于系统(2-1)的传递函数W(D)=R(D)P-1(D)Q(D)+H(D)借助于各种图解法，比如根轨图或乃氏图等来实现控制系统的分析与设计。
考虑到系统的相互耦合其传递函数相当复杂，有时为了简单，在定性分析中略去相互耦合，实现系统的近似分析。
然而，现代控制理论是基于系统的等效状态空间表示X=AX+ BuY=CX+Eu借助于数字计算机来实现系统的分析与设计，从而避免了一般控制理论中的弊病，实现了系统分析与设计的数值计算程序化。
相应于系统的传递函数为W(D)=C(DI-A)-tB+E在研究中，通常假设E=0，这样并不影响所研究的问题的实质.那么W(D)=C(DI-A)-1B注意上面式子中，为微分算子，P(D),R(D),Q(D)和H(D)是关于D的适当阶次的多项式阵，Z(t)为系统的ml维部分状态，x(t)为n维状态矢量，y(t)为P维输出矢量，u(t)为q维输入矢量,(5)式还可表示成下面扼要介绍三种状态空间表示法状态空间表达式状态空间表达式由状态方程和输出方程构成，在状态空间中对控制系统作完整表述的公式。
在经典控制理论中，对一个线性定常系统，可用常微分方程或传递函数加以描述，可将某个单变量作为输出，直接和输入联系起来。
多输入多输出的状态空间方程 仿真 matlab
多输入多输出的状态空间方程仿真 matlab
多输入多输出的状态空间方程（MIMO State-Space Equation）
定义：
MIMO系统指的是含有多个输入和多个输出的线性时不变系统，其状
态空间方程可以表示为：
dx/dt = Ax + Bu
y = Cx + Du
其中，x是系统的状态向量，A、B、C、D是矩阵系数，u是输入向量，y是输出向量。
方程解释：
dx/dt = Ax + Bu代表系统的状态变量随着时间的推移而变化，这种
变化是由输入向量u和状态向量x决定的。
y = Cx + Du表示输出向量y是状态向量x和输入向量u的线性组合，
其中矩阵C和D称为输出矩阵和直接转移矩阵。
仿真MATLAB：
MATLAB提供了多种仿真MIMO系统的工具箱，如Control System Toolbox、Simulink、Stateflow等。
我们可以使用这些工具箱来构建系统的状态空间方程并进行仿真。
例如，可以使用Control System Toolbox中的ss函数来生成系统的状态空间方程：
sys = ss(A,B,C,D)
然后，使用sim函数进行仿真：
[t,y] = sim(sys,u,t)
其中，u是输入矩阵，t是时间向量，y是输出矩阵。
仿真的结果可以
使用plot函数进行可视化。
总结：
MIMO系统的状态空间方程可以用于描述多个输入和多个输出的系统，
该方程可以使用MATLAB中的工具箱进行仿真和可视化。
这些工具可以帮助我们更好地理解和设计复杂的控制系统。
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4、系统状态变化是一个运动过程，用微分方程进行描述；而 输出方程为代数方程。
例：写出双T网络 i
的状态方程：
ur
R1
u1
i1
R2 i2
i2
uc
I (s)
ur
(s) u1(s) R1
D
U
+ X&
x
B
C
+
+
Y
+
A
四、状态空间表达式的模拟结构图
模拟结构图用来反映系统各状态之间的信息传递关系。
五、状态空间表达式的特点：
1、状态变量的选择不是唯一的，选择不同的状态变量，就得 到不同的状态变量描述方程。但是不论选择哪一组状态变量， 一个 n 阶系统只能有 n 个状态。这 n 个状态： x1(t), x2(t), … , xn(t)构成了系统变量中线性无关的一个极大变量组。
如x1(t)、x2(t)……xn(t)是系统一组状态变量。则状态向
量为：
x1(t)
X (t)
x2
(t)
...
或 X x1 (t) , x2 (t)... xn (t)T
xn (t)
3、状态空间：以状态变量x1,x2,…xn为坐标轴,组成的n维空 间称为状态空间。状态空间中的每一点都代表了状态变量 的唯一的、特定的一组值。状态随时间的变化过程，则构 成了状态空间中的一条轨迹，这条轨迹称为状态轨迹。
u1 ( s )
I
2
(
s
)
[I (s) I2 (s)]
u1(s) uC (s) R2
1 sC1
uC
(s)
I2
(s)
1 sC2
消除中间变量:
I (s),u1(s), I2 (s)
G(s)
uc (s) ur (s)
R1 R2C1C2 s 2
1 (R1C1
R2C2
R1C2 )s
1
I
(s)
ur
(s) u1(s) R1
u1 ( s )
I
2
(s
)
[I (s) I2 (s)]
u1(s) uC (s) R2
1 sC1
uC
(s)
I2
(s)
1 sC2
C1
du1 (t ) dt
i(t)
i2
(t)
C2
duc (t) dt
i2 (t)
i2
(t)
u1(t) uc R2
(t)
i(t) ur (t) u1(t)
y1
Y
y2
M
ym
m维输出向量
输出矩阵 m×r维
c11 K
C
M
O
cm1 L
c1n M cmn
d11 K
D
M
O
dm1 L
d1r M dmr
直接传递矩阵 m×r维
三、状态空间描述的状态图
单线表示一维信号，双线表示多维信号。既反映了输入 对系统内部状态的因果关系，由反映了内部状态对外 部输出的影响。
x
1 C1R1
0
ur
定义不同的状态变量 可以得到不同的状态 方程。但传递函数具 有唯一性。
u&1
1 C1R1
1 C1R2
多输入多输出系统 的状态空间表达式
状态变量描述
一、基本定义
RLC电路u-输入变量
R
列写微分方程：
u
L
C uc
i
C
d uc dt
i
图1-1
L
di dt
Ri
uc
u
消去中间变量后，得：
LC
d 2uc dt
RC
duc dt
uc
u
传函表示形式：
Uc (s) U (s)
LCS 2
1 RCS
1
另一种模型表示方法：状态变量描述
一阶微分方程表示形式：
C
d uc dt
i
L
di dt
Ri
uc
u
u&c
duc dt
1i c
i&
di dt
1 L
uc
R L
i
1 L
u
向量矩阵表示形式：
u&c i&
0
1 L
1 C
R L
uc i
0
1 L
u
令 x1 uc x2 i
则其变为
x&1 x&2
0
1 L
1 C
R L
x1 x2
0
1 L
u
将以上方程组写矩阵形式
A
B
x&
x&1
x&2
0
k
m
1 f
m
x1 x2
0 1 m
u
y(t
)
C
1
0
x1 x2
状态方程
记为
x Ax Bu
y
Cx
输出方程
A——系统矩阵 B——输入矩阵 C——输出矩阵
进一步令
X
x1 x2
对于：
u&1
1 C1R1
1 C1R2
u1
uc C1R2
ur C1R1
u&c
1 C2 R2
u1
1 C2 R2
uc
y uc
定义： x1 u1, x2 uc
x&
x&1
x&2
1 C1R1
1
1 C1R2
C2 R2
y x2 0 1 x
1
C1R2 1
C2 R2
若指定 uc , i均为输出，则
y [0
1]
x1 x2
y1 uc x1 y2 i x2
y1 y2
1 0
0 x1
1
x2
Y CX
二、状态空间表达式： 系统的状态方程和输出方程合起来称为系统的状态空间
表达式，或称状态空间描述。 对于前例，其状态空间描述为：
X& AX bu Y CX
多输入多输出系统的状态空间表达式为：
X& AX BU Y CX DU
其中： X
x1 x2
M
xn
N维向量
a11 K
A
M
O
an1 L
a1n
M ann
系统矩阵 n×n方阵
输入矩阵
b11 K b1r
控制矩阵
B
M
O
M
n×r维
bn1 L bnr
u1
U
u2
M
ur
r维输入 向量
4、状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称 为状态方程。状பைடு நூலகம்方程反映了输入与状态变量间的关系。
X& AX bu
5、输出方程：系统输出与状态变量间的函数关系。例如，
前例中，若取 uc为输出，则有 y uc x1
写出矩阵形式：
y [1
0]
x1 x2
若指定 i 为输出，则 y i x2
R1
y uc
C1
du1 (t ) dt
C2
ur (t) u1(t) u1 R1
duc (t) u1(t) uc
dt
R2
(t) uc R2
(t)
(t)
y uc
u&1
1 C1R1
1 C1R2
u1
uc C1R2
ur C1R1
u&c
1 C2 R2
u1
1 C2 R2
uc
,
0
A
1 L
则可写为： X& AX bu
1 C
R L
,
0
b
1 L
1、状态变量：足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组 变量称为状态变量。如果给定了t=to时刻这组变量值，和 t>=to时输入的时间函数，那么，系统在t>=to的任何瞬间 的行为就完全确定了。
2、状态向量：以状态变量为元所组成的向量,称为状态向量。