一种多输入多输出系统传递函数的实用计算方法
用双通道分析仪计算多输入系统的传递函数
用双通道分析仪计算多输入系统的传递函数
作者：向阳
作者单位：广东机电职业技术学院,广东广州,510515
1.兰秋平.简新春德兴铜矿循环经济战略思考[会议论文]-2006
2.田利.王启山预氧化与气浮工艺联用处理低温低浊黄河水效果比较[会议论文]-2006
3.杨建红.张认成.房怀英基于Duffing振子信号检测的高压电弧短路监测系统[会议论文]-2006
4.孙建平.曹志清.张爱军基于STL文件的快速成型切片误差分析[会议论文]-2006
5.樊远征超精模糊控制算法与模块化及其在节能中的应用[会议论文]-2006
6.张云电.林金钳.胡皇印基于BP神经网络的压电换能器谐振频率预测[会议论文]-2006
7.黄伟.吴国安.汤清华.易冬柏基于FPGA的1553B总线接口板的设计[会议论文]-2006
8.严德昆二阶过阻尼系统传递函数辨识的新方法[期刊论文]-控制理论与应用2001,18(4)
9.苏添发.戴曙光.穆平安车牌及其字符分割的方法研究[会议论文]-2006
引用本文格式：向阳用双通道分析仪计算多输入系统的传递函数[会议论文] 2006。
自动控制原理 传递函数计算
• 传递函数只表明一个特定的输入、输出关系， 对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递 函数；（可定义传递函数矩阵，见第九章）
传递函数是关于复变量s的有理真分式，它的分
子，分母的阶次是： n m。
一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之 对应。这将在第四章根轨迹中详述。
C R=1
北京航空航天大学
L1
L2
P11 P22
L3 L4 L2 L4
L3 L4
②两两互不相关的回路2
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
L3 L4 = (G4 )(G2G3 H2 )
３. ①求前向通路1
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
P1 = G1G2G3 1 = 1
3. ②求前向通路2
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
= 1 P2 = G4 2
G1G2 H1 G2G3 H 2
G4
R
G1
G2
G3
C
H2 H1
P2 = G1G4
2 = 1
前向通路数：n = 2
求解步骤之三：求总传递函数
C
R
=
1
G1G2G3
G1G2G3 G1G4 G1G2 H1 G2G3 H2
G1G4
G4 H2
例3：对例2做简单的修改
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
①求反馈回路1
G4
R
C
G1
G2
双输入双输出状态空间方程转传递函数
双输入双输出状态空间方程转传递函数在控制系统工程中，状态空间方程是描述系统动态行为的一种数学模型。
它通常由一个或多个状态变量的一阶微分方程和输出公式组成。
当一个系统有两个输入和两个输出时，我们称之为双输入双输出系统。
在实际工程应用中，我们常需要将双输入双输出状态空间方程转换为传递函数形式，以便更方便地进行分析和设计。
将双输入双输出状态空间方程转换为传递函数的步骤如下：1. 确定系统的状态变量，并将它们表示为向量形式。
令x(t) = [x1(t), x2(t), …, xn(t)]T为状态向量，其中T表示向量的转置。
2. 设计系统的输入输出方程。
对于双输入双输出系统，我们有：y1(t) = c1 x(t) + d11 u1(t) + d12 u2(t)y2(t) = c2 x(t) + d21 u1(t) + d22 u2(t)其中y1(t)和y2(t)为系统的两个输出，u1(t)和u2(t)为系统的两个输入，c1、c2、d11、d22、d12、d21分别为系统的常数系数。
3. 将状态方程和输出方程合并为一个矩阵方程。
将状态方程写成向量形式得到：x˙(t) = Ax(t) + Bu(t)其中x˙(t)表示状态的一阶导数，A表示状态变量之间的关系矩阵，B表示控制输入和状态变量之间的关系矩阵，u(t) = [u1(t), u2(t)]T表示输入向量。
将输出方程中的x(t)代入状态方程中：y(t) = Cx(t) + Du(t)其中y(t) = [y1(t), y2(t)]T表示输出向量，C表示输出和状态变量之间的关系矩阵，D表示输入和输出之间的关系矩阵。
4. 将上述矩阵方程整理并求解，得到系统的传递函数形式。
将状态方程中的x(t)用Laplace变换表示，得到：(sI – A)X(s) = BU(s)其中I是单位矩阵，s是Laplace变换的复变量，X(s)和U(s)分别表示状态变量和输入变量的Laplace变换。
mimo传递函数转化为状态空间模型matlab代码
MIMO传递函数转化为状态空间模型Matlab代码1. 介绍MIMO（多输入多输出）系统是指系统具有多个输入和多个输出的特性。
在控制系统领域中，MIMO系统的建模和分析是非常重要的。
传递函数和状态空间模型是两种常用的系统建模方法。
本文将介绍如何将MIMO系统的传递函数转化为状态空间模型，并给出相应的Matlab代码实现。
2. MIMO系统的传递函数表示MIMO系统的传递函数通常表示为一个矩阵，每个元素对应一个输入到一个输出的传递函数。
假设有n个输入、m个输出，则MIMO系统的传递函数可以表示为一个m×n的传递函数矩阵G(s)。
传递函数矩阵的元素可以用s表示，如G11(s)、G12(s)等。
3. MIMO系统传递函数到状态空间模型的转化方法MIMO系统的传递函数可以通过状态空间模型来表示。
状态空间模型的基本形式如下：\[ \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) \]\[ y(t) = Cx(t) + Du(t) \]其中，A是状态矩阵，B是输入矩阵，C是输出矩阵，D是传递函数零极点对应的矩阵。
MIMO系统的传递函数可以通过以下步骤转化为状态空间模型：1）将传递函数矩阵分解为多个SISO（单输入单输出）系统的传递函数；2）针对每个SISO系统，可以将其转化为状态空间模型；3）将各个SISO系统的状态空间模型组合成一个整体的MIMO系统的状态空间模型。
4. Matlab代码实现下面我们通过一个实例来演示如何用Matlab将MIMO系统的传递函数转化为状态空间模型。
假设传递函数矩阵为：\[ G(s) = \begin{bmatrix} \frac{2s+1}{s^2+3s+2}\frac{3s+2}{s^2+4s+3} \\ \frac{4s+1}{s^2+2s+1}\frac{5s+2}{s^2+3s+2} \end{bmatrix} \]我们需要将传递函数矩阵分解为四个SISO系统的传递函数：\[ G11(s) = \frac{2s+1}{s^2+3s+2} \]\[ G12(s) = \frac{3s+2}{s^2+4s+3} \]\[ G21(s) = \frac{4s+1}{s^2+2s+1} \]\[ G22(s) = \frac{5s+2}{s^2+3s+2} \]针对每个SISO系统，我们可以将其转化为状态空间模型，以G11(s)为例：```Matlab将传递函数G11(s)转化为状态空间模型num = [2, 1]; 分子系数den = [1, 3, 2]; 分母系数[A11, B11, C11, D11] = tf2ss(num, den); 转化为状态空间模型```将各个SISO系统的状态空间模型组合成整体的MIMO系统的状态空间模型：```Matlab对四个SISO系统的状态空间模型进行组合A = [A11, A12; A21, A22];B = [B11, B12; B21, B22];C = [C11, C12; C21, C22];D = [D11, D12; D21, D22];```至此，我们成功地将MIMO系统的传递函数转化为状态空间模型，并通过Matlab代码实现了这一过程。
多输入多输出系统的状态空间表达式
ucபைடு நூலகம், i均为输出，则
y1 1 0 x1 y 0 1 x 2 2
y1 uc x1 y2 i x2
Y CX
二、状态空间表达式： 系统的状态方程和输出方程合起来称为系统的状态空间 表达式，或称状态空间描述。 对于前例，其状态空间描述为：
uc ur 1 1 u u 1 1 C R C R C1R2 C1R1 1 1 1 2 1 1 uc u1 uc C2 R2 C2 R2 y uc
1 1 uc 1 1 1 x1 C1 R1 C1 R2 C1 R2 C1 R1 C1 R2 x x C1 R1 ur 1 1 x2 0 C2 R2 C2 R2 y x2 0 1 x
uc du1 (t ) ur (t ) u1 (t ) u1 (t ) uc (t ) ur 1 1 C u u 1 1 1 dt R R C R C R C1 R2 C1 R1 1 2 1 1 1 2 du ( t ) u ( t ) u ( t ) 1 1 c C2 c 1 uc u1 uc dt R C2 R2 C2 R2 2 y uc
到不同的状态变量描述方程。但是不论选择哪一组状态变量，
面、完善。
4、系统状态变化是一个运动过程，用微分方程进行描述；而输 出方程为代数方程。
例：写出双T网络 的状态方程：
i
ur
R1
i1
u1
R2
i2
i2
uc
ur ( s ) u1 ( s ) I (s) R1 1 u1 ( s ) [ I ( s ) I 2 ( s )] sC 1 I ( s ) u1 ( s ) uC ( s ) 2 R2 消除中间变量: I (s), u1 (s), I 2 (s) u ( s ) I ( s ) 1 C 2 sC2 uc ( s ) 1 G( s) ur ( s) R1R2C1C2 s 2 ( R1C1 R2C2 R1C2 ) s 1
多输入多输出系统传递函数矩阵
多输入多输出系统传递函数矩阵
多输入多输出系统传递函数矩阵是指将一个多变量系统的所有输入和输出以矩阵形式表示的传递函数。
在控制系统设计中，我们经常会遇到多输入多输出系统的问题，因此需要有一种有效的方法来描述和分析这种系统。
对于一个n输入n输出的系统，传递函数矩阵H(s)可以表示为： H(s) = [H11(s) H12(s) ... H1n(s)]
[H21(s) H22(s) ... H2n(s)]
[... ... ... ]
[Hn1(s) Hn2(s) ... Hnn(s)]
其中，Hij(s)表示第i个输出对第j个输入的传递函数。
传递函数矩阵可以简化多输入多输出系统的分析和设计过程，使得我们可以更方便地进行控制器设计和系统优化。
同时，传递函数矩阵也可以用于描述多个子系统之间的相互作用，帮助我们更好地理解系统的整体行为。
在实际应用中，我们可以使用矩阵运算来计算传递函数矩阵，并根据需要对其进行简化或扩展。
通过对传递函数矩阵的分析，我们可以找到系统的稳定性、响应速度、误差等特性，从而选择合适的控制策略和参数来实现系统的控制和优化。
- 1 -。
(完整)系统建模与仿真习题答案(forstudents)
第一章习题1-1什么是仿真？它所遵循的基本原则是什么？答：仿真是建立在控制理论，相似理论，信息处理技术和计算技术等理论基础之上的,以计算机和其他专用物理效应设备为工具，利用系统模型对真实或假想的系统进行试验，并借助专家经验知识，统计数据和信息资料对试验结果进行分析和研究，进而做出决策的一门综合性的试验性科学。
它所遵循的基本原则是相似原理。
1-2在系统分析与设计中仿真法与解析法有何区别?各有什么特点?答：解析法就是运用已掌握的理论知识对控制系统进行理论上的分析，计算。
它是一种纯物理意义上的实验分析方法,在对系统的认识过程中具有普遍意义。
由于受到理论的不完善性以及对事物认识的不全面性等因素的影响，其应用往往有很大局限性.仿真法基于相似原理，是在模型上所进行的系统性能分析与研究的实验方法.1-3数字仿真包括那几个要素？其关系如何？答: 通常情况下，数字仿真实验包括三个基本要素，即实际系统，数学模型与计算机。
由图可见，将实际系统抽象为数学模型，称之为一次模型化，它还涉及到系统辨识技术问题,统称为建模问题；将数学模型转化为可在计算机上运行的仿真模型，称之为二次模型化，这涉及到仿真技术问题，统称为仿真实验.1—4为什么说模拟仿真较数字仿真精度低？其优点如何?.答：由于受到电路元件精度的制约和容易受到外界的干扰,模拟仿真较数字仿真精度低但模拟仿真具有如下优点：（1）描述连续的物理系统的动态过程比较自然和逼真。
（2）仿真速度极快，失真小，结果可信度高。
（3）能快速求解微分方程.模拟计算机运行时各运算器是并行工作的，模拟机的解题速度与原系统的复杂程度无关.（4）可以灵活设置仿真试验的时间标尺，既可以进行实时仿真，也可以进行非实时仿真.（5）易于和实物相连。
1-5什么是CAD技术？控制系统CAD可解决那些问题？答：CAD技术，即计算机辅助设计（Computer Aided Design)，是将计算机高速而精确的计算能力,大容量存储和处理数据的能力与设计者的综合分析，逻辑判断以及创造性思维结合起来，用以加快设计进程，缩短设计周期，提高设计质量的技术.控制系统CAD可以解决以频域法为主要内容的经典控制理论和以时域法为主要内容的现代控制理论。
传递函数
(t)
则在零初始条件下，对上式进行拉氏变换，可得系 统传递函数的一般形式：
G(s) Xo Xi
s s
b0 s m a0sn
b1sm1 a1sn1
bm1s bm (n m) an1s an
2.2.1 传递函数的性质
性质1 传递函数只表示输出量与输入量的关系，是一 种函数关系。这种函数关系由系统的结构和参 数所决定，与输入信号和输出信号无关。这种 函数关系在信号传递的过程中得以实现，故称 传递函数。
输出量与输入量之间能用一阶线性微分方程描述的
环节称为一阶惯性环节:
T xo (t) x0 (t) xi (t)
一阶惯性环节的传递函数为：
G(s)
1
Ts 1
式中 T-时间常数，表征环节惯性，和结构参数有关。
特点：含一个储能元件,当输入量突然变化时,由于物理状
态不能突变,输出量也就不能立即复现,而是按指数规律逐渐变
性质5
如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知 的输入，研究其输出，从而得出传递函数。
2.2.1 传递函数的性质
性质6 传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)。
脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位 脉冲输入时的输出响应。
Xi (s) L[ (t)] 1
xo (t) L1[ X o (s)] L1[G(s) Xi (s)] L1[G(s)]
这样,任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所 组成，从而给建立数学模型，研究系统特性带来方 便，使问题简化。
2.2.3 典型环节及其传递函数
系统的传递函数可以写成：
b
c
K
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决问题。 本方法分 2 步：分别为（SI-A）行列式的
计算和最终结果计算 。
1 行列式的计算
根据 G（s）的表达式，首先应计算（SIA)-1 而任何矩阵在求逆运算的过程中都不可避 免地计算行列式，这里是 A 矩阵的特征多项式， 下面给出方法。
[ 特征多项式算法 ]：给定 nxn 系统矩阵 A, 其特征多项式具有形式：
an-3= Step n-1：计算 R1=R2A+a2I
a1= Step n：计算 R0=R1A+a1I
a0= 典型例题：给定 4×4 系统矩阵 A 为：
计算其特征多项式。 解：
a3=
=2
a2=
=-10
同理有 a1=-28，a0=-14 所以 a(s)=det(sI-A)=S4+2S3-10S2-28S-14
y1(s)=g11(s)u1(s)+g12(s)+u2(s)+……+g1p(s) up(s)
y2(s)=g21(s)u1(s)+g22(s)u2(s)+……+g2p(s) up(s)
…… yq(s)=gq1(s)u1(s)+gq2(s)u2(s)+……+gqp(s) up(s) 简写为 y(s)=G(s)U(s) 考虑线性时间连续系统，状态空间描述 为：
=Ax+Bu Y=Cx+Du 则 传 递 函 数 矩 阵 G(s) 的 基 于 系 数 矩 阵 ｛A,B,C,D｝的基本关系式为 G(s) =C(SI-A)-1B+D 证：对上述两个方案取拉普拉斯变换后， 可导出： （SI-A）x(s) = BU(s) 因为矩阵（SI-A）非奇异， 故有 x(s)=(SI-A)-1u(s), 结论成立。 显 然， 基 于 关 系 式 建 立 了 G（s） 和 ｛A,B,C,D｝间的显式关系，为分析和揭示系 统两种描述间的关系提供了基础，但是，在求 解过程中包含了对含有字母 S 的方阵的求逆运 算，若系统为 6 维，求逆必求行列式，则在求 行列式时人们还需计算 6 个 5 维子式。在计算 每个子式又要 5 个 4 维子式，计算每个 4 维子 式又需计算 4 个 3 维子式，操作十分繁琐，人 工极易出错，且即使使用计算机，后续过程亦 十分复杂。况且，大型过程中又要经常用到这 样的计算和操作，因此，本文给出了一种实用、 便捷、易于计算机编程的算法，能够迅速地解
作者简介 王家豪（1997-），男，河南省平顶山市人。 大学本科在读，就读于合肥工业大学电气工程 与自动化工程学院。主要研究方向为自动化。
作者单位 合肥工业大学电气工程与自动化工程学院 安 徽省合肥市 230009
112 • 电子技术与软件工程 Electronic Technology & Software Engineern-1=I Rn-2= Rn-1A+an-1I ……
R1=R2A+an-1 I
R0=R1A+a1 I
再代入有：Rn-1= I
Rn-2=A+an-1I Rn-3=A2+an-1A+an-2 I
……
R1=An-2+an-1 An-3+…+a2 I R0=An-1+an-1 An-2+…+a1 I 即可证得。
a(s)=det(sI-A)=sn+an-1sn-1+a1s+a0 则 其 系 数 an-1, an-2,……,a1, a0
可按下述步骤给出的顺序来递推地定出。 Step1：计算 Rn-1=I
an-1= Step2：计算 Rn-2=Rn-1A+an-1I
an-2= Step3：计算 Rn-3=Rn-2A+an-2I
2 最终结果计算
[G(s) 的实用算式 ]：对多输入线性系统首
先要定出特征多项式，设为 a(s)。
和一组系数矩阵：
En-1=CB En-2=CAB+an-1CB ...... E1=CAn-2 B+an-1 CAn-3 B+…+a2 CB E0=CAn-1 B+an-1 CAn-2 B+…+a1 CB 则计算 G(S) 的一个实用关系式为：
算 的， 适 于 任 意 阶 数 的 传 递 函 数
计算方法，并给出了相应的实例。
【关键词】实用计算方法 传递函数计算 多输 入多输出
多输入多输出线性时不变系统的传递函 数矩阵，定义为零初始条件下输出的拉普拉斯 变换与输入的拉普拉斯变换之间的因果关系。
设输入变量组为 {u1, u2,…,up}，输出变量 组为 {y1, y2,…,yq} 且线性时不变系统初始条件 为零。根据线性系统的叠加原理 , 可导出拉普 拉斯变换意义下的输出输入关系式为 :
G(S)= E0]+ D
=[En-1 Sn-1+ En-2 Sn-2+…+E2 s+
证：设（SI-A)-1=
=
[RN-1 SN-1+Rn-2 Sn-2+…+R2S+R0]
则 ISn+ an-1ISn-1+…+a1IS+a0I=Rn-1Sn+(Rn-2
-Rn-1 A) Sn-1+…+(R0-R1A)S-R0 A
G(S)=
[CRn-1 BSn-1+CRn-2 BSn-2
+…+CR1BS+CR0B]+D
结论成立。
注：可以看出，运用此方法计算 G(S) 时，
只限于矩阵乘和加，复杂程度明显降低
3 结语
通 过 以 上 分 析，G（s） 的 计 算 可 变 得 简 便快速，在实际应用过程中，可以使用程序设 计语言根据以上算法编程实现，该方法具有巨 大的便捷性和工程应用价值。
• 计算机技术应用 the Application of Computer Technology
一种多输入多输出系统传递函数的实用计算方法
文/王家豪
摘
在多输入多输出线性系统中，
传递函数矩阵定义为零初始条件 要 下，输出的拉普拉斯变换 y（s）
和输入的拉普拉斯变换 u（s）之比，
本文介绍了一种便于计算机和笔