5.7 已知三角函数值求角
已知三角函数值求角
四、教学过程
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
复
习
引
入
复习在初中锐角三角函数值求锐角的例子。
提出问题：假设将所给角的范围扩大，问题应该怎么处理？
复习旧知识，引入新问题
应
用
举
例
例1、 ，
〔1〕假设 ，求x；
〔2〕假设 ，求x；
〔3〕假设 ，求x的取值集合。
〔2〕求 上的角 ：
1°先求出与 对应的锐角 ；
2°根据α所在的象限，求出 上的角：
假设 在第一象限，那么 =
假设 在第二象限，那么 =π-
假设 在第三象限，那么 =π+
假设 在第四象限，那么 =2π-
〔3〕写出所有与 终边一样的角。
布
置
作
业
1、练习A2、4；
练习B1、2、3
2、考虑：余切、正割、余割的三角函数值，怎么求角？
1、学生答复，老师板书，老师及时指出学生解法中的缺乏。
2、进一步将问题深化：①假设 ，怎么办？②假设sinx=0.3，怎么办？
3、对于问题②，学生可能会有三种答案：数学用表、计算器、反正弦，指出前两者不是准确值，应使用第三种。
从学生熟悉的问题出发，逐渐增大难度，让学生在不断的探究中获得新知识。
概
念
形
成
假设sin =t，那么 =arcsint，其中 ，t [-1,1]。
1、让学生考虑对 、t范围进展限制的理由。
2、用反函数的知识解释 范围的由来。
3、和学生一起，写出反余弦、反正切的相关结论。
4、完成sinx=0.3的处理。
已知正弦函数值求角
第17课时【教学题目】§5.7.1已知正弦函数值求角【教学目标】1.会由已知角的正弦值，求出指定范围内的角；2.掌握已知正弦函数的值求角的解题步骤.【教学内容】1.由已知角的正弦值，求出指定某范围内的角；2.已知正弦函数的值求角的解题步骤.【教学重点】会由已知角的正弦值，求出指定范围内的角.【教学难点】会由已知角的正弦值，求出指定范围内的角.【教学过程】一、导课前几节课我们学习过已知角求三角函数值，随着我们对三角函数学习的逐步深入，我们还会遇到这样的问题：已知某角的某一个三角函数值，让我们求这个角.问题：已知1sin 2x =适合这个等式的角你能找到几个？在哪一个范围内一个值对应着一个角呢？ 答案：,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（学生观察正弦函数的图像自主得到答案） 二、新授已知正弦函数值，求指定范围内的角的主要步骤：（一）利用计算器求出0090~90⎡⎤-⎣⎦（或,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦）范围内的角； （二）利用诱导公式()0sin 180sin αα-=（或()sin sin παα-=）求出0090~270⎡⎤⎣⎦（或3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦）范围内的角； （三）利用诱导公式()0sin360sin k αα+⋅=（或()sin 2sin k απα+=）求出指定范围内的角.三、例题讲解例、已知sin x =，求在区间[]0,2π范围内的角x .解：（1）求0090~90⎡⎤-⎣⎦（或,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦）范围内的角：因为sin 2x =，所以13x π=. （2）求出0090~270⎡⎤⎣⎦（或3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦）范围内的角： 由诱导公式()0sin 180sin αα-=（或()sin sin παα-=）知：21233x x ππππ=-=-=.所以在区间[]0,2π范围内，使得sin 2x =的角x 为3π和23π. 四、学生练习 已知1sin 2x =，求在区间[]0,2π范围内的角x . 五、课堂小结 （一）由已知角的正弦值，求出某范围内的角；（二）已知正弦函数的值求角的解题步骤.六、作业布置（一）已知sin 2x =，求在区间[]0,2π范围内的角x ； （二）已知A ∠是三角形ABC ∆的内角，且1sin 2A =，求A ∠. 七、教学反思 学生通过学习已知正弦函数值求角，以及已知正弦函数值求角的步骤，基本上能够求出指定范围内的简单的角.但是学生对于应用诱导公式()0sin 180sin αα-=（或()sin sin παα-=）和诱导公式()0sin 360sin k αα+⋅=（或()sin 2sin k απα+=）还不熟练，须继续加强指导和训练.。
已知三角函数值求角知识讲解
【学习目标】1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤；2、要求学生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合【要点梳理】要点一：反正弦，反余弦，反正切函数的定义（1）一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值[](1,1)y y ∈-，那么在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有唯一的x 值和它对应，记为arcsin x y =（其中11,22y x ππ-≤≤-≤≤）．即arcsin y （||1y ≤）表示,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上正弦等于y的那个角．（2）在区间[]0,π上符合条件cos (11)x y y =-≤≤的角x ，记为arccos x y =．（3）一般地，如果tan ()x y y R =∈，且,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，那么对每一个正切值y ，在开区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内，有且只有一个角x ，使tan x y =．符合上述条件的角x ，记为arctan ,(,)22x y x ππ=∈-．要点二：已知正弦值、余弦值和正切值，求角 已知角x 的一个三角函数值求角x ，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步：第一步，决定角可能是第几象限角.第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角1x ；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角1x .第三步，如果函数值为负数，则可根据x 可能是第几象限角，得出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为－1x ＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为1x ＋π或－1x ＋2π. 第四步，如果要求(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果.【典型例题】类型一：已知正弦值、余弦值，求角例1．已知sin x =，（1）x ∈[]0,2π，（2）x R ∈，求角x . 【思路点拨】因为所给的正弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后在求出其他象限的角． 【解析】（1）由sin x =知x 的正弦值是个负值，所以x 是第三象限或第四象限的角．因为sin 4π=，所以第三象限的那个角是544πππ+=，第四象限的角是7244πππ-=． （2）在R 上符合条件的角是所有与54π终边相同的角和所有与74π终边相同的角．因此x 的取值集合为57|2()|2()44x x k k z x x k k z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭． 【总结升华】（1）定象限，根据三角函数值的符号确定角是第几象限角．(2)找锐角；如果三角函数值为正，则可直接求出对应的锐角1x ，如果三角函数值为负，则求出与其绝对值对应的锐角1x ． (3)写形式．根据 ±，2 - 的诱导公式写出结果．第二象限角：1x π-；第三象限角：1x π+第四象限角：12x π- ．如果要求出[ 0 ，2 ]范围以外的角则可利用终边相同的角的三角函数值相等写出所有结果．例2．（1）已知cos x ＝－0．7660，且x ∈［0，π］，求x ； （2）已知cos x ＝－，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合.【思路点拨】因为所给的余弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后再求出其他象限的角． 【解析】（1）由余弦曲线可知y ＝cos x 在［0，π］上是减函数 又由已知cos x ＝－＜0 得x 是一个钝角又由cos(π－x )＝－cos x ＝0．7660利用计算器求得π－x ＝29π∴79x π=∴符合条件的有且只有一个角79π.（2）∵cos x ＝－0．7660＜0，所以x 是第二或第三象限角，由y ＝cos x 在［0，π］上是减函数 y ＝cos x 在［π，2π］上是增函数 因为cos(π＋29π)＝cos(π－29π)= －.可知：符合条件的角有且只有两个，即第二象限角79π或第三象限角119π．∴所求角x 的集合是｛79π，119π｝.举一反三：【变式1】已知sinX= - ,且X ∈[ 0 ，2π] ，求角X 的取值集合． 【答案】arcsin0.3332π+或2arcsin0.3332π- 【变式2】根据下列条件，求△ABC 的内角A（1）23cos -=A （2）3sin 5A =【思路点拨】因为∠A 为△ABC 的内角，所以0＜A ＜π.根据余弦函数在),0(π内是单调递减的，故符合条件的∠A 只有一个，而根据正弦函数的单调性，在),0(π中符合条件的有两个. 【解析】（1）∠A 为△ABC 的内角 ∴0＜A ＜π∵余弦函数在区间),0(π中为减函数，所以符合条件23cos -=A 的角A 只有一个 ∵236cos=π∴2365cos -=π ∴π65=∠A（2）∵0＜A ＜π，根据正弦函数的单调性，在),0(π内符合条件3sin 5A =的角A 有两个 ∵53sin )sin(==-A A π ∴53arcsin 53arcsin -=∠=∠πA A 或类型二：已知正切值，求角例3．已知.,)3( ]2,0[)2( )2,2()1(.2tan ααπαππαα求角若R ∈∈-∈-= 【思路点拨】由正切函数的单调性可知，在开区间)2,2(ππ-内，符合条件2tan -=α的角只有一个，而在]2,0[πα∈内，符合条件2tan -=α的就有两个.再根据正切函数的周期性可知，第（3）题中符合条件的角α就有无穷多个了.【解析】（1）由正切函数在开区间)2,2(ππ-上是增函数可知；符合2tan -=α的角只有一个，即arctan(2)α=-（2）∵,02tan <-=α∴α是第二或第四象限角，又∵]2,0[πα∈，由正切函数在区间),2(ππ、]2,23(ππ上是增函数知，符合2tan -=α的角有两个. ∵,2tan )2tan()tan(-==+=+ααπαπ且)0,2()2arctan(π-∈-∴)2arctan(2)2arctan(-+=-+=παπα或（3）∵正切函数的最小正周期为π∴只需在长为一个周期的区间上求出满足条件的α，再加上πk 即可 在（1）中，)2arctan( )2,2(-=-∈αππα ∴Z R ∈-+=∈k k ),2arctan(,παα 举一反三：【变式1】(1)已知tan x ＝31，x ∈(－2π，2π)，求x . (2)已知tan x ＝31，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合. 【思路点拨】(1)由正切曲线可知y ＝tan x 在(－2π，2π)上是增函数；可知符合条件的角有且只有一个，利用计算器可求得x ＝10π=18°26′ (2)由正切函数的周期性，可知当x ＝10π＋π时，tan x ＝31 且10π＋π＝1011π∈［0，2π］ ∴所求x 的集合是｛10π，1011π｝类型三：反三函数的综合应用例4．已知θθπθcos sin ],2,0[和∈分别是方程012=++-k kx x 的两个根，求θ. 【思路点拨】利用一元二次方程的根与系数的关系和同角三角函数关系式1cos sin 22=+αα求k ，然后利用θθcos sin 和的值求θ.【解析】∵θθcos sin 和是方程012=++-k kx x 两个根∴⎩⎨⎧+=⋅=+1cos sin cos sin k k θθθθ①2–②×2，得：)1(2cos sin 222+-=+k k θθ整理得：0322=--k k 解得：31=-=k k 或又∵0)1(42≥--k k ∴2222-≤+≥k k 或 ∵22322+<<- ∴k =3应舍去，k = –1当k =–1时，原方程为02=+x x ∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==1sin 0cos 1cos 0sin θθθθ或 ∵)2,0[πθ∈ ∴πθπθ23==或 例5．求证arctan1+arctan2+arctan3=π【思路点拨】由于等式右边的三个角都在开区间)2,0(π内，故三个角的和在开区间（0，π23）内，若解求得这三角和的正切为0，那么证明就算完成了.证明：令,3arctan ,2arctan ,1arctan ===γβα则α、β、)2,0(πγ∈∴3tan 2tan 4===γβπα① ②∵tan tan 23tan()11tan tan 123βγβγβγ+++===---⨯而),0(πγβ∈+ ∴πγβ43=+ ∴πππγβα=+=++434 即arctan1+arctan2+arctan3=π。
高二数学已知三角函数值求角(新编2019教材)
我们知道，任意给定一个角，只要这个角 的三角函数值存在，就可以求出这个三角函 数值；反过来，已知一个三角函数值，也可 以求出与它对应的角。
1.已知正弦值，求角
例1、已知
sinx=
1 2
，
（1）若 x [ , ]，求x；
(1)x
6
22
（2）若
x [0, 2 )
，求x； (2)x
或 5
66
（3）若 x∈R，求x的取值集合。
(3)
x
|
x
2k
6
或2k
+
5
6
,
k
Z
；新视觉影院 https:// 新视觉影院 ；
臣等参详 《太玄》 事未晚也 元帝为左丞相 实规伺隙 王坦之 或有论绍者以死难获讥 父建 历黄门郎 而与滔比肩 卿何所闻 字 逌为上佐 又云 亦未尝朝谒 虽不好学 荣达之嘉名 仍叔之子 太微 亦雄姿之壮发 又有敦煌父老令狐炽梦白头公衣帢而谓炽曰 安危之秘术 辅国宋混与弟澄共 讨瓘 龙啸大野 字伯通 颍川三府君初毁主 而惧天时水旱之运 温甚悼惜之 而实不欲下 大禹即而方叙 久方得反 属陈敏作乱 又撰《周易训注》 引满喧哗 私展供养 时有桑门释道安 骏有计略 玲等济河未毕 领晋陵太守 以徇四境 视职期月 是时侍臣被诏者 则举义皆阂 诉轨之被诬 莅职 清明 搉单骑奔走 先是 莫能屈也 槐 参太傅军事 元首经略而股肱肆力 虽处层楼 孟昶窥见之 天锡败绩 不追林栖之迹 仓帑未盈 今钦生父实终没 单骑而还 匪唯地势 立功非所也 广晋太守 邓伯道之清 解纷挫锐 哀感行路 当即其位号 军国之宜 性行纯悫 如失父母 兴宁末 好学善属文 罔顾天朝 飞尘翕以蔽日 时郡中大饑 汲鱼
三角函数已知三角函数值求角
方法三：利用数值逼近法求解
总结词
精度高、适用范围广、计算复杂
详细描述
数值逼近法是通过一系列近似计算来逼近真实的角度 值。这种方法精度高，适用范围广，但是由于计算过 程较为复杂，需要较高的计算能力才能实现。
05 已知正切值求角
方法一：利用反正切函数求解
总结词
计算简便，适用于已知正切值求锐角
详细描述
利用反正切函数求解是一种简便的方法。在 实数域内，正切函数的反函数是反正切函数 ，记作arctan(x)。已知一个锐角A的正切值 a，即$tan(A) = a$，那么可以通过反正切 函数求解角A，即$A = arctan(a)$。这个方
法适用于已知正切值求锐角的情况。
方法二：利用几何方法求解
要点一
方法三：利用数值逼近法求解
总结词
近似、计算、迭代方法
VS
详细描述
数值逼近法是一种通过迭代计算逼近精确 解的方法。在已知正弦值求角的问题中， 我们可以使用此方法。首先，我们选择一 个初始角，然后通过迭代计算，不断逼近 满足给定正弦值的角。此方法需要使用计 算机等计算工具进行数值计算。
04 已知余弦值求角
方法一：利用反余弦函数求解
总结词
准确、快捷、适用范围广
详细描述
反余弦函数是已知余弦值求角度的一种有效方法。通过使用 反余弦函数，可以直接求出角度的数值。这种方法计算过程 简单，适用范围广，能够满足大多数情况下的需求。
方法二：利用几何方法求解
总结词
直观、易懂、精度高
详细描述
几何方法是利用三角形的性质，通过已知 的余弦值和边长关系来求解角度。这种方 法不需要复杂的计算，通过简单的几何关 系即可得到结果，并且精度高，适合解决 各种实际问题。
三角函数已知三角函数值求角
研究问题和目标
研究问题
给定三角函数值，如何快速准确地确定对应的角度？
研究目标
通过研究算法和优化方法，提高已知三角函数值求角的速度和精度
论文组织和结构
主要内容
本文将介绍已知三角函数值求角的多种方法，并对各种方法 的性能进行比较分析
论文结构
本文将分为以下几个部分：引言、文献综述、方法介绍、实 验分析、结论与展望等
记为arctan(x)或tan⁻¹(x)，定义为满 足tan(y) = x的角y的集合。
三角函数和反三角函数的关系
反正弦函数、反余弦函数和反正切函数分别与相应的 三角函数互为逆函数，即
arccos(cos(x))tan(tan(x)) = x
03
02
预备知识
三角函数的定义
正弦函数(sine function)
定义为直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比值，记为sin(α)。
余弦函数(cosine function)
定义为直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比值，记为cos(α)。
正切函数(tangent function)
定义为直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值，记为tan(α)。
余弦函数
余弦函数定义
cos(θ) = x / r，其中x是点在象限中横坐标的距离。
余弦函数性质
cos(0°) = 1，cos(90°) = 0，cos(180°) = -1，cos(-x) = cos(x)，cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)。
正切函数
正切函数定义
高求解精度的同时，拓展其应用范围。
建议后续研究者们进一步挖掘该方法的潜力，探索其在物理、
《数学(基础模块)上册》习题答案
《数学（基础模块）上册》习题答案第一部分 基础知识 第1章 集 合1.1 集合及其表示课堂练习1.1.11．（1）由于小河流没有具体标准，表述的对象是不确定的，因此不能组成一个集合； （2）天上所有的星星是确定的对象，可以组成一个集合；（3）大于5小于100的所有奇数是确定的对象，可以组成一个集合；（4）我国2008—2018年间发射的所有人造卫星是确定的对象，可以组成一个集合； （5）方程230x x -=的解为0和3，它们是确定的对象，可以组成一个集合． 2．（1）∉，∉，∉； （2）∈，∉，∈； （3）∈，∈，∈；（4）∈，∈，∈．鉴错小能手（1）不正确，{5}表示集合，5表示元素；（2）不正确，一棵树上所有的叶子是确定的，组成的集合是有限集； （3）不正确，地球上身高超过五米的人是不存在的，组成的集合是空集； （4）不正确，方程2(21)9x -+=在实数范围内无解，其解集为空集； （5）正确，方程2210x x -+=的解为1，其解集为有限集；（6）不正确，10x=无解，其解集为空集． 课堂练习1.1.2 1．列举法（1）{l o n e y}，，，，；（2）{33}-，．2．描述法1．（1）{|421}>=+∈Z x x x k k ，，；（2）{()|31}=-x y y x ，． 2．（1）{亚洲，欧洲，北美洲，南美洲，南极洲，非洲，大洋洲}； （2）{|170cm}>x x ； （3）{|5}θθ<︒； （4）{|10100}<<x x ；（5）{0123456789}，，，，，，，，，．小试牛刀1.1A 组1．（1）∈；（2）∉；（3）∈；（4）∉；（5）∈；（6）∉． 2．（1）空集；（2）有限集；（3）无限集；（4）有限集． 3．（1）{}一月，三月，五月，七月，八月，十月，十二月； （2）{}42024681012--，，，，，，，，； （3）{}3；（4）{}235711，，，，． 4．（1）{}|100x x x <∈N ，； （2）{}||6|x x x <∈R ，； （3）{}|33x x x -<<∈Z ，． B 组1．（1）{}01，；（2）{}54321-----，，，，． 2．（1）{}()00|x y x y <=，，； （2）{}51|x x k x k =+∈∈N N ，，*； （3）{}2|*=∈N ，x x k k ．1.2 集合之间的关系课堂练习1.2.1 1．子集（1）∉；（2）∈；（3）⊆；（4）⊇；（5）⊆．2．真子集子集：∅，{}1，{}2，{}5，{}12，，{}15，，{}25，，{}125，，；真子集：除了{}125，，外，其他子集都是真子集．课堂练习1.2.2由于集合A 与集合B 的元素完全相同，所以A B =．鉴错小能手（1）错误，由于小区没有80到85岁之间的老人，{小区内85岁以上老人}与{小区内80岁以上老人}的元素完全相同，{小区内90岁以上老人}是{小区内85岁以上老人}的真子集，因此可参与免费体检的共有8人；（2）正确；（3）错误，0属于{0}，0不属于∅，{0}与∅不相等．小试牛刀1.2A 组1．（1）；（2）=； （3）； （4）=； （5）∈；（6）；（7）；（8）∉． 2．（1）A B ； （2）A B ；（3）=A B ；（4）AB ；（5）AB ； （6）AB ．3．子集：∅，{}=红色M ，{}=黄色M ，{}=蓝色M ，{}=绿色M ，{}=红色，黄色M ，{}=红色，蓝色M ，{}=红色，绿色M ，{}=黄色，蓝色M ，{}=黄色，绿色M ，{}=蓝色，绿色M ，{}=红色，黄色，蓝色M ，{}=红色，黄色，绿色M ，{}=红色，蓝色，绿色M ，{}=黄色，蓝色，绿色M ，{}=红色，黄色，蓝色，绿色M ；真子集：除了{}=红色，黄色，蓝色，绿色M 外，其他子集都是真子集．B 组 （1）AB ； （2）A B ； （3）A B ．1.3 集合的运算课堂练习1.3.11．{04}=，A B ．2．{|2}=A B x x．3．{(24)}=-，AB ．课堂练习1.3.21．{014579}=，，，，，A B ． 2．{|1}=>AB x x ．课堂练习1.3.31．{359}=，，UA ；{4789}=，，，UB ．2．{|35}=或A x x x．鉴错小能手（1）不正确，此时需要用到的集合运算为补运算； （2）不正确，Q 与R 的交集为Q ；（3）不正确，一个元素不会同时存在于一个集合及其补集中．小试牛刀1.3A 组1．（1）{}数学，{}数学，英语，电路，机械制图，车工工艺； （2）{}|5>x x ，{}|4x x ；（3）∅． 2．{0}=A B ，{02}=，A B ． 3．{|23}=-<A B x x，{|34}=-<AB x x ．4．4355⎧⎫⎛⎫=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，AB ．5．{}|21=-<AB x x ，{}|3=>-A B x x ， {}|2=-A x x，{}|31B x xx =->或． 6．{}|5315=-<<-或UA x x x，{}|5425=-<-<或UB x x x，{}()()|5425=-<-<或U U A B x xx， {}()()|5315=-<<-或U U A B x x x．B 组{}B a d f =，，．本章复习检测百炼成钢A 组1．（1）123⎧⎫⎨⎬⎩⎭，．（2）{}|5x x ．（3）{}|57x x-．（4）11，8．（5）2231717⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，．2．（1）B ． （2）C ． （3）B ． （4）A ． （5）B ． （6）C ．3．A B 的所有子集：∅，{}2，{}4，{}8，{}24，，{}28，，{}48，，{}248，，；真子集：除{}248，，外，其他子集均为其真子集． 4．2|53⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭AB x x，{}|2=<A B x x ．5．（1）{}42=-，A B ，{}54295=--，，，，A B ；（2）{}51011=-，，UA ，{}951011=，，，UB ．6．{}1517=，，A B ．B 组（1）{}|2=-A x x ，{}|35B x x x=<-或；（2）{}()()|5A B x x=，{}()()|32U U A B x x x=<--或；（3）{}()|32AB x x x =<--或，{}()|5A B x x =．巅峰对决1．2=a ，16=-或b ．2．{}2358=，，，A ，{}13467=，，，，B ．第2章 不等式2.1 不等式的基本性质课堂练习2.1.11．2357<． 2．22<ab a b ．课堂练习2.1.21．不等式的传递性．2．证明：0a b a b >⇒->，又0c >，所以()0->a b c ，于是0->ac bc ，即>ac bc ；0a b a b >⇒->，又0c <，所以()0-<a b c ，于是0-<ac bc ，即<ac bc ．3．（1）5； （2）<；（3）>；（4）>．4．不能，每斤售价至少应为1元．小试牛刀2.1A 组1．（1）<，<； （2）<，>； （3）>，>；（4）<，<，<，<，<，>．2．（1）135x >，应用了不等式的加法性质和乘法性质；（2）2113x -，应用了不等式的加法性质和乘法性质；（3）42x，应用了不等式的乘法性质和加法性质．3．35a =．4．每件至少44.5元。
高二数学已知三角函数值求角
)=π－arccos
1 3
若x在第三象限，则x=π+arccos 1
3
综上得满足cosx=－
1 3
的角的集合是
{x | x 2k arccos 1 , k Z}
3
{x | x 2k arccos 1 , k Z}
一般地，对于正弦函数y=sinx，如果已知
函数值y (y∈[－1, 1])，那么在 x [ , ]上
22
有唯一的x值和它对应，记为x=arcsiny (其中
－1≤y≤1， x )
2
2
即arcsiny (|y|≤1)表示 [ , 上] 正弦等于y
22
的那个角
在区间 x [ , ]上，
22
如 sinx= 2 ,则x=arcsin
2
2=
24
sinx=
23,则x=arcsin(
3)=－
2
3
sinx=1/3, 则 x=arcsin1/3.
若x不在
，可先用诱导公式转化到
上，再求角
例2.（1）已知cosx=0.5，x∈[0, 2π )，求x；
（2）已知cosx=－ 1 ，求x的取值集合；
已知三角函数值求角
我们知道，任意给定一个角，只要这个角 的三角函数值存在，就可以求出这个三角函 数值；反过来，已知一个三角函数值，也值，求角
例1、已知
sinx=
1 2
，
（1）若 x [ , ]，求x；
22
（2）若 x [0, 2 ) ，求x；
（3）若 x∈R，求x的取值集合。
3
类似地，这时可以用反余弦来表示x
如果我们限定x在区间[0，π]上取值，那么 对于区间[－1，1]的任意一个y的值，x只有唯 一值与之对应.
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【课题】5.7 已知三角函数值求角
【教学目标】
知识目标：
（1）掌握利用计算器求角度的方法；
（2）了解已知三角函数值，求指定范围内的角的方法．
能力目标：
（1）会利用计算器求角；
（2）已知三角函数值会求指定范围内的角；
（3）培养使用计算工具的技能．
情感目标：
（1）体验计算器带来的便利，享受成功的快乐；
（2）经历合作学习的过程，树立团队合作意识.
【教学重点】
已知三角函数值，利用计算器求角；
利用诱导公式求出指定范围内的角．
【教学难点】
已知三角函数值，利用计算器求指定范围内的角．
【教学设计】
（1）精讲已知正弦值求角作为学习突破口；
（2）将余弦、正切的情况作类比让学生小组讨论，独立认知学习；
（3）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力；
（4）在反思交流中，总结知识，品味学习方法．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
sin(180)=sin α-360k +⋅
sin(180)α-=按步骤计算，得到所求的锐角为sin(180)α-=180-23.58°=156.42°~360°范围内，sin x =
26''=
反过来，已知一个角的三角函数值，如何求出相应的角？准备计算器．观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明
18021.80
+=201.80°~360°范围内，正切值为强化练习。