2014-2015海淀区初三数学第一学期期末试题及答案

2014-2015海淀区初三数学第一学期期末练习 2015.11．方程2350x x --=的根的情况是A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定是否有实数根 2.在Rt △ABC 中，∠C =90º，35BC AB ==，，则sin A 的值为A.35 B.45 C. 34 D. 433.若右图是某个几何体的三视图，则这个几何体是 A. 长方体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 圆锥4.小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是 A.16 B. 13 C. 12 D. 235．如图，△ABC 和△A 1B 1C 1是以点O 为位似中心的位似三角形，若C 1为OC 的中点，AB =4，则A 1B 1的长为A. 1B. 2C. 4D. 86．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是反比例函数3=-y x的图象上的两点，若x 1＜0＜x 2，则下列结论正确的是A ．y 1＜0＜y 2B ．y 2＜0＜y 1C ．y 1＜y 2＜0D ．y 2＜y 1＜07．如图，AB 是半圆O 的直径，AC 为弦，OD ⊥AC 于D ，过点O 作 OE ∥AC 交半圆O 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 于F ．若AC =2，则OF 的长为A ．12B ．34C ．1D ．28．如图1，在矩形ABCD 中，AB <BC ，AC ，BD 交于点O ．点E 为线段AC 上的一个动点，连接DE ，BE ，过E 作EF ⊥BD 于F ．设AE =x ，图1中某条线段的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的图1 图2A ．线段EFB ．线段DEC ．线段CED ．线段BE二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．若扇形的半径为3cm ，圆心角为120°，则这个扇形的面积为__________ cm 2．10．在某一时刻，测得一根高为2m 的竹竿的影长为1m ，同时测得一栋建筑物的影长为12m ，那么这栋建筑物的高度为 m.11．如图，抛物线2y ax =与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，则关于x 的方程20a x b x c --=的解为__________．12．对于正整数n ，定义210()=()10，，≥n n F n f n n ⎧<⎨⎩，其中()f n 表示n 的首位数字、末位数字的平方和．例如：2(6)636F ==，()22(123)1231310F f ==+=．规定1()()F n F n =，1()(())k k F n F F n +=（k 为正整数）．例如：()()112312310F F ==，21(123)((123))(10)1F F F F ===． （1）求：2(4)F =____________，2015(4)F =______________； （2）若3(4)89m F =，则正整数m 的最小值是_____________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13.计算：()()1201511sin30 3.142-⎛⎫-+-π-+ ⎪⎝⎭.14.如图，△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，BE ⊥AC 于E . 求证：△ACD ∽△BCE ．15.已知m 是一元二次方程2320x x --=的实数根，求代数式(1)(1)1m m m+--的值．16.抛物线22y x =平移后经过点(0,3)A ，(2,3)B ，求平移后的抛物线的表达式．17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数2y x =与反比例函数ky x=的图象交于A ，B 两点，A 点的横坐标为2，AC ⊥x 轴于点C ，连接BC .（1）求反比例函数的解析式； （2）若点P 是反比例函数ky x=图象上的一点，且满足△OPC 与△ABC 的面积相等，请直接写出点P 的坐标．B18.如图，△ABC 中，∠ACB =90°，4sin 5A =， BC =8，D 是AB 中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为E ． （1）求线段CD 的长； （2）求cos ABE ∠的值．四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．已知关于x 的一元二次方程()2220mx m x -++=有两个不相等的实数根12,x x ．（1）求m 的取值范围； （2）若20x <，且121x x >-，求整数m 的值．20. 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调研显示，每个档次的日产量及相应为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品．当生产质量档次为x 的产品时，当天的利润为y 万元．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．A21.如图，四边形ABCD 是平行四边形，点A ，B ，C 在⊙O 上，AD 与⊙O 相切，射线AO 交BC 于点E ，交⊙O 于点F ．点P 在射线AO 上，且∠PCB =2∠BAF ． （1）求证：直线PC 是⊙O 的切线；（2）若ABAD =2，求线段PC 的长．22．阅读下面材料：小明观察一个由11⨯正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值． 请回答： （1）如图1，A 、B 、C 是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D ，作出线段CD ，使得CD ⊥AB ；（2）如图2，线段AB 与CD 交于点O ．为了求出AOD ∠的正切值，小明在点阵中找到了点E ，连接AE ，恰好满足AE CD ⊥于F ，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC =_______________；tan AOD ∠=_______________；C图1 图2 图3参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，计算：tan AOD ∠=_______________．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25小题8分） 23.在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数ky x=的图象经过点(1,4)A ，(,)B m n . （1） 求代数式mn 的值；（2） 若二次函数2(1)y x =-的图象经过点B ，求代数式32234m n m n mn n -+-的值； （3） 若反比例函数k y x=的图象与二次函数2(1)y a x =-的图象只有一个交点，且该交点在直线y x =的下方，结合函数图象，求a 的取值范围.24．如图1，在△ABC 中，BC =4，以线段AB 为边作△ABD ，使得AD=BD ， 连接DC ，再以DC 为边作△CDE ，使得DC = DE ，∠CDE =∠ADB =α．（1）如图2 ，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD ，DE 之间的数量关系；（2）将线段CB 沿着射线CE 的方向平移，得到线段EF ，连接BF ，AF ． ① 若α=90°，依题意补全图3， 求线段AF 的长； ②请直接写出线段AF 的长（用含α的式子表示）．图2 图3 备用图BBB图1图325. 在平面直角坐标系xOy 中，设点()11,P x y ，()22,Q x y 是图形W 上的任意两点．定义图形W 的测度面积：若12x x -的最大值为m ，12y y -的最大值为n ，则S mn =为图形W 的测度面积．例如，若图形W 是半径为1的⊙O ．当P ，Q 分别是⊙O 与x 轴的交点时，如图1，12x x - 取得最大值，且最大值m =2；当P ，Q 分别是⊙O 与y 轴的交点时，如图2，12y y -取得最大值，且最大值n =2．则图形W 的测度面积4S mn ==．（1）若图形W 是等腰直角三角形ABO ，OA =OB =1.①如图3，当点A ，B 在坐标轴上时，它的测度面积S = ； ②如图4，当AB ⊥x 轴时，它的测度面积S = ；（2）若图形W 是一个边长为1的正方形ABCD ，则此图形测度面积S 的最大值为 ；（3）若图形W 是一个边长分别为3和4的矩形ABCD ，求它的测度面积S 的取值范围．图2数学试卷答案及评分参考阅卷须知:1. 为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可.2. 若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分.3. 评分参考中所注分数,表示考生正确做到步应得的累加分数。

一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9． 3π； 10． 24 ；11． 122,1x x =-= ； 12． （1）37，26；（每个答案1分）（2）6.（2分）三、解答题：（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分） 解：原式11122=-+-+ ……………………………………………………………………4分 12=． ………………………………………………………………………………5分 14. （本小题满分5分）证明：∵AB =AC ，D 是BC 中点，∴AD ⊥BC ， ∴∠ADC =90°．…………………………………………………………………………1分 ∵BE ⊥AC ， ∴∠BEC =90°．∴∠ADC =∠BEC ． ……………………………………………………………………2分 在△ACD 和△BCE 中，ACD BCE ADC BEC ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，， ∴△ACD ∽△BCE ．………………………………………………………………………5分15. （本小题满分5分）解：由已知，可得2320m m --=．………………………………………………………1分∴223m m -=． ………………………………………………………………………2分∴原式=2211233m m mm m m---===．………………………………………………5分 16. （本小题满分5分）解：设平移后抛物线的表达式为22y x bx c =++．………………………………………1分∵平移后的抛物线经过点(0,3)A ，(2,3)B ，∴3,382.c b c =⎧⎨=++⎩ ………………………………………………………………………3分 解得4,3.b c =-⎧⎨=⎩…………………………………………………………………………4分所以平移后抛物线的表达式为2243y x x =-+．……………………………………5分 解二：∵平移后的抛物线经过点(0,3)A ，(2,3)B ，∴平移后的抛物线的对称轴为直线1x =. …………………………………………1分 ∴设平移后抛物线的表达式为()221y x k =-+．…………………………………2分 ∴()23221k =⨯-+．.………………………………………………………………3分 ∴1k =．.………………………………………………………………………………4分 所以平移后抛物线的表达式为()2211y x =-+． …………………………………5分 17. （本小题满分5分）解：（1）将2x =代入2y x =中，得224y =⨯=．∴点A 坐标为(2,4)．………………………………………………………………1分 ∵点A 在反比例函数ky x=的图象上， ∴248k =⨯=．……………………………………………………………………2分 ∴反比例函数的解析式为8y x=．…………………………………………………3分 （2）()1,8P 或()1,8P --．……………………………………………………………5分 18. （本小题满分5分）解：（1）∵△ABC 中，∠ACB =90°，4sin 5A =， BC =8， ∴8104sin 5BC AB A ===．…………………………………………………………1分 ∵△ABC 中，∠ACB =90°，D 是AB 中点，∴152CD AB ==．…………………………………………………………………2分 （2）法一：过点C 作CF ⊥AB 于F ，如图．∴∠CFD =90°．在Rt △ABC中，由勾股定理得6AC ===．∵CF AB AC BC ⋅=⋅， ∴245AC BC CF AB ⋅==．………………………………3分 ∵BE ⊥CE ，∴∠BED =90°． ∵∠BDE =∠CDF ，∴∠ABE =∠DCF ．………………………………………4分∴24245cos cos 525CF ABE DCF CD ∠=∠===． …………………………………5分 法二：∵D 是AB 中点，AB =10，∴152BD AB ==．……………………………………………………………………3分 ∴12BDC ABC S S ∆∆=． 在Rt △ABC中，由勾股定理得6AC ===．∴168242ABC S ∆=⨯⨯=． ∴12BDC S ∆=．∴1122BE CD = ． ∵5CD =，∴245BE =． ………………………………………………4分 ∵BE ⊥CE ， ∴∠BED =90°．∴24245cos 525BE ABE BD ∠===．……………………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（本小题满分5分）AA解：（1）由已知，得0m ≠且()()2222424420m m m m m ∆=+-⨯=-+=->，∴0m ≠且2m ≠．…………………………………………………………………2分 （2）原方程的解为()()222m m x m+±-=．∴1x =或2x m=． …………………………………………………………………3分 ∵20x <，∴11x =，220x m=<． ∴0m <． ∵121x x >-， ∴12m>-． ∴2m >-．又∵02m m ≠≠且，∴20m -<<．……………………………………………………………………4分 ∵m 是整数，∴1m =-．…………………………………………………………………………5分20. （本小题满分5分）解：（1）()()210052410180400y x x x x =-+=-++． ……………………………2分（110x ≤≤且x 为整数）．（2）∵()22101804001091210y x x x =-++=--+．…………………………3分又∵110x ≤≤且x 为整数，∴当9x =时，函数取得最大值1210．答：工厂为获得最大利润，应生产第9档次的产品，当天的最大利润为1210万元．………………………………………………………………5分21. （本小题满分5分） 解：（1）连接OC ．∵AD 与⊙O 相切于点A ， ∴FA ⊥AD ．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ， ∴FA ⊥BC ． ∵FA 经过圆心O ，∴F 是 BC 的中点，BE=CE ，∠OEC =90°．……………………………………1分∴∠COF =2∠BAF ．∵∠PCB =2∠BAF ， ∴∠PCB =∠COF ． ∵∠OCE +∠COF =180°-∠OEC =90°， ∴∠OCE +∠PCB =90°． ∴OC ⊥PC ．∵点C 在⊙O 上，∴直线PC 是⊙O 的切线．…………………………………………………………2分（2） ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC=AD=2． ∴BE=CE =1．在Rt △ABE 中，∠AEB =90°，AB，∴3AE =．设⊙O 的半径为r ，则OC OA r ==，3OE r =-． 在Rt △OCE 中，∠OEC =90°， ∴222OC OE CE =+． ∴ ()2231r r =-+．解得53r =．…………………………………………………………………………3分 ∵∠COE=∠PCE ，∠OEC=∠CEP =90°．∴△OCE ∽△CPE ．……………………………………………………………………4分 ∴OE OCCE CP=． ∴553331CP -=． ∴54CP =．……………………………………………………………………………5分 22.（本小题满分5分）（1）如图，线段CD 即为所求；……………………1分（2）OC，tan AOD ∠=5；……………………3分（3）tan AOD ∠=74．…………………………………5分B五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23．（本小题满分7分） 解：（1）∵反比例函数ky x=的图象经过点(1,4)A ， ∴4k =．………………………………………………………………………1分 ∴反比例函数的解析式为4y x=． ∵反比例函数4y x=的图象经过点(,)B m n ， ∴4mn =．………………………………………………………………………2分 （2）∵二次函数2(1)y x =-的图象经过点(,)B m n ，∴2(1)n m =-．…………………………………………………………………3分 ∴221n m m =-+． ∴221m m n -=-． 由（1）得4mn =， ∴原式248124m m n =-+-242124m m n =-+-（） 4(1)124n n =-+-8=．……………………………………………………………………4分（3）由（1）得反比例函数的解析式为4y x=． 令y x =，可得24x =，解得2x =±．∴反比例函数4y x=的图象与直线y x =交于点(2,2)，(2,2)--．…………………………5分当二次函数2(1)y a x =-的图象经过点(2,2)当二次函数2(1)y a x =-的图象经过点(2,2)--时，可得29a =-． ∵二次函数2(1)y a x =-的顶点为(1,0)，∴由图象可知，符合题意的a 的取值范围是02a <<或29a <-．…………7分（注：只写02a <<或只写29a <-，减1分.）24. （本小题满分7分）（1） AD +DE =4．…………………………………………1分 （2）① 补全图形，如右图所示．……………………2分解： 设DE 与BC 相交于点H ，连接 AE ，交BC 于点G，如图． ∠ADB =∠CDE =90°， ∴∠ADE =∠BDC ． 在 △ADE 与△BDC 中，,,,AD BD ADE BDC DE DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△BDC ．……………………………………3分 ∴AE= BC ，∠AED =∠BCD ．DE 与BC 相交于点H ，∴∠GHE =∠DHC ． ∴∠EGH=∠EDC=90°．…………………………………………………………………………4分 线段CB 沿着射线CE 的方向平移，得到线段EF ， ∴EF = CB =4， EF // CB ．∴AE= EF ． CB//EF ，∴∠AEF=∠EGH=90°． AE=EF ，∠AEF=90°，∴∠AFE=45°． ∴AF =cos 45EF…………………………………………………………………………5分② 8sin2AF α=． ………………………………………………………………………………7分25.（本小题满分8分）解：（1）① 1；………………………………………………………………………………1分② 1．…………………………………………………………………………………2分 （2） 2． …………………………………………………………………………………4分 （3）不妨设矩形ABCD 的边AB =4，BC =3．由已知可得，平移图形W 不会改变其测度面积S 的大小，将矩形ABCD 的其中一个顶点B 平移至x 轴上．当顶点A ，B 或B ，C 都在x 轴上时，如图5和图6，矩形ABCD 的测度面积S 就是矩形ABCD 的面积，此时S 取得最小值，且最小值为12． ………………………………5分当顶点A ，C 都不在x 轴上时，如图7．过A 作直线AE ⊥x 轴于点E ，过C 作直线CF ⊥x 轴于点F ， 过D 作直线GH ∥x 轴，与直线AE ，CF 分别交于点H 和点 G ，则可得四边形EFGH 是矩形．当点P ，Q 分别与点A ，C 重合时，12x x -取得最大值m ， 且最大值m EF =；当点P ，Q 分别与点B ，D 重合时，12y y -取得最大值n ，且最大值n GF =． ∴图形W 的测度面积S EF GF =⋅． ∵∠ABC =90°，∴∠ABE +∠CBF =90°． ∵∠AEB =90°，∴∠ABE +∠BAE =90°． ∴∠BAE =∠CBF ．又∵90AEB BFC ∠=∠= ，∴△ABE ∽△BCF ．…………………………………………………………………………6分 ∴43AE EB AB BF FC BC ===． 设4,4AE a EB b ==()0,0a b >>，则3,3BF a FC b ==， 在Rt △ABE 中，由勾股定理得222AE BE AB +=．∴22161616a b +=．即221a b +=．∵0b >，∴b =易证△ABE ≌△CDG ． ∴4CG AE a ==．∴43EF EB BF b a =+=+，34GF FC CG b a =+=+．∴()()4334S EF GF b a b a =⋅=++22121225a b ab =++1225=+12=+12=+12=+∴当212a=，即2a =时，测度面积S取得最大值4912252+=．…………7分 ∵0,0a b >>0>．∴12S >．∴当顶点A ，C 都不在x 轴上时，S 的范围为49122≤S <．综上所述，测度面积S 的取值范围是49122≤≤S ．……。