层次分析模型
层次分析法与层次分析模型
b15
1b11 2b12 5b15
b25
1b21 2b22 5b25
b35
1b31 2b32 5b35
4 层次总排序的一致性检验
设 最下层对最上层中因素的层次单排序一致性指标为 CIj， 随机一致性指为 RIj，则层次总排序的一致性比率为：
CR
a1CI1 a1RI1
a2CI 2 a2 RI 2
amCI m am RI m
当 CR 0.1时，认为层次总排序通过一致性检验。到
此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。
三 层次分析法建模举例
(1)建模
一、旅游问题
Z
A1, A2 , A3, A4 , A5
分别分别表示景色、费用、
A1
A2 A3 A4 A5 居住、饮食、旅途。
B1
B2
计算 CR可k知 B1, B2 , B通3, 过B4一, B致5 性检验。
（4）计算层次总排序权值和一致性检验
B1 对总目标的权值为： 0.595 0.263 0.082 0.475 0.429 0.055 0.633 0.099 0.166 0.110 0.3
饮食 1/3 1/5 2 1 1
旅途 1/3 1/5 3 1 1
由上表，可得成对比较矩阵
1
1 2
4
3
3
2 1 7 5 5
A
1 4
1 7
1
1 1 2 3
1 3
1 3
1 5
1 5
2 3
1 1
1
1
问题：两两进行比较后，怎样才能定量求出到底去哪个地 方旅游最合理？
3 层次单排序
层次分析法用权值表示各个因素的优劣性，那 如何求权值呢？
层次分析模型(数学建模)
第k层nk个元素对于第k-1层上第j个元素为 准则的单排序向量 uj(k)=(u1j(k)，u2j(k)，…，un j(k))T j=1，2，…nk-1 其中不受第j个元素支配的元素权重取零，
于是可得到nk×nk-1阶矩阵
u (k ) u21 = ( ) unk1 k
(k ) 11
1 A = ( aij ) n×n , aij > 0, a ji = aij
1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5 4 7 1 2 3 3 5 1/ 2 1 1
3 成对比较阵 5 A~成对比较阵 1 / 3 是正互反阵 A是正互反阵 1 1
要由A确定 要由 确定C1,… , Cn对O的权向量 确定 的权向量
1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质 正互反矩阵A 是正单根， 正互反矩阵 的最大特征根λ是正单根， Ak e T 对应正特征向量w， 对应正特征向量 ， lim T k = w, e = (1,1, L ,1) k →∞ e A e 定理1 定理1 正互反阵的最大特征根是正数， 正互反阵的最大特征根是正数， 特征向量是正向量。 特征向量是正向量。 定理2 定理2 n阶正互反阵 的最大特征根λ ≥ n , 阶正互反阵A的最大特征根 λ= n是A为一致阵的充要条件。 为一致阵的充要条件。 是 为一致阵的充要条件 一致性指标 CI =
“选择旅游地”思维过程的归 选择旅游地” 选择旅游地 纳 • 将决策问题分为 个层次：目标层 ，准则层 ， 将决策问题分为3个层次 目标层O，准则层C， 个层次： 方案层P；每层有若干元素， 方案层 ；每层有若干元素， 各层元素间的关系 用相连的直线表示。 用相连的直线表示。 • 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方 通过相互比较确定各准则对目标的权重， 案对每一准则的权重。 案对每一准则的权重。 • 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的 将上述两组权重进行综合， 权重。 权重。 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。
层次分析法——精选推荐
一、层次分析模型和一般步骤1、定义：层次分析法是一种定性与定量分析相结合的多因素决策分析方法。
这种方法将决策者的经验判断给于数量化，在目标因素结构复杂且缺乏必要数据的情况下使用更为方便，因而在实践中得到广泛应用。
2、层次分析的四个基本步骤：（1）在确定决策的目标后，对影响目标决策的因素进行分类，建立一个多层次结构；（2）比较同一层次中各因素关于上一层次的同一个因素的相对重要性，构造成对比较矩阵；（3）通过计算，检验成对比较矩阵的一致性，必要时对成对比较矩阵进行修改，以达到可以接受的一致性；（4）在符合一致性检验的前提下，计算与成对比较矩阵最大特征值相对应的特征向量，确定每个因素对上一层次该因素的权重；计算各因素对于系统目标的总排序权重并决策。
二、建立层次结构模型将问题包含的因素分层：最高层——解决问题的目的；中间层——实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等。
也可称策略层、约束层、准则层等；最低层——用于解决问题的各种措施、方案等。
把各种所要考虑的因素放在适当的层次内。
用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。
例1购物模型某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分析模型如下：〔例2〕选拔干部模型练习：画出下列问题的层次模型评选优秀学校某地区有三个学校，现在要全面考察评出一个优秀学校。
主要考虑以下几个因素： （1）教师队伍（包括平均学历和年龄结构）（2）教学设施（3）教学工作（包括课堂教学，课外活动，统考成绩和教学管理） （4）文体活动三、构造成对比较矩阵比较第 i 个元素与第 j 个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重aij来描述。
设共有 n 个元素参与比较，则称n n ij a A ⨯=)( 为成对比较矩阵。
成对比较矩阵中aij的取值可参考 Satty 的提议，aij按下述标度进行赋值。
在 1— 9及其倒数中间取值。
对例 2， 选拔干部考虑5个条件：品德x1，才能x2，资历 x3 ，年龄x4，群众关系x5。
完全层次结构模型
层次分析模型一、层次分析法讲解在现实世界中，往往会遇到决策的问题，比如如何选择旅游景点的问题，选择升学志愿的问题等等。
在决策者作出最后的决定以前，他必须考虑很多方面的因素或者判断准则，最终通过这些准则作出选择。
比如下面的问题：例1 选择旅游地国庆节即将来临，张鶇一家准备去旅游，他们想从黄山、桂林、北戴河三个旅游景点选出一个，请帮助他们作出最佳选择。
根据什么作出选择呢？为解决这个问题，我们需要作问题的分析，以便得到选择景点要考虑的因素.问题的分析：景点的选择大体上有两方面要考虑：1、是旅游者自身的情况；2、是对景点的评价。
首先分析旅游者的情况：如果经济条件宽绰、醉心旅游，自然特别看重景色条件，那么景色在他的心目中的比重就大。
如果平素俭朴，则会优先考虑费用，即费用的比重就大.中老年旅游者还会对居住条件，旅游条件，饮食比较关注。
因此，应该考虑景色、费用、居住、饮食、旅途条件等因素在张鶇一家心目中的重要程度.如何衡量这五个因素的重要程度呢？其次，如何评价景点呢？自然应该就上面的五个因素景色、费用、居住、饮食、旅途条件对景点进行评价。
最后，还要把旅游者的情况和对景点的评价进行综合，以便选定最佳的旅游景点.可是如何综合呢？下面我们用层次分析法解决上面提出的问题。
层次分析法的第一步：建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立，把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。
大体可以分成三个层次：（1）最高层（目标层）：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果；（2）中间层（准则层）：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它还可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则；（3）最低层（方案层）：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等。
就本例题而言，通过上面的分析，我们可以建立如下层次模型：层次分析法的第二步：构造成对比较矩阵建立好层次后，就可以进行各因素之间的比较了.首先考虑对于选择旅游地而言，景色、费用、居住、饮食、旅途条件等准则在张鶇一家心目中的影响，即：对于第一层目标来说，第二层各因素的权重。
层次分析法模型
二、模型的假设1、假设我们所统计与分析的数据,都就是客观真实的;2、在考虑影响毕业生就业的因素时,假设我们所选取的样本为简单随机抽样,具有典型性与普遍性,基本上能够集中反映毕业生就业实际情况;3、在数据计算过程中,假设误差在合理范围之内,对数据结果的影响可以忽略、三、符号说明四、模型的分析与建立1、问题背景的理解随着我国改革开放的不断深入,经济转轨加速,社会转型加剧,受高校毕业生总量的增加,劳动用工管理与社会保障制度,劳动力市场的不尽完善,以及高校的毕业生部分择业期望过高等因素的影响,如今的毕业生就业形势较为严峻、为了更好地解决广大学生就业中的问题,就需要客观地、全面地分析与评价毕业生就业的若干主要因素,并将它们从主到次依秩排序、针对不同专业的毕业生评价其就业情况,并给出某一专业的毕业生具体的就业策略、2、方法模型的建立(1)层次分析法层次分析法介绍:层次分析法就是一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法,它用来帮助我们处理决策问题、特别就是考虑的因素较多的决策问题,而且各个因素的重要性、影响力、或者优先程度难以量化的时候,层次分析法为我们提供了一种科学的决策方法、通过相互比较确定各准则对于目标的权重,及各方案对于每一准则的权重、这些权重在人的思维过程中通常就是定性的,而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法、我们现在主要对各个因素分配合理的权重,而权重的计算一般用美国运筹学家T、L、Saaty教授提出的AHP法、(2)具体计算权重的AHP 法AHP法就是将各要素配对比较,根据各要素的相对重要程度进行判断,再根据W、计算成对比较矩阵的特征值获得权重向量kStep1、 构造成对比较矩阵假设比较某一层k 个因素12,,,k C C C L 对上一层因素ο的影响,每次两个因素i C 与j C ,用ij C 表示i C 与j C 对ο的影响之比,全部比较结果构成成对比较矩阵C ,也叫正互反矩阵、*()k k ij C C =,0ij C >,1ij jiC C=, 1ii C =、若正互反矩阵C 元素成立等式:* ij jk ik C C C = ,则称C 一致性矩阵、标度ij C含义1i C 与j C 的影响相同 3 i C 比j C 的影响稍强 5 i C 比j C 的影响强 7 i C 比j C 的影响明显地强 9i C 比j C 的影响绝对地强2,4,6,8i C 与j C 的影响之比在上述两个相邻等级之间11,,29Li C 与j C 影响之比为上面ij a 的互反数 Step2、 计算该矩阵的权重通过解正互反矩阵的特征值,可求得相应的特征向量,经归一化后即为权重向量12 = [ , ,..., ]T kkkkkQ q qq ,其中的ikq 就就是i C 对ο的相对权重、由特征方程A-I=0λ,利用Mathematica 软件包可以求出最大的特征值max λ与相应的特征向量、Step3、 一致性检验1）为了度量判断的可靠程度,可计算此时的一致性度量指标CI :max1kCI k λ-=-其中maxλ表示矩阵C 的最大特征值,式中k 正互反矩阵的阶数,CI 越小,说明权重的可靠性越高、2)平均随机一致性指标RI ,下表给出了1－14阶正互反矩阵计算1000次得到3）当0.1CR RI=<时,(CR 称为一致性比率,RI 就是通过大量数据测出来的随机一致性指标,可查表找到)可认为判断就是满意的,此时的正互反矩阵称之为一致性矩阵、进入Step4、 否则说明矛盾,应重新修正该正互反矩阵、转入Step2、 Step4、 得到最终权值向量将该一致性矩阵任一列或任一行向量归一化就得到所需的权重向量、计算出来的准则层对目标层的权重即不同因素的最终权重,这样一来,我们就可以按权重大小将进行排序了、 (3)组合权向量的计算成对比较矩阵显然非常好体现了我们研究对象——各个因素之间权重的比较状态,能够有效地全面而深刻地表现出有关的数据信息,显然也就是矩阵数学模型的重要应用价值、 因素往往就是有层次的,我们经常在进行决策分析时,要进行多方面、多角度、多层次的分析与研究,把我们的决策选择建立在深刻而广泛的分析研究基础之上的、一个总的指标下面可以有第一层次的各个方面的指标、因素、成份、特征性质、组成成分等等,而每个这种因素又有新的成份在里面、这就就是决策分析的数学模型的真正的意义之所在、定理1:对于三决策问题,假设第一层只有一个因素,即这就是总的目标,决策总就是最后要集中在一个总目标基础之上的东西,然后才能进行最后的比较、又假设第二层与第三层因素各有n 、m 个,并且记第二层对第一层的权向量(即构成成份的数量大小、成份的比例、影响程度的大小的数量化指标的量化结果、所拥有的这种属性的程度大小等等多方面的事情的量化的结果)为:(2)(2)(2)(2)12(,,,)Tn w w w w =L , 而第3层对第2层的全向量分别就是:(3)(3)(3)(3)12(,,,)Tk k k km w w w w =L ,这表示第3层的权重大小,具体表示的就是第2层中第k 个因素所拥有的面对下一层次的m 个同类因素进行分析对比所产生的数量指标、那么显然,第三层的因素相对于第一层的因素而言,其权重应当就是:先构造矩阵,用 (3)k w 为列向量构造一个方阵 (3)(3)(3)(3)12(,,)nWw w w=L,这个矩阵的第一行就是第3层次的m 个因素中的第1个因素,通过第2层次的n 个因素传递给第1层次因素的权重,故第3层次的m 个因素中的第i 个因素对第1层次的权重为 (2)(3)1nkkik w w=∑,从而可以统一表示为:(1)(3)(2)wWw=,它的每一行表示的就就是三层(一般就是方案层)中每一个因素相对总目标的量化指标、定理2:一般公式如果共有s 层,则第k 层对第一层(设只有一个因素)的组合权向量为()()(1),3,4,k k k k s wWw-==L ,其中矩阵 ()k W的第i 行表示第k 层中的第i 个因素,相对于第1k -层中每个因素的权向量;而列向量 (1)k w-则表示的就是第1k -层中每个因素关于第一层总目标的权重向量、于就是,最下层对最上层的的组合权向量为:()()(1)(3)(2)s s s wWWWw-=L ,实际上这就是一个从左向右的递推形式的向量运算、逐个得出每一层的各个因素关于第一层总目标因素的权重向量、 (4)灰色关联度综合评价法灰色系统的关联分析主要就是对系统动态发展过程的量化分析,它就是根据因素之间发展态势的相似或相异程度,来衡量因素间接近的程度,实质上就就是各评价对象与理想对象的接近程度,评价对象与理想对象越接近,其关联度就越大、关联序则反映了各评价对象对理想对象的接近次序,即评价对象与理想对象接近程度的先后次序,其中关联度最大的评价对象为最优、因此,可利用关联序对所要评价的对象进行排序比较、利用灰色关联度进行综合评价的步骤如下:1)用表格方式列出所有被评价对象的指标、2)由于指标序列间的数据不存在运算关系,因此必须对数据进行无量纲化处理、3)构造理想对象,即把无量纲化处理后评价对象中每一项指标的最佳值作为理想对象的指标值、4)计算指标关联系数、其计算公式为:min max imax()()ik k ρρξ+=+∆∆∆∆其中min()()minminiikk k x x =-∆,max()()maxmaxiikk k x x =-∆,()ik ∆=()()ik k x x -,1,2,i n =L ,1,2,k m =L 、式中n 为评价对象的个数;m 为评价对象指标的个数;()ik ξ为第i 个对象第k 个指标对理想对象同一指标的关联系数;A 表示在各评价对象第k 个指标值与理想对象第k 个指标值的最小绝对差的基础上,再按1,2,,i n =L 找出所有最小绝对差中的最小值;max ∆表示在评价对象第k 个指标值与理想对象第k 个指标值的最大绝对差的基础上,再按1,2,,i n =L 找出所有最大绝对差中的最大值;min ∆为评价对象第k 个指标值与理想对象第k 个指标值的绝对差、ρ为分辨系数,ρ越小分辨力越大,一般ρ的取值区间[0,1],更一般地取ρ=0、5、5)确立层次分析模型、6)确定判断矩阵,计算各层次加权系数及加权关联度,加权关联度的计算公式为:()mk iikk γξω=∑,式中7为第i 个评价对象对理想对象的加权关联度,kω为第k 个指标的权重、7)依加权关联度的大小,对各评价对象进行排序,建立评价对象的关联序,从而可以得出关联度较大的对象,关联度越大其综合评价结果也越好、 (5)线性回归分析法假如对象(因变量)y 与p 个因素(自变量)12,,,p x x x L 的关系就是线性的,为研究她们之间定量关系式,做n 次抽样,每一次抽样可能发生的对象之值为12,,ny y yL它们就是在因素(1,2,,)i i p x =L 数值已经发生的条件下随机发生的、把第j 次观测的因素数值记为:12,,,jjpj x xx L (1,2,j n =L )那么可以假设有如下的结构表达式:1111011212201213011p p p p n np p y x x y x x y x x βββεβββεβββε⎧=++++⎪⎪=++++⎪⎨⎪⎪=++++⎪⎩L L L L L L L L L L L L L L L L L L 其中,01,,,pβββL 就是1p +个待估计参数,12,,,n εεεL 就是n 个相互独立且服从同一正态分布2(0,)N σ的随机变量、这就就是多元线性回归的数学模型、若令12n y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ,111212122212111p p n n np x xx x xx x xxx ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪⎝⎭L L L LLL L L,012p βββββ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ,12n εεεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M则上面多元线性回归的数学模型可以写成矩阵形式:y x βε=+在实际问题中,我们得到的就是实测容量为n 的样本,利用这组样本对上述回归模型中的参数进行估计,得到的估计方法称为多元线性回归方程,记为%011p p y b b x b x =+++L式中,012,,,,p b b b b L 分别为01,,,p βββL 的估计值、 (6)主成分分析法1)主成分的定义设有p 个随机变量12,,,p x x x L ,它们可能线性相关,通过某种线性变换,找到p 个线性无关的随机变量12,,,pz z zL ,称为初始向量的主成分、设12(,,,)Tp αααα=L为p 维空间pR 中的单位向量,并记所有单位向量的集合为{}0|1TR ααα==,且记X ＝12(,,,)Tp X X X L 、2)用相关矩阵确定的主成分令*i E X -=,**(,),ij i j E r X X =1,2,,j p =L 、*X=***12(,,)Tp X X X L ,则1212121211()1pp ij p p R r r r rr r r⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L LL L LLL 为*X 的协方程、类似地,我们可对R 进行相应的分析、3)主成分分析的一般步骤 第一步、选择主成分设X 的样本数据经过数据预处理后计算出的样本相关矩阵为121*21212111*()11()()pT p p p R ij n r r r rr XX r r⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭L LL L LLL %%、 由特征方程0R I λ-=,求出p 个非负实根,并按值从大到小进行排列:120p λλλ≥≥≥≥L 、将iλ带入下列方程组,求出单位特征向量iα()0,1,2,,i i R I i m λα-==L确定m的方法就是使前m个主成分的累计贡献率达到85％左右、第二步、利用主成分进行分析在实际分析时,通常把特征向量的各个分量的取值大小与符号(正负)进行对照比较,往往能对主成分的直观意义作出合理的解释、利用主成分可以进行以下分析:a)对原指标进行分类;b)对原指标进行选择;c)对样品进行分类;d)对样品进行排序;e)预测分析、。
层次分析模型介绍
层次分析模型介绍
§ 1.2 层次分析法的基本原理和步骤
运用层次分析法解决问题，大体可以分为 四个步骤：
1. 建立问题的递阶层次结构； 2. 构造两两比较判断矩阵； 3. 由判断矩阵计算被比较元素相对权重； 4. 计算各层次元素的组合权重。
层次分析模型介绍
§ 1.2.2 构造两两比较判断矩阵
在建立递阶层次结构以后，上下层次之间元 素的隶属关系就被确定了。假定上一层次的元素 Ck 作为准则，对下一层次的元素 A1, …, An 有支配 关系，我们的目的是在准则 Ck 之下按它们相对重 要性赋予 A1, …, An 相应的权重。
层次分析法
层次分析模型介绍
第一讲 层次分析法
层次分析模型介绍
§ 1.1 引言与引例
层次分析法（Analytic Hierarchy Process， 简称 AHP）是美国运筹学家 T. L. Saaty 教授于 上世纪 70 年代初期提出的一种简便、灵活而又 实用的多准则决策方法。
层次分析模型介绍
人们在进行社会的、经济的以及科学管理 领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由 相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而 往往缺少定量数据的系统。
在这样的系统中，人们感兴趣的问题之一 是：就 n 个不同事物所共有的某一性质而言， 应该怎样对任一事物的所给性质表现出来的程 度（排序权重）赋值，使得这些数值能客观地 反映不同事物之间在该性质上的差异？
其中 x1 = 写作水平，x2 = 外语程度， x3 = 公关能力，x4 = 国内外政治经济时事， x5 =计算机操作知识，x6 = 容貌与风度， x7 = 体形高矮与肥瘦，x8 = 音色。
统计学中的多层次建模与分析方法
统计学中的多层次建模与分析方法多层次建模与分析是统计学中一个重要的研究领域，它主要用于处理多层次数据，也称为分层数据或层次化数据。
在许多实际问题中，我们会遇到数据存在多层次结构的情况，例如学生在班级中，班级在学校中，学校在地区中的成绩评估，或者员工在部门中，部门在公司中的工作绩效评估等。
在这些情况下，单纯使用传统的单层次统计方法可能无法充分考虑到多层次数据的特点和关系，因此需要使用多层次建模与分析方法来进行研究和分析。
多层次建模与分析方法的基本原理是将数据划分为不同层次，在每个层次上建立适当的模型，并且通过层次之间的联系来推断和解释结果。
下面将介绍一些常用的多层次建模与分析方法。
1. 多层线性模型（Multilevel Linear Models，简称MLM）：MLM是多层次分析中最常用的方法之一。
它基于随机效应模型，将观测单元（个体）分类为不同的层次，并通过考虑层次之间的方差和协方差关系来建模。
MLM可以用于解释和预测层次性数据，例如测量学生的成绩差异时，可以考虑班级和学校的影响。
2. 多层Logistic回归模型（Multilevel Logistic Regression Models）：该方法在研究二分类或多分类问题时非常有用。
它将随机效应模型应用于逻辑回归模型，用于描述不同层次上的概率差异。
例如，研究不同学校学生的大学录取率时，可以使用多层Logistic回归模型考虑学校和个体因素的影响。
3. 多层生存分析模型（Multilevel Survival Analysis Models）：多层生存分析模型是在研究生存数据（例如生命表数据）时常用的方法。
该方法可以考虑不同层次上的时间变化和随机效应，并用于推断不同层次上的生存率和风险。
例如，在研究医院的患者生存时间时，可以考虑医院间的差异和个体特征的影响。
4. 多层次协变量分析（Multilevel Covariate Analysis）：该方法用于分析多变量之间的关系，并考虑不同层次上的协变量。
多目标决策模型：层次分析法(AHP)、代数模型、离散模型
程中常是定性的。 例如：经济好，身体好的人：会将景色好作为第一选择； 中老年人：会将居住、饮食好作为第一选择； 经济不好的人：会把费用低作为第一选择。 而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法。 （S3）将方案后对准则层的权重，及准则后对目标层的权重进行综合。 （S4）最终得出方案层对目标层的权重，从而作出决策。 以上步骤和方法即是 AHP 的决策分析方法。 三、确定各层次互相比较的方法——成对比较矩阵和权向量 在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因 而 Santy 等人提出：一致矩阵法 ．．．．． 即：1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较 2. 对此时採用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。 因素比较方法 —— 成对比较矩阵法： 目的是，要比较某一层 n 个因素 C1 , C 2 , , C n 对上一层因素 O 的影响（例如：旅游决策解 中，比较景色等 5 个准则在选择旅游地这个目标中的重要性） 。 採用的方法是：每次取两个因素 C i 和 C j 比较其对目标因素 O 的影响，并用 aij 表示，全部 比较的结果用成对比较矩阵表示，即：
分析：
W1 W2 若重量向量 W 未知时， 则可由决策者对物体 M 1 , M 2 , , M n 之间两两相比关系， W n 主观作出比值的判断，或用Delphi（调查法）来确定这些比值，使 A 矩阵（不一定有一致性）
为已知的，并记此主观判断作出的矩阵为（主观）判断矩阵 A ，并且此 A （不一致）在不一致 的容许范围内，再依据： A 的特征根或和特征向量 W 连续地依赖于矩阵的元素 aij ，即当 aij 离 一致性的要求不太远时， A 的特征根 i 和特征值（向量）W 与一致矩阵 A 的特征根 和特征向 量 W 也相差不大的道理：由特征向量 W 求权向量 W 的方法即为特征向量法，并由此引出一致 性检查的方法。 问题：Remark 以上讨论的用求特征根来求权向量 W 的方法和思路，在理论上应解决以下问题： 1． 一致阵的性质 1 是说：一致阵的最大特征根为 n （即必要条件） ，但用特征根来求特征向量 时， 应回答充分条件： 即正互反矩阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量？且如果正互 反矩阵 A 的最大特征根 max n 时， A 是否为一致阵？ 2． 用主观判断矩阵 A 的特征根 和特征向量 W 连续逼近一致阵 A 的特征根 和特征向量 W 时，即： 由 lim k
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§3 层 次 分 析 模 型一 引 言人们在日常生活中常常碰到许多决策问题：买一件衬衫，你要在棉的、丝的、涤纶的……及花的、白的、方格的……之中作出抉择；请朋友吃饭，要筹划是办家宴或去饭店，是吃中餐还是西餐或自助餐；假期旅游，是去风光绮丽的苏杭，还是去迷人的北戴河海滨，或者去山水甲天下的桂林．如果以为这些日常小事不必作为决策问题认真对待的话，那么当你面临报考学校、挑选专业，或者选择工作岗位的时候，就要慎重考虑、反复比较，尽可能地作出满意的决策了．从事各种职业的人也经常面对决策：一个厂长要决定购买哪种设备，上马什么产品；科技人员要选择研究课题；医生要为疑难病症确定治疗方案；经理要从若干应试者中选拔秘书；各地区各部门的官员则要对人口、交通、经济、环境等领域的发展规划作出决策．人们在处理上面这些决策问题的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但是一个共同的特点是它们通常都涉及到经济、社会、人文等方面的因素．在作比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或者优先程度往往难以量化，人的主观选择(当然要根据客观实际)会起着相当主要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难．T ．L ．Saaty 等人在20世纪70年代提出了一种能有效地处理这样一类问题的实用方法，称层次分析法(Analytic Hierarchy Process ，简记AHP)，这是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。
二 层次分析法的基本步骤1．几个步骤 层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的．不妨用假期旅游为例，假如有1P ，2P ，3P 3个旅游胜地供你选择，你会根据诸如景色、费用和居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较那3个候选地点．首先，你会确定这些准则在你的心目中各占多大比重，如果你经济宽绰、醉心旅游，自然特别看重景色条件，而平素俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用，中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄以较大关注．其次，你会就每一个准则将3个地点进行对比，譬如1P 景色最好，2P 次之；2P 费用最低，3P 次之；3P 居住等条件较好等等．最后，你要将这两个层次的比较判断进行综合，在1P ，2P ，3P 中确定哪个作为最佳地点。
上面的思维过程可以加工整理成以下几个步骤：（1）．将决策问题分解为3个层次，最上层为目标层，即选择旅游地，最下层为方案层，有1P ，2P ，3P 3个供选择地点，中间层为准则层，有景色、费用、居住、饮食、旅途5个准则，各层间的联系用相连的直线表示(图1)．（2）．通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重．这些权重在人的思维过程中通常是定性的，而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法．（3）．将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重．在层次分析法中要给出进行综合的计算方法．层次分析法将定性分析与定量计算结合起来完成上述步骤，给出决策结果．下面我们来说明如何比较同一层各因素对上层因素的影响(或在其中的重要性)，从而确定它们在上层因素中占的权重．2．成对比较矩阵和权向量 涉及到社会、经济、人文等因素的决策问题的主要困难在于，这些因素通常不易定量地量测．人们凭自己的经验和知识进行判断，当因素较多时给出的结果往往是不全面和不准确的，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受．Saaty 等人的作法，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比，二是对比时采用相对尺度，以尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度．假设要比较某一层，2个因素C 1，C 2，…，C n 对上层一个因素O 的影响，如旅游决策问题中比较景色等5个准则在选择旅游地这个目标中的重要性．每次取两个因素C i 和CI ，用ij a 表示C i 和CI 对O 的影响之比，全部比较结果可用成对比较矩阵表示．由于(1)式给出的ij a 的特点，A 称为正互反矩阵．显然必有i i a =1．如用C1，…，C5依次表示景色、费用、居住、饮食、旅途5个准则，设某人用成对比较法(做24525⨯=C 次对比)得到的成对比较阵(正互反阵)为(2)中21a =1/2表示景色C 1与费用C 2对选择旅游地这个目标O 的重要性之比为1∶2； 31a =4表示景色C 1与居住条件C 3之比为4∶1；23a =7表示费用C 2与居住条件C 3之比为7∶1．可以看出此人在选择旅游地时，费用因素最重，景色次之，居住条件再次．怎样由成对比较阵确定诸因素C 1，…，C n 对上层因素O 的权重呢?仔细分析一下(2)式给出的成对比较阵A 可以发现，既然C 1与C 2之比为1∶2，C 1与C 3之比为4∶1，那么C 2与C 3之比应为8∶1而不是7∶1，才能说明成对比较是一致的。
但是，n 个因素要作2)1(-n n 次成对比较，全部一致的要求是太苛刻了．Saaty 等人给出了在成对比较不一致的情况下计算各因素C l ，…，C n 对因素O 的权重的方法，并且确定了这种不一致的容许范围，为了说明这点我们先看成对比较完全一致的情况．设想把一块单位重量的大石头O 砸成n 块小石头C l ，…，C n ，如果精确地称出它们的重量为1ω，…，n ω，在作成对比较时令ij a =i ω／j ω，那么得到这些比较显然是一致的．n 块小石头对大石头的权重(即在大石头中的重量比)可用向量T n w ),,,(21ωωω =表示，且∑=n i i 1ω=1．显然，A 的各个列向量与w 仅相差一个比例因子．一般地，如果一个正互反阵A 满足则A 称为一致性矩阵，简称一致阵．(3)式给出的A 显然是一致阵．容易证明，2阶一致阵A 有下列性质(习题1)．（1）．A 的秩为l ，A 的惟一非零特征根为n ；（2）．A 的任一列向量都是对应于特征根，2的特征向量．如果得到的成对比较阵是一致阵，像(3)式的A ，自然应取对应于特征根n 的、归一化的特征向量(即分量之和为1)表示诸因素C 1，…，C n 对上层因素O 的权重，这个向量称为权向量．如果成对比较阵A 不是一致阵，但在不一致的容许范围内(下面将说明如何确定这个范围)，Saaty 等人建议用对应于A 最大特征根(记作丸)的特征向量(归一化后)作为权向量w ，即w 满足直观地看，因为矩阵A 的特征根和特征向雩连续地依赖于矩阵的元素ij a ，所以当ij a 离一致性的要求不远时，A 的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大．(5)式表示的方法称为由成对比较阵求权向量的特征根法．求λ和w 的简便算法和特征根法更深入的意义，以及其它求权向量的方法见本节第三小节．3．比较尺度 当比较两个可能具有不同性质的因素C i 和CI 对于一个上层因素O 的影响，采用什么样的相对尺度ij a 较好呢？Saaty 等人提出用1-9尺度，即 的取值范围是1，2，…，9及其互反数1，1/2，…，1/9．在进行定性的成对比较时，人们头脑中通常有5种明显的等级，用1-9尺度可以方便地表示如下目前在层次分析法的应用中，大多数人都用l-9尺度，(2)式中的A就是这个尺度．关于不同尺度的讨论也一直存在着．4．一致性检验成对比较阵通常不是一致阵，但是为了能用它的对应于特征根又的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应在容许范围内．怎样确定这个范围呢?前面已经给出n阶一致阵的特征根是n，在本节第三小节将证明的一个重要定理表明，，I阶正互反阵A的最大特征根λ≥n，而当λ=n时A是一致阵．根据这个定理和λ连续地依赖于ij a的事实可知，λ比n大得越多，A的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大．因而可以用λ—n 数值的大小来衡量A的不一黎程度．Saaty将定义为一致性指标．CI=0时A为一致阵；CI越大A的不一致程度越严重．注意到A 的n个特征根之和恰好等于n(为什么?)，所以CI相当于除λ外其余n-1个特征根的平均值．为了确定A的不一致程度的容许范围，需要找出衡量A的一致性指标CI的标准．Saaty又引入所谓随机一致性指标RI，计算RI的过程是：对于固定的n，随机地构造正互反阵A ，(它的元素j i a '（i<j ）从1～9，l ～1／9中随机取值)，然后计算A ，的一致性指标CI ．可以想到，A '是非常不一致的，它的CI 相当大．如此构造相当多的A '，用它们的CI 的平均值作为随机一致性指标．Saaty 对于不同的n ，用100--500个样本A '算出的随机一致性指标RI 的数值如下*．表中n=l ，2时RI=0，是因为1，2阶的正互反阵总是一致阵．对于，2≥3的成对比较阵A ，将它的一致性指标CI 与同阶(指n 相同)的随机一致性指标RI 之比称为一致性比率CR ，当时认为A 的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量．(7)式中0.1的选取是带有一定主观信度的．对于A 利用(6)，(7)式和表2进行检验称为一致性检验．当检验不通过时， 要重新进行成对比较，或对已有的A 进行修正．对于(2)式给出的A 可以算出*， λ=5.073，归一化的特征向量w= (0.263，0.475，0.055，0.099，0.110)T ．由(6)式018.0155073.5=--=CI ，在表2中查出RI=1.12．按(7)式计算，CR=0.018-0.016<0.1，一致性检验通过，上述w 可作为权向量．5．组合权向量 在旅游决策问题中我们已经得到了第2层(准则层)对第1层 (目标层，只有一个因素)的权向量，记作T w ),,()2(5)2(1)2(ωω = (即由(2)式的A 算出的w)．用同样的方法构造第3层(方案层，见图1)对第2层的每一个准则的成对比较阵，不妨设它们为这里矩阵k B (k=1，…，5)中的元素)(k ijb 是方案(旅游地)i P 与j P 对于准则k C (景色、费用等)的优越性的比较尺度．由第3层的成对比较阵k B 计算出权向量)3(k w ，最大特征根k 和一致性指标k CI ，结果列入下表．不难看出，由于n=3时随机一致性指标RI=0.58(表2)，所以上面的CI 是均可通过一致性检验．下面的问题是由各准则对目标的权向量)2(w 和各方案对每一准则的权向量)3(k w (k=1，…，5)，计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量，记作)3(w．对于方案1P ，它在景色等5个准则中-的权重用)3(k w 的第1个分量表示(表3中)3(kw 的第1行)，而5个准则对于目标的权重又用权向量)2(w表示，所以方案1P 在目标中的组合权重应为它们相应项的两两乘积之和，即同样可以算出P 2，P 3在目标中的组合权重为0.246和0.456，于是组合权向量)3(w=(0.300，0.246，0.456)T．结果表明方案P3在旅游地选择中占的权重近于1/2，远大于1P，P2，应作为第l选择地点．由上述计算可知，对于3个层次的决策问题，若第1层只有1个因素，第2，3层分别有n，m个因素，记第2，3层对第1，2层的权向量分别为以)3(kw为列向量构成矩阵则第3层对第l层的组合权向量为更一般地，若共有5层，则第是层对第l层(设只有1个因素)的组合权向量满足其中W(k)是以第是层对第k-1层的权向量为列向量组成的矩阵．于是最下层 (第5层)对最上层的组合权向量为6．组合一致性检验在应用层次分析法作重大决策时，除了对每个成对比较阵进行一致性检验外，还常要进行所谓组合一致性检验，以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据．组合一致性检验可逐层进行．若第户层的一致性指标为)(1pCI，…，)(pnCI (n是第p-1层因素的数目)，随机一致性指标为)(1pRI，…，)(pnRI，定义则第p层的组合一致性比率为第p层通过组合一致性检验的条件为CR(p)<0.1．定义最下层(第5层)对第l层的组合一致性比率为对于重大项目，仅当CR*适当地小时，才认为整个层次的比较判断通过一致性检验．在旅游决策问题中可以算出CI(3)=0.00176，RI(3)=0.58，CR(3)=0.003前面已经有w可CR(2)=0.016，于是CR*=0.019，组合一致性检验通过，前面得到的组合权向量)3(以作为最终决策的依据．7．层次分析法的基本步骤（1）．建立层次结构模型在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次．同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用，而同一层的各因素之间尽量相互独立．最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有1个或几个层次，通常为准则或指标层．当准则过多时(比如多于9个)应进一步分解出子准则层．（2）．构造成对比较阵从层次结构模型的第2层开始，对于从属于(或影响及)上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和l-9比较尺度构造成对比较阵，直到最下层．（3）．计算权向量并做一致性检验对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量(计算方法见本节第三小节)，利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率做一致性检验．若检验通过，特征向量(归一化后)即为权向量；若不通过，需重新构造成对比较阵．（4）．计算组合权向量并做组合一致性检验利用(10)式计算最下层对目标的组合权向量，并酌情作组合一致性检验．若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率CR较大的成对比较阵．三．层次分析法的广泛应用层次分析法在T．LSaaty正式提出来之后，由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快就在世界范围内得到普遍的重视和广泛的应用．二三十年来它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗、环境等等领域．从处理问题的类型看，主要是决策、评价、分析、预测等．这个方法在20世纪80年代初引入我国，也很快为广大的应用数学工作者和有关领域的技术人员所接受，得到了成功的应用．从上面介绍的层次分析法的基本步骤看，建立层次结构模型是关键的一步，下面给出应用实例时即以这一步为主．构造成对比较阵是整个工作的数量依据，当然是重要的，应当由经验和知识丰富、判断力强的专家给出，还不妨采用群体判断的方式．至于第3，4步的计算工作，数学工作者是容易完成的．例1 管理信息系统综合评价当今任何部门每天都会接触到大量的信息，信息管理水平的高低直接关系着工作效率，甚至生存条件．财务、库存、销售、行政、……各种各样的管理信息系统(MIS)开发完成或准备推广时，通常要作全面的检查、测试和分析，AHP是进行综合评价的方法之一．某一类管理信息系统的综合评价指标体系如下：1．系统建设B1·科学性C11 规划目标的科学性，经济、技术、管理上的可行性；·实现程度C12 是否达到系统分析阶段提出的目标；·先进性C13融合了先进的管理科学知识，有较强的适应性；·经济性C14投资——功能比；·资源利用率C15对软硬件、信息资源的利用程度；·规范性C16遵循国际标准、国家标准或行业标准，易于使用、维护和扩充． 2．系统性能B2·可靠性C21主要是软硬件系统的可靠性；·系统效率C22 系统响应时间、周转时间、吞吐量等；·可维护性C23确定、修正系统的错误所需的代价；·可扩充性C24系统结构、硬件设备、软件功能的可扩充程度；·可移植性C25将系统移植到另一种软硬件环境的代价；·安全性C26当自然或人为故障造成系统破坏时的有效对策．3．系统应用B3·经济效益C31降低成本、增加利润、提高竞争力、改进服务质量等；·社会效益C32提高科技水平、合理利用资源、增进社会福利、保护生态环境等；·用户满意度C33人机界面友好、操作方便、容错性强、有帮助功能等；·功能应用程度C34是否达到预期的技术指标．用以上各评价指标构造层次结构，形成目标层A、准则层B、子准则层C和方案层D，如图2．由专家和用户组成的小组对3个MIS 系统D1，D2，D3进行综合评价，将成对比较阵略去，得到的权向量及一致性检验的结果如下：准则层B 对目标层A 的权向量w (2)=(0.162，0.309，0.529)T ，一致性指标CI (2)=0.0056．子准则层C 对B 1，B 2，B 3的权向量分别为w(31)=(0.101，0.77，0.177，0.312，0.056，0.177)，w (32)=(0.350，0.126，0.230，0.126，0.043，0.126)，W(33)=(0.336，0.161，0.420，0.082)，一致性指标分别为CI (31)=0.0043，CI(32)=0.004 8，CI (33)=0.0061． 方案层D 对子准则层C(共16个因素)的权向量)4(kw 和一致性指标)4(k CI (k= l ，2，…，16)列人表4，其中C 对A 的权向量)3(w =)3(W )2(w ，而)3(W 是以语)31(~w，)32(~w ，)33(~w 为列向量的16 x 3矩阵(见(8)式)，)31(~w=(w (31)，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0)T ，)32(~w = (0，0，0，0，0，0，w(32)，0，0，0，0)T ，)33(~w =(0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，W (33))T ．以表4中的16个权向量)4(kw 为列向量构成3x16矩阵)4(W ，则方案层D 对目标层A 的组合权向量为)4(w =)4(W )3(w =(0.315，0.478，0.207)T ．各层的一致性检验及组合一致性检验全部通过，上面得到的组合权向量可以作为3个M 工S 系统综合评价的依据，即系统D2最优，D ，次之．例2 横渡江河、海峡方案的抉择1970年南京长江大桥的建成结束了津浦铁路轮渡长江的历史，穿越英吉利海峡的隧道为英法两国的交通带来了巨大的方便，跨越琼州海峡、连接海南岛和雷州半岛的轮渡方案据说已经定夺，有人甚至在酝酿横越台湾海峡的海底隧道了．渡江越海的办法主要有建桥梁、修隧道、轮渡三种，进行抉择时不外乎要从效益和代价两方面考虑，这两方面又各有若干准则加以度量，用AHP 方法处理应将效益和代价作为两个目标，分别建立层次结构，图3和图4中表述的是某部门对准则的选择，仅供参考，因为它们的含义都容易从字面上理解，这里就不一一解释了．构造成对比较阵和计算权向量的部分从略．例3 科技成果的综合评价科技成果涉及的领域很广，种类很多，这里指的是直接应用于国民经济的某个生产部门后，可迅速转化为生产力，带来可定量计算的经济效益的那一类成果．评价准则先分为效益C1、水平C2、规模C3共3类，再在每类中确定若干具体指标，如此构造的层次结构由图5给出．当对科技成果进行相对评价时，可直接利用层次分析法确定出它们对于综合评价的优劣顺序．当对科技成果进行绝对评价时，应先用层次分析法得到C11，C12，…各项具体指标在综合评价中的相对权重，再给出这些指标的等级标准，如对于C11，年经济效益在1000万元以上为1等(9分)；100万元以上为2等(7分)；……1万元以下为5等(1分)．对于C23，达到国际水平为l等(9分)；部分达到或全面接近国际水平为2等(7分)；国内先进水平为3等(5分)；国内水平为4等(3分)；一般水平为5等(1分)．当某项成果在各指标中的等级被主管部门认定后，将各个分值乘以各指标在综合评价中的权重并求和，即为这项成果的综合绝对评价的分值．例4 工作选择一个刚获得学位的大学毕业生面临选择工作岗位，他将要考虑的准则有：能够发挥自己的才干为国家作贡献；丰厚的收入；适合个人的兴趣及发展；良好的声誉；人际关系；地理位置等，于是他可以构造如图6的层次结构，用层次分析法确定可供选择的工作的优先顺序．你认为这些准则合适吗?试给出准则层对目标的成对比较阵．例5 国家实力分析一些高层研究人员要对美、俄、中、英、法、日、德等大国的国家综合实力进行分析判断，层次分析法为其提供了一种手段．这里的关键是确定合适的准则及进行实事求是的对比．一个供参考的层次结构如图7所示．通过以上列举的几个实例可以大体上看出层次分析法的应用模式和涉及范围．顺便指出，在这个方法提出和完善的20世纪70年代，Saaty等人曾用它解决过一些国际或国家级的重大课题，如1985年世界石油价格的预测，苏丹运输系统的研究，美国未来高等教育(1985—2000)的规划等．四．层次分析法的若干问题层次分析法问世以来不仅得到广泛的应用，而且在理论体系、计算方法以及建立更复杂的层次结构等方面都有很快的发展．1．正互反阵最大特征根和对应特征向量的性质成对比较阵是正互反阵．层次分析中用对应它的最大特征根的特征向量作为权向量，用最大特征根定义一致性指标(6)式进行一致性检验．这里人们首先碰到的问题是：正互反阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量；一致性指标的大小是否反映它接近一致阵的程度，特别，当一致性指标为零时，它是否就变为一致阵．下面两个定理可以回答这些问题．定理1 对于正矩阵A(A 的所有元素为正数)，1)A 的最大特征根是正单根λ；2)λ对应正特征向量w(侧的所有分量为正数)；3)w eA e e A k T k k =∞→lim 其中e=(1，l ，…，1)T ，w 是对应λ的归一化特征向量． 定理的1)，2)是著名的Perron(1907)定理的一部分，3)可通过将A 化为标准形证明(略)．定理2 n阶正互反阵A的最大特征根λ≥n；当λ=n时A是一致阵．证明略定理2和前面所述的一致阵的性质表明，n阶正互反阵A是一致阵的充要条件为，A的最大特征根λ=n．上述结论为特征根法用于层次分析提供了一定的理论依据．2．正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法(1)幂法；(2)和法；(3)根法3、为什么用成对比较阵的特征向量作为权向量4．不完全层次结构中组合权向量的计算5．成对比较阵残缺时的处理6．递阶层次结构和更复杂的层次结构。