导数的单调性及极值
函数的极值与导数
x3 x4 b x
1.在点x1附近都有f(x)﹤f (x1), x1叫函数f(x)的一个极大值点, f (x1)叫做函数f (x)的极大值，记作y极大值= f (x1)；
2.在点x2附近都有f(x)>f (x2), x2叫函数f(x)的一个极小值点, f (x2)叫做函数f (x)的极小值，记作y极小值= f (x2)；
二、问题情境:
已知y=f(x)的函数图像如下，请观察后回答：
y
R
y=f(x)
f '(x1)= ?
S
P Q
极值点
o a x1 x2
x3 x4 b x
1. f '(x)>0 的区间有:__(a_,_x_1_),_(_x_2,_x_3_),_(_x4_,_b_) f '(x)<0 的区间有:____(x_1_, _x_2)_,(_x_3_, _x_4)___
2. f '(x1)=__0__ f '(x2)=0, f '(x3)=0, f '(x4)=0,
3. x1, x2, x3, x4这些点处相应的函数值还具有怎样的特点？
三、极值概念:
已知y=f(x)的函数图像如下，请观察后回答：
y
R
y=f(x)
f '(x1)= 0
S
自变量的值
P Q
极值点
o a x1 x2
函数的极值与导数
一、知识回顾:
函数的导数与单调性:
一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a，b)内有导数,若：
f '(x)>0
y=f(x) 在(a，b)上增函数;
f '(x)<0
y=f(x) 在(a，b)上减函数
【2021新高考数学】利用导数求函数的单调性、极值 、最值
【举一反三】
1．函数 y＝4x2＋1的单调增区间为________． x
1，＋∞ 【答案】 2
【解析】
由
y＝4x2＋1，得 x
y′＝8x－x12(x≠0)，令
y′>0，即
8x－x12>0，解得
x>1， 2
∴函数
y＝4x2＋1的单调增区间为
2
.
2
2
当 x (, 2 ) 时，函数为增函数；当 x ( 2 , ) 时，函数也为增函数.
2
2
令 f (x) 6x2 3 0 ，解得 2 x 2 .当 x ( 2 , 2 ) 时，函数为减函数.
2
2
22
故函数 f (x) 2x3 3x 的单调递增区间为 (, 2 ) 和 ( 2 , ) ，单调递减区间为 ( 2 , 2 ) .
当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接
【举一反三】 1．函数 y＝4x2＋1的单调增区间为________．
x 2．函数 f(x)＝x·ex－ex＋1 的单调增区间是________． 3．已知函数 f(x)＝xln x，则 f(x)的单调减区间是________． 4．已知定义在区间(－π，π)上的函数 f(x)＝xsin x＋cos x，则 f(x)的单调增区间是_______．
2x 2 (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的极值．
第十四讲 利用导数求函数的单调性、极值 、最值
【套路秘籍】
一．函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果 f′(x)<0，那么函数 y＝f(x) 在这个区间内单调递减． 二．函数的极值 (1)一般地，求函数 y＝f(x)的极值的方法 解方程 f′(x)＝0，当 f′(x0)＝0 时：
高中数学导数与函数的极值与单调性
高中数学导数与函数的极值与单调性在高中数学中，导数与函数的极值与单调性是一个重要且基础的概念。
理解导数与函数的极值与单调性对于解决一些函数的问题非常关键。
本文将通过讨论导数的概念、求导法则以及函数的极值和单调性来详细介绍这个主题。
一、导数的概念与求导法则1. 导数的概念函数的导数表示函数在某一点的变化率，可以理解为函数曲线在该点处的切线的斜率。
导数通常用符号"f'(x)"或"dy/dx"表示。
对于函数y=f(x)，其导数可以通过求导得到。
2. 求导法则求导法则是一类用于求函数导数的规则，常见的包括常数法则、幂函数法则、和差法则、乘积法则和商法则等。
这些法则可以帮助我们计算各种函数的导数，从而研究其极值和单调性。
二、函数的极值1. 极值的定义极值是函数在一定区间内取得的最大值或最小值。
极大值表示函数取得的最大值，而极小值表示函数取得的最小值。
2. 寻找极值的方法要寻找函数的极值，我们需要分析函数的导数和二阶导数。
首先，通过求导得到函数的导数，然后找到导数为零或不存在的点。
接下来，求取这些点的二阶导数，通过二阶导数的正负性来判断极值的情况。
三、函数的单调性1. 单调性的定义函数的单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
如果函数在某个区间上的导数始终大于零，那么该函数在该区间上是递增的；如果导数始终小于零，函数在该区间上是递减的。
2. 单调性的判断方法为了判断函数的单调性，我们可以先求取函数的导数，并对导数进行分析。
通过导数的正负性可以判断函数在某个区间上是否递增或递减。
如果导数恒大于零，则函数在该区间上递增；如果导数恒小于零，则函数在该区间上递减。
四、综合应用举例下面通过一个例子来综合运用导数与函数的极值与单调性。
例：函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5，在[-2, 4]区间上的极值与单调性。
解：首先，求取函数的导数：f'(x) = 3x^2 - 6x - 9然后，令导数等于零，解方程：3x^2 - 6x - 9 = 0化简得：x^2 - 2x - 3 = 0解得：x = -1 或 x = 3接下来，求取导数的二阶导数：f''(x) = 6x - 6将x = -1 和 x = 3代入二阶导数得到：f''(-1) = -12f''(3) = 12根据二阶导数的正负性，当x = -1时，f(x)取得极大值；当x = 3时，f(x)取得极小值。
导数与函数的单调性与极值
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由函数单调性确定参数范围的方法 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b) 上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集． (2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单 调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则 f′(x)≤0”来求解．
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变式训练2.已知函数f(x)＝ x3＋mx2－3m2x＋1，m∈R. (1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)若f(x)在区间(－2,3)上是减函数，求m的取值范围．
x2－ln x的单调递减区间为
D．(0，＋∞)
(
) A．(－1,1]
B．(0,1]
C．[1，＋∞)
解析：
1 (1)函数y＝ 2 x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，
1 (x - 1)(x + 1) y′＝x－ x ＝ ，令y′≤0，则可得0＜x≤1. x
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当a≠b时，讨论函数f(x)的单调性．
y
a
b
c o
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d
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e x
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考点 • 大整合
1．明确导数与函数单调性的关系
在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都 不恒等于0. f′(x)≥0=>f(x)在(a，b)上为增函数； f′(x)≤0=>f(x)在(a，b)上为减函数．
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2．把握两个概念
(1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值 都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0， 则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数 值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜ 0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
高考复习-利用导数研究函数的单调性及极值和最值
利用导数研究函数的单调性及极值和最值知识集结知识元利用导数研究函数的单调性问题知识讲解1．利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【典型例题分析】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．例题精讲利用导数研究函数的单调性问题例1.函数f（x）=e x-3x+2的单调减区间为__________．例2.若函数y=-x3+ax在[1，+∞）上是单调函数，则a的最大值是___．例3.函数f（x）=sin x-x，x∈（0，）的单调递增区间是_______．利用导数研究函数的极值与最值问题知识讲解1．利用导数研究函数的极值【知识点的知识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f （x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．2．利用导数研究函数的最值【利用导数求函数的最大值与最小值】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f （x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．例题精讲利用导数研究函数的极值与最值问题例1.函数y=lnx-e x在[1，e]最大值为（）A．1-e e B．C．-eD．例2.己知定义域为（1，+∞）的函数f（x）=e x+a-ax，若f（x）>0恒成立，则正实数a的取值范围为（）A．（0，e2]B．（0，e2）C．[1，e2]D．（1，e2）例3.函数f（x）=x2-lnx的最小值为（）A．1+ln2B．1-ln2C．D．当堂练习单选题练习1.定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且，若存在实数x使不等式f（x）≤m2-am-3对于a∈[0，2]恒成立，则实数m的取值范围为（）A．（-∞，-2]∪[2，+∞）B．C．D．练习2.若函数f（x）与g（x）满足：存在实数t，使得f（t）=g'（t），则称函数g（x）为f（x）的“友导”函数．已知函数为函数f（x）=x2lnx+x的“友导”函数，则k的取值范围是（）A．（-∞，1）B．（-∞，2]C．（1，+∞）D．[2，+∞）练习3.函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，若xf'（x）+f（x）=e x（x-2）且f（3）=0，则不等式f（x）<0的解集为（）A．（0，2）B．（0，3）C．（2，3）D．（3，+∞）练习4.已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f′（x），f（x）>0且f（e）=1，若xf′（x）lnx+f（x）>0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则不等式<lnx的解集为（）A．{x|0<x<1}B．{x|x>1}C．{x|x>e}D．{x|0<x<e}练习5.已知函数f（x）=x3-x2+ax-a存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，x1+2x0=（）A．3B．2C．1D．0练习6.若函数f（x）=e x+axlnx（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（-∞，-e）B．（-∞，-2e）C．（e，+∞）D．（2e，+∞）填空题练习1.已知函数f（x）=，若∃，使得f（f（x0））=x0，则m的取值范围是_________练习2.设函数f（x）=e x（2x-1）-2ax+2a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）<0，则a的取值范围是_______．练习3.已知函数，若当x1，x2∈[1，3]时，都有f（x1）<2f（x2），则a的取值范围为______________．练习4.若函数f（x）=e-x（x2+ax-a）在R上单调递减，则实数a的值为____．练习5.已知函数，g（x）=|x-t|，t∈（0，+∞）．若h（x）=min{f（x），g （x）}在[-1，3]上的最大值为2，则t的值为___．练习6.已知函数f（x）=x3-ax2在（-1，1）上没有最小值，则a的取值范围是_________．解答题练习1.'已知函数f（x）=e x-a（x+1），其中a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若a>0时，函数f（x）恰有一个零点，求实数a的值．（3）已知数列{a n}满足a n=，其前n项和为S n，求证S n>ln（n+1）（其中n∈N）．'练习2.'已知函数f（x）=（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数f（x）图象的不同两点，其中0<x1<1，x2>1，是否存在实数a，使得OP⊥OQ，且函数f（x）在点Q切线的斜率为f′（x1-），若存在，请求出a的范围；若不存在，请说明理由．'练习3.'已知函数f（x）=x2+ax-alnx（1）若函数f（x）在上递减，在上递增，求实数a的值．（2）若函数f（x）在定义域上不单调，求实数a的取值范围．（3）若方程x-lnx-m=0有两个不等实数根x1，x2，求实数m的取值范围，并证明x1x2<1．'练习4.'已知函数f（x）=xlnx-x2-ax+1，a>0，函数g（x）=f′（x）．（1）若a=ln2，求g（x）的最大值；（2）证明：f（x）有且仅有一个零点．'练习5.'已知函数f（x）=e x-ax-b．（其中e为自然对数的底数）（Ⅰ）若f（x）≥0恒成立，求ab的最大值；（Ⅱ）设g（x）=lnx+1，若F（x）=g（x）-f（x）存在唯一的零点，且对满足条件的a，b不等式m（a-e+1）≥b恒成立，求实数m的取值集合．'。
导数的应用的单调性与极值
导数的应用的单调性与极值在微积分学中，导数是一个非常重要的概念，它有着广泛的应用。
本文将讨论导数的应用方面，着重探讨其与单调性和极值的关系。
一、导数与函数的单调性在研究函数的单调性时，导数是一个非常重要的工具。
通过求函数的导数，我们可以得到函数的增减性质。
1. 单调递增如果一个函数在某个区间内的导数恒大于零，那么这个函数在该区间内是单调递增的。
也就是说，函数的图像在这个区间上是向上的。
举个例子，考虑函数f(x) = x^2，我们可以求得它的导数f'(x) = 2x。
由于2x大于零，所以函数f(x)在整个实数轴上都是单调递增的。
2. 单调递减类似地，如果一个函数在某个区间内的导数恒小于零，那么这个函数在该区间内是单调递减的。
还是以前面的例子f(x) = x^2为例，我们可以看到，函数f(x)的导数2x在负数区间上小于零，因此函数f(x)在负数区间上是单调递减的。
通过上述例子可以看出，导数可以帮助我们分析函数的单调性，从而更好地理解函数的变化规律。
二、导数与函数的极值另一个与导数密切相关的概念是函数的极值。
极值分为极大值和极小值，而导数可以帮助我们判断函数的极值点。
1. 极值点一个函数在某个点上的导数等于零时，该点就是函数的极值点。
根据导数的定义，导数为零表示函数在该点附近的变化趋势趋向于水平。
2. 极大值如果一个函数在某个点的导数从正数变为负数，那么这个点就是函数的极大值点。
在极大值点上，函数的图像从上升转向下降。
3. 极小值与极大值相反，如果一个函数在某个点的导数从负数变为正数，那么这个点就是函数的极小值点。
在极小值点上，函数的图像从下降转向上升。
例如，考虑函数f(x) = x^3，我们可以求得它的导数f'(x) = 3x^2。
当x等于零时，导数为零，说明函数在x=0处有极值。
通过进一步的分析，我们可以得知这个点是极小值点。
三、综合应用导数的应用不仅仅局限于单调性和极值的讨论，还可以应用于其他问题的求解。
函数与导数函数的单调性与极值点的几何意义分析示例
函数与导数函数的单调性与极值点的几何意义分析示例函数与导数函数是微积分中重要的概念，它们在数学和物理领域中有着广泛的应用。
本文将通过详细的分析与实例，探讨函数与导数函数的单调性以及极值点的几何意义。
一、函数的单调性与导数函数函数的单调性描述了函数在定义域上的增减情况。
若定义域内的任意两个自变量x1、x2，满足x1<x2，则函数f(x1)<f(x2)时，称函数在该定义域上是递增的；若f(x1)>f(x2)，则称函数在该定义域上是递减的。
导数函数是函数f(x)在其定义域内的任意点x处的导数值构成的新函数。
导数函数可以用来研究函数的单调性。
若导数函数在某个定义域上恒大于0，则原函数在该定义域上是递增的；若导数函数在某个定义域上恒小于0，则原函数在该定义域上是递减的。
二、函数单调性的几何意义函数的单调性在几何意义上可以理解为曲线的上升或下降趋势。
当函数递增时，其对应的曲线随着自变量的增大逐渐上升；当函数递减时，其对应的曲线则随着自变量的增大逐渐下降。
以一元函数f(x)为例，当其在某个定义域上是递增的时，可以理解为曲线向上延伸，表示曲线在这个区间内的斜率是正的。
这意味着曲线的切线在每一点的斜率都是正的，从而在几何上可以理解为曲线向上倾斜；同样，函数在某个定义域上是递减的时候，对应的曲线则是向下倾斜的。
三、极值点的几何意义极值点是指函数的取值在某一区间内达到最大值或最小值的点。
在数学上，极值点可以通过函数的导数求解得到。
当函数导数在某个点处等于零，并且该点的导数存在两侧变号，那么该点就是函数的极值点。
在几何上，极值点可以理解为曲线的拐点。
当曲线从上方或下方逼近极值点时，曲线的方向会发生变化，从而在几何上形成一个拐点。
拐点的左右两侧曲线的斜率会发生变化，而极值点正好位于曲线拐点的位置。
四、实例分析我们以函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x为例，来分析函数的单调性与极值点的几何意义。
用导数解决函数的单调性极值最值的方法步骤
用导数解决函数的单调性极值最值的方法步骤导数是微积分中非常重要的概念，它可以通过求取函数的斜率来提供关于函数的很多信息。
通过导数，我们能够判断函数的单调性、极值和最值。
下面，我将详细介绍使用导数进行函数分析的方法步骤。
一、函数的单调性分析：函数的单调性指的是函数在定义域上的递增或递减特性。
使用导数可以判断函数在不同区间上的单调性。
1.求出函数的导数：根据函数的定义，求出函数的导数。
若函数在其中一点存在导数，则说明函数在该点是可导的。
2.导数的符号变化：对求得的导数进行符号变化的分析，即导数求值时，符号的正负变化。
假设导数的结果是f’(x)。
通过求解f’(x)=0的解集，得到导数的零点集合。
3.导数零点的意义：对于导数零点集合中的每一个点进行分析。
如果导数在其中一点处的零点是一个正的极值点，则说明函数在该点是递增的；如果导数在其中一点处的零点是一个负的极值点，则说明函数在该点是递减的。
4.极值点的判定：在求得导数零点的基础上，通过导数的符号变化来判定函数在区间上的单调性。
当导数从正数变为负数时，说明函数在该区间上是递减的；当导数从负数变为正数时，说明函数在该区间上是递增的。
二、函数的极值分析：函数的极值是指函数在其中一点处取得的最大值或最小值。
通过导数可以判断函数的极值点。
1.求出函数的导数：根据函数的定义，求出函数的导数。
2.导数零点的极值分析：计算导数的零点，并求出零点对应的函数值，在零点处求得导数的值，在零点前后进行符号判定。
3.极值点的判定：若导数从负数增加到正数，则说明函数在该点处取得极小值；若导数从正数减小到负数，则说明函数在该点处取得极大值。
三、函数的最值分析：函数的最值是函数在定义域上取得的最大值或最小值。
通过导数可以判断函数的最值点。
1.求出函数的导数：根据函数的定义，求出函数的导数。
2.导数的变化性：通过计算导数的值和导数的符号变化来判断函数的最值。
3.导数的非零点分析：计算函数的定义域上的导数，找出导数等于零的点的集合。
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导数的单调性及极值
1．已知函数()cos x f x xe =（e 为自然对数的底数），当[],x ππ∈-时， ()y f x =的图象大致是（）
A.
B.
C.
D.
2．函数x y xe -=，[0,4]x ∈的最小值为（ ）
A ．0
B ．1e C.44e D ．22
e
3．已知函数()y f x =的图象是下列四个图象之一，且其导函数'()y f x =的图象如图所示， 则该函数的图象是（ ）
A ．
B ． C. D ．
4．函数32()f x x bx cx d =+++图象如图，则函数222log ()33
c y x bx =++的单调递减区间为（ ）
A.(,2]-∞-
B.[3,)+∞
C.[2,3]--
D.1[,2+∞）
5．函数()f x 的定义域为开区间(,)a b ，导函数'()f x 在(,)a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(,)a b 内有极小值点（ ）
A ．1个
B ．2个 C. 3个 D ．4个
6．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足10'()
x f x -≤，则必有（ ） A ．(0)(2)2(1)f f f +> B ．(0)(2)2(1)f f f +≤ C ．(0)(2)2(1)f f f +< D ．(0)(2)2(1)f f f +≥
7．已知R 上的可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式()
()2230x x f x '-->的解集为
A ．()
(),21,-∞-+∞ B ．()(),21,2-∞- C ．()()(),11,13,-∞--+∞ D ．()()(),11,02,-∞--+∞
8．已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是
A ．21<<-a
B ．63<<-a
C ．3-<a 或6>a
D ．1-<a 或2>a
9．若函数12
3)(23++-=x x a x x f 在区间)3,21(上单调递减，则实数a 的取值范围为 A.)310,25( B.),310(+∞ C.),3
10[+∞ D.),2[+∞ 10．已知函数()321f x x ax x =-+--在(),-∞+∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（）
A ．(),3,⎡-∞+∞⎣
B ． (()
,3,-∞+∞
C ．⎡⎣
D ．( 11．设3
21()252
f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为 A.7m > B.15727m > C.157727m << D.7m < 12．已知函数()33f x x x =-，若对于区间[]3,2-上任意的12,x x 都有()()12f x f x t -≤，则实数t 的最
小值是（ ）
A ．0
B ．10
C ．18
D ．20
13．已知()f x 是定义在()0+∞，
上的可导函数，其导函数为()'f x ，且当0x >时，恒有()()'l n 0f x x x f x +<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）
A ．()01，
B ．()1+∞，
C ．()()011+∞，，
D ．∅
14．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ，当0>x 时，有0)()(2>-'x x f x f x 成立，则不等
式0)(>⋅x f x 的解集是（ ）
（A ）),1()1,(+∞⋃--∞ （B ）)1,0()0,1(⋃- （C ）),1(+∞ （D ）),1()0,1(+∞⋃- 15．已知函数
（Ⅰ）若函数在点处的切线与直线垂直，求切线的方程； （Ⅱ）求函数
的极值．
16．设函数()32
395f x x ax x =+-+，若()f x 在1x =处有极值. （1）求实数a 的值；
（2）求函数()f x 的极值；
（3）若对任意的[]4,4x ∈-，都有()2f x c <，求实数 c 的取值范围.。