导数的应用—单调性与极值的习题课

导数的应用—单调性与极值的习题课
【复习目标】
1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用；
2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。

3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的
单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；
4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三
次的多项式函数的极大值、极小值，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

【重点难点】
①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；④利用导数证明函数的单调性；
⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；
【基础过关】1． 函数的单调性
⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则)
(x f 为 .（逆命题不成立）
(2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f .
注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.
(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：
① 确定函数)(x f 的 ；
② 求)(x f '，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；
③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺
序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间；
④ 确定)(x f '在各小开区间内的 ，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区
间内的增减性.
2．可导函数的极值
⑴ 极值的概念
设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有 （或 ），则称
)(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点.
⑵ 求可导函数极值的步骤：
① 求导数)(x f '；
② 求方程)(x f '＝0的 ；
③ 检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，
那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函
数y ＝)(x f 在这个根处取得 .
【基础训练】
例1．如果函数()y f x =的图像如右图,那么导函数,
()y f x =的图像可能是（ ）
例2. 曲线x x y ln 22-= 的单调减区间是( )
A.]1,0(;
B.),1[+∞;
C.]1,(-∞及]1,0( ;
D. )0,1[-及]1,0(;
例3.若函数2()1
x a f x x +=+在1x =处取极值，则a =
例4. 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内
的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点 _个
例5．若1)2(33)(23++++=x a ax x x f 有极值，则a 的取值范围是 .
【典型例题】 1(2011·浙江五校联考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c (x ∈[－1,2])，且函数f (x )在x
＝1和x ＝－23处都取得极值．
(1)求a ，b 的值；
(2)求函数f (x )的单调递增区间．
2.设函数3
()3(0)f x x ax b a =-+≠.
（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.
（Ⅲ）若1b =-且()f x 在1x =-处取得极值,直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同
的交点，
求m 的取值范围。

思考:若是有1个不同的交点呢? 2个不同的交点呢?
3已知函数f(x)＝4x3＋ax2＋bx＋5的图象在x＝1处的切线方程为y＝－12x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求y＝f(x)的单调递增区间．
4(2011·安徽)设f(x)＝
e x
1＋ax2
，其中a为正实数．
(1)当a＝4
3时，求f(x)的极值点；
(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．
5.已知函数f(x)=x3-ax-1.
（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；
6已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=
3
2时，y=f(x）有极值.
（1）求a,b,c的值；
（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.
7 设函数f(x)=-x(x-a)2
(x∈R ),其中a∈R .
（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程；
（2）当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值.
【课后作业】
1.函数y =x 2（x －3）的减区间是
2.函数f （x ）=ax 2－b 在（－∞，0）内是减函数，则a 、b 应满足
3.已知f （x ）=（x －1）2+2，g （x ）=x 2－1，则f ［g （x ）］的增区间是
4.在（a ，b ）内f '（x ）>0是f （x ）在（a ，b ）内单调递增的____ ____条件.
5.已知a >0，函数f （x ）=x 3－ax 在［1，+∞）上是单调增函数，则a 的取值范围是 6已知x R ∈，奇函数32()f x x ax bx c =--+在[1,)+∞上单调，则字母,,a b c 应满足的条
件是 。

7.设f （x ）=x 3－2
2
x －2x +5. （1）求f （x ）的单调区间；
（2）当x ∈［1，2］时，f （x ）<m 恒成立，求实数m 的取值范围.
8．设f （x ）=x 3－3ax 2+2bx 在x =1处有极小值－1，试求a 、b 的值，
并求出f （x ）的单调区间.
9已知函数f （x ）=ax 3+3x 2－x +1在R 上是减函数，求实数a 的取值范围.
10．若函数y =3
1x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围.。