第一节 随机事件的概念
概率论知识点
第一章随机事件及其概率§ 1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。
是人们通常说的偶然现象。
其特点是，在相同的条件下重复观察时，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，预先不能断言将出现哪种结果•例如,投掷一枚五分硬币，可能国徽”向上,也可能伍分”向上；从含有5件次品的一批产品中任意取出3件，取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一•指在科学研究或工程技术中，对随机现象在相同条件下的观察。
对随机现象的一次观察（包括试验、实验、测量和观测等）,事先不能精确地断定其结果，而且在相同条件下可以重复进行，这种试验就称为随机试验。
样本空间：概率论术语。
我们将随机试验E的一切可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为1。
样本空间的元素，即E的每一个结果，称为样本点。
随机事件：实际中，在进行随机试验时，人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E的样本空间I ■■的子集为E的随机事件，简称事件•在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生.特别，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件.样本空间门包含所有的样本点，它是门自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件.空集？不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）：若事件A与事件B不可能同时发生，亦即A B =①，则称事件A与事件B是互斥（或互不相容）事件。
互逆事件：事件A与事件B满足条件A B =①，A B =1 ,则称A与B是互逆事件，也称A与B是对立事件，记作B （或A = B ）。
互不相容完备事件组：若事件组A,A2,…A满足条件A i A j二①，（i,i=t n ）,nA-、_:，则称事件组A, A2,…A n为互不相容完备事件组（或称A, A2,…A n为样本空i=1间门的一个划分）。
§ 1.2 随机事件的概率概率：随机事件出现的可能性的量度。
随机事件的概念
(5)你能列举与事件(3)相似的事件吗？
师生活动：学生根据题意完成操作，针对问题，小组内讨论解答，教师进行提问，订正答案后，进行总结．
活动
二：
实践
探究
交流
新知
活动三：提出问题，探索概念
展示问题：
(1)什么是必然事件，什么是不可能事件，什么是随机事件？
(2)怎样的事件称为随机事件呢？
④长为3cm，5cm，9cm的三条线段能围成一个三角形．
其中确定性事件有(B)
A．1个B．2个C．3个D．4个
活动
活动：学生自主进行解答，教师进行巡视、个别指导，最后全班交流，订正答案，教师做好最后总结．
数学公式、定理、公理等属于必然事件；确定性事件包括必然事件和不可能事件.
活动二：小组合作，掷一枚质地均匀的正方体骰子，一人掷，其他人观察并做好记录，骰子的六个面上分别标有1至6的点数．掷一次骰子，观察骰子向上一面的点数，同学们可通过大量试验，来发现并回答以下问题：
(1)可能出现哪些点数？
(2)出现的点数大于0，可能吗？这是什么事件？
(3)出现的点数是7，可能吗？这是什么事件？
(3)必然事件和不可能事件的区别在哪里？
师生活动：学生用自己的语言进行描述，教师给予充分的肯定和鼓励，师生共同总结．
教师讲解并板书：
在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件．
在一定条件下，不可能发生的事件叫做不可能事件．
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件．
其中必然事件与不可能事件统称确定性事件．
教学设计
随机事件的概念
课题
第1课时 随机事件的概念
授课人
教
概率论重要知识点总结
概率论重要知识点总结概率论重要知识点总结概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。
随机现象是相对于决定性现象而言的。
在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。
下面为帮助同学们更好地理解概率论，小编汇总了关于概率论的重要知识点总结，希望对同学们学习上有所帮助。
第一章随机事件及其概率第一节基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用表示。
随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为。
必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。
样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω. 样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω 表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。
基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。
事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件发生必然导致事件B发生，则称B 包含A，记为，则称事件A与事件B 相等，记为A＝B。
事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 事件的积：称事件“事件A与事件B 都发生”为A 或AB。
事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为 A－B。
用交并补可以表示为互斥事件：如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。
互斥时可记为A＋B。
对立事件：称事件“A不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。
对立事件的性质：事件运算律：设A，B，C为事件，则有：（1）交换律：AB=BA，AB=BA A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A(BC)＝(AB)(AC) ABAC（4）对偶律（摩根律）：第二节事件的概率概率的公理化体系：第三节古典概率模型1、设试验E 是古典概型, 其样本空间Ω 个样本点组成.则定义事件A 的概率为的某个区域，它的面积为μ(A)，则向区域上随机投掷一点，该点落在区域假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ 理解为长度或体积即可. 第四节条件概率条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设第五节事件的独立性两个事件的`相互独立：若两事件A、B 满足P(AB)= 相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)= 相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)= 两两独立独立的性质：若A 均相互独立总结：1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。
随机事件及其运算
Ω 1={正面，反面}
E2：投掷一枚硬币两次，观察其出现正面还是反面的试验.
Ω 2={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}
E3：测量一根粉笔长度的试验. Ω 3={x|0≤x≤a}, E4：观察一只羊在羊圈中的位臵的试验. Ω 4={(x,y)|0≤x≤a , 0≤y≤b}
第 一章 随机事件及其概率
基本事件: 只包含一个试验结果的事件,用ω 来表示.
随机事件与基本事件之间的关系：
例,掷一枚骰子试验 出现的点数ωi= “出现i点” (i=1,…,6) A＝“出现奇数点” 都是基本事件
是随机事件，但不是基本事件
由ω1, ω3, ω5组合成的，记A={ω1,ω3,ω5},当且仅当这三 个基本事件之一发生时事件A才发生.
A1 A2 A1 A3 A2 A3
考虑逆事件：A1 A2 A1 A3 A2 A3
第 一章 随机事件及其概率 例2 一名射手连续向某个目标射击三次，事件Ai表示该射手 第i次射击时击中目标.试用文字叙述下列事件 ： （1）A1 A2 A3 ;（2） A2 （4）A1 A2 A3 ；（3） A1 A2 A3 ；
（8）三次中至少两次击中.
第 一章 随机事件及其概率
小
一、概念 1.随机试验；
结
2.随机事件；
两个特殊事件：必然事件，不可能事件. 3.样本空间. 二、事件之间的关系及运算 注意互不相容事件与互逆事件、二者的关系
第 一章 随机事件及其概率
课后作业： 习题一 2 ；3.
P19
8.完备事件组
若事件 A1,…,An为两两互不相容事件， 且A1∪…∪An= Ω,则称A1,…,An 构成一个完备事件组（或称事件的划分）. 当n为2时，完备事件组为互逆事件. 例 设Ω={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={2,4},C={6},则 （1）A,B,C构成完备事件组. （2）AB=Φ，即A,B互不相容，但不是互逆. 因为A∪B={1,2,3,4,5}, 但A∪B≠Ω.
《8.1.1 随机事件的概念》学历案-中职数学高教版21基础模块下册
《随机事件的概念》学历案（第一课时）一、学习主题本学习主题为《随机事件的概念》，是中职数学课程中概率与统计的基础知识之一。
本课时将引导学生认识随机事件的概念、特征及分类，理解其在现实生活中的应用，并培养学生的数据分析与推理能力。
二、学习目标1. 知识与理解：掌握随机事件的定义及基本特征，能分辨随机事件与确定事件的区别。
2. 过程与方法：通过实例分析，培养学生从具体问题中抽象出随机事件的能力。
3. 情感态度与价值观：引导学生体会随机事件在生活中的应用，激发学生学习数学的兴趣和好奇心。
三、评价任务1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与度、互动情况及对知识点的理解程度。
2. 作业评价：通过课后作业的完成情况，评价学生对随机事件概念的理解及运用能力。
3. 小组讨论评价：组织学生进行小组讨论，评价学生在团队合作中分析、解决问题的能力。
四、学习过程1. 导入新课：通过生活中的实例（如抛硬币、抽卡片等）引出随机事件的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 新课讲解：通过PPT、板书等形式，详细讲解随机事件的定义、特征及分类。
重点强调随机事件与确定事件的区别。
3. 实例分析：选取几个生活中的实例，引导学生分析其中涉及的随机事件，培养学生从具体问题中抽象出随机事件的能力。
4. 课堂互动：提出问题，组织学生进行课堂讨论，加深学生对随机事件概念的理解。
5. 总结回顾：对本课时所学知识进行总结回顾，强调重点、难点内容。
五、检测与作业1. 课堂检测：通过小测验的形式，检测学生对随机事件概念的理解及运用能力。
2. 课后作业：布置相关练习题，要求学生运用所学知识解答，巩固对随机事件概念的理解。
3. 学习反思：要求学生完成学习反思，总结本课时的收获与不足，为后续学习做好准备。
六、学后反思通过本课时的学习，学生应该能够掌握随机事件的概念及基本特征，能分辨随机事件与确定事件的区别。
在教学过程中，教师应关注学生的反馈，及时调整教学方法和策略，确保学生能够充分理解并掌握所学知识。
高中数学知识点：随机事件的概念
高中数学知识点：随机事件的概念
在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件.
(1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件；
(2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件；
确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件.
(3)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件.
要点诠释：
1.随机事件是指在一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此强调同一事件必须在相同的条件下进行研究；
2.随机事件可以重复地进行大量实验，每次的实验结果不一定相同，但随着实验的重复进行，其结果呈现规律性.
第1 页共1 页。
1-1随机事件的概念
注 1° 试验不同，样本空间不同。
2° 同一试验 , 若试验目的不同, 则对应的 样本空 间也不同.
如： 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”. 若观察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间为
{ HHH , HHT , HTH , THH , HTT , TTH , THT , TTT }.
若观察出现正面的次数 , 则样本空间为
{0, 1,
2,
3}.
3°一个样本空间可以概括许多内容大不相同 的实际问题。
如： 只包含两个样本点的样本空间,
{H , T }
0 1模型
它既可以作为抛掷硬币出现 正面 或出现 反面的
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模
型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的
但能事先明确试验的所有可能结果。
实例 “抛掷一枚硬币，观察正面、反面
出现的情况”。
分析 (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行; (2) 试验的所有可能结果: 正面，反面;
进行一次试验之前不能确定 哪一个结果会出现，故为随机试验。
同理可知下列试验都为随机试验 1.“从一批产品中，依次任选三件，记录
帕斯卡、费马、惠更斯
他们三人提出的解法中,都首先涉及了 数学期望
这一概念，并由此奠定了古典概率论的基础。
二、随机现象
自然界所观察到的现象: 确定性现象, 随机现象。
1.确定性现象 在一定条件下可以准确预言结果的现象称为 确定性现象.又称必然现象。 实例 “在一个标准大气压下100度的水必定沸腾 ”; “没有外力作用下，向上抛一颗石子必然下落 ”; “函数在间断点不存在导数”;
出现正品与次品的情况”.
2. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等
第一章 随机事件及概率讲解
（2）事件的相等：若 A B 且 B A ， 则称A与B相等，记为A=B。
包含关系的性质： (a) A ; (b)A A (c)若A B且B C,则A C (d )若A B且B A,则A B
(3) n个元素的全排列数为 Anr n(n 1) 3 21 n!
c. 组合
（1）从n个元素中取出r个元素而不考虑其顺序，称为组 合，其总数为
C
r n
n r
Anr r!
n(n 1) (n r 1) r!
n! r!(n r)!
（2）若r1 r2 rk n，把n个不同的元素分成k个部分，
事件的交(积) ：事件A与B都发生，称
为A与B的积（交）事件，记为 A B
。
推广：
事件 A1, A2,, An 同时发生：
n
A1 A2 An Ai i 1
事件 A1, A2, 同时发生：
A1 A2 Ai i 1
5、差事件：事件A发生但B不发生 称为A与B之差，记为A-B
例2.9：某城市共发行A,B,C三种报纸，调 查表明居民家庭中订购C报的占30%，同 时订购A,B两报的占10%,同时订购A,C及 B,C两报的各占8%，5%，三报都订的占 3%.今在该城中任找一户，问该户(1)只订 A、B两报；(2)只订C报的概率各为多少？
第一章 概率论的基本概 念
1 理解随机事件的概念，了解样本空间的 概念，掌握事件之间的关系和运算。
2 理解概率的定义，掌握概率的基本性质， 并能应用这些性质进行概率计算。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三、随机试验
1.问题的提出 如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的.
2.定义 在概率论中, 把具有以下两个特征的试验 称为随机试验.
1. 允许在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的结果具有随机性，即结果会 不一定相同，试验之前不能确定哪一个结果出现，
但能事先明确试验的所有可能结果.
注 1° 随机试验简称为试验, 是一个广泛的 术语.它包括各种各样的科学实验, 也包括对客 观事物行的 “调查”、“观察”、或 “测量” 等. 2°随机试验通常用 E 来表示.
实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面,反面出现的情况”.
分析 (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行; (2) 试验的所有可能结果: 正面，反面;
实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观 察正反两面出现的情况”.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2 “在相同条件下生产同一种零件，观察 它们的尺寸”. 结果: “它们的尺寸总会有一点差异 ”.
实例3 “抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
结果有可能为: “1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.
2. 概率论的应用 近几十年来，随着科技的蓬勃发展，概率论
大量应用到国民经济、工农业生队 论、控制论等，都是以概率论作为基础的.
二、随机现象
自然界所观察到的现象: 确定性现象, 随机现象. 1.确定性现象
在一定条件下可以准确预言结果的现象称为 确定性现象.也称为必然现象.
四、样本空间 样本点
1. 问题的提出 随机试验的结果怎么去表述？ 现代集合论为表述随机试验提供了一个方
便的工具. 2. 定义 随机试验 E 的所有可能结果组成的集 合称为 E 的样本空间, 记为 .
样本空间的元素 , 即试验E 的每一个(最简 单的不能再分解的)可能结果, 称为样本点， 记 作.
2019/9/7
2
第一节 随机事件的概念
一、概率论的诞生及应用
二、随机现象
三、随机试验
四、样本空间 样本点
回
五、随机事件的概念
停
下
一、概率论的诞生及应用
1. 概率论的诞生 概率论是一门研究随机现象规律的数学分支.
起源于十七世纪，当时在误差、人口统计、人寿 保险等范畴中，需整理和研究大量的随机数据资
实例4 “从一批含有正品 和次品的产品中任意抽取 一个产品”.
其结果可能为: 正品 、次品
实例5 “过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯”.
实例6 “一只灯泡的寿命” 可长可短.
随机现象的特征
条件不能完全决定结果.
3. 随机现象的分类 个别随机现象： 原则上不能在相同条件下重
复出现（例6）. 大量性随机现象：在相同条件下可以重复出现
料，这就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律 性的数学，但当时刺激数学家们首先思考概率论 的问题，却是来自赌博者的问题 . 数学家费马向 帕斯卡提出下列的问题： “有两个赌徒相约赌 若干局，谁先赢 s 局就算赢, 当赌徒A赢a局(a < s),
而赌徒B赢b局(b < s)时, 赌博中止, 那赌本如何
（例1-5）.
注 1°随机现象揭示了条件和结果之间的非确 定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
2°随机现象从表面上看，似乎杂乱无章, 没 有规律.但实践证明, 如果同类的随机现象大量重 复出现, 它的总体就呈现出一定的规律性.
这种规律性随着我们观察的次数的增多而 愈加明显.这种由大量同类随机现象所呈现出来 的集体规律性叫做统计规律性.概率论和数理统 计就是研究这种统计规律性的数学学科.
例1 写出下列随机试验的样本空间. 1)观将一枚硬币连抛N次,观察正面出现的次数.
1 {0,1, 2, 3, , N } 2) 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.
2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
3) 从一批产品中,依次任选三件,记录 出现正品与次品的情况. 记 Z 正品, C 次品. 则 Ω3 { ZZZ, ZZC, ZCZ , CZZ , ZCC, CCZ , CZC, CCC }.
进行一次试验之前不能确定 哪一个结果会出现. 故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验 1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
2.“从一批产品中,依次任选三件,记录 出现正品与次品的件数”.
3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等 车人 数.
4. 考察某地区 10 月 份的平均气温.
5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
样本空 间也不同. 如： 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”. 若观察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间为
{HHH , HHT , HTH , THH , HTT , TTH , THT , TTT }.
若观察出现正面的次数 , 则样本空间为
4) 记录某公共汽车站某日 上午某时刻的等车人数.
Ω4 {0, 1, 2,}.
5) 考察某地区 12月份的平均 气温.
Ω5 {t T1 t T2}.
其中 t 为平均温度 . 6) 从一批灯泡中任取一只, 测试其寿命.
Ω6 {t t 0}.
其中 t 为灯泡的寿命 .
注 1° 试验不同, 对应的样本空间也不同. 2° 同一试验 , 若试验目的不同, 则对应的
实例 “在一个标准大气压下100度的水必定沸腾 ”; “没有外力作用下，向上抛一颗石子必然下落 ”; “恒定外力作用下，作匀速直线运动的物体仍然 作匀速直线运动”;
“函数在间断点处不存在导数” 等.
确定性现象的特征
条件完全决定结果.
2. 随机现象 在基本条件完全相同的条件下，可能发生
也可能不发生的现象称为随机现象.
分才合理?” 于是他们从不同的理由出发,都给出 了正确的解法，而在三年后,荷兰的数学家惠根斯 (1629-1695)亦用自己的方法解决了这一问题, 更 写成了《论赌博中的计算》一书, 此即概率论最 早的论著, 在他们三人提出的解法中, 首先都涉 及了数学期望(mathematical expectation) 这一概念，并由此奠定 了古典概率论的基础.