2008高考四川延考卷理科数学试题及答案(全word版)

2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川延考卷)数 学（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）集合{1,0,1}A =-，A 的子集中，含有元素0的子集共有 （A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个【解析】【方法一】组合数讨论法：A 的子集共328=个，含有元素0的和不含元素0的子集各占一半，有4个．选B ．【方法二】分类讨论：①只含一个元素的集合{}0②含二个元素的集合{}{}1,00,1-③含三个元素的集合{}1,0,1-（2）已知复数(3)(3)2i i z i+-=-，则||z =（A ）5 （B ）5（C （D ）【解析】 (3)(3)10(2)2(2)422(2)(2)i i i z i i i i i +-+===+=+--+||z ⇒==选D ．（3）41(1)(1)x x++的展开式中含2x 的项的系数为（A ）4 （B ）6 （C ）10 （D ）12【解析】41223344411(1)(1)(1)(1)x C x C x C x xx++=+++++ 展开式中含2x 项的系数为234410C C +=．选C ．（4）已知*n N ∈，则不等式220.011nn -<+的解集为 （A ）{|n n ≥199，*}n N ∈ （B ）{|n n ≥200，*}n N ∈（C ）{|n n ≥201，*}n N ∈ （D ）{|n n ≥202，*}n N ∈【解析】 22220.0111200n n n -=<=++*199200,n n n N ⇒>⇒≥∈．选B ．（5）已知1tan 2α=，则2(sin cos )cos 2ααα+= （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3-【解析】 22(sin cos )(sin cos )sin cos 1tan cos 2(sin cos )(cos sin )cos sin 1tan ααααααααααααααα++++===+---，1123112+==-。

选C ．（6）一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为 （A（B（C（D） 【解析】设球的半径为r 3143V r π⇒=；正三棱锥的底面面积2S =，2h r =，232123V r ⇒=⨯=。

所以123V V =，选A ．（7）若点(2,0)P 到双曲线22221x y a b-=（A（B（C） （D）【解析】设过一象限的渐近线倾斜角为αsin 4512k αα⇒=⇒=⇒= 所以b y x x a =±=±a b ⇒=，因此,cc e a===A ．（8）在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为 （A ）15 （B ）12 （C ）23 （D ）45【解析】【方法一】因文艺书只有2本，所以选3本必有科技书。

问题等价于选3本书有文艺书的概率：343644()1()11205C P A P A C =-=-=-=。

选D ．【方法二】分类讨论：①只有一本文艺书有1224C C 种选法；②有二本文艺书有2124C C 种选法。

（9）过点(1,1)的直线与圆22(2)(3)9x y -+-=相交于,A B 两点，则||AB 的最小值为 （A） （B ）4 （C） （D ）5【解析】||AB的最小值为4=．（10）已知两个单位向量a 与b 的夹角为135︒，则||1a b λ+>的充要条件是（A）λ∈ （B）(λ∈（C）(,0))λ∈-∞+∞ （D）(,)λ∈-∞+∞ 【解析】22222||121211cos13511a b a a b b λλλλλλ+>⇔++=++⨯⨯⨯=+>200λλλ⇔>⇔<或 C（11）设函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线0x =及直线1x =对称，且[0,1]x ∈时，2()f x x =，则3()2f -=（A ）12 （B ）14 （C ）34 （D ）94【解析】23311111()()(1)(1)()()2222224f f f f f -==+=-===．选B ．（12）一个正方体的展开图如图所示，,,B C D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点。

在原来的正方体中，CD与AB所成角的余弦值为（A）10（B）5（C）5（D）10【解析】还原正方体如右图所示设1AD=，则AB=1,AF=BE EF==，3AE=,CD与AB所成角等于BE与AB所成角，所以余弦值为cos ABE∠==D．【方法二】用空间向量求。

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在题中模式横线上。

（13）函数11xy e+=-()x R∈的反函数为l n(1)1y x=+-(1)x>-．解：11111ln(1)x xy e e y x y++=-⇒=+⇒+=+，所以反函数ln(1)1(1)y x x=+->-．（14）设等差数列{}na的前n项和为nS，且55S a=。

若4a≠，则74aa= 3 ．解：【方法一】直接法：由已知551234142300S a a a a a a a a a=⇒+++=⇒+=+=，71436323232ddadaa d-+=-⇒==-+。

【方法二】特殊值法：551234142300S a a a a a a a a a=⇒+++=⇒+=+=，取特殊值令231,1,a a==-43a⇒=-74129a a a=-=-，所以743aa=．（15）已知函数()sin()6f x xπω=-(0)ω>在4(0,)3π单调增加，在4(,2)3ππ单调减少，则ω=12．解：由题意44()sin()1336f πππω=-=4312,36222k k k Z πππωπω⇒-=+⇒=+∈ 又0ω>，令0k =得12ω=．（由已知2T π>。

如0k >，则2ω≥，T π≤与已知矛盾）．（16）已知90AOB ∠=︒，C 为空间中一点，且60AOC BOC ∠=∠=︒，则直线OC 与平面AOB 所成角的正弦值为2． 解：由对称性点C 在平面AOB 内的射影D 必在AOB ∠的平分线上作DE OA ⊥于E ，连结CE 则由三垂线定理CE OE ⊥，设1DE =1,OE OD ⇒==，又60,2COE CE OE OC ∠=⊥⇒= ,所以CD =，因此直线OC 与平面AOB 所成角的正弦值sin 2COD ∠=．三．解答题：本大题共6个小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）在△ABC 中，内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ，已知2222a c b +=。

（Ⅰ）若4B π=，且A 为钝角，求内角A 与C 的大小；（Ⅱ）若2b =，求△ABC 面积的最大值．【解】（Ⅰ）由题设及正弦定理，有222sin sin sin 1A C B +==．故22sin cos C A =．因A 为钝角，所以sin cos C A =-．由cos cos()4A C ππ=--，可得sin sin()4C C π=-，得8C π=，58A π=． （Ⅱ）由余弦定理及条件2221()2b a c =+，有22cos 4a c B ac+=，故cos B ≥12．由于△ABC 面积1sin 2ac B =，又ac ≤221()42a c +=，sin B ≤2， 当a c =时，两个不等式中等号同时成立，所以△ABC 面积的最大值为142⨯=（18）（本小题满分12分）一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A 类、B 类、C 类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C 类产品或2件都是B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A 类品，B 类品和C 类品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响． （Ⅰ）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；（Ⅱ）若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列和数学期望． 【解】（Ⅰ）设i A 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为A 类品”，1,2.i =i B 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为B 类品”，1,2.i = C 表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”．则121212C A A A B B A =⋅+⋅+⋅． 由已知()0.9i P A =，()0.05i P B = 1,2.i =所以，所求的概率为121212()()()()P C P A A P A B P B A =⋅+⋅+⋅20.920.90.050.9=+⨯⨯=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知一次抽检后，设备需要调整的概率为 ()10.90.1p P C ==-=，依题意知~(3,0.1)B ξ，ξ的分布列为ξ0 1 2 3 p0.7290.2430.0270.00130.10.3E np ξ==⨯=．（19）（本小题满分12分）如图，一张平行四边形的硬纸片0ABC D 中，1AD BD ==，AB =．沿它的对角线BD把△0BDC 折起，使点0C 到达平面0ABC D 外点C 的位置．（Ⅰ）证明：平面0ABC D ⊥平面0CBC ；（Ⅱ）如果△ABC 为等腰三角形，求二面角A BD C --的大小．【解】（Ⅰ）证明：因为01AD BC BD ===，0AB C D =090DBC ∠=︒，90ADB ∠=︒．因为折叠过程中，090DBC DBC ∠=∠=︒，所以DB BC ⊥，又0DB BC ⊥， 故DB ⊥平面0CBC ． 又DB ⊂平面0ABC D ， 所以平面0ABC D ⊥平面0CBC ．（Ⅱ）解法一：如图，延长0C B 到E ，使0BE C B =，连结AE ，CE ．因为ADBE ，1BE =，1DB =，90DBE ∠=︒，所以AEBD 为正方形，1AE =． 由于AE ，DB 都与平面0CBC 垂直， 所以AE CE ⊥，可知1AC >．因此只有AC AB ==△ABC 为等腰三角形．在Rt △AEC 中，1CE ==，又1BC =，所以△CEB 为等边三角形，60CBE ∠=︒． 由（Ⅰ）可知，,CB BD EB BD ⊥ ⊥， 所以CBE ∠为二面角A BD C --的平面角， 即二面角A BD C --的大小为60︒．解法二：以D 为坐标原点，射线DA ，DB 分别为x 轴正半轴和y 轴正半轴，建立如图的空间直角坐标系D xyz -，则(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,0)D ．由（Ⅰ）可设点C 的坐标为(,1,)x z ，其中0z >，则有221x z +=． ①因为△ABC 为等腰三角形，所以1AC =或AC =． 若1AC =，则有22(1)11x z -++=． 由此得1x =，0z =，不合题意．若AC =22(1)12x z -++=． ②联立①和②得12x =，2z =．故点C 的坐标为1(,1,)22． 由于DA BD ⊥，BC BD ⊥，所以DA 与BC夹角的大小等于二面角A BD C --的大小．又(1,0,0)DA = ，1(2BC = ，1cos ,.2||||DA BC DA BC DA BC ⋅<>==所以,60DA BC <>=︒．即二面角A BD C --的大小为60︒．（20）（本小题满分12分）在数列{}n a 中，11a =，2112(1)n n a a n+=+． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令112n n n b a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）求数列{}n a 的前n 项和n T ． 【解】（Ⅰ）由条件得1221(1)2n na a n n +=⋅+，又1n =时，21n a n =， 故数列2{}n a n 构成首项为1，公式为12的等比数列．从而2112n n a n -=，即212n n n a -=．（Ⅱ）由22(1)21222n n n n n n n b ++=-=得23521222n n n S +=+++ ， 231135212122222n n n n n S +-+=++++ ， 两式相减得 ：23113111212()222222n n n n S ++=++++- ， 所以 2552n nn S +=-．（Ⅲ）由231121()()2n n n S a a a a a a +=+++-+++ 得1112n n n n T a a T S +-+-=．所以11222n n n T S a a +=+-2146122n n n -++=-．（21）（本小题满分12分）已知椭圆1C 的中心和抛物线2C 的顶点都在坐标原点O ，1C 和2C 有公共焦点F ，点F 在x 轴正半轴上，且1C 的长轴长、短轴长及点F 到1C 右准线的距离成等比数列． （Ⅰ）当2C 的准线与1C 右准线间的距离为15时，求1C 及2C 的方程；（Ⅱ）设点F 且斜率为1的直线l 交1C 于P ，Q 两点，交2C 于M ，N 两点。