7.9.3 补充阅读材料——利用特征方程求数列通项的原理
用特征方程求数列的通项
用特征方程求数列的通项特征方程是解决数列通项问题的一种重要方法。
通俗地说，特征方程可以帮助我们找到数列中每一项与前几项之间的关系，从而得到数列的通项表达式。
在这篇文章中，我将详细介绍特征方程的定义、求解步骤以及一些常见的数列例题，希望能帮助大家更好地理解和掌握这一方法。
一、特征方程的定义和基本概念特征方程是一个与数列相关的代数方程，它可以帮助我们找到数列的通项表达式。
一般而言，数列通项表示为fn = a^nm + b^nm + ... + z^nm，其中n表示数列中的项数，a、b、...、z表示一组系数，m是一个正整数指数，用于表示数列中前几项之间的关系。
要求解特征方程，首先需要根据数列的已知条件列出方程，然后通过求解方程得到一组满足条件的系数。
最后将这些系数代入到通项表达式中，即可得到数列的通项。
二、特征方程的求解步骤下面以一个具体的数列例题来说明特征方程的求解步骤。
例题：已知数列{an}满足a1 = 1，a2 = 3，an = 2an-1 + 4an-2 (n ≥ 3)，求数列的通项。
Step 1：根据已知条件列出方程根据已知条件an = 2an-1 + 4an-2 (n ≥ 3)，我们可以得到a3 =2a2 + 4a1，a4 = 2a3 + 4a2，以此类推。
Step 2：列出特征方程将以上的等式转化为特征方程，我们得到an - 2an-1 - 4an-2 = 0。
这就是数列的特征方程。
Step 3：求解特征方程接下来，我们需要求解特征方程。
这里我们将其写成代数形式，设特征方程的解为r，得到r^2 - 2r - 4 = 0。
将上述方程进行因式分解，得到(r - 2)(r + 2) = 0。
解方程得到r1 = 2，r2 = -2。
所以，特征方程的解是r1 = 2，r2 = -2。
Step 4：代入通项公式将特征方程的解r1 = 2，r2 = -2代入通项公式fn = a^nm + b^nm+ ... + z^nm中，得到通项公式为an = Ar1^n + Br2^n，其中A、B为待定常数。
数列求通项的通解方法原理
数列求通项的通解方法原理数列是指按照一定规律排列的一系列数字或数值的集合。
通项是指数列中每一项的一般形式或规律，可以通过通项公式来表示。
求数列的通项是数学中的一个重要问题，通解方法可以用于解决一类特定形式的数列，如等差数列、等比数列等。
1. 等差数列的通项求解：等差数列是指数列中的每一项与前一项之差都是一个常数d，即a(n) = a(n-1) + d。
我们可以通过观察数列的规律来求解通项公式。
首先，我们可以找到数列的首项a(1)，然后观察数列中两个相邻项之间的差值d。
如果数列从首项开始，每一项都加上d，那么就能得到后一项。
根据这个规律，我们可以得到通项公式为：a(n) = a(1) + (n-1)d。
这里的n表示数列中的第n项，a(n)表示第n项的数值，a(1)表示首项的数值，d表示数列的公差。
2. 等差数列的变形求解：有时候，对于一些变形的等差数列，我们需要根据数列的已知条件来求解通项。
例如，如果已知等差数列的首项a(1)和第n项a(n)，我们可以通过观察数列中的差值d和项数n来求解。
根据等差数列的通项公式，我们可以得到两个方程：a(n) = a(1) + (n-1)da(n) = a(1) + nd通过联立这两个方程，我们可以解得公差d的值。
然后，再将公差d带入其中一个方程，可以求解首项a(1)的值。
最后，将公差d和首项a(1)带入通项公式，就可以得到等差数列的通项。
3. 等比数列的通项求解：等比数列是指数列中的每一项与前一项之比都是一个常数q，即a(n) = a(n-1) * q。
我们可以通过观察数列的规律来求解通项公式。
与等差数列类似，我们可以找到数列的首项a(1)，然后观察数列中两个相邻项之间的比值q。
如果数列从首项开始，每一项都乘以q，那么就能得到后一项。
根据这个规律，我们可以得到通项公式为：a(n) = a(1) * q^(n-1)。
这里的n表示数列中的第n项，a(n)表示第n项的数值，a(1)表示首项的数值，q表示数列的公比。
专题讲座：特征方程法求解递推关系中的数列通项
特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-. 证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说明定理1的应用.例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a 数列}{n b 是以31-为公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。
特征根法求数列通项推导
特征根法求数列通项推导
特征根法是一种求解线性递推数列通项的方法。
该方法先求出数列的递推关系式，然后通过特征根分解的方式得到数列的通项公式。
具体步骤如下：
1. 求出数列的递推关系式：
设数列为{an}，递推式为an=ra(n-1)+sa(n-2)，其中r和s为常数。
2. 将递推式改写成矩阵形式：
设矩阵A为[ r s 1 0 ]，列向量Xn为[an an-1 an-2 1]，则有Xn=AXn-1。
3. 求出矩阵A的特征多项式：
特征多项式为det(A-λE)，其中E为单位矩阵，λ为特征值。
4. 求出矩阵A的特征值：
解特征多项式得到矩阵A的特征值λ1、λ2、λ3、λ4。
5. 求出矩阵A的特征向量：
将λ1、λ2、λ3、λ4带入(A-λE)X=0中，解出矩阵A的特征向量。
6. 将矩阵A分解成特征向量的形式：
将特征向量组合成矩阵P，将特征值组合成对角矩阵D，得到
A=PDP^-1。
7. 求出数列的通项公式：
将A=PDP^-1带入Xn=AXn-1中，得到数列的通项公式为an=c1λ
1^n+c2λ2^n+c3λ3^n+c4λ4^n，其中c1、c2、c3、c4为常数，根据初始条件可求出。
数列特征方程求通项
数列特征方程求通项在数学中，数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
数列中的每个数字被称为项，而数列中的规律被称为数列的特征方程。
通过特征方程，我们可以求得数列的通项公式，从而推算出数列中任意一项的数值。
数列的特征方程是数列中相邻两项之间的关系式。
我们可以通过观察数列中的数字规律来得出特征方程。
常见的数列包括等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
让我们来看一个简单的例子：等差数列。
在等差数列中，每一项与前一项的差值都是相等的。
假设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an。
那么特征方程可以表示为an = a + (n-1)d。
通过这个特征方程，我们可以求得等差数列的通项公式。
接下来，我们来看一个稍复杂一些的例子：等比数列。
在等比数列中，每一项与前一项的比值都是相等的。
假设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an。
那么特征方程可以表示为an = a * r^(n-1)。
通过这个特征方程，我们可以求得等比数列的通项公式。
除了等差数列和等比数列，还有一种非常有名的数列：斐波那契数列。
斐波那契数列的特征方程为an = an-1 + an-2，其中a1 = 1，a2 = 1。
通过这个特征方程，我们可以求得斐波那契数列的通项公式。
在实际应用中，数列的特征方程可以帮助我们预测和计算数列中任意一项的数值。
通过观察数列中的规律，我们可以找到数列的特征方程，并据此求得数列的通项公式。
这样，我们就可以方便地计算出数列中任意一项的数值，而不需要逐个计算。
数列特征方程的求解过程需要一定的数学知识和技巧。
对于简单的数列，可以通过直接观察规律来得到特征方程。
而对于复杂的数列，可能需要借助数学工具和方法来推导特征方程。
无论是哪种情况，我们都可以通过特征方程来求得数列的通项公式，从而更方便地处理数列中的问题。
总结起来，数列的特征方程是数列中相邻两项之间的关系式。
通过特征方程，我们可以求得数列的通项公式，从而推算出数列中任意一项的数值。
特征根法求数列的通项公式
特征根法求数列的通项公式数列中最重要的一类问题，就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强的问题中，对数列通项公式的求解，往往是大家解决问题的瓶颈。
而通过递推公式求解数列通项公式的方法更尤为重要， 其中可以涉及到的类型有累加法、累乘法、迭代法、构造法、取对数法、取倒数法、双数列法等大家广为孰知的方法，这里向大家推荐一种不常用但很好用的方法——特征根法，特征根法适用范围更广泛，解题过程更标准化，在竞赛、保送以及自主招生考试题中经常运用，希望能对大家能有所帮助。
例. 设已知数列{a n }满足a 1 =b , a n +1 = ca n + d , 其中c ≠ 0, c ≠ 1, 求：这个数列的通项公式。
对于上题采用数学归纳法或构造法可以求解，然而归纳法太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错； 构造法需要以等差数列为依据，形式也比较复杂。
这里推荐更易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式做出一个方程 x = cx + d , 称之为特征方程；借助这个特征方程的根，快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述。
一阶线性递推式定理 1 ： 设上述递推关系式的特征方程的根为 x 0 ，则当 x 0 = a 1 时， a n 为常数列， 即 a = a ;当x ≠ a 时, a = b + x ，其中{b }是以c 为公比的等比数列，即b = b c n -1 , b = a - x .n11nnnd n 1 1 1 0证明：因为c ≠ 0,1, 由特征方程得 x 0 =1 - c. 作换元b n = a n - x 0 , 则b n -1 = a n -1 x 0 = ca n + d - d1 - c= ca n cd 1 - c = c (a n x 0 ) =cb n . 当 x ≠ a 时， b ≠ 0 ，数列{b }是以c 为公比的等比数列，故b = b c n -1;11nn1当 x 0 = a 1 时， b 1 = 0 ，{b n }为 0 数列，故a n = a 1, n ∈ N. （证毕）.1例 1．已知数列{a n }满足： a n +1 = - 3a n - 2, n ∈ N, a 1 = 4, 求a n .1 3解：作方程 x = - 3 x - 2,则x 0 = - 2.当a = 4 时， a ≠ x , b= a + 3 = 11. 1 1 0 111 2 2数列{b n }是以- 3为公比的等比数列.于是b = b (- 1)n -1 = 11 (- 1)n -1, a = - 3 + b = - 3 + 11 (- 1)n -1, n ∈ N.n 13 2 3 n 2 n 2 2 3二阶线性递推式n 1 2定理 2 ：对于由递 推公式 a n +2 = pa n +1 + qa nx 2 - px - q = 0 ，叫做数列{a }的特征方程。
特征根法求数列通项原理
特征根法求数列通项原理特征根法是一种求解线性递推数列通项的方法。
通过寻找线性递推数列特征多项式的根，并利用初始条件求得特征多项式的系数，从而得到数列的通项公式。
首先，我们考虑一个一阶线性递推数列的情况。
假设数列满足递推关系 an = p * an-1 + q，其中p和q为常数。
我们试图寻找此数列的特征多项式，可以设特征多项式为 f(x) = x^n。
将特征多项式带入递推关系，可得 f(x) = p * f(x) + q。
解这个方程，我们可以得到 x = p/(1-p)为特征多项式的根。
由于这是一阶的特例，所以特征多项式的根直接得到了。
接下来，我们考虑二阶线性递推数列的情况。
假设数列满足递推关系an = p1 * an-1 + p2 * an-2 + q，其中p1、p2和q为常数。
我们试图寻找此数列的特征多项式，可以设特征多项式为 f(x) = x^n。
将特征多项式带入递推关系，可得 f(x) = p1 * x * f(x) + p2 * f(x) + q。
整理这个方程，我们可以得到 f(x) = (q - x) / (1 - p1 * x - p2 *x^2)。
现在我们需要解这个方程，找到特征多项式的根。
我们知道，二次函数可以表示为一次项的线性组合，所以二阶特征多项式必然可以表示为两个一阶特征多项式线性组合的形式。
即f(x)=a*f1(x)+b*f2(x)，其中f1(x)和f2(x)是一阶特征多项式，a和b是常数。
我们需要将一阶特征多项式找到，并确定线性组合中的常数a和b，从而得到二阶特征多项式。
我们先假设 f1(x) 是一个解，它对应的一阶线性递推数列满足递推关系 an = p1 * an-1 + q1、带入 f(x) = a * f1(x) + b * f2(x)，我们可以得到 a * f1(x) + b * f1(x) = (q - x) / (1 - p1 * x - p2 * x^2)。
特征方程法求数列通项
特征方程法求数列通项一、递推数列的定义和初值条件首先需要明确递推数列的定义和初始条件。
通常情况下，递推数列可以表示为：an = p1 * an-1 + p2 * an-2 + … + pk * an-k，其中p1、p2、…、pk为常数，an为数列的第n项，n为整数。
除了定义外，还需要给出数列的一些初始条件，如数列的第一项a1、第二项a2等。
二、构造特征方程在特征方程法中，首先需要构造递推数列的特征方程。
特征方程的构造与递推式相关，通常可以通过将递推式中的n项移到等式的一边，然后利用项的移位，将递推式表示为一个递推关系式：an - p1 * an-1 - p2 * an-2 - … - pk * an-k = 0然后，令n = k+1，得到an+1 - p1 * an - p2 * an-1 - … - pk * an-k+1 = 0再通过移项，将递推式表示为：an+1 = p1 * an + p2 * an-1 + … + pk * an-k+1三、寻找递推数列的特征值接下来需要找出递推数列的特征值（或称为根）。
特征值是使得特征方程成立的值。
根据以上递推式，可以得到特征方程的形式：x^(k+1) - p1 * x^k - p2 * x^(k-1) - … - pk * x = 0其中x为特征值。
四、确定递推数列的通项公式已知递推式的通解形式为：an = c1 * x1^n + c2 * x2^n + … + ck * xk^n通常，我们可以通过给定的初始条件，求解出常数c1、c2、…、ck，进而确定递推数列的通项公式。
举例说明：假设有一个递推数列满足an = 3 * an-1 - 2 * an-2，且a1 = 2，a2 = 5首先，可以将递推式变换为特征方程：an - 3 * an-1 + 2 * an-2 = 0再令n=2，可以得到a3-3*a2+2*a1=0将初始条件代入，即可得到一个关于c1和c2的方程：2c1+5c2=-4然后，我们需要求解特征值。
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递推数列特征方程的发现一、问题的提出递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。
在递推数列中占有重要一席的斐波那契数列，又称兔子数列，是学生非常乐意探讨的递推问题，许多学生都会不约而同地向教师提出，这个数列有通项公式吗？如有，怎样求它的通项公式？笔者就曾碰到过一位喜爱钻研的学生，带着参考书上的解法而向我请教：已知斐波那契数列,3,2(,11121=+===-+n a a a a a n n n …)，求通项公式n a 。
参考书上的解法是这样的：解 此数列对应特征方程为12+=x x 即012=--x x ，解得251±=x ， 设此数列的通项公式为nn n c c a )251()251(21-++=， 由初始条件121==a a 可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=-++1)251()251(1251251222121c c c c ，解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==515121c c ， 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=n n n a )251(251(55）。
这位学生坦率地表示，尽管参考书上介绍了利用特征方程求通项公式的一些结论，用上述方法得到的通项公式也是正确的，但他还是“看不懂”。
换句话说，这种解法的依据是什么？特征方程是怎样来的？我虽然深知这是特征方程惹的祸，但由于现行教材只字未提特征方程，我也从未在课堂上作过补充，如果将有关利用特征方程求递推数列通项的一些结论直接呈现出来，或者以“高考不作要求”为由来搪塞，学生是难以接受的，也是不负责任的。
面对一头雾水的数学尖子，我在充分肯定其善于思考、勇于探索的可贵品质的同时，也在苦苦寻觅解答这一问题的良策。
其后不久，一次偶然的数学探究活动，竟使这一长期困惑我们教学活动的尴尬问题迎刃而解。
二、研究与探索问题的解决源于对一阶线性递推数列通项公式的探求：若数列{}n a 满足),1(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列：设t c ca a t a c t a n n n n )1(),(11-+=+=+++则 ， 令d t c =-)1(，即1-=c dt ，当1≠c 时可得 )1(11-+=-++c da c c d a n n ，知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 是以c 为公比的等比数列， 11)1(1--+=-+∴n n c c d a c d a 将b a =1代入并整理，得()11---+=-c dc bd bc a n n n .将上述参数法类比到二阶线性递推数列,11-++=n n n qa pa a 能得到什么结论？ 仿上，我们来探求数列{}n n ta a ++1的特征： 不妨设)(11-++=+n n n n ta a s ta a ， 则11)(-++-=n n n sta a t s a , 令⎩⎨⎧==-qst pt s ①（1） 若方程组①有两组不同的实数解),(),,(2211t s t s ,则)(11111-++=+n n n n a t a s a t a ,)(12221-++=+n n n n a t a s a t a ,即{}n n a t a 11++、{}n n a t a 21++分别是公比为1s 、2s 的等比数列， 由等比数列性质可得1111211)(-++=+n n n s a t a a t a , 1212221)(1-++=+n n n s a t a a t a ,∵,21t t ≠由上两式消去1+n a 可得()()()nn n s t t s a t a s t t s a t a a 22121221211112..-+--+=.（2） 若方程组①有两组相等的解⎩⎨⎧==2121t t s s ，易证此时11s t -=，则())(2112111111---++=+=+n n n n n n a t a s a t a s a t a =…)(11211a t a s n +=-，211121111s a s a s a s a nn n n -=-∴++,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n s a 1是等差数列， 由等差数列性质可知()21112111.1s a s a n s a s a nn --+=， 所以n n s n s a s a s a s a s a a 1211122111211.⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=．（限于学生知识水平，若方程组①有一对共轭虚根的情况略）这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组①消去t 即得02=--q ps s ，显然1s 、2s 就是方程q px x +=2的两根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列11-++=n n n qa pa a 的特征方程，于是我们就得到了散见于各种数学参考资料的如下结论：设递推公式为,11-++=n n n qa pa a 其特征方程为022=--+=q px x q px x 即， 1、 若方程有两相异根1s 、2s ，则n nn s c s c a 2211+=； 2、 若方程有两等根21s s =，则nn s nc c a 121)(+=.其中1c 、2c 可由初始条件确定。
这正是特征方程法求递推数列通项公式的根源所在，令1==q p ，就可求得斐波那契数列的通项，真是“踏破铁蹄无觅处，得来全不费工夫”！将上述方法继续类比到分式线性递推数列da c ba a a n n n +⋅+⋅=+1（0,,,,≠∈c R d cb a ），看看又会有什么发现？仿照前面方法，等式两边同加参数t ，则da c ct a dtb a ct a t d ac b a a t a n n n n n +⋅++++=++⋅+⋅=++)(1 ② 令cta dtb t ++=，即 0)(2=--+b t d a ct ③ 记此方程的两根为21,t t ，（1） 若21t t ≠，将21,t t 分别代入②式可得 da c t a ct a t a n n n +⋅++=++1111)(da c t a ct a t a n n n +⋅++=++2221)(以上两式相除得21212111t a t a ct a ct a t a t a n n n n ++⋅++=++++，于是得到⎭⎬⎫⎩⎨⎧++21t a t a n n 为等比数列，其公比为21ct a ct a ++， 数列{}n a 的通项n a 可由121211121)(-++⋅++=++n n n ct a ct a t a t a t a t a 求得；（2）若21t t =，将1t t =代入②式可得da c t a ct a t a n n n +⋅++=++1111)(,考虑到上式结构特点，两边取倒数得111111)(11t a ct d t a c ct a t a n n n +-++⋅+=++ ④由于21t t =时方程③的两根满足cda t --=12，∴11ct d ct a -=+ 于是④式可变形为111111t a ct a c t a n n +++=++∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11t a n 为等差数列，其公差为1ct a c +， 数列{}n a 的通项n a 可由1111)1(11ct a cn t a t a n +⋅-++=+求得．这样，利用上述方法，我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列，从而求得其通项。
如果我们引入分式线性递推数列da c ba a a n n n +⋅+⋅=+1（0,,,,≠∈c R d cb a ）的特征方程为dcx b ax x ++=，即0)(2=--+b x a d cx ，此特征方程的两根恰好是方程③两根的相反数，于是我们又有如下结论：分式线性递推数列d a c b a a a n n n +⋅+⋅=+1（0,,,,≠∈c R d c b a ），其特征方程为dcx bax x ++=，即0)(2=--+b x a d cx ，1、若方程有两相异根1s 、2s ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧--21s a s a nn 成等比数列，其公比为21cs a cs a --； 2、若方程有两等根21s s =，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11s a n 成等差数列，其公差为1cs a c -. 值得指出的是，上述结论在求相应数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的思想方法更为重要。
如对于其它形式的递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式，其结论与特征方程法完全一致，有兴趣的读者不妨一试。
三、应用举例例1、 已知数列,5,121==a a 且)2(4411≥-=-+n a a a n n n ，求通项公式n a 。
解 设)(11-++=+n n n n ta a s ta a ，∴11)(-++-=n n n sta a t s a 令⎩⎨⎧-==-44st t s 可得⎩⎨⎧-==22t s 于是=-=-=----+)2(2)2(2221211n n n n n n a a a a a a (1)12123)2(2--⋅=-=n n a a ，∴432211=-++n n n n a a ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2是以21211=a 为首项、43为公差的等差数列， ∴43)1(212⋅-+=n a nn ，从而22)13(-⋅-=n n n a . 例2、设数列{}n a 满足n n n n a a a a a 求,7245,211++==+.解： 对等式两端同加参数t 得()(),7252475272475272451++++⋅+=++++=+++=++n n n n n n n a t t a t a t a t t a a t a 令5247++=t t t ，解之得1-=t ，2，代入上式 得,72292,7213111++⋅=++-⋅=-++n n n n n n a a a a a a两式相除得,21312111+-⋅=+-++n n n n a a a a即31,41212111公比为是首项为=+-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-a a a a n n 的等比数列， ∴134234,34121111-⋅+⋅=⋅=+----n n n n n n a a a 从而．。