新湘教版八年级数学上册第五章小结与复习
a2
a为全体实数
a
a(a 0)
a(a 0)
2
取值范围不同 运算顺序不同
a为非负数 先开方后平方
先平方后开方
别
运算结果不同
a | a |
2
a
2
a (a 0)
联系
a
2与
a
2
均为非负数，且当a≥0时， a
2
a
2
4.计算:
2 2 (1)( ) 3
1 2 (2)( 6) 2
1 3
b a x a 1 (9)( x )( ax ) ( x 0) (10)a ab (b 0); a x b b ab
12.计算：
14 3 1 (1) 7 3 2 15 2 2
3 2 1 (2) 30 2 2 2 2 3 2
2 1 2 b (3) ab (3 ) (3 2a ) (4) 1 3 2 3 1 5 2a
(7) 3.8 ×
2
4 (7) x 2 xy y × (8) 4m 8n × (9) × 5 1
2 2
2
3.化简：（常数）
27 (1)( 4) 1 16
(5) (16) (72) 63
(6) 10 2 6 2
4.化简：（字母限定范围）
2
( 2) x
2
3x 1 (5) x 1
0
x3 (3) x 1
2 (6) 1 x
(7) x 5 ( x 6)
y 3.已知y x 2 2 x 5, 求 的值。 x
3 (8) 1 x 3x 2 (9) 2x 1
三、算术平方根的性质：
表达式
区
13.计算
1 1 (1)2 18 18 32 2 4
1 (2)2 12 4 3 48 27 (3) a b ab a
2 2 2
b ab a
14. 计算：
( 1 ) 2 - 3 8+2 7 ；
1 x 3 2 50 (3) 32 x 2 x x 2 2 x
( 2 ) 2 3 -5 8 - 75 - 18 .
(3)(2 3)
2
(4)(3 x )2
5.计算:
2
(1) 7 ；
( 2)
-3
2
；
( 3)
3 - 4
2
；
(4) ( x 4 ) 2 ( x 2) 2 (5) a 2 (6) x 2 2 x 1( x 1)
6.式子 ( a 1) 2 (1 a ) 成立的条件是（
湘教版数学八年级上册
本节内容 本课内容 5.2
第五章二次根式复习
一、二次根式的定义：
我们把形如 a 的式子叫作二次根式，根 号下的数a叫作被开方数. 1.下列各式，哪些是二次根式？
(1) 5; √
2
2 ( 4 ) x 2 x 1; √ 8; ×
( 2) 2 y ; √
2
(3)
3
(5) a 1; √ (6) | x |; √
2 y x 2 1 ( 4) 9x 6x (y x ) 3 x y x
七、二次根式的混合运算：
15. 计算：
(1)( 48 50) 6 (2)(2 6 7 2 ) (7 2 2 6 )
(3)(3 5 4 2 ) (2 5 3 2 )
1 14 ( 4) 2 2 2 1 1 7 ; (5) ; 7 2 3 2 3
3
2 b 1 3 (6) 0.2 0.125 3 32 (5) ab a b 3 2 b a 2
5 3
六、二次根式的加减：
（1）同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后， 如果被开方数相同，这几个二次根就叫做同 类二次根式 （2）二次根式的加减
先化简； 再合并。
x4
。
5 x 11. 2x 1
2x 1
1 x5 5 x 2 成立的条件是 _________ .
12.计算：
(1) 3 12 b (3) 2 ab 3 a
32 (5) 2
1 (7) 0.2 0.125 2
( 2) x ( 4)
x
3
27
50 (6) 2 10 1 1 (8)2 1 5 2 6
C）
A.a 1
b -1
B.a 1 C .a 1
0 a 1
D.a 1
7.已知实数a、b在数轴上的位置如图所示：
化简： a 2 b 2 (a b) 2 (b 1) 2 (a 1) 2
8.在实数范围内把下列各式因式分解：
(1)4 x 5
2
(2)a 9
4
2
a (11) b
2
五、二次根式的乘、除法： 乘法：
a.b
除法：
二次根式积的算 术平方根的性质 二次根式的 乘法公式 二次根式商的算 术平方根的性质
a. b (a 0, b 0)
b a
二次根式的 除法公式
b a
(a 0, b 0)
10. x2 16 x 4 x 4 成立的条件
16.计算
(1)(3 2 4 5 )
2
(2)(2 3 5)(2 3 5)
(3)(2 3 5) (2 3 5)
2 2
1 (8) 3 × (9) m; × (10) 2a 1(a ); × 2 （1）含有根号“ ” 判断标准： （2）被开方数有意义。
2 √ (7 ) ; 2
二、二次根式的取值范围： a （a≥0）
隐含条件
2.当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
( 1 ) 1-x ；
( 4) x 2 x 1
2b (6) (b 0) 3a
5.化简：（字母不限定范围）
(1) x x y
4 2
2
( 2) 4 a b
2 3
1 (3) a a a
3
( 4) 4 m
2
(5) 25 x y
3
4
25 y (6) 9x
2
2 (7 ) ; 7x
1 (8)a ; 8a
(9) a 3
(10) a 2a 1
(3)3a 10
2
(4)a 6a 9
4 2
（1）被开方数不含分母或分母中不含根号； （2）被开方数中不含平方因子；
(两个条件) 四、最简二次根式：
9.下列二次根式，哪些是最简二次根式,哪些不是？
(1) 3a 2b √
2 2
(2) 1.5ab × (3) 15 √ (4) a b √
2 2 √ (5) a b ( 6) a b √
(1) 4 x 4 8 y 2 ( x 0) (2) 12 x 3 20 x 2 ( x 0) (3) x 3 y ( y 0)
(4) 12a b (a 0)
2 3
(5) a 2 2a 1(a 1)
n2 (7)m (n 0) m 50a 3 c 4 (9) (a 0) 27b
湘教版八年级数学上册知识点总结
湘教版八年级数学上册知识点总结湘教版八年级数学上册知识点总结第1章分式1.1 分式1.2 分式的乘法和除法1.3 整数指数幂1.4 分式的加法和减法1.5 可化为一元一次方程的分式方程本章复与测试第2章三角形2.1 三角形2.2 命题与证明2.3 等腰三角形2.4 线段的垂直平分线2.5 全等三角形2.6 用尺规作三角形本章复与测试第3章实数3.1 平方根3.2 立方根3.3 实数第4章一元一次不等式（组）4.1 不等式4.2 不等式的基本性质4.3 一元一次不等式的解法4.4 一元一次不等式的应用4.5 一元一次不等式组本章复与测试第5章二次根式5.1 二次根式5.2 二次根式的乘法和除法5.3 二次根式的加法和减法本章复与测试知识点总结第一章：分式一、课前构建：认真阅读教材P1-40，回顾相关知识。
二、课堂点拨：知识点一：分式的概念考点1：分式的定义。
知识点二：分式的性质考点4：分式的基本性质：1.分式的分子与分母都乘，所得分式与原分式相等。
2.分式的分子与分母约去公因式，所得分式与原分式相等。
3.分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。
考点5：最简分式1.约分：先把分子与分母因式分解，再约去公因式。
2.最简分式：分子与分母没有公因式。
知识点三：分式的运算考点6：分式的加减法1.同分母分式相加减，分子相加减，分母不变。
2.异分母分式相加减，先找到最简公分母，然后分子相加减，分母不变。
考点7：分式的乘除法1.分式乘法：分子乘分子，分母乘分母，然后约去公因式。
2.分式除法：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
3.分式的乘方：分子、分母各自乘方。
第二章：三角形知识点一：三角形的定义知识点二：三角形的分类知识点三：三角形的性质知识点四：三角形的全等第三章：实数知识点一：实数的定义知识点二：实数的分类知识点三：实数的运算第四章：一元一次不等式（组）知识点一：不等式的定义知识点二：不等式的性质知识点三：一元一次不等式的解法知识点四：一元一次不等式的应用知识点五：一元一次不等式组的解法第五章：二次根式知识点一：二次根式的定义知识点二：二次根式的运算以上是八年级数学上册的知识点总结。
湘教版八年级数学上册知识点总结
湘教版八年级数学上册知识点总结湘教版八年级数学上册知识点总结第一章：分式1.1 分式1.2 分式的乘法和除法1.3 整数指数幂1.4 分式的加法和减法1.5 可化为一元一次方程的分式方程本章复与测试第二章：三角形2.1 三角形2.2 命题与证明2.3 等腰三角形2.4 线段的垂直平分线2.5 全等三角形2.6 用尺规作三角形本章复与测试第三章：实数3.1 平方根3.2 立方根3.3 实数第四章：一元一次不等式（组）4.1 不等式4.2 不等式的基本性质4.3 一元一次不等式的解法4.4 一元一次不等式的应用4.5 一元一次不等式组本章复与测试第五章：二次根式5.1 二次根式5.2 二次根式的乘法和除法5.3 二次根式的加法和减法本章复与测试知识点总结第一章：分式1.构建前的回顾在阅读教材P1-40之前，我们需要回顾一下相关的知识点。
2.分式的概念分式是指以分数形式表示的代数式，其中分母不为零。
3.分式的性质分式有以下基本性质：分式的分子与分母都乘以同一个非零数，所得分式与原分式相等。
分式的分子与分母约去公因式，所得分式与原分式相等。
分式的符号可以通过改变分子、分母或分式本身的符号来改变，但分式的值不变。
最简分式是指分子与分母没有公因式的分式。
4.分式的运算分式的加减法：同分母分式相加减，分子相加减，分母不变；异分母分式相加减，先找到它们的最简公分母，然后将分子相加减，分母不变。
分式的乘除法：分式乘法就是将分子和分母分别相乘，然后约分；分式除法就是将除式的分子和分母颠倒位置，然后与被除式相乘。
5.分式方程分式方程是指含有分式的方程，可以通过将分式化为一元一次方程来解决。
第二章：三角形本章介绍了三角形的基本概念、命题与证明、等腰三角形、线段的垂直平分线、全等三角形和用尺规作三角形等知识点。
第三章：实数本章介绍了实数的概念，以及平方根和立方根的计算方法。
第四章：一元一次不等式（组）本章介绍了不等式的基本性质、一元一次不等式的解法和应用，以及一元一次不等式组的解法。
2016年秋季学期新版湘教版八年级数学上册《第五章二次根式》期末复习课件
D. 2 3 + 4 2 = 6 5
两个二次根式相除，把被开方数相除，然后 化简二次根式.
合并同类项 (3)二次根式的加减：与 ____________类 化简 ，再将被开方数相同 先将各个二次根式 ____________ 似 . 被开方数 不变. 的二次根式的系数 _____相加减，___________ (4)二次根式的混合运算: (1)二次根式的和相乘与多项式的乘法 _____________类似，若 乘法公式 进行计算简便. 符合乘法公式的，则用_________ (2)二次根式的和相除： 若分母只含一个二次根式，则把分母与分子都乘 这个二次根式 来计算；若分母是二次根式的和 以_____________ (或差)，则把分母与分子都乘一个使分母构成 平方差公式 ________________ 形式的式子.
知识点2：二次根式的有关性质
1.非负性：当a≥0时， 2.(
3.
2
0 a ≥ _____.
2
( a ) ≥0 a a ) =___(a___) ≥0 ，反之a=_____(a___)
=_____ a （ a≥ 0）
=
-a （a<0） =_____
4.积的算术平方根： a . b ab =____________(a____,b____) ≥0 ≥0
自我检测交流：
1.下列二次根式是最简二次根式的是（ D ）
2 A. 4a+4 B. 1.5 C. 50 D. 3 b 2.下各式： 13 ， 3a ， a2+b2 ， -144
m2+20 ，其中一定有意义的有 （ B）
1 x≤ 3.当x为________ 2 时，式子
围内有意义.
A.4个
八年级数学上册 第5章小结与复习教案 (新版)湘教版
第5章小结与复习有关二次根式的化简与运算是初中数学的重、难点之一，由于这类题目形式灵活，同时对整式、分式的运算和性质有着密切的联系，所以成为考察学生综合运用能力的“试金石”，现将一些常见的运算错误归纳如下，希望同学们加以注意，并引以为戒．一、概念不清例1．下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？为什么？, ,错解：, ,都是二次根式；剖析：对二次根式的定义理解不透，认为只要带二次根号，即为二次根式，忽视了二次根式中a≥0的条件，所以同学们在平时做题中必须特别注意理解二次根式的被开方数是非负数．正解：, ,都是二次根式；，，不是二次根式．二、违背运算顺序三、错用运算法则例3．化简：．错解：原式=．剖析：本题乱套乘法分配律，应注意：．正解：原式=．四、错用根式性质例4．计算：（1）；（2）错解：（1）原式=；（2）原式=．剖析：二次根式的性质有：；；而不存在．正解：（1）原式=．五、忽视字母范围例5．计算：错解：原式=．剖析：本题的分子、分母同乘以时，不允许a=b，错在没有注意a=b的情形．正解：（1）当a≠b时，原式=；（2）当a=b时，原式=．六、忽视隐含条件例6．化简：．错解：原式=．剖析：本题隐含着，所以a＜0，这个条件．正解：原式=．七、忽视限制条件例7．已知a+b=-2,ab=1，求的值．错解：原式=．剖析：应用二次根式的运算性质：；时，必须这样括号里的条件，本题由a+b=-2,ab=1可知a＜0，b＜0，不满足性质的条件造成错误．正解：由条件可知a＜0，b＜0，所以原式=．八、忽视题设条件例8．化简：（≤x≤）．错解：原式=．剖析：这里忽视了≤x≤这个条件，当有附加条件时，要注意的应用．正解：因为≤x≤，所以-3≤x≤5，所以2x+3≥0，2x-5≤0，所以，原式=．九、忽视分类讨论例9．化简：．错解：．剖析：此题的限制条件不明确，又没有隐含条件，在利用化简时，必须利用零点分段法进行分类讨论，否则易出现错误．教学反思：。
湘教版数学八年级上册第5章 小结与复习课件
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
一、二次根式的概念 1.形如___a_(a≥0)的式子叫作二次根式； 2.二次根式有意义的条件：被开方数为非负数 ； 3.最简二次根式：
(1)被开方数不含 开得尽方的因数（或因式） ； (2)被开方数不含 分母 .
二、二次根式的性质 性质1： a 具有双重非负性：(1) a _≥__ 0;(2)a _≥__ 0.
请化简： | a | a2 b2 .
a0 b
【解析】化简此代数式的关键是能准确地判断a,b的符 号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简.
解：由数轴可以确定a<0,b>0 所以 | a | a, a2 a, b2 b.
所以原式=-a-(-a)+b=b.
针对训练
4.若1<a<3,化简 a2 2a 1 a2 6a 9 的结果是 2 .
A.x≥6
B.x≥0 C.0≤x≤6 D.x为一切实数
考点二 二次根式的性质
例2 若 x 1 (3x y 1)2 0, 求 5x y2 的值.
【解析】根据题意及二次根式与完全平方式的非 负性可知 x 1和 (3x y 1)2 均为0.
解：∵ x 1 (3x y 1)2 0, ∴x-1=0,3x+y-1=0,解得x=1,y=-2, 则 5x y2 51 (2)2 3.
a a2
2 4
a2
a2 a 4a
4
,其中a
2.
解：原式
a2 (a
4a2 2)(a 2)
a(a 1) (a 2)2
(a 2)(a 1) (a 2)2 (a 2)(a 2) a(a 1)
八上数学(湘教版)课件-第5章 章末小结
6＝2 3＋2－1－13 3＝1＋53 3；
(3)( 2＋1)÷ 2×( 2－1)－( 21－1)0；
解：原式＝
2＋1 2
2－1 2－1 －1＝ 2 －1＝
12－1＝
22－1；
(4) 18－
92－
3＋ 3
6＋(
3－2)0＋
1－
22.
解：原式＝3 2－23 2－1－ 2＋1＋ 2－1＝23 2－1.
【考点分类训练】
二次根式的概念和性质
1．要使代数式 2－3x有意义，则 x 的( A )
A．最大值是23
B.最小值是23
C．最大值是32
D.最小值是23
2．若 1－4a＋4a2＝1－2a，则 a 的取值范围是( C )
A．a≥0
B.a≥21
C．a≤21
D.全体实数
3．当 1＜a＜2 时，代数式 a－22＋|1－a|的值是( B )
A．－1
B.1
C．2a－3
D.3－2a
4．已知 a、b 为实数，且满足 a＝ b－3＋ 3－b＋2，求 ab·b＋2，∴a＝2，b＝3，
2×3－1 ∴原式＝ 2×3· 2＋3 ＝ 6.
5．已知：实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，化简： a＋12＋2 b－12 －| a－b2|.
二次根式的化简求值 9．已知 a＝ 3－2，b＝ 3＋2，分别求下列代数式的值． (1)a2＋ab＋b2； (2)a1＋1b. 解：∵a＝ 3－2，b＝ 3＋2，∴a＋b＝( 3－2)＋( 3＋2)＝2 3， ab＝( 3－2)·( 3＋2)＝3－4＝－1. ∴(1)a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(2 3)2－(－1)＝13；
【易错分析】
1．二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，但当分式和二次根式同时
湘教版八年级上册第五章小结与复习
(6) 2b (b 0) 3a
(7)m n2 (n 0) m
(9) 50a3c4 (a 0) 27b
5.化简：（字母不限定范围）
(1) x4 x2 y2 (2) 4a2b3
(3) a3 a 1 a
(4) 4m2
(7) 2 ; 7x
(5) 25x3 y4
(8)a 1 ; 8a
(6) 25y 9x2
11. 5 x
5 x
1 x5 成立的条件是_2________.
2x 1 2x 1
12.计算：
(1) 3 12
(2) x x3
(3)2 ab 3 b a
32 (5) 2
(4) 27 1 3
(6) 50 2 10
(7) 0.2 1 0.125 2
(8)2 11 5 1 26
(9)(x b )( a ax) x (x 0) (10)a a ab 1 (b 0);
(9) a3
(10) a2 2a 1
(11) a2 b
五、二次根式的乘、除法：
乘法：
ab
除法：
b
二次根式积的算 术平方根的性质
二次根式的 乘法公式
二次根式商的算 术平方根的性质
a
二次根式的
除法公式
a b (a 0,b 0)
b
(a 0,b 0)
a
10. x2 16 x 4 x 4 成立的条件 x 4 。
4.计算:
(1)( 2 )2 3
(2)(1 6)2 2
(3)(2 3)2
(4)(3 x )2
5.计算:
( 1) 72 ；
(2)
2
-3
；
(3)
-
3 4
湘教版初中数学八年级上册第5章综合
7．（2005·湖南长沙）小明的作业本上有以下四题：
① 16a 4 4a 2 ； ② 5a 10a 5 2a ； ③ a 1 a 2 1 a ； ④
a
a
TB:小初高题库
湘教版初中数学
3a 2a a 。做错的题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
9．（2005·青海）若最简二次根式 1 a与 4 2a 的被开方数相同，则 a 的值为（ ）
。
14． x 1 x 1 x 2 1 成立的条件是
。
15．比较大小： 2 3
13 。
16． 2xy 8y
， 12 27
。
19．若 x 5 3 ，则 x 2 6x 5 的值为
。
三、解答题（第 21~22 小题各 12 分，第 23 小题 24 分，共 48 分） 21．求使下列各式有意义的字母的取值范围：
A． a 3
B． a 4
C．a=1 D．a= —1
4
3
10．（2005·江西）化简 8 2( 2 2) 得（ ）
A．—2
B． 2 2
பைடு நூலகம்C．2
D． 4 2 2
二、填空题（每小题 2 分，共 20 分）
11．① (0.3)2
；② (2 5)2
。
13．若 m<0，则 | m | m2 3 m3 =
=__________。
20、已知 x + 1 = 10 ，求 x - 1 的值。
x
x
一、选择题（每小题 2 分，共 20 分）
1． 下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． x 2
B． x
C． x 2 2
2．若 (3 b)2 3 b ，则（ ）
湘教版数学八年级上册章末复习 (5)课件
►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰 凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯 上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们： 和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来。 对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜春 风来，千树万树梨花开。真好看呀！ ►冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的 荒原上，闪着寒冷的银光。
高频考点三 二次根式的运算 计算：（1） 8 3 1 1 3 ；
3 22 解：原式= 2 2 3 2 3 = 3 2 3 3
22 2 2
（2）（ 7 5 3）（ 7 5 3）.
原式 = [ 7 （ 5 3）][ 7 （ 5 3）] =（ 7）2 （ 5 3）2 = 7 （5 2 15+3） = 7 5 2 15 3 = 1 2 15
►走进颐和园，眼前是繁华的苏州街，现在依稀可以想象到当年的热闹场 面，苏州街围着一片湖，沿着河岸有许多小绿盘子里装着美丽的荷花。这 里是仿照江南水乡--苏州而建的买卖街。当年有古玩店、绸缎店、点心铺 等，店铺中的店员都是太监、宫女妆扮的，皇帝游览的时候才营业。我正 享受着皇帝的待遇，店里的小贩都在卖力的吆喝着。 ►走近一看，我立刻被这美丽的荷花吸引住了，一片片绿油油的荷叶层层 叠叠地挤在水面上，是我不由得想起杨万里接天莲叶无穷碧这一句诗。荷 叶上滚动着几颗水珠，真像一粒粒珍珠，亮晶希望对您有帮助，谢谢 晶的。 它们有时聚成一颗大水珠，骨碌一下滑进水里，真像一个顽皮的孩子！
（1）2a 2b ；（2）a2 b2 .
解法1【直接代入】：
（2）当 a = 2 1，b = 2 1 时， 原式 =（ 2 1）2 （ 2 1）2
2019秋八年级数学上册第5章二次根式复习教案(新版)湘教版
第5章 二次根式【教学目标】1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．【教学重点】含二次根式的式子的混合运算．【教学难点】综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．【教学方法】典例解析法【教学准备】小黑板、三角尺【教学过程】【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
（当a ≥0时，a ≥0；当a ≥0时，a 在实数范围内有意义。
） 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2） ==a a 25.二次根式的运算：⑴二次根式的加减运算：先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。
⑵二次根式的乘除运算：ab =b a ∙（a ≥0,b ≥0）； ()0,0>≥=b a ba b a 【设计意图】通过对知识的梳理，让学生对本章知识有个系统的认知，理清知识点之间的联系，掌握注意的地方，加深对知识的全面理解。
【例题讲解】例1 1.x 的取值范围是 ．2.函数中，自变量的取值范围是 ．分析：第2题的分子是二次根式，分母是含x 的多项式，因此x 的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零。
例2下列根式中属最简二次根式的是（ ）a （a ＞0） a -（a ＜0）0 （a =0）；分析：B选项根式被开方数中中含有分母，CD选项中含有能开得尽方的因数（或式）。
例3下列各式中与是同类二次根式的是（）A．2 B． C． D．分析：判断是否是同类二次根式前，要对每个根式进行化简。
(= ；（2=_________。
例4 计算：（1）2)3分析：根据二次根式的性质可直接得到结论。