2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角PPT课件

ab
设a （x1, y1), b (x2, y2 ),且a与b夹角为， (0 180)则cos x1x2 y1 y2 .
x12 y12 x22 y22 其中 x12 y12 0，x22 y22 0.
三、基本技能的形成与巩固
例1 (1)已知a (1,2 3),b (1,1),
.
法一：a b (0,7), a b (4,1)
（a b）（ a b） 0 4 7 (1) 7.
法二：（a

b）（ a

b）
2
a

2
b
22
a b 13 20 7
练习：课本P1191、2、3.
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
答案：B的坐标为（ 3，7） y B
22
A
或（7 ， 3）
22
O
x
四、逆向及综合运用
例3 （1）已知 a=（4，3），向量 b 是
垂直于 a 的单位向量，求 b .
（2）已知 a 10 ,b (1,2)，且a // b，求a的坐标.
（3）已知a (3,0),b (k,5)，且a与b的夹角为3 ，
3、已知 a = (1，2)，b = (-3，2)，若k a +2 b 与 2 a - 4b 平行，则k = - 1.
小结１、理解各公式的正向及逆向运用；２、数量积的运算转化为向量的坐标运算；３、掌握平行、垂直、夹角及距离公式，形成转化技能。
作业课本Ｐ１１9Ａ组5（1），9，10，11.
设两个非零向量 a =(x1,y1), b=(x2,y2),则
a x1i y1 j, b x2 i y2 j,
a b (x1i y1 j) (x2 i y2 j)
2
2
x1x2 i x1 y2 i j x2 y1i j y1 y2 j
x1x2 y1 y2
(1)向量的模
2
设a (x, y), 则 a x2 y2 ,或 a x2 y2；
（2）两点间的距离公式
设A（x1, y1)、B(x2 , y2 ),
则
AB （x1 x2 )2 （y1 y2 )2
3、两向量垂直和平行的坐标表示
（1）垂直 a b a b 0
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的
1、推导并掌握两个向量数量积的坐标表示方法；
2、掌握平面两点间距离公式和向量垂直坐标表示的充要条件及夹角公式；
3、能把向量的数量积的运算与两向量
的坐标运算联系起来解决有关问题。
教学重点
能把向量的数量积的运算转化为向量的坐标运算。通过推导和题组训练，理解并掌握平行、垂直、夹角及距离公式，形成转化技能。
设a （x1, y1), b (x2 , y2 ), 则 a b x1x2 y1 y2 0
（2）平行
设a （x1, y1), b (x2 , y2 ), 则 a//b x1 y2 x2 y1 0
4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b的夹角为（0 180），则cos a b
二、新课学习
1、平面向量数量积的坐标表示
如图，i是x轴上的单位向量， j是y
轴上的单位向量，由于a b a b cos 所以 y A(x1,y1)
B(x2,y2)
i i 1 . j j 1 . b j a
i j j i 0 .
oi x
下面研究怎样用
a和b的坐标表示a b.
试判断ABC的形状，并给出证明.
y
证明: AB (2 1,3 2) (1,1)C(-2,5)
AC (2 1,5 2) (3,3)
B(2,3)
AB AC 1 (3) 1 3 0
A(1,2)
AB AC
x
三角形ABC 是直角三角形.
0
练习2：以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB， B=90，求点B的坐标.
教学难点
能准确运用向量数量积的坐标表示中平行、垂直、夹角及距离公式等结论，解决有关问题。
一、复习引入
(1)a b a b cos
2
(2)a a a 或 a a a；
a b a b 0; cos a b .
ab
我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算,那么怎样用 a和b的坐标表示a b呢？ (3 , 4)或b ( 3 , 4).
55
55
（2）（ 2，2 2）或（ 2， 2 2）；（3）k 5.
提高练习
1、已知OA (3,1)，OB (0,5)，且AC // OB， BC AB，则点C的坐标为 C(3, 29)
3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、 D(5，8)，则四边形ABCD的形状是矩形.
故两个向量的数量积等于它们对应
坐标的乘积的和。即
y A(x1,y1)
a b x1x2 y1 y2. B(x2,y2) a
bj
oi x
根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。
2、向量的模和两点间的距离公式
2
(1)a a a 或 a a a；
求a b，a b，a与b的夹角 .
a b 1 3， a b 2 4 2 3 2(1 3)，
cos a b 1 , 0 180, 60.
ab 2
(2) 已知a (2,3), b (2,4),
则（a b）（ a b）

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课件9：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

(2)因为 a＝(1，2)，b＝(2，x)，所以 a·b＝(1，2)·(2，x)＝1×2＋2x＝－1，解得 x＝－32. 【答案】(1)C (2)D
归纳升华数量积坐标运算的方法 1．进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系： |a|2＝a·a.(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2. (a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
归纳升华利用数量积求两向量夹角的步骤
1．求数量积：利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积． 2．求模：利用|a|＝ x2＋y2计算出这两个向量的模．
3．求余弦值：由公式 cos θ＝ x21x＋1xy2＋21 yx1y22＋2 y22直接求出 cos θ 的值． 4．求角：在 0≤θ≤ π 内，由 cos θ 的值求角 θ.
4. 若 a＝(4，－2)，b＝(k，－1)，且 a⊥b，则 k＝________．【解析】因为 a⊥b，a·b＝(4，－2)·(k，－1)＝4k＋2＝0，则 k＝－12. 【答案】－12
5．已知 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，则向量 a，b 的夹角
θ＝________．
【解析】因为 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，
课堂小结 1．数量积坐标表示的作用及记忆口诀 (1)作用：数量积实现了向量的数量积的运算与两向量的坐标的运算的转化． (2)记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．
2．向量的模的坐标运算的实质向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，则在平面直角坐标系中，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．

§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

二、向量的模和两点间距离公式:
1向量的模(长度公式)：
设a (x, y),则
2
a x2 y2,或a

x2 y2
2两点间的距离公式：设Ax1, y1、Bx2, y2 ,则AB x2 x1, y2 y1
AB x2 x1 2 y2 y1 2
【拓展提升】数量积坐标运算的方法技巧 (1)进行数量积运算时,要正确使用公式 a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系: |a|2=a·a.(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2. (a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2. (2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量积的坐标运算列出方程组来进行求解.
记忆口诀：注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平行的条件不要混淆， “a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0”可简记为“对应相乘和为0”； “a∥b⇔x1y2－x2y1＝0”可简记为“交叉相乘差为0”．
四、向量夹角公式的坐标表示:
设a x1, y1 ,b x2 , y2 , a与b夹角为，0
(1)掌握向量数量积的坐标表达式，会进行向量数量积的坐标运算;
(2)能运用数量积表示两个向量的夹角，计算向量的长度，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
一、平面向量数量积的坐标表示:
a x1, y1 ,b x2 , y2 a,b非零向量 y A(x1,y1)
a x1i y1 j,b x2i y2 j
B(x2,y2)
a
bj
a b (x1i y1 j) (x2i y2 j)

高中数学必修四《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》PPT

（4）(a
b)2
2
a
2a
b
2
b
（5（）a
b)
(a
b)
2
a
2
b
：
注意个运算律的逆用。如导学案上149页12题
课堂引入：
平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也会改变. 向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘向量带来了极大的方便.上一节，我们学习了平面向量的数量积，那么向量的坐标表示，对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？
.
即:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
重要性质：
(1).设a x, y,则 a x2 y2 用于计算向量的模
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为x1, y1, x2, y2 , 那么 a x1 x2 2 y1 y2 2 . 即平面内两点间的距离公式．
（2）写出向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐
然后用两个向量平行和垂直的充要条件来解答。
解：1） ka b k1,2 3,2 k 3,2k 2
a 3b 1,233,2 10,4
当ka b a 3b 0时这两个向量垂直
由k 310 2k 2 4 0 解得k=19
2) 当ka b与a 3b平行时,存在唯一实数, 使ka b a 3b
a a( a a可简写成a2 )
(4) cos a b , (5) | a b || a || b | .
| a || b |
11:14
4
4、平面向量的数量积的运算律：
(1)a b b a
(2)(a) b (a b ) a (b )
(3)(a b ) c a c b c

高一数学人教A版必修4课件：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

第二章平面向量§2.4 平面向量的数量积2.4.2　平面向量数量积的坐标表示、模、夹角明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺 04明目标、知重点1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.1.平面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝.即两个向量的数量积等于 .2.两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔.x1x2＋y1y2填要点·记疑点相应坐标乘积的和x1x2＋y1y2＝03.平面向量的模(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝探要点·究所然情境导学在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对来表示，两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示？通过回顾两个向量的数量积的定义及向量的坐标表示，在此基础上推导、探索平面向量数量积的坐标表示.探究点一　平面向量数量积的坐标表示思考1　已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用a 与b 的坐标表示a ·b ?答　∵a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )·(x 2i ＋y 2j )＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 2y 1j ·i ＋y 1y 2j 2.又∵i ·i ＝1，j ·j ＝1，i ·j ＝j ·i ＝0，∴a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.思考2　若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，这就是平面向量数量积的坐标表示.你能用文字描述这一结论吗？答　两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.例1　已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐标；解　设a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4).(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.解　∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝1×2＋2×4＝10，∴a(b·c)＝0a＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10).反思与感悟　两个向量的数量积是实数，这和前面三种运算性质不同.同时本例进一步验证了平面向量的数量积不满足结合律.跟踪训练1　若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c ＝____________；a·(b·c)＝____________.(－16，－8) (－8，－12)解析　∵a·b＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8，∴(a·b)·c＝－8×(2,1)＝(－16，－8).∵b·c＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4，∴a·(b·c)＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12).探究点二　平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式思考2　如图，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如何计算向量的模？＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，思考1　设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ⊥b ，则x 1，y 1，x 2，y 2之间的关系如何？反之成立吗？答　a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.思考2　设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？探究点三　平面向量夹角的坐标表示例如，(1)若a＝(3,0)，b＝(－5,5)，则a与b的夹角为________.直角(2)已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是________三角形.跟踪训练2　已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围.解　∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，∵a，b的夹角α为钝角.∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1).例3　已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求与点D的坐标.解　设点D的坐标为(x，y)，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3).∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.即2x＋y－3＝0.②反思与感悟　在几何中利用垂直及模来求解点的题型是一种常见题型，其处理方法：设出点的坐标，利用垂直及模长列出方程组进行求解.跟踪训练3　以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB，∠B＝90°，求点B和的坐标.可得10x＋4y＝29，①即x2－5x＋y2－2y＝0，②当堂测·查疑缺 1234 1.已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为( )B又∵a，b的夹角范围为[0，π].C5呈重点、现规律1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算.为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持.2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.明目标、知重点3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.。

高一数学必修4课件：2-4-2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

第二章平面向量
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
课前自主预习随堂应用练习思路方法技巧课后强化作业名师辨误做答
第二章
2.4 2.4.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
课前自主预习
第二章
2.4 2.4.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
温故知新 1．若m，n满足：|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135° ，则m· n＝________.
第二章
2.4 2.4.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
思路方法技巧
第二章
2.4 2.4.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
命题方向
数量积的坐标运算
平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题．向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来．主要解决以下三方面的问题： (1)求两点间的距离(求向量的模)． (2)求两向量的夹角． (3)证明两向量垂直．
π 25,5,5 2， . 4
[答案]
第二章
2.4 2.4.2
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新课引入
第二章
2.4 2.4.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
向量的数量积的几何运算为我们展示了一幅美丽的画卷，它解决了几何中与度量相关的角度，长度(距离)等问题．通过前面的学习，我们知道向量可以用坐标表示，向量的加法，减法，数乘运算也可以用坐标表示，那么任意两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其数量积a· b又如何表示呢？你能给出其推导过程吗？要解决好这几个问题，就让我们一起进入平面向量数量积的坐标表示、模、夹角的学习吧！

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角-新人教(A版)

2016/10/11
故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。
2016/10/11
2、向量的模和两点间的距离公式ຫໍສະໝຸດ y A(x ,y ) 1 1
j
B(x2,y2)
b
a
o i
x
设两个非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
29 C ( 3, ) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)，则四边形ABCD的形状是矩形 .
3、已知 a = (1，2)， b = (-3，2)，
若k a +2 b 与 2 a - 4
2016/10/11
b 平行，则k = - 1 .
小结
１、理解各公式的正向及逆向运用；２、数量积的运算转化为向量的坐标运算；
x( x 5) y( y 2) 0 得 2 2 2 2 x y ( x 5 ) ( y 2 )
O
B
X
例5 在△ABC中，AB =(2， 3)，AC =(1， k)，
且△ABC的一个内角为直角，求k值.

2.4.2平面向量数量积的坐标表示教学课件

[研一题]
[例 2] 平面直角坐标系 xOy 中，O
是原点(如图)．已知点 A(16,12)、B(－5,15)．
(1)求| OA|，| AB|；
(2[[[[自)自自自求主主主主∠解O解解解A答答答答B.]]]] ((((1111))))由由由由OOOOAAAA＝＝＝＝((((11116666,,,,11112222))))，，，， AAAABBBB＝＝＝＝((((－－－－5555－－－－11116666,,,,11115555－－－－11112222))))＝＝＝＝((((－－－－22221111,,,,3333))))，，，，得得得得 ||||OOOOAAAA||||＝＝＝＝ 111166662222＋＋＋＋111122222222＝＝＝＝22220000，，，， ||||AAAABBBB||||＝＝＝＝－－－－222211112222＋＋＋＋33332222＝＝＝＝11115555 2222....
y A(x1,y1)
B(x2,y2)
a
bj
oi x
b 设两个非零向量 a =(x1,y1), =(x2,y2),则
aaaaaaaa==bb==bb====xx======xx11==xxxx11iixx((xx11i11i(x(x++11xxxx11x+x+xx1xx12222yy11ii2222yyiiii++11++ii22++11++j2j2++yy,,jjyy+y+,y,yy1111xx1yy111xjjxyy11j))j221yy1))22yybb22((bb2(2x(xii==xxii22==22jjiixxjjii++xx++22++++22iixxyyiixxy++y2222++2y2y22jjyyyyj))11jyy)212)1ii22iijj,,jjjj,,jj++++yyyy111yy1yy2222jjjj2222

数学(2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角)

方向性
向量的模只与向量的长度有关，与其方向无关。
模的计算方法
定义法
根据定义直接计算向量的模。
勾股定理法
如果向量在直角坐标系中的坐标已知，可以使用勾股定理计算模。
向量分解法
将向量分解为两个互相垂直的分量，然后分别求出分量的模，再求和。
模的性质
共线性质
如果两个向量共线，那么它们的模相等或互为相反数。
05
实例分析
数量积的坐标表示实例
要点一
总结词
通过具体例题，展示如何利用坐标表示计算平面向量的数量积。
要点二
详细描述
假设有两个向量$overset{longrightarrow}{a} = (x_{1}, y_{1})$和$overset{longrightarrow}{b} = (x_{2}, y_{2})$，它们的数量积为$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$。通过具体例题，展示如何利用坐标表示计算平面向量的数量积。
平面向量的模
定义与性质
定义
平面向量$vec{a}$的模定义为 $left|vec{a}right| = sqrt{a_1^2 + a_2^2}$，其中$a_1$和$a_2$ 分别是向量$vec{a}$模总是非负的，即 $left|vec{a}right| geq 0$。
数量积与夹角的关系
数量积与夹角余弦值的关系
向量的数量积等于两个向量模的乘积乘以它们夹角的余弦值，即$mathbf{A} cdot mathbf{B} = |mathbf{A}| times |mathbf{B}| times costheta$。

《平面向量数量积的坐标表示模夹角》高一年级下册PPT课件

a· b 这两个向量的数量积 a· b 以及|a||b|，再由 cosθ＝|a||b|求出 cosθ，也可由坐标
x1x2＋y1y2
表示 cosθ＝
x21＋y21
直接求出
x22＋y22
cosθ.由三角函数值
cosθ
求角
θ
时，应
注意角 θ 的取值范围是 0≤θ≤π.
第二章平面向量
〔跟踪练习2〕设a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，求实数t的值．
忽视向量共线致误
典例 4
已知a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且a与b的夹角θ为锐角，则实数
λ的取值范围是(
)
A．(－∞，－2)∪－2，21 C．－2，23∪23，＋∞
B．21，＋∞ D．－∞，21
第二章平面向量
[错解] ∵a 与 b 的夹角 θ 为锐角，
1
∴cosθ>0，即 a· b＝1－2λ>0，得 λ<2，故选 D． a· b
[错因分析] 由于 0≤θ≤π，利用 cosθ＝|a||b|来判断角 θ 时，要注意 cosθ<0
有两种情况：一是 θ 是钝角，二是 θ＝π；cosθ>0 也有两种情况：一是 θ 为锐角，二是 θ＝0.本题错解中就是忽略了 θ＝0 这种情况，此时 cosθ＞0 成立，但夹角不是锐角．
第二章平面向量
向量的模即向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如 a ＝(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点 A(x，y)，使得O→A＝a＝(x，y)， ∴|O→A|＝|a|＝ x2＋y2，即|a|为点 A 到原点的距离．同样，若 A(x1，y1)，B(x2， y2)，则A→B＝(x2－x1，y2－y1)，∴|A→B|＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2，即平面直

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