1.2二次函数的图象(2)
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湘教版九年级下册数学精品教学课件 第1章二次函数 第2课时 二次函数y=ax2(a＜0)的图象与性质
∴a > b > 0，|d| > |c| > 0，
∴d < c < 0，∴ a > b > 0 > c > d．
y ＝ ax2 图象 位置开 口方向
对称性
顶点最值
增减性
a>0
y
Ox
开口向上
a<0
y O
x
开口向下
a 的绝对值越大，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴方程是直线 x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
解析：根据 a、b 的符号来确定． 当 a > 0 时，抛物线 y ＝ ax2 的开口 向上．∵ ab > 0，∴ b > 0 . ∴直线 y ＝ ax＋b过第一、二、三象 限；当a < 0 时，抛物线 y ＝ ax2 的开 口向下．∵ab > 0，∴b < 0.∴直线 y ＝ ax＋b 过第二、三、四象限． 故选 D.
合作探究
问题1
画二次函数
y
1 4
x2
的图象.
列表
x
0
1
2
3
4
y 1 x2 4
0
1 4
－1
9 4
－4
描点和连线：画出图象在 y 轴右边的部分，再利
用对称性画出 y 轴左边的部分.
y
这样我们得到了 y 1 x2
4
－4
o
－2
2
4x
的图象，如图.
－2
－4
问题2 观察图 y 1 x2的图象跟实际生活中的什么相像？
4
Hale Waihona Puke －4 －2 －2 －42
4
y 1 x2 的图象很像掷铅球时，铅球在空中经过的路线
∴d < c < 0，∴ a > b > 0 > c > d．
y ＝ ax2 图象 位置开 口方向
对称性
顶点最值
增减性
a>0
y
Ox
开口向上
a<0
y O
x
开口向下
a 的绝对值越大，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴方程是直线 x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
解析：根据 a、b 的符号来确定． 当 a > 0 时，抛物线 y ＝ ax2 的开口 向上．∵ ab > 0，∴ b > 0 . ∴直线 y ＝ ax＋b过第一、二、三象 限；当a < 0 时，抛物线 y ＝ ax2 的开 口向下．∵ab > 0，∴b < 0.∴直线 y ＝ ax＋b 过第二、三、四象限． 故选 D.
合作探究
问题1
画二次函数
y
1 4
x2
的图象.
列表
x
0
1
2
3
4
y 1 x2 4
0
1 4
－1
9 4
－4
描点和连线：画出图象在 y 轴右边的部分，再利
用对称性画出 y 轴左边的部分.
y
这样我们得到了 y 1 x2
4
－4
o
－2
2
4x
的图象，如图.
－2
－4
问题2 观察图 y 1 x2的图象跟实际生活中的什么相像？
4
Hale Waihona Puke －4 －2 －2 －42
4
y 1 x2 的图象很像掷铅球时，铅球在空中经过的路线
浙教版九年级上册 1.2.2 二次函数的图象 课件(共35张PPT)
（1）抛物线y=ax2的对称轴是 ，顶点是 .
y轴
原点
向上
最低点
向下
最高点
越小
那么y=ax2+k 呢？
知识点1
二次函数y = ax2 +k的图象的画法
例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的图象。
解：先列表：
x
…
当x≤-m时，y随x增大而减小；当x≥-m时，y随x增大而增大.
向上
向下
直线x=-m
直线x=-m
（-m,k）
x=-m时，y最小值=k
x=-m时，y最大值=k
（-m,k）
图1-2-9
例3.某二次函数图象的一部分如图1-2-9所示，请求出该二次函数的表达式，并直接写出该二次函数图象在 轴右侧部分与 轴的交点坐标.
D
A. B. C. D.
B
9. 把二次函数 的图象绕原点旋转 后得到的图象的函数表达式为_________________.
[解析] 二次函数 的图象开口向上，顶点坐标为 ，图象绕原点旋转 后得到的图象的顶点坐标为 ，开口向下，所以旋转后的新图象的函数表达式为 .
10.（2021杭州一模）已知二次函数 （ 是实数）.
-m
k
思考
想一想，试着画出二次函数y=a(x+m)2+k不同情况下的大致图象.（ 按a,m,k的正负分类 ）
二次函数y=a(x+m)2+k的图象和性质
归纳
a>0
a<0
图象
m>0
m<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
y轴
原点
向上
最低点
向下
最高点
越小
那么y=ax2+k 呢？
知识点1
二次函数y = ax2 +k的图象的画法
例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的图象。
解：先列表：
x
…
当x≤-m时，y随x增大而减小；当x≥-m时，y随x增大而增大.
向上
向下
直线x=-m
直线x=-m
（-m,k）
x=-m时，y最小值=k
x=-m时，y最大值=k
（-m,k）
图1-2-9
例3.某二次函数图象的一部分如图1-2-9所示，请求出该二次函数的表达式，并直接写出该二次函数图象在 轴右侧部分与 轴的交点坐标.
D
A. B. C. D.
B
9. 把二次函数 的图象绕原点旋转 后得到的图象的函数表达式为_________________.
[解析] 二次函数 的图象开口向上，顶点坐标为 ，图象绕原点旋转 后得到的图象的顶点坐标为 ，开口向下，所以旋转后的新图象的函数表达式为 .
10.（2021杭州一模）已知二次函数 （ 是实数）.
-m
k
思考
想一想，试着画出二次函数y=a(x+m)2+k不同情况下的大致图象.（ 按a,m,k的正负分类 ）
二次函数y=a(x+m)2+k的图象和性质
归纳
a>0
a<0
图象
m>0
m<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
1.2 第2课时 二次函数y=ax2(a＜0)的图象与性质
2
.
5.抛物线 y = ax ， |a| 越大，抛物线的开口越小．
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例题学习
例1：画二次函数 解：列表
x 0 0 1 2 3 4
1 y x 2 的图象. 4
1 y x2 4
1 4
－1
9 4
－4
描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.
利用对称性画出y轴左边的部分.
－4 －2 －2 －4 2 4
2
5.抛物线 y = ax ，
|a| 越大，抛物线的开口越小．
首页
合作探究
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？
一、列表
x y=-x2 … … -3 -9 -2 -4 -1 -1 0 0 1 -1 2 -4 3 -9 … …
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
你能根据表格中的数据作 出猜想吗？
首页
二、描点
y x2
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而 减小.
当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.
合作探究
二次函数y=-x2的图象与性质 1.图象开口向 下 ． 2.图象关于 y轴 对称，顶点（0，0） . 3.增减性：当x＜0时，y随x的增大而 增大 ，
当x＞0时，y随x的增大而减小 ，简称为左升右降 . 4.最值：函数有最 大 值，最 大 值等于 0 .
当x＞0时，y 随x的增大而增 大；当x＜0时， y随x的增大而 2 x 在同一坐标系中，画出函数 2
合作探究
的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．
－4 归纳： 相同点：开口都向下，顶 点是原点而且是抛物线的 最高点，对称轴是 y 轴.
.
5.抛物线 y = ax ， |a| 越大，抛物线的开口越小．
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例题学习
例1：画二次函数 解：列表
x 0 0 1 2 3 4
1 y x 2 的图象. 4
1 y x2 4
1 4
－1
9 4
－4
描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.
利用对称性画出y轴左边的部分.
－4 －2 －2 －4 2 4
2
5.抛物线 y = ax ，
|a| 越大，抛物线的开口越小．
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合作探究
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？
一、列表
x y=-x2 … … -3 -9 -2 -4 -1 -1 0 0 1 -1 2 -4 3 -9 … …
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
你能根据表格中的数据作 出猜想吗？
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二、描点
y x2
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而 减小.
当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.
合作探究
二次函数y=-x2的图象与性质 1.图象开口向 下 ． 2.图象关于 y轴 对称，顶点（0，0） . 3.增减性：当x＜0时，y随x的增大而 增大 ，
当x＞0时，y随x的增大而减小 ，简称为左升右降 . 4.最值：函数有最 大 值，最 大 值等于 0 .
当x＞0时，y 随x的增大而增 大；当x＜0时， y随x的增大而 2 x 在同一坐标系中，画出函数 2
合作探究
的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．
－4 归纳： 相同点：开口都向下，顶 点是原点而且是抛物线的 最高点，对称轴是 y 轴.
【练习】1.2 二次函数的图像 第2课时 二次函数y=a(x+m)2+k(a≠0)的图象及其特征
第1章 二次函数
1.2 二次函数的图像
第2课时 二次函数y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)的 图象及其特征
浙教版·九年级上册
1. (3分)一次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象可能是( D )
2．(3分)对于抛物线y＝－ ①抛物线的开口向下； ③顶点坐标为(－1，3)； 其中正确的结论有( C ) A．1个
轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的表达式；
解：二次函数的表达式为y＝(x－2)2－1，一次函数的表达式为y＝x－1. (2)根据图象，直接写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．
解：1≤，两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二
y＝ (x－4) －1 个二函数的表达式为___ ．
2
1 4
9．(9分)下列抛物线可由怎样的抛物线y＝ax2(a≠0)，经过怎样的平移得到？ (1)y＝－
(2)y＝－(x＋ 3)2－5； (3)y＝3(x－ 1 )2＋ 3
2
1 (x－4)2； 3
4
.
1 1 解：(1)y＝－ (x－4)2 可由抛物线 y＝－ x2 向右平移 4 个单位得到． 3 3 (2)y＝－(x＋ 3)2 －5 可由抛物线 y＝－x2 先向左平移 3个单位，再向下平移 5 个单位 得到． 1 2 3 1 3 2 (3)y＝3(x－ ) ＋ 可由抛物线 y＝3x 先向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到． 2 4 2 4
y＝－8(x－ )2＋3 2
14. (7分)对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使 △PMN为正三角形，则称图形G为点P的T型线，点P为图形G的T型点，△PMN为图形G关于点P的T型三角 形．若H(0，－2)是抛物线y＝x2＋n的T型点，则n的取值范围是
1.2 二次函数的图像
第2课时 二次函数y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)的 图象及其特征
浙教版·九年级上册
1. (3分)一次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象可能是( D )
2．(3分)对于抛物线y＝－ ①抛物线的开口向下； ③顶点坐标为(－1，3)； 其中正确的结论有( C ) A．1个
轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的表达式；
解：二次函数的表达式为y＝(x－2)2－1，一次函数的表达式为y＝x－1. (2)根据图象，直接写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．
解：1≤，两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二
y＝ (x－4) －1 个二函数的表达式为___ ．
2
1 4
9．(9分)下列抛物线可由怎样的抛物线y＝ax2(a≠0)，经过怎样的平移得到？ (1)y＝－
(2)y＝－(x＋ 3)2－5； (3)y＝3(x－ 1 )2＋ 3
2
1 (x－4)2； 3
4
.
1 1 解：(1)y＝－ (x－4)2 可由抛物线 y＝－ x2 向右平移 4 个单位得到． 3 3 (2)y＝－(x＋ 3)2 －5 可由抛物线 y＝－x2 先向左平移 3个单位，再向下平移 5 个单位 得到． 1 2 3 1 3 2 (3)y＝3(x－ ) ＋ 可由抛物线 y＝3x 先向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到． 2 4 2 4
y＝－8(x－ )2＋3 2
14. (7分)对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使 △PMN为正三角形，则称图形G为点P的T型线，点P为图形G的T型点，△PMN为图形G关于点P的T型三角 形．若H(0，－2)是抛物线y＝x2＋n的T型点，则n的取值范围是
浙教版数学九年级上册《1.2 二次函数的图象》教案1
浙教版数学九年级上册《1.2 二次函数的图象》教案1一. 教材分析《1.2 二次函数的图象》是浙教版数学九年级上册的一部分，本节课主要让学生了解二次函数的图象特点，掌握二次函数的图象与系数的关系，能够通过图象解决一些实际问题。
教材通过实例引入二次函数的图象，使学生能够从实践中体会二次函数的图象特点，培养学生的观察能力、实践能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在八年级时已经学习了二次函数的定义和性质，对二次函数有一定的认识。
但学生的知识水平参差不齐，部分学生对二次函数的理解不够深入，对二次函数的图象认识不足。
因此，在教学过程中，要关注学生的个体差异，通过实例引导学生观察、分析，让学生在实践中掌握二次函数的图象特点。
三. 教学目标1.了解二次函数的图象特点，掌握二次函数的图象与系数的关系。
2.能够通过图象解决一些实际问题。
3.培养学生的观察能力、实践能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：二次函数的图象特点，二次函数的图象与系数的关系。
2.教学难点：如何通过图象解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入二次函数的图象，让学生在实践中感受二次函数的图象特点。
2.问题驱动法：引导学生观察、分析二次函数的图象，激发学生的思考，培养学生的解决问题的能力。
3.小组合作学习：学生分组讨论，共同探究二次函数的图象与系数的关系，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实例，用于引导学生观察二次函数的图象。
2.准备多媒体教学设备，用于展示二次函数的图象。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次函数的图象，例如：抛物线的形状是什么？抛物线的顶点在哪里？让学生思考并回答问题，从而引出本节课的主题。
2.呈现（15分钟）利用多媒体教学设备，展示几个二次函数的图象，如y=x2、y=x2-1、y=2x^2等。
引导学生观察这些图象的特点，如开口方向、顶点位置、对称轴等。
1.2 第2课时 二次函数的图象与性质
1．[2019·虹口区一模]如果抛物线 y＝(a＋2)x2 开口向下，那么 a 的取值范围为
( D) A．a＞2
B．a＜2
C．a＞－2
D．a＜－2
【解析】 ∵抛物线 y＝(a＋2)x2 开口向下，∴a＋2＜0，∴a＜－2.故选 D.
课件目录
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第2课时 二次函数y＝ax2(a<0)的图象与性质
1．二次函数 y＝ax2(a<0)的图象 为此设计了【归类探究】中的例 1；【当堂测评】中的第 4 题；【分层作业】中 的第 1,3,6,8,9 题． 2．二次函数 y＝ax2(a<0)的性质 此内容为本节的重点．为此设计了【归类探究】中的例 2；【当堂测评】中的 第 1,2,3 题；【分层作业】中的第 2,4,5,7 题．
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第2课时 二次函数y＝ax2(a<0)的图象与性质
解：(1)把点 A(－2，－8)代入 y＝ax2， 得 a·(－2)2＝－8，解得 a＝－2. (2)开口向下，对称轴是 y 轴，顶点坐标是(0,0)． (3)当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大． (4)由(1)知抛物线的解析式为 y＝－2x2，当 x＝－1 时，y＝－2≠－4，∴点 B(－ 1，－4)不在抛物线上．
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第2课时 二次函数y＝ax2(a<0)的图象与性质
类型之二 二次函数 y＝ax2(a<0)的性质 在平面直角坐标系中作出 y＝－4x2 的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)抛物线与 x 轴有交点吗？如果有，请写出交点坐标； (2)写出此抛物线的对称轴及顶点坐标； (3)当 x<0 时，随着 x 值的增大，y 值如何变化？此时抛物线上这一部分图象 的趋势可简称为什么？当 x>0 时呢？ (4)当 x 取何值时，y 有最大值？最大值是多少？
二次函数的图象与性质(二)
4.已知二次函数 已知二次函数y=x2+ax+a-2. 已知二次函数 证明:不论 为何值,抛物线 不论a为何值 ⑴证明 不论 为何值 抛物线 y=x2+ax+a-2的顶点 总在 轴的下方 的顶点Q总在 轴的下方. 的顶点 总在x轴的下方 设抛物线y=x2+ax+a-2与y轴交于点， 轴交于点， ⑵设抛物线 与 轴交于点 如果过点C且平行于 且平行于x轴的直线与该抛 如果过点 且平行于 轴的直线与该抛 物线有两个不同的交点,并设另一个交 物线有两个不同的交点 并设另一个交 点为D.问 △ 能否是等边三角形? 点为 问:△QCD能否是等边三角形 能否是等边三角形 若能,请求出相应的二次函数解析式 请求出相应的二次函数解析式,若 若能 请求出相应的二次函数解析式 若 不能,请说明理由 请说明理由; 不能 请说明理由 的已知条件下,又设抛物线与 又设抛物线与x轴 ⑶在⑵的已知条件下 又设抛物线与 轴 的交点之一为A,则能使 则能使△ 的交点之一为 则能使△ACD的面积等 的面积等 于1/4的抛物线有几条 请证明你的结论. 的抛物线有几条?请证明你的结论 的抛物线有几条 请证明你的结论
3. 二次函数 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有 与 轴有 两个交点(x 两个交点 1,0),(x2,0). ⑴当两个交点 在y轴的右侧 轴的右侧 ⑵当两个交点 在y轴的右侧 轴的右侧 ⑶当两个交点 在y轴的右侧 轴的右侧
4. 二次函数 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有 与 轴有 两个交点(x 两个交点 1,0),(x2,0)，则对称轴是直 ， . 线x= 已知抛物线上有四个点（-3，m）， 已知抛物线上有四个点（ ， ）， ），（-6， ），（ ），（1， ）， （4，8），（ ，n），（ ，m）， ， ），（ . 则n=
九年级数学下二次函数1.2二次函数的图像与性质第2课时二次函数y=ax2(a＜0)的图象与性质
当x＜0时，y随x的增大而增大． 解：由题意得a－2＜0，解得a＜2.
(2)函数y＝(3a－2)x2有最大值．
解：由题意得 3a－2＜0，解得 a＜23. (3)抛物线 y＝(a＋2)x2 与抛物线 y＝－12x2 的形状相同．
由题意得|a＋2|＝－12，解得 a1＝－52，a2＝－32.
(4)函数y＝axa2＋a的图象是开口向上的抛物线． 解：由题意得a2＋a＝2，解得a1＝－2，a2＝1. 又由题意知a＞0，∴a＝1.
x 的增大而增大，则 m 的值为( B )
A. 5
B．－ 5
C．± 5
D．－2
12．已知点 A(－1，y1)，B(－ 2，y2)，C(－2，y3)在二次函
数 y＝－x2 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是( A )
A．y1>y2>y3
B．y1>y3>y2
C．y3>y2>y1
D．y2>y1>y3
14．函数y＝－x2(－2≤x≤1)的最大值为____0____，最小值 为___－__4___．
【易错总结】本题易忽略在取值范围中当x＝0时取得 最大值，最大值为0，而不是当x＝1时取得最大值．
15．已知函数y＝(m＋3)xm2＋3m－2是关于x的二次函数．
(1)求m的值． 解：根据题意，得mm2＋＋33≠m0，－2＝2， 解得mm＝≠－－34. 或m＝1， ∴m＝－4 或 m＝1.
17 见习题
18 见习题
答案显示
1．二次函数 y＝2πx2 的图象沿 x 轴翻折后的图象的表达式为
( C) A．y＝21πx2
B．y＝2xπ2
C．y＝－2πx2
D．y＝πx2
2．已知二次函数y＝－2x2，当x>0时，其图象位于( D ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
(2)函数y＝(3a－2)x2有最大值．
解：由题意得 3a－2＜0，解得 a＜23. (3)抛物线 y＝(a＋2)x2 与抛物线 y＝－12x2 的形状相同．
由题意得|a＋2|＝－12，解得 a1＝－52，a2＝－32.
(4)函数y＝axa2＋a的图象是开口向上的抛物线． 解：由题意得a2＋a＝2，解得a1＝－2，a2＝1. 又由题意知a＞0，∴a＝1.
x 的增大而增大，则 m 的值为( B )
A. 5
B．－ 5
C．± 5
D．－2
12．已知点 A(－1，y1)，B(－ 2，y2)，C(－2，y3)在二次函
数 y＝－x2 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是( A )
A．y1>y2>y3
B．y1>y3>y2
C．y3>y2>y1
D．y2>y1>y3
14．函数y＝－x2(－2≤x≤1)的最大值为____0____，最小值 为___－__4___．
【易错总结】本题易忽略在取值范围中当x＝0时取得 最大值，最大值为0，而不是当x＝1时取得最大值．
15．已知函数y＝(m＋3)xm2＋3m－2是关于x的二次函数．
(1)求m的值． 解：根据题意，得mm2＋＋33≠m0，－2＝2， 解得mm＝≠－－34. 或m＝1， ∴m＝－4 或 m＝1.
17 见习题
18 见习题
答案显示
1．二次函数 y＝2πx2 的图象沿 x 轴翻折后的图象的表达式为
( C) A．y＝21πx2
B．y＝2xπ2
C．y＝－2πx2
D．y＝πx2
2．已知二次函数y＝－2x2，当x>0时，其图象位于( D ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限