2015年数学二模理科(含答案)

2015年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）

数 学（理科）

沈阳命题：沈阳市第四中学 孙玉才 沈阳市第二十中学 金行宝

沈阳市第九中学 付一博 沈阳市第一二0中学 潘 戈 沈阳市回民中学 庞红全 沈阳市第二十八中学 陶 慧 沈阳主审：沈阳市教育研究院 王恩宾

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．

3. 考试结束后，考生将答题卡交回.

第Ⅰ卷

一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合{11}A x x =-≤≤，2{20}B x x x =-≤，则A

B = （ ）

（A ） [1,0]- （B ） ]2,1[ （C ） [0,1] （D ） (,1][2,)-∞+∞

2. 设复数1z i =+（i 是虚数单位），则2

2z z

+=（ ） （A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -- （D ）1i -+

3. 已知a =1,b =2，且a )(b a

-⊥，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）

（A ）

6π （B ）4π （C ） 3π （D ）23

π

4. 已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,若2

2

2

a b c bc =+-，4bc =，则△ABC 的面积为（ ） （A ）

1

2

（B ）1 （C ）3 （D ）2

5. 已知{}2,0,1,3,4a ∈-，{}1,2b ∈，则函数 2()(2)f x a x b =-+为增函数的概率是（ ） （A ）

25 （B ）3

5

（C ）12 （D ）310 6. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为

11

12

，则判断框中填写的内容可以是( ) （A ）6n = （B ）6n < （C ）6n ≤ （D ）8n ≤

7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多 面体的三视图，则该多面体的体积为（ ） （A ）

323 （B ）64 （C ）3233

（D ） 643 8. 已知直线22(1)y x =-与抛物线:C x y 42

=交于B A ,两点，

点),1(m M -，若0=?MB MA ，则实数=m （ ） （A ）2 （B ）

2

2

（C ）21 （D ）0

9. 对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为M 函数：① 对任意的[0,1]x ∈，恒有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有

1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则下列函数不是M 函数的是（ ）

（A ）2

()f x x = （B ）()21x

f x =- （C ）2

()ln(1)f x x =+ （D ）2

()1f x x =+

10. 在平面直角坐标系中，若(,)P x y 满足44021005220x y x y x y -+≤??

+-≤??-+≥?

，则当xy 取得最大值时，点

P 的坐标是（ ）

（A ）(4,2) （B ）(2,2) （C ）(2,6) （D ）5(,5)2

11. 已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>与函数(0)y x x =≥的图象交于点P . 若函

数y x =

在点P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率是（ ）

（A ）

512+

（B ） 52

2

+ （C ）

31

2

+ （D ）32

12. 若对,[0,)x y ?∈+∞，不等式2

242x y x y ax e

e +---≤++恒成立，则实数a 的最大值是

（ ） （A ）

14 （B ）1 （C ）2 （D ）12

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上） 13. 函数13

sin cos 22

y x x =

+([0,]2x π∈)的单调递增区间是__________．

14. 6

12x x ?

?- ??

?的展开式中常数项为 ．

15. 已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞单调递增，且(1)0f = ，则不等式

(2)0f x -≥的解集是 ．

16. 同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径

为R ．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则tan()αβ+的值是 ．

三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分12分)

已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足2

221

n n n S a S =

-(2)n ≥. (Ⅰ) 求证：数列1n S ??

?

???

是等差数列； (Ⅱ) 证明：当2n ≥时，1231113

(232)

n S S S S n ++++<.

18. (本小题满分12分)

如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝60，PD ⊥平面ABCD ，PD =AD =1，点,E F 分别为AB 和PD 中点.

(Ⅰ)求证：直线AF //平面PEC ； (Ⅱ)求PC 与平面PAB 所成角的正弦值.

19. (本小题满分12分)

某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：

学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 5 7 9 8 乙班

4

8

9

7

7

(Ⅰ)从统计数据看，甲乙两个班哪个班成绩更稳定（用数据说明）？

(Ⅱ) 若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号两名同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作X 和Y ，试求X 和Y 的分布列和数学期望.

F

E

B

D

C

A

P

20.（本小题满分12分）

已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点为(0,1)，且离心率为3

2

.

(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）证明：过椭圆1C :22

221(0)x y m n m n +=>>上一点00(,)Q x y 的切线方程为

00221x x y y

m n

+=； （Ⅲ）从圆2

2

16x y +=上一点P 向椭圆C 引两条切线，切点分别为,A B ,当直线AB 分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点时，求MN 的最小值.

21.（本小题满分12分）

若定义在R 上的函数()f x 满足22

2(1)()2(0)2

x f f x e x f x -'=

?+-， 21

()()(1)24

x g x f x a x a =-+-+，∈a R.

（Ⅰ）求函数()f x 解析式；

（Ⅱ）求函数()g x 单调区间；

（Ⅲ）若x 、y 、m 满足||||-≤-x m y m ，则称x 比y 更接近m .当2a ≥且1x ≥时，试比较

e x

和1

x e a -+哪个更接近ln x ，并说明理由．

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图所示，AB 为圆O 的直径，BC ，CD 为 圆O 的切线，B ，D 为切点. （Ⅰ）求证： OC AD //；

（Ⅱ）若圆O 的半径为2，求OC AD ?的值.

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为?

??+-=+=θθ

sin 24cos 23y x （θ为参数）.

（Ⅰ）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）已知(2,0),(0,2)A B -，圆C 上任意一点),(y x M ，求△ABM 面积的最大值.

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数()222f x x x =+--． （Ⅰ）求不等式2)(>x f 的解集；

（Ⅱ）若R ∈?x ，2

7

()2

f x t t ≥-

恒成立，求实数t 的取值范围．

2015年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）

数学（理科）参考答案与评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一．选择题

（1）C ；（2）A ；（3）B ；（4）C ；(5)B ；（6）C ；（7）D ；（8）B ； （9）D ；（10）D ；（11) A ；（12）D ． 二.填空题 （13）[0,

]6π；（14）52-；(15) (,1][3,)-∞+∞；（16）433R

a

-.

三.解答题

（17）解：（Ⅰ）当2n ≥时，2

1221

n

n n n S S S S --=-， …………………2分

11

2n n n n S S S S ---=.1

112n n S S --=， 从而?

??

??

?n S 1构成以1为首项，2为公差的等差数列. ………………………………6分 （Ⅱ）由（1）可知，

1

11

(1)221n n n S S =+-?=-，121n S n ∴=-. ………8分

当2n ≥时，

11111111

()(21)(22)2(1)21n S n n n n n n n n n

=<=?=-----. ……10分 从而123

111111111313

...1(1)232223

1222n S S S S n n n n ++++<+-+-++

-<-<

-. …12分

（18）解：(Ⅰ)证明：作FM ∥CD 交PC 于M . ∵点F 为PD 中点，∴CD FM 2

1

=. …………2分 ∵21=

k ，∴FM AB AE ==2

1

， ∴AEMF 为平行四边形，∴AF ∥EM ， ……4分 ∵AF PEC EM PEC ??平面，平面，

∴直线AF //平面PEC . ……………6分 (Ⅱ)

60DAB ∠=，DE DC ∴⊥.

如图所示，建立坐标系，则 P (0,0,1),C (0,1,0),E (

3

2

,0,0), A (

32，12-，0)，31

(

,,0)22

B ， ∴31,,122AP ??

=- ? ???

，()0,1,0AB =. …8分

设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =.

∵0n AB ?=，0n AP ?=，∴??

???==++-

02

1

23y z y x ，取1x =，则32z =， ∴平面PAB 的一个法向量为3

(1,0,

)2

n =. …………………………10分 设向量n PC θ与所成角为，∵(0,1,1)PC =-，

∴3

422

cos 14

7

24

n PC n PC

θ-?=

=

=-

?， M

F

E

B

A

C

D

P

F

E

B

A

C

D

y

z x P

∴PC 平面PAB 所成角的正弦值为

42

14

. .…………………………12分 （19）解：(Ⅰ)两个班数据的平均值都为7， ……………………1分

甲班的方差22222

21

6-7+-7+-7+-7+-7=25

s =

（）（5）（7）（9）（8）

， …………3分 乙班的方差22222

2

2

-7+-7+-7+-7+-714

=55

s =

（4）（8）（9）（7）（7）， …………5分 因为22

12

s s <，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定. ………………6分 (Ⅱ)X 可能取0,1,2

211(0)525P X ==

?=，31211

(1)52522

P X ==?+?=，313(2)5210P X ==?=， 所以X 分布列为：

X

1

2

P

15

12 3

10

数学期望11311

012521010

EX =?+?+?

=. …………………………………9分 Y 可能取0,1,2

313(0)5525P Y ==?=，342114

(1)555525

P Y ==?+?=，248(2)5525P Y ==?=，

所以Y 分布列为：

Y

0 1 2 P

325 1425 825

数学期望314860122525255

EY =?

+?+?=. …………………………12分 （20）解：(Ⅰ)

1b =，3

=2

c e a =

， 2,1a b ∴==，

∴椭圆C 方程为2

214x y +=. ………………………………………2分

（Ⅱ）法一：椭圆1C :22221x y m n +=，当0y >时，2

21x y n m

=-，

故22

2

11nx

y m

x m '=-

?-，

∴当00y >时，20

002222000

2

1

11x n

n n k x x y m

m m y x n m =-?

=-=-?-. ……………4分 切线方程为()20

0020

x n y y x x m y -=-?-，

222222

220000n x x m y y m y n x m n +=+=，

00221x x y y

m n +=. …………………………6分 同理可证，00y <时，切线方程也为00221x x y y

m n +=.

当0=0y 时，切线方程为x m =±满足00221x x y y

m n

+=.

综上，过椭圆上一点00(,)Q x y 的切线方程为00221x x y y

m n

+=. ……………………7分

解法2. 当斜率存在时，设切线方程为y kx t =+，联立方程：

22

221x y m n

y kx t ?+=???=+?

可得222222

()n x m kx t m n ++=，化简可得： 22222222()2()0n m k x m ktx m t n +++-=，①

由题可得：422222222

44()()0m k t m n m k t n ?=-+-=， ……………………4分 化简可得：2

2

2

2

t m k n =+，

①式只有一个根，记作0x ，220222

m kt m k

x n m k t

=-=-+，0x 为切点的横坐标，

切点的纵坐标200n y kx t t =+=，所以2020x m k

y n =-，所以2020

n x k m y =-，

所以切线方程为：20

00020

()()n x y y k x x x x m y -=-=--，

化简得：

00221x x y y

m n

+=. …………………………… 6分 当切线斜率不存在时，切线为x m =±，也符合方程00221x x y y

m n

+=，

综上：22

221x y m n

+=在点00(,)x y 处的切线方程为00221x x y y m n +=.

（其它解法可酌情给分） ………………………… 7分

（Ⅲ）设点P (,)p p x y 为圆2

2

16x y +=上一点，,PA PB 是椭圆2

214

x y +=的切线，切点1122(,),(,)A x y B x y ，过点A 的椭圆的切线为1114

x x

y y +=，过点B 的椭圆的切线为

2214

x x

y y +=. 两切线都过P 点，12121,14

4

p p p p x x x x y y y y ∴

+=+=.

∴切点弦AB 所在直线方程为14

p p xx yy +=. …………………… 9分

1(0)p M y ∴，，4

(,0)p

N x ，

22

2

2222161161=16

p p

p p p p x y MN x y x y ??+∴=++? ? ???

222222221125

=171617216161616p p p p

p p p p

x y x y y x y x ???? ?++?≥+??= ? ? ?????

. 当且仅当

222216

p p p

p

x y y x =，即2

26416

,55

P P x y =

=时取等，

5

4

MN ∴≥

，MN ∴的最小值为54. ……………………………………12分

（21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）22'()'(1)22(0)x f x f e x f -=+-，所以'(1)'(1)22(0)f f f =+-，即(0)1f =． 又2

(1)(0)2

f f e -'=

?，所以2'(1)2f e =， 所以22()2x f x e x x =+-． ……………………………………4分 （Ⅱ）

22()2x f x e x x =-+，

222111

()()(1)(1)(1)2444

x x x g x f x a x a e x x x a x a e a x ∴=-+-+=+--+-+=--.

……………5分

()x g x e a '∴=-，

①当0a ≤时，()0g x '>，函数 在R 上单调递增； .……………6分 ②当0a >时，由

()0x

g x e a '=-=得ln x a =， ∴(),ln x a ∈-∞时，()0g x '<， ()g x 单调递减；()ln ,x a ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增．

综上，当0a ≤时，函数()g x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；当0a >时，函数()g x 的单调递增区间为()ln ,a +∞，单调递减区间为(),ln a -∞． .……………8分 （Ⅲ）解：设1()ln ,()ln x e

p x x q x e a x x

-=

-=+-，

21

'()0e p x x x

=-

-<，∴()p x 在[1,)x ∈+∞上为减函数，又()0p e =， ∴当1x e ≤≤时，()0p x ≥，当x e >时，()0p x <

.

11'()x q x e x -=-，121

''()0x q x e x

-=+>，

∴'()q x 在[1,)x ∈+∞上为增函数，又'(1)0q =，

∴[1,)x ∈+∞时，'()0q x ≥，∴()q x 在[1,)x ∈+∞上为增函数，

)(x g

∴()(1)20q x q a ≥=+>.

①当1x e ≤≤时，1|()||()|()()x e

p x q x p x q x e a x

--=-=--， 设1()x e m x e a x -=

--，则12'()0x e

m x e x

-=--<，∴()m x 在[1,)x ∈+∞上为减函数， ∴()(1)1m x m e a ≤=--，

2a ≥，∴()0m x <，∴|()||()|p x q x <，∴

e

x

比1

x e -+a 更接近ln x . ②

当

x e

>时

，

11|()||()|()()2ln 2ln x x e

p x q x p x q x x e a x e a x

---=--=-+--<--，

设1

()2ln x n x x e a -=--，则12'()x n x e x -=-，122''()0x n x e x

-=--<，

∴'()n x 在x e >时为减函数，∴12

'()'()0e n x n e e e

-<=-<，

∴()n x 在x e >时为减函数，∴1()()20e n x n e a e -<=--<， ∴|()||()|p x q x <，∴

e x 比1

x e -+a 更接近ln x . 综上：在2,1a x ≥≥时，e x

比1

x e -+a 更接近ln x . …………………………… 12分

(22) 解： (1)连接CD CB OD BD ,,, 是圆O 的两条切线，OC BD ⊥∴，

ο90=∠+∠∴DOC ODB ,又AB 为圆O 的直径，DB AD ⊥∴，

ο90=∠+∠∴ODB ADO ODA OAD ∠=∠∴,DOC OAD ∠=∠∴,即得证，……5分

(2)OD AO =∴,DOC DAO ∠=∠∴,Rt ∴△BAD ∽△COD ，

8AD OC AB OD ?=?=. ………………………………………………………… 10分

(23)解：（1）圆C 的参数方程为??

?+-=+=θ

θ

sin 24cos 23y x （θ为参数）

所以普通方程为4)4()3(22=++-y x …………………………………………2分

∴圆C 的极坐标方程：021sin 8cos 62=++-θρθρρ …………………5分

（2）点),(y x M 到直线AB ：02=+-y x 的距离为 ………………………6分

2

|

9sin 2cos 2|+-=

θθd

………………………7分

△ABM 的面积|9)4

sin(22||9sin 2cos 2|||21+-=+-=??=

θπ

θθd AB S

………………………9分 所以△ABM 面积的最大值为229+ ………………………10分

(24) 解：（1）4,1()3,124,2x x f x x x x x --<-??

=-≤

， ………………………2分

当1,42,6,6x x x x <---><-∴<- 当22

12,32,,233

x x x x -≤<>>

∴<< 当2,42,2,2x x x x ≥+>>-∴≥

综上所述 2|63x x x ??

>

<-????

或 ． ………………………5分 （2）易得min ()(1)3f x f =-=-，若R ∈?x ，t t x f 2

11

)(2

-≥恒成立， 则只需2

2min 73

()32760222

f x t t t t t =-≥-

?-+≤?≤≤， 综上所述

3

22

t ≤≤． ………………………10分