大变形问题的基本方程分解
代数变形常用的技巧
代数变形中常用的技巧代数变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。
代数变形技巧是学习掌握代数的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。
本文就初等代数变形中的解题技巧，作一些论述。
两个代数式A、B，如果对于其中所含字母的一切允许值它们对应的值都相等，则称这两个代数式恒等，记作A≡B或A=B，把一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。
恒等变形是代数的最基本知识，是学好中学数学的基础，恒等变形的理论依据是运算律和运算法则，所以，恒等变形必须遵循各运算法则，并按各运算法则在其定义域内进行变形。
代数恒等变形技巧是学习与掌握代数的重要基础,这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。
代数恒等变形实质上是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活与综合应用。
中学生在平时的学习中不善于积累和总结变形经验，在稍复杂的问题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作难以实施，甚至失败，其后果直接影响着应试的能力及效率。
代数的恒等变形包括的内容较多，本文着重阐述代数运算和解题中常见的变形技巧及应用。
一、整式变形整式变形包括整式的加减、乘除、因式分解等知识。
这些知识都是代数中的最基础的知识。
有关整式的运算与化简求值，常用到整式的变形。
例1：化简(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2-3(y-z)2-3(z-x)2-3(x-y)2分析：此题若按常规方法先去括号，再合并类项来进行恒等变形的话，计算会繁杂。
而通过观察发现此题是一个轮换对称多项式，就其特点而言，若用换元法会使变形简单，从而也说明了换元法是变形的一种重要方法。
第三章 大变形运动学与连续介质力学(1)
从而有
dx ( I H ) dX ，
dxi ( iJ H iJ )dX J
dX ( I h) dx ，
dX I ( jI hIj )dx j
（2）参考构形体元与现时构形体元之间的变换
dx
dx '
dx ''
x dX X
x dX ' X
x dX '' X
第三章 大变形运动学与连续介质力学
小变形： 包括弹性或塑性小变形，应变 ~ 0.1% Cauchy应变与位移是线性关系——几何线性问题 大变形（有限变形） ：
ij (ui , j u j ,i )
1 2
应变大，有时达到 100~ 200%，甚至更大 Cauchy应变不再适用——几何非线性问题，需要建立新的变形描述理论 通常由纯变形（stretch），刚体转动（rigid body rotation）及刚体位移 （ translation）组成
ˆ ˆi E 通常取两个完全重合的直角坐标系： e I
则下标可不区分大小写
参考构形中的质点P，或质点X（XJ） 微小线元PQ记作向量dX
经过运动与变形后，在t 时刻： 构形C变为构形c 质点XJ（质点P）运动到p，位移为u p的空间坐标为x（xi） 线元PQ变为pq ， dX变为dx
质点X（XJ）的运动： x x ( X , t ) ， xi xi ( X J , t ) x X u ， xi iJ X J ui
小变形Cauchy应变 ： ij (ui , j u j ,i ) 2 11 22 cos 1 若 90 ，则 11 22 1 刚体转动任意一点的应变都是0。 只有当 0 时应变公式才有足够的精度 Cauchy应变不适用于大变形
大变形问题有限元分析
所以，从方法上说，弹塑性问题有限元方法包含了大 变形问题有限元和接触问题有限元两类问题的所有特点。
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大变形分析中的载荷处理 (1/4)
载荷目前还没有考虑
TL法的载荷项： V uT b uT b dV 0 S uT te tedS0 uT P P
v j xi
旋转率
11
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大变形分析中的本构关系(5/5)
三种本构关系间的关系
对于实际的大变形问题，上述三种本构关系并不等价。可以证明，弹性 材料是一种特殊的次弹性材料，超弹性材料是一种特殊的弹性材料。
次
弹
性 材
弹性 超弹性 材料 材料
料
实际材料所遵守的本构关系，只有通过实验测试才能得以确定。
虚功方程：
t 时刻:
t T St ut T bt dV 0 ut T tt dS0 ut T Pt 0
V
S
e
t t 时刻:
V
S tt T
tt
tt
u
T
tt
b
dV 0
S
u t dS tt T tt
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大变形问题有限元方程的建立 (1/6)
与塑性力学有限元方法的异同
相似：都采用增量方法，都不显含时间。 区别：塑性力学的本构关系随加载变化，而大变形问题的构型随加载变化。
导致分析方法、应力应变描述、本构关系、控制方程的变化。
TL？UL? 本节讨论
构型对应 客观性描述 构型相关，本节讨论 。。。
固体力学大变形基础
面积变 换公式
eijk
xi X l
x j X m
xk X n
dX
m
dX
' n
xi ,l
ni dA
e
lmn
JdX
m
dX
' n
JN l dA0
根据变形梯度张量可逆
N i dA0
eijk
dX
j
dX
' k
xi X l
X l xi
xi ,l
X l ,i ii
1
由此面元变换公式也可表为
面积变
ni dA JX l ,i N l dA0
不为零。也即变形梯度可逆
J xi 0 X j
x1 ,1 x1 ,2 x1 ,3
xi X j
xi , X j
xi , j
Ricci符号
Ricci
J x2 ,1 x3 ,1
x2 ,2 x3 ,2
x , e x , x , x , 2 3
ijk i 1
j2
k
3
1 1231 eijk 1 3 2 1 3
xk X n
dX
l dX
m' dX
"
n
elmn
JdX
l
dX
' m
dX
" n
Je ijk
dX
i
dX
' j
dX
" k
JdV0
体积变换公式
elmn J
eijk xi ,l
x j ,m
xk ,n
eijk
xi X l
x j X m
xk X n
1.4、面积变换公式
代数变形常用技巧及其应用
代数变形常用技巧及其应用代数变形是数学中常用的一种技巧，用于处理代数表达式的结构和形式，以便简化和解决问题。
下面将介绍一些常见的代数变形技巧及其应用。
一、合并同类项：合并同类项是将具有相同字母和相同指数的项合并为一个项。
例如，将2x + 3x合并为5x，将4y²- 2y²合并为2y²。
这个技巧常用于简化代数表达式和解方程。
二、分配律：分配律是将一个数与一个括号中的表达式的每一项相乘，然后将结果相加或相减。
例如，将3(x + 2)扩展为3x + 6，将2(4x - 5)扩展为8x - 10。
这个技巧常用于化简和展开代数表达式。
三、因式分解：因式分解是将一个代数表达式分解成乘积的形式。
例如，将x²+ 4x + 4因式分解为(x + 2)(x + 2)，将3x²- 9因式分解为3(x - 3)(x + 3)。
这个技巧常用于解方程、简化分式和化简根式。
四、配方法：配方法是一种通过添加和减去适当的常数，使得一个代数表达式可以分解为平方的和或差的形式。
例如，将x²+ 6x + 9配方为(x + 3)²，将x²- 4x + 4配方为(x - 2)²。
这个技巧常用于解方程、化简根式和完成平方。
五、整理方程：整理方程是将方程中的项重新排列和组合，使得方程的形式更加简洁和易于解答。
例如，将2x + 3 = 7整理为2x = 4，将3x²- 5x + 2 = 0整理为3x²- 5x = -2。
这个技巧常用于解方程和求解未知数。
六、代入法：代入法是将一个变量的值代入到一个方程或表达式中，以便求解其他变量的值。
例如，将x = 2代入到2x + 3中，得到2(2) + 3 = 7。
这个技巧常用于解方程组和求解变量的值。
以上是一些常见的代数变形技巧及其应用。
通过灵活运用这些技巧，我们可以简化代数表达式、解决数学问题，以及更深入地理解代数的概念和原理。
大变形运动学与连续介质力学
0
0 1
刚体转动动的变形梯度： Fij ji iˆj eˆi
F x βT X
cos sin 0
F sin cos 0
0
0 1
cos sin 0
F 1 sin cos 0
0
0 1
速度梯度：
刚体旋转的角速度矢量为： ω n 在t 瞬时p 点的速度为： υ ω x n x ， k eklmnl xm
速度梯度：k ,m
k xm
eklmnl
变形率：
dkm
1 (k 2 xm
m xk
)
1 2
(eklm
nl
emlknl )
0
( 1 x1
x1 X I
x2 X J
x3 X K
1 x2
x2 X I
x2 X J
x3 X K
1 x3
x3 X I
x2 X J
x3 ) X K
1 x1
eIJK
x1 X I
x2 X J
x3 X K
det F 1 x1
1 (i 2 x j
j xi
)
1 2
(lij
l ji )
则
l υ d ，w x
lij
i x j
dij
wij
dυ (d w)dx， di (dij wij )dx j
eˆ1 eˆ2 eˆ3 curl υ rot υ
在小变形时通常把变形率分为弹性部分和塑性部分： d d e d p
Green应变率也可分为弹性部分和塑性部分：
代数变形常用技巧及其应用
代数变形常用技巧及其应用代数变形常用技巧及其应用摘要代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形．即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式．本文旨在从五个方面展现常用到的代数变形技巧：一是利用换元法变形，二是根据数学本身的概念、性质、法则等对已知条件直接进行变形，三是公式法变形，四是分解组合思想变形，五是利用待定系数法进行变形．另外，还介绍了这些变形技巧在分式、不等式、极限、求导、三角、方程组等方面的应用．关键词：代数变形换元法直接法公式法分解组合思想待定系数法The common skills and application of the algebradistortionAbstractThe algebra distortion is one kind of distortion which uses the algebra knowledge to implement deformation and the nature invariable. It means a question equally transforms for another question, transforms by one form into the substantive equal another form, sums up it as the question or the form which are quite familiar easy to solve.This article aimly unfolds the usually used skill of algebra distortion from five aspects： The first, distort using the substitution of variables. The second, according to mathematical concepts, the nature, the principle and so on carries on the distortion directly to the datum. The third, decomposes the combination thought to distort. The fourth, formula distorts. The fifth, carries on the distortion using the undetermined coefficient law. Moreover, it also introduced these distortion skill’s uses in the fraction, inequality,limit,derivation,triangle,equation group and so on.Key words：algebra distortion substitution of variables direct method formula method decomposite and combinate thought undetermined coefficient method一、绪论所谓代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形．即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式，其过程的实质是从未知到已知的转换过程，使原问题得以解决．一般情况下，代数变形必须是恒等变形或同解变形，这是他必须遵循的原则，不能让变形改变了题意．在变形的时候，不能改变一些实质性关键性的知识内容，否则就会使原问题“改头换面”，得到错误结果．实施代数变形，要把握几个主要因素，第一：题设中的关键性导语；第二：题设中的式子结构特征；第三：题设中的内在因素；第四：题设中所提供的数学模型，这些因素在变形中起着决定作用，是决策变形思维的关键．二、换元法及其应用（一）换元法的定义换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法．我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，进而解决问题． （二）换元法的应用1．应用于三角中例[]11 求证x x x xx 2cos 42sin 1tan 22cos 42sin 3+=--． 证明 令 t x =tan ，则左边＝()()()2222221421214641211416tt t t t t t t t t t ++=-+-+=-+--+， 右边＝2221421412tt t t t ++=+++＝左边， 所以原恒等式成立2．应用于分式不等式中例[]22 试证对满足10x >，20x >，21110x y z ->，22220x y z ->的所有实数1x ，2x ，1y ，2y ，1z ，2z ，有不等式：()()()222221112212121118z y x z y x z z y y x x -+-≤+-++，并求出等号成立的充要条件．证明 设02111>-=z y x a ，02222>-=z y x b ，则2111z a y x +=，2222z b y x +=， 所以()()()2122212212211122121212z z z z y x y x y x y x z z y y x x ---+++=+-++()22221112221122b a z x x z x x x b x x a x ab b a +≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=，因此()()()()22222111222121211111288z y x z y x b a abba z z y y x x -+-=+≤≤+≤+-++即()()()222221112212121118z y x z y x z z y y x x -+-≤+-++，且当且仅当212121,,z z y y x x ===等号成立．3．在方程组中的应用例[]33 已知方程组(1)， 求1000x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-=11112004200321200443212004321200421x x x x x x x x x x x x x x x x(1) 解 由第一个方程可知()2004,,2,10 =≠i x i ，设()2003,,2,121 ==i x x x p i i 用i p 去乘第1+i 个方程，两边得()2003.,2,112 ==-i p p i i ， 所以有251+-=i p ， 又因为99910001000p p x =所以5151515111000-++-=或或x ．三、直接法及其应用利用数学本身的概念、性质、法则等对已知条件直接进行变形，这是代数变形的最基本，最基础的方法．熟练掌握这些基本知识是进行代数变形的基础和依据，是必要的前提和准备．（一）在分式中的应用，将已知条件变形，再直接代入 例[]44 (1) 已知c yz zb x z y a z y x =+=+=+,,，且0≠++z y x ， 求cc b b a a +++++111的值． (2) 已知a b a b a b b a 156523-=-=，求222232654b ab a b ab a +-+-的值． 解 (1) 由已知 zy zy x z y x a +++=++=+11， 所以zy x xa a ++=+1， 同理可得到zy x z c c z y x y b b ++=+++=+1,1， 1111=++++=++++++++=+++++zy x z y x z y x z z y x y z y x x c c b b a a 所以．(2) 由已知条件知0,0≠≠b a ，把已知条件中的等式变形并利用等比性质消去b ，得：()()1313175307515615251567530157525==+-+-++=-=-=aaa b a b b a b a a b a b a b b a ， 因此b a 3=，所以()()29627332363534222222==+⋅⨯-+⋅⨯-=bb b b b b b b b b 原式． （二）在不等式中的应用例5 设()n i a i ,2,110=<<，且a a a a n =+++ 21 求证：an naa a a a a a n n -≥-++-+-1112211 ()不等式Shopiro ． 证明 因为()n i a a a ii i ,2,11111=--=-， 所以，原不等式变形为an nan a a a a a a a a a n n n -≥--+-+-=-+-+-111111********* ， 即an n a a a n -≥-+-+-221111111 ， 由算术平均≥调和平均，可得下式成立：()()()an n a a a n a a a n n -=-+-+-≥-+-+-221221111111111 ． 所以所求的原不等式成立． （三）在求极限中的应用例[]56 求数列极限211lim 1nn n n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭．解 先求函数极限211lim 1x x x x →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭()1∞型，对数后的极限为：211lim ln 1x x x x →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭()22ln 1ln lim1x x x x x→∞++-=222lim 11x x x x x →∞+==++， 所以由归结原则可得：211lim 1n n n n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭211lim 1xx x x →∞⎛⎫=++ ⎪⎝⎭e =． （四）在求导中的应用例7 设 ()()()()1231525424x x y x x +-=++()4x >，求y '．解 先对函数式取对数得y ln ()()()()112ln 5ln 45ln 2ln 432x x x x =++--+-+，再对上式两边分别求导数，得()()()()2151534224y y x x x x '=+--+-++， 整理后得到()()()()()()()()12315254215153422424x x y x x x x x x ⎛⎫+-'=+-- ⎪ ⎪+-++⎝⎭++．四、数学公式法及其应用公式变形不仅仅是公式的基本形态的功能拓宽，而且在变形过程中，可以充分体现数学思想和观点，数学公式的转化和简化功能，更能深层次地理解公式的本质，有利于培养思维能力，创新意识．运用数学公式解决数学问题时，首先要对所学过的公式进行熟练掌握，这是基本的，首要的知识点，在此基础上才能灵活变形使用．（一）完全平方公式的变形及应用由完全平方公式 ()2222b ab a b a +±=±，我们可以进行恒等变形为：(1)()()ab b a ab b a b a 222222+-=-+=+；(2)()()[]22222241⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--+=b a b a b a b a ab ；(3)()()()22222b a b a b a +=-++．上述几个恒等式十分重要，在解数学题时，若能灵活应用，往往能避繁就简，收到奇效，现举例说明．例[]68 化简()().1263163222+-++-++解 原式()()[]()()[]2212631263--++-++=2824+=．（二）三角公式变形及其应用在三角恒等变形中，熟悉公式的变化形式，既要学会顺用，又要学会逆用，还要会变用．例9 求证：()()()()()()x z z y y x x z z y y x -⋅-⋅-=-+-++tan tan tan tan tan tan ． 证明 左边()()()()[]x z z y x z z y y x ----+-+-=tan tan 1tan tan()()()()[]x z z y y x y x ------=tan tan 1tan tan ()()()x z z y y x -⋅-⋅-=tan tan tan 右边=（三）行列式变形及其应用学习行列式的时候，我们学习了范德蒙德行列式，并以公式的形式把它加以利用，利用范德蒙德行列式计算或证明行列式时，应根据反德蒙德行列式的特点，将所给的行列式化为范德蒙德行列式，然后根据范德蒙德行列式计算出结果．例[]710 计算1n +阶行列式()()()()1111111111nnn n n n n a a a n a a a n D a a a n ---+----=--解 此式不是范德蒙德行列式．将第1n +行，第n 行，，第2行分别向上和相邻行交换n 次，1n -次，，1次，共交换了()12n n +次，得 ()()()()()()nn nn n n n n n n a a a n a a a n a a a D -------=---++1111111111211由1n +阶范德蒙德行列式的计算公式得()()()()[]∏≥>≥++++--+--=11211111j i n n n n j a i a D ()j i i i n -=∏≥≥≥+11．五、分解组合思想及其应用将分解和组合的思想用于代数变形，其方法灵活多变，而且技巧性强，具体有“凑、配、添、拆”等实际做法． （一）配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式．通过配方法解决数学问题的方法叫配方法．其中用的最多的是配成完全平方式．1． 应用于解方程和因式分解中一般在解析式的变化过程中，使用公式()2222a ab b a b ±+=±，可使其呈现某一式的完全平方．但在解答问题时，给定的多项式往往不是完全平方式，需要适当配项，使之成为完全平方式，于此同时方可发现隐含条件．例11 设111x y x y -=+，求y xx y+的值．解 因为111x y x y -=+，所以 1y xx y+=， 又因为5422=⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y xx y y x x y y x x y ， 所以5±=+yxx y ． 2．应用于二次型中例[]812 用配方法将下列二次型化为标准型()31212221321222,,x x x x x x x x x f -++=．解 二次型可化为31212221222x x x x x x f -++=()()2322223212x x x x x x --+-+=，令 ⎪⎩⎪⎨⎧-==-+=323223211x x y x y x x x y ， 即 ⎪⎩⎪⎨⎧-==-=32322211yy x y x y y x ，则有f 的标准型为2322212y y y f -+=． 3．用配方法证明柯西不等式例[]913 (柯西不等式)设i a ，i b ，()1,2,,i n =，那么()()2222112212n n n a b a b a b a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()22212n b b b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，当且仅当11b a λ=，12b a λ=，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，n n b a λ=时不等式取等号．证明 当22212n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=0，即2120n a a a ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅==时，不等式成立； 当22212n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≠0时，作二次函数()()()()2222222121122122n n n n f x a a a x a b a b a b x b b b =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()()()()()2222222211111120n n n n n n f x a x a b x b a x a b x b a x b a x b =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++≥当且仅当011=+==+n n b x a b x a 即11,n n b xa b xa =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-时等号成立， 因为20ax bx c ++≥()0a >的充要条件是240b ac ∆=-≤， 所以()211222n n a b a b a b ∆=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦()222124n a a a -++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()22212n b b b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+0≤，化简整理得()()()222222211221212n n n n a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，在前面等式中令x -=λ，当且仅当11a b λ=，22a b λ=，n n a b λ=, 时不等式取等号．（二）拆项法将某一式拆为另外两式之和或差的形式，从而化繁为简，化难为易． 1．应用于数列求和 例14 计算()11111223341n n +++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+． 解 由()11111n n n n =-++，原式=11111223⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111n n ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭1111n n n =-=++． 2．应用于计算行列式例15 计算n 阶行列式123123123123n n n nx a a a a a x a a a a a x a a a a a x a ++++解 按最后一列拆项得n D 123123123123000x a a a a x a a a a x a a a a x++=+123123123123n n n nx a a a a a x a a a a a x a a a a a a ++++ 等号右边第一个行列式按最后一列展开，第二个行列式最后一列提出n a 后，第i 列减去最后一列的i a 倍()1,21i n =-，即得10010010010001n n n x x D xD a x-=+11n n n xD a x --=+ ()2121n n n n nx xD a xa x----=++11nn n i i x xa -===+∑．（三）加“0”乘“1”法1．加“0”例[]1016 在等差数列{}n a 与等比数列{}n b 中，110a b =>，220a b =>，求证：当 3n ≥时，n n a b <．证明 1211n n b b b b -⎛⎫= ⎪⎝⎭1211n a a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭121111n a a a a a -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭121111n a a a a -⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=--- 21122111211011a a a c a a a c c a n n n >1a ()21111a a n a ⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦=n a ．2．乘“1”例17 设,,a b c R +∈． 证明1⋅+=b a c 12++≥cb a =2ca b c ++， 同理≥2a a b c ++≥2ba b c++， 所以有≥()2a b c a b c ++++=2， 又上述三个不等式中“=”不能同时成立故． 3．应用于计算行列式 例18 计算n 阶行列式211122222111111111nnnn nnx x x x x x D x x x ++++++=+++解 将行列式加边升阶为2111222221000111111111111n nn n nnx x x D x x x x x x +++=++++++n nnnnnx x x x x x x x x2222212111111111---=nnn nnn x x x x x x x x x222221211111002=n nnn nnx x x x x x x x x2222212111111111----+()112nij i i i j nx x x =≤<≤=-∏∏()()()()()()11111112222211000111111111111n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x ----------+---()()()()1111211nniji j ji i i j nj i j nx xx x xx =≤<≤=≤<≤=-+---∏∏∏∏()()11121n n j i i j i j n i j x x x x ≤<≤==⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∏∏∏．六、待定系数法及其应用（一）待定系数法在解数学问题中，若先判断所求结果具有某种特定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种接替方法称为待定系数法． （二）应用1．在有理分式分解中的应用例19 对4325432249105248x x x x x x x x x -++-+--+-作部分分式分解．解 令()4325432249105248x x x x Q x x x x x x -++-=+--+-， 分母54325248x x x x x +--+-可写为几个因式乘积的形式 即：()R x =54325248x x x x x +--+-()()()22221x x x x =-+-+，则部分分式分解的待定形式为：()()()()()012222212A A A Bx CQ x x x x x x +=+++-+-++， 用()R x 乘以上式两边，得一恒等式43224910x x x x -++-()()22021A x x x ≡+-+()()()()()221222121A x x x x A x x x +-+-++--+()()()222Bx C x x ++-+，然后是等式两边同幂项系数相等，得到现行方程组： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=--+=+----=+++-=++108244948344243312322102121021010C A A A C B A A C B A A A C B A A A B A A 求出它的解：01A =，12A =，21A =-，1B =-，C=1，并代入()1式所以原式的部分分式分解为4325432249105248x x x x x x x x x -++-+--+-()()()()2212112212x x x x x x -=+---+-++．2．在求取值范围中的应用例[]1120 已知821≤-+≤-z y x ，92≤+-≤z y x ，723≤-+≤-z y x ，求证：472576≤-+≤-z y x ．证明 令 ()()()z y x z y x C z y x B z y x A 25722-+=-+++-+-+， 比较两边的对应系数，得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=+-=++25272C B A C B A C B A ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒321C B A由于821≤-+≤-z y x ，92≤+-≤z y x ，723≤-+≤-z y x ，所以有472576≤-+≤-z y x ．3．在数列求和中的应用 例[]1221 求()()211543143213211++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=n n n S n ． 解 设()()21211++++=++n Cn B n A n n n ，比较两边对应项的系数，可得21,1,21=-==C B A ， 故()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=++2112121211n n n n n n ，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2112141322131221121n n n S n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=214131123222121121n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+++-=21112121n n ．4．在极限中的应用例[]1322 若()843lim =+∞→n n n b a ，()16lim =-∞→n n n b a ，求()n n n b a +∞→3lim ．解 设()()()()n n n n n n n n b B A a B A b a B b a A b a -++=-++=+4636433， 比较系数得⎩⎨⎧=-=+14363B A B A 解得31,31==B A ， 所以 ()()()331386lim 3143lim 313lim =+=-++=+∞→∞→∞→n n n n n n n n n b a b a b a ．代数变形的常用技巧还很多，如整体化思想，分离变量等．结束语本文主要浅谈了代数变形的一些方法和技巧以及其在分式、不等式、极限、求导、三角、方程等方面的应用，为解决相关数学问题指引了方向，点明了思路，这些方法和技巧各自具有优点和局限性，它们之间也无绝对界限，一道题有时可施加多种变形．我们在应用代数变形的方法去解决数学问题时，不一定非要严格遵循某一个统一的模式，需要依据问题本身所提供的信息，利用动态思维，从中进行一番思考与选择，寻求有利于问题解决得最佳变换途径和方法．致谢本论文是在我的导师的亲切关怀和悉心指导下完成的．他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我．从课题的选择到项目的最终完成，导师都始终给予我细心的指导和不懈的支持．长期以来，在此谨向导师致以诚挚的谢意和崇高的敬意．而且，我还要感谢潍坊继续教育学院数学与信息科学系的各位老师，是他们的传道、授业、解惑和辛勤工作让我们学到专业知识和如何求知治学．感谢学校提供了良好的学习环境．最后，我还要感谢我的家人，谢谢他们一直以来对我的关心和支持，同时，也向所有帮助我，关心我的朋友和同学表示最诚挚的感谢，谢谢他们的支持和帮助．参考文献[1]张钟宜．略谈三角恒等变形的技巧和方法[J]．数理化学习（高中版）．[2]陆如龙．戴志祥．证明分式不等式的变形技巧．［Ｊ］．河北理科教学研究．2003（1）．[3]丁胜．应用恒等变形解决数学问题[J]．成都纺织高等专科学校学报．2005（4）．[4]Reston．V．A．National of teacher of mathematics curriculum and evaluation standardsfor school mathematics．1998．6．[5]华东师范大学数学系编．数学分析（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2001（2003重印）．[6]申志强．例说代数式的恒等变形[J]．中学数学杂志．2004（1）．[7]仉志余等．线性代数分级讲练教程[M]．北京大学出版社．2006(6)．[8]Rorres C．Anton H．Applications of linear algebra．3rd ed．John wiley & Sons．Inc，1984．[9]罗仁幸．初等数学解题变形技巧漫谈[J]．宝山师专学报．1995（2）[10]袁良佐．“加0”与“乘1”．中学生数学[J]．2002（6）．[11]李亚丽．待定系数法在不等式中的应用[J]．创新篇．解题思想方法．2006（6）．[12]田宝运．高元仁．待定系数法在解题中的应用[J]．数理化学习(高中版)．[13]Loren C．Larson．Problem-Solving Through Problems Springer-Verlag．1983．。
大变形问题有限元分析
解线性方程组
通过求解由刚度矩阵构成的线性方程 组，得到离散解。
后处理
对离散解进行后处理，如误差估计、 收敛性分析等。
04
大变形问题的有限
元分析
有限元模型的建立
确定问题类型
选择单元类型
根据实际问题，确定是弹性问题、塑性问 题还是流体动力学问题等。
根据问题类型和求解精度要求，选择合适 的单元类型，如四边形单元、六面体单元 等。
在大变形问题中，由于物体的位移和变形较大，传统的有限 元分析方法可能无法准确描述物体的变形行为，因此需要采 用更高级的有限元分析方法。
研究意义
大变形问题在工程实践中具有广泛的应用，如桥梁、建筑 、航空航天等领域的结构分析。因此，研究大变形问题的 有限元分析方法具有重要的实际意义。
通过研究大变形问题的有限元分析方法，可以更好地了解 物体的变形行为，提高工程结构的可靠性和安全性。此外 ，该研究还可以为其他复杂工程问题的有限元分析提供理 论支持和方法指导。
求解方程组
利用选定的求解方法，求解建立的方程组， 得到各节点的数值解。
有限元分析的步骤和流程
对计算结果进行可视化、分析和 解释等。
建立方程组、选择求解方法和求 解方程组等。
建立几何模型、划分网格和离散 化处理等。
前处理
求解过程
后处理
05
有限元分析的实例
实例一：简单大变形问题分析
模型描述
考虑一个简单的弹性体，在受到外力作用时 发生的变形。
建立几何模型
划分网格
根据实际问题，建立相应的几何模型，包 括形状、尺寸和边界条件等。
将几何模型划分为有限个小的单元，每个 单元由节点和边组成。
有限元模型的求解
离散化处理
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第五章 大变形问题的基本方程和Lagrangion 表示法（列式法）§5-1物体的运动分析和应变度量严格来说任何一个变形过程都是非线性的，因为平衡状态和变形有关。
但在小变形情况下，以物体变形的平衡方程可始终建立在初始构形上，而与实际情况相差不大，足够满足工程要求。
而研究大变形物体的变形过程，，必须在变形之后的物体构形上建立平衡方程。
研究方法：把连续的的变形过程分为若干个增量步，在每个增量步内建立它的增量运动方程——即变形体内质点的运动规律。
要选取某一坐标系：初始（initial ）坐标系; 相邻（adjacent, neighboring ）坐标系; 瞬时（current ）坐标系.1． 物体运动方程：物体构形（configuration ）内一点P 的增量运动方程。
选择两个固定坐标系,以t 时刻物体构形作为参考构形的坐标系a i , 以+t t 时刻物体构形作为参考构形的坐标系x i研究（t t t →+）具有普遍意义.t 时刻 ()i P a ； t t + 时刻 '()i P x △t 增量步内，P 的变形i i i u x a =- （1）研究t 时间步内物体内一点P 的变形。
最简便的办法是将两个坐标系重合在一起。
2． 应变度量研究P 点附近线素变形 在 t t t →+ 时间步内 ''PQ P Q →线素变形 i i i du dx da =- （1）’将i du 在i a 坐标系中，在P 点处作一阶泰勒展开并考虑到()=i P du O 得ii j ju du da a ∂=∂ 代入(1)’ 式得 ()ii ij j ju dx da a δ∂=+∂ (2) 同理将i du 在x i 坐标系中，在P ’点处作一阶泰勒展开,并考虑到()'=i P du O 得ii j ju du dx x ∂=∂代入(1)’ 式 ()ii ij j ju da dx x δ∂=-∂ (2)’ --------------------------------------------------------------------------------------------------- 附：若位移i du 是坐标i a 的单值连续函数，则可在i a 空间中p 点处展成泰勒级数. 123123()⎫⎛∂∂∂∂=+++=⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭i i i i i i p j ju u uu du du da da da da a a a x i.e 111111231232222212312333333123123()()()p p p u u u du du da da da a a a u u u du du da da da a a a u u u du du da da da a a a ⎧⎫⎛∂∂∂=+++⎪⎪ ⎪∂∂∂⎝⎪⎭⎪⎫⎛∂∂∂⎪=+++⎪⎨ ⎪∂∂∂⎝⎭⎪⎪⎫⎛∂∂∂⎪=+++⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎩ 代入（1）式 i ii d x d a du =+ 写成张量形式： ii ij j j udx da a δ⎛⎫∂=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭(2) 同理若将位移i du 在i x 坐标系中p ’点处展成泰勒级数并取一阶项：123123()⎫⎛∂∂∂∂=+++=⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭i i i i i i p j u u uu du du dx dx dx x x x x 代入（1）得ii ij j j uda dx x δ⎛⎫∂=- ⎪ ⎪∂⎝⎭(2)’ ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 上两式中 i i j j u du da a ∂=∂ i i j judu dx x ∂=∂ 其中i j u a ∂∂和i jux ∂∂ 可分别记为,i j u 和,i j u ，可称为相对位移张量（不对称张量），而且可将,i j u 分解成对称部分和反对称部分。
i.e. ,ii j ij ij ju u a εω∂==+∂ (3)其中 1()21()2j i ij j i j i ij j i u u a a u u a a εω∂⎫∂=+⎪∂∂⎪⎬∂∂⎪=-⎪∂∂⎭(4)同理 ,ii j i j ij ju u x εω∂==+∂ (3)’ 1()21()2j i ij j i j i ij j i u u x x u u x x εω∂⎫∂=+⎪∂∂⎪⎬∂∂⎪=-⎪∂∂⎭(4)’将（3）（4）和 (3)’ (4)’代入（2）(2)’得变形前线素 ()i i j i j i j i d x d a δεω=++ (5) 变形后线素 ()i i j i j i j i d a d xδεω=-- (5)’ 为了定义应变要讨论t ∆时间步内线素的长度变化PQt 时刻变形前线素长度 ： PQ 长度ds 0 ()20i i ds da da = (6) t+t ∆时刻变形前长度 ： ''P Q 长度ds ()2i i ds dx dx = (6)’ 定义应变为: ()()2202iji ids ds E da da -=和 ()()2202iji ids ds e dx dx -=(7)和(7)’--------------------------------------------------------------------------------------------------- 附录：1. 说明：平衡方程和变形有关，否则无法求解或求解错误。
由两杆三铰结构，且三铰位于同一条直线上。
从小变形的观点，平衡方程始终相对于初始坐标建立。
所以，外力P 无法抵挡，成为结构力学中瞬变机构。
而实际上，平衡状态是客观存在的，如图平衡状态和变形有关。
当铰2有了一定的微小法向位移δ之后，杆中的轴力，有一部分可以抵抗外力P ，而平衡与变形δ有关。
平衡方程应相对于变形后的构型为参考的坐标系来建立。
2. 说明：用线性理论求解会得到错误的结果。
物体作平面转动的刚体运动。
角速度为3ω，t 时间内转动量为t 3ω。
按小变形理论，x向线素dx ，经转动后成为'dx ，则1cos cos '3311-=-⋅=-==t dxdx t dx dx dx dx dx du ωωε 当t 3ω较大的时候011≠ε，这显然是不真实的错误解。
只有当03→t ω时，011=ε。
因此，线性应变理论不适用于大变形状态。
3、关于相对位移张量和不对称性在i a 坐标系下，表示位移i du ，则j j i j j i i da u da a u du ,=∂∂=，其中ji j i a uu ∂∂=,称相对位移张量，即⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧321332313322212312111321da da da a u a u a u a u a u a u a u a u a u du du du 相对位移张量是非对称张量，因为ijj i a u a u ∂∂≠∂∂。
例如对于平面内变形： 1221a u a u ∂∂≠∂∂ )(2112213a u a u ∂∂-∂∂=ω 12211221a u a u ∂∂+∂∂==γγ 122112212121ωεωγ+=+=∂∂a u 其中21γ是工程应变，21ε是应变张量分量。
这样可以将相对位移张量分解成对称部分和反对称部分ij ij j i jiu a uωε+==∂∂, (3)其中)(21i j j i ij a u a u ∂∂+∂∂=ε为对称部分称为应变张量；)(21i jj i ij a u a u ∂∂-∂∂=ω为非对称部分称为刚体转动12a∂12a u ∂∂ω122γ1a分量表示⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211333231232221131211212121212121εεεεεεεεεεγγγεγγγεεij ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=00323123211312ωωωωωωωij 同理ij ij j i jiu x u ωε+==∂∂, (3)’ --------------------------------------------------------------------------------------------------- 为了求)(ij ij e E ，将（2）代入（5）i i jki k i j j i i i jki k i j j i i i i ji ij i j i ij ii i i da da a u a u a u a u da da a u a u a u a u da da da a uda a u da da dx dx dS dS )()11()()()()(202∂∂∂∂+∂∂+∂∂=-∂∂∂∂+∂∂+∂∂+=-∂∂+∂∂+=-=-δδ (8) 上面的展开推导过程中，采用了张量运算法则：1) 当1i j k ===时，1==kl ij ij ij δδδδ 2) jij i ija u a u ∂∂=∂∂δ 3)jki k j i j i a u a u a u a u ∂∂∂∂=∂∂∂∂ 同理，将 (2)’ 代入 (5)’220()()()∂∂∂∂-=-=++∂∂∂∂j i k ki i i i i i j i i ju u u u dS dS dx dx da da dx dx x x x x (8)’ 将 (8) 和 (8)’ 代入 (5) 和 (5)’，得)(21jk i k i j j i ij a u a u a u a u E ∂∂∂∂+∂∂+∂∂=(9))(21jki k i j j i ij x u x u x u x u e ∂∂∂∂+∂∂+∂∂= (9)’统一表示为：)(21)(,,,,j k i k i j j i ij ij u u u u e or E ++=(10) (10) 式恰好反映了t ∆增量步内，线素PQ （P 点）的应变量，ij E 是以t 时刻的物体构形为参考构形建立的坐标系来描述的，而ij e 是以t +t ∆时的坐标描述的。
前者称为Green 应变，取相对坐标系。
后者称为Almansi 应变，取即时坐标系。
讨论：如果将初始构形i a 和变形后的构形i x 看作是同一构形，即变形比较小，且位移的一阶导数项j i a u ∂∂（j i x u∂∂）也比较小，则可认为平方项（i k a u ∂∂jk a u ∂∂）趋近于零，那么 (9) 式和 (9)’ 式就完全相同。