放缩法的应用技巧
放缩法技巧及经典例题讲解
放缩法技巧及经典例题讲解一．放缩技巧所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤，由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”.常用的放缩技巧（1）若0,,t a t a a t a >+>-<（2）<>，11>n >= （3）21111111(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-=<<=->++-- （4）=<=<= （5）若,,a b m R +∈，则,a a a a m b b m b b +><+ （6）21111111112!3!!222n n -+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+ （7）2221111111111(1)()()232231n n n+++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+--（因为211(1)n n n <-） （7）1111111112321111n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=<+++++++ 或11111111123222222n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+==+++ （8）1⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅+== （9）)1(11)1(12-<<+k k k k k ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≤！！（！k k k 1)11211 （10）12112-+<<++k k k k k【经典例题】例1、设数列{}n a 满足12,311+-==+n a a a n n（1） 求{}n a 的通项公式；（2） 若11111,1,1++-=-=-==n n n n n n n c c d n a c c b c 求证：数列{}n n d b ⋅的前n 项和31<n S例2、已知正项数列{}n a 满足()()*21111,1N n a n a a a n n n ∈⋅++==+ （1） 判断数列{}n a 的单调性；（2） 求证：()2111112111+<-<+-++n a a n n n n经典方法归纳：一．先求和后放缩例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a s ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为,n B ，求证：21<n B例2、已知*21().n n a n N =-∈求证：*122311...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例1．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n n n as a a 22=+.(1) 求证：4221++<n a a S n n ；(2) 求证：2121321-<+⋅⋅⋅+++<+n n n s s s s s s例2．已知数列{}n a 满足：()⋅⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==+3,2,121,111n a n a a n n n ．求证:11213-++-≥≥n n n n a a .2．放缩后成等比数列，再求和例2．（1）设a ，n ∈N *，a ≥2，证明：()()n nn a a a a 12+≥--； （2）等比数列{a n }中，211-=a ，前n 项的和为A n ，且A 7，A 9，A 8成等差数列．设nn n a a b -=12 ， 数列{b n }前n 项的和为B n ，证明：31<n B ．3．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列()()32111⋅⋅⋅-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数.63=a ．（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；（2）令,11nn n n n a a a a b +++=，证明,32221+<+⋅⋅⋅++<n b b b n n ⋅⋅⋅=2,1n三. 裂项放缩1、若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。
基本不等式放缩法
基本不等式放缩法是解决数学问题中的一种常用技巧，特别是在证明不等式时。
放缩法的核心思想是通过适当的放大或缩小某些项，使得原始的不等式更容易处理或者更容易证明。
以下是一些常见的放缩技巧：
1. 添加或舍弃一些正项（或负项）：在保持不等式方向不变的前提下，可以适当添加或去掉一些不影响不等式成立的正项或负项。
2. 先放缩再求和（或先求和再放缩）：根据问题的需要，可以先对某些项进行放缩，然后再进行求和，或者先求和再对结果进行放缩。
3. 逐项放大或缩小：对不等式中的每项单独进行放缩，然后合并结果。
4. 固定一部分项，放缩另外的项：在某些情况下，可以固定一部分项不变，只对其他项进行放缩。
5. 函数放缩：利用函数的单调性进行放缩，例如，对于递增函数，可以放大小的值，缩小大的值。
6. 裂项放缩：将复杂的项分解成更简单的形式，然后进行放缩。
7. 均值不等式放缩：利用算术平均值大于等于几何平均值的性质进行放缩。
8. 二项放缩：在涉及二项式的情况下，可以利用二项式的性质进行放缩。
9. 指数函数放缩：例如，对于指数函数e^x，有e^x ≥x + 1 当x ≥0。
10. 利用导数判断函数的单调性：通过求导数来判断函数的单调性，然后根据单调性进行放缩。
在实际应用中，放缩法往往需要结合具体问题灵活运用，有时还需要与其他数学方法（如代换法、综合法、反证法等）结合使用。
通过放缩，可以将复杂的不等式转化为更易于处理的形式，从而简化问题的解决过程。
高中数学放缩法技巧全总结
高中数学放缩法技巧全总结在高中数学学习中，放缩法是一种常用的解题技巧，尤其在不等式证明和极限计算中应用广泛。
掌握好放缩法的技巧，可以帮助我们更好地解决数学问题，提高解题效率。
下面，我将对高中数学放缩法的技巧进行全面总结，希望能够帮助大家更好地掌握这一技巧。
首先，放缩法的基本思想是通过构造一个比原来更容易处理的不等式或者关系式，从而简化原问题的解决过程。
在实际运用中，我们可以通过加减变形、乘除变形、配方等方式进行放缩，下面我们来看一些常用的放缩法技巧。
一、加减变形。
在不等式证明中，我们常常会遇到需要证明一个不等式成立的情况。
这时，我们可以通过在两边同时加上或者减去一个特定的数，来改变原不等式的形式，使得原不等式更容易证明。
例如，在证明数学归纳法中的不等式时，我们常常会通过加减变形来简化证明过程，这是一种常见的放缩法技巧。
二、乘除变形。
在极限计算中，我们常常需要通过放缩法来证明一个极限存在或者不存在。
这时，我们可以通过乘除变形，将原极限问题转化为一个更容易处理的形式。
例如，当我们需要证明一个函数的极限不存在时，可以通过乘除变形将原函数转化为一个更容易处理的形式，从而简化证明过程。
三、配方。
在解决数学问题中，有时我们需要通过配方来进行放缩。
例如，在证明三角函数不等式时，我们可以通过对不等式进行配方，将原不等式转化为一个更容易处理的形式。
这种放缩法技巧在解决三角函数不等式问题中应用广泛，可以帮助我们更好地解决这类问题。
总结起来，放缩法是高中数学学习中常用的解题技巧，通过加减变形、乘除变形、配方等方式进行放缩，可以帮助我们更好地解决数学问题，提高解题效率。
希望以上总结的放缩法技巧对大家有所帮助，能够在高中数学学习中更好地运用这一技巧，提高数学成绩。
放缩技巧积累公式生用
放缩技巧积累公式生用放缩技巧是数学中经常使用的一种方法，通过对数学表达式中的相关变量进行适当放缩，可以简化问题的求解过程，提高求解效率。
下面将介绍一些常见的放缩技巧及其应用。
一、放缩技巧之平方差公式平方差公式是数学中常用的放缩技巧之一，它可以将一个式子表示为两个平方差的形式，从而提供了更多的计算方式。
1. (a + b)² = a² + 2ab + b²(a - b)² = a² - 2ab + b²这两个公式可以将一个式子表示为两个平方差的形式，从而可以将一些复杂的计算转化为更简单的计算，例如求解一些二次式的因式分解等问题。
2. (a + b)² - (a - b)² = 4ab这个公式是平方差公式的一个推论，用来计算两个具有平方差形式的式子之间的差值。
可以应用于一些问题中，例如计算两个数的乘积等。
二、放缩技巧之倍角公式倍角公式是一类通过对角度进行放缩的技巧，可以将不同角度的三角函数关系转化为相同角度的三角函数关系，从而简化问题的求解。
1. sin 2θ = 2sinθcosθ这个公式表示角度2θ的正弦值可以通过角度θ的正弦和余弦值来计算，可以应用于一些三角函数的积分、导数和级数展开等问题。
2. cos 2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ这个公式表示角度2θ的余弦值可以通过角度θ的正弦和余弦值来计算，可以应用于一些三角函数的积分、导数和级数展开等问题。
三、放缩技巧之柯西不等式柯西不等式是数学中一个重要的放缩技巧，它可以将多个变量的乘积的和表示为一个变量的平方和的形式，从而提供了更多的计算方式。
1.(a₁²+a₂²+...+aₙ²)(b₁²+b₂²+...+bₙ²)≥(a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ)²这个公式表示两个向量的点乘的平方不小于它们的模的平方的乘积，可以应用于一些向量和矩阵计算中。
用放缩法证明方法与技巧
二、常见的放缩法技巧 １、基本不等式、柯西不等式、排序不等式放缩
b bm (m 0, a b) . 2、糖水不等式放缩： a am
3、添（减）项放缩 4、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩） 5、逐项放大或缩小：
三、常用公式
1 1 1 1． 2 k (k 1) k k (k 1)
0, a t a, a t a
n 1 n ， 2 n n n 1 ， n 1 1 n 1 ， n(n 1) n 2 n 1 1 1 1 1 1 1 （3） 2 (n 1) n n 1 n(n 1) n n(n 1) n 1 n 2 2 1 2 （4） 2( n 1 n ) 2( n n 1) n 1 n n n n n n 1 a a a am , （5）若 a, b, m R ，则 b bm b b 1 1 1 1 1 1 1 2 n 1 （6） 1 2! 3! n! 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) （7） （因为 ） 22 32 n2 2 2 3 n 1 n n 2 (n 1)n 1 1 1 1 1 1 1 n 1 （7） n 1 n 2 n 3 2n n 1 n 1 n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 或 n 1 n 2 n 3 2n 2n 2n 2n 2n 2 1 1 1 1 1 1 n n 等等。 （8） 1 2 3 n n n n n
一、放缩法原理 为了证明不等式 A B ， 我们可以找一个或多个中间变量 C 作比较， 即若能判定 A C, C B 同时成立， 那么 A B 显然正确。 所谓 “放” 即把 A 放大到 C,再把 C 放大到 B；反之，由 B 缩小经过 C 而变到 A, 则称为“缩” ，统称为放缩法。放缩是一种技巧性较强的不等变形，必 须时刻注意放缩的跨度，做到“放不能过头，缩不能不及” 。
高中数学放缩法技巧全总结
高中数学放缩法技巧全总结高中数学中的放缩法是一种常用的解题技巧，它通过适当调整式子的形式，进行等价转化，从而简化计算或者明晰问题的关键点。
下面总结了一些常见的高中数学放缩法技巧。
1. 分子分母同乘：当分式的分子和分母中含有相同的因式时，可以将分子和分母同时乘以这个因式的倒数，从而得到一个等价的分式。
这样做的好处是可以简化分式，消去分子分母中的公因式。
2. 导数法：在解决函数极值问题时，可以利用导数的概念进行放缩。
通过求函数的导数，并研究导数的正负性，可以找到函数的极值点。
这种方法可以有效地缩小问题的范围，简化计算。
3. 均值不等式：均值不等式是一种常用的放缩方法，它通过寻找合适的均值来放缩不等式。
常见的均值不等式有算术-几何均值不等式、柯西-施瓦茨不等式等。
通过将不等式的两边同时取均值，可以得到一个更简单的等价不等式。
4. 三角函数变换：在解决三角函数相关的问题时，可以利用三角函数的性质进行放缩。
常见的三角函数变换有和差化积、倍角公式等。
通过适当的变换，可以将原问题转化为更容易处理的形式。
5. 幂函数变换：在解决幂函数相关的问题时，可以利用幂函数的性质进行放缩。
常见的幂函数变换有换元法、幂函数的反函数等。
通过适当的变换，可以使问题的形式更简单，更易于分析。
6. 递推关系式：在解决数列相关的问题时，可以利用递推关系式进行放缩。
通过找到数列的递推关系式，可以将原问题转化为递推问题。
递推关系式可以帮助我们找到数列的通项公式，从而简化问题的求解过程。
以上是一些高中数学中常用的放缩法技巧。
通过灵活运用这些技巧，可以在解题过程中简化计算、明晰问题的关键点，从而更高效地解决数学问题。
数列放缩法的应用技巧总结
数列放缩法的应用技巧总结数列放缩法是一种在解决数学问题中常用的技巧和方法。
它的核心思想是对给定的数列进行适当的放缩，以便更好地理解和分析数列的性质和规律。
数列放缩法在各个数学领域都有广泛的应用，包括数论、代数、几何、概率论等。
下面将总结数列放缩法的应用技巧。
1. 数列变形：在使用数列放缩法解决问题时，常常需要对原始数列进行变形。
通过将数列中的项重新排列或重新组合，可以使问题变得相对简单。
数列变形的关键是发现数列中的规律和性质，在此基础上进行合理的变形，从而达到更好地解决问题的目的。
2. 数列放缩：数列放缩是数列放缩法的核心步骤。
通过对数列进行加减乘除等运算，可以使数列的项之间的关系更加明确和简单。
数列放缩的关键在于找到合适的变换方法和变换因子，保持等价性的同时使问题变得更容易解决。
3. 利用不等式：数列放缩法常常利用不等式来进行数列的放缩。
通过添加合适的不等式或利用已知的不等式性质，可以对数列的项进行限制和界定。
不等式的选择和使用需要根据具体的问题和数列的性质进行判断，常用的不等式有柯西-施瓦兹不等式、均值不等式、特殊不等式等。
4. 利用递推关系：对于递推数列，数列放缩法常常利用递推关系进行变形和放缩。
通过寻找递推数列的通项公式，可以将原始问题转化为求解通项公式的问题。
在这个过程中，数列的放缩往往是不可缺少的一步，它可以将复杂的递推关系简化为更简单的形式。
5. 利用数列的性质：数列放缩法还常常利用数列的性质来解决问题。
例如，对于等差数列，可以利用其性质求解等差数列的和、推导等差数列的通项公式等。
对于等比数列，也可以利用等比数列的性质来解决等比数列的问题。
6. 利用极限思想：数列放缩法常常利用极限思想来求解数列的极限或证明数列的性质。
通过适当的放缩和变形，可以从数列中找到趋于极限的子数列，从而进一步研究数列的性质和规律。
7. 利用对称性：数列放缩法还常常利用数列的对称性进行变形和放缩。
通过对称性的利用，可以简化数列的形式，从而更好地理解和分析数列的性质和规律。
十种放缩法技巧全总结
十种放缩法技巧全总结放缩法技巧是一种常用的设计和排版技术，可以在不改变内容的情况下，通过调整大小、缩放比例或间距来改变元素的排列和呈现效果。
它适用于各种设计领域，如平面设计、网页设计、广告设计等。
下面将总结十种常用的放缩法技巧，以便设计师们能更好地应用于实践。
1. 缩放比例：通过调整元素的大小来改变整体布局的比例和平衡感。
放大某些元素可以突出其重要性，缩小其他元素可以减弱它们的影响力。
同时，还可以通过放大主标题或重点内容来吸引读者的注意力。
2. 内外间距：通过调整元素之间的间距来改变整体布局的紧凑度和松散度。
增大内间距可以提高元素的可读性和可识别性，减小外间距可以增加元素之间的联系和连贯感。
3. 字号变化：通过调整文字的大小来突出显示重点内容或区分不同的信息层次。
可以使用不同的字号来区分标题、正文、引用等内容，以达到突出重点和提高可读性的效果。
4. 对比度调整：通过增加或减少元素之间的明暗差异，来增强或减弱它们的视觉冲击力。
使得重要内容或元素更加醒目，吸引读者的目光。
5. 彩色调整：通过调整元素的色彩饱和度、色调或色相，来改变整体布局的氛围和效果。
可以使用鲜艳的颜色来吸引注意力，使用柔和的颜色来营造温馨的氛围。
6. 图片处理：通过剪裁、缩放或扭曲图片，来实现更好的视觉效果和排版效果。
可以根据布局需要来调整图片的形状和比例，使其更好地契合整体设计。
7. 线条处理：通过增加或减少线条的粗细、长度或间距，来改变整体布局的结构和感觉。
可以添加辅助线条来提供指引，增强整体排版的连贯性和稳定感。
8. 图标和符号：通过添加图标和符号，来强调或解释某些内容。
可以使用简洁明了的图标来代替大段文字，使得信息更加清晰易懂。
9. 插图选择：通过选择合适的插图，来增加整体布局的视觉吸引力和趣味性。
可以使用与内容相关的插图来补充和强化文字表达，使得信息更加生动有趣。
10. 特殊效果：通过应用一些特殊的效果，如阴影、渐变、透明度等，来增加整体布局的层次感和立体感。
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放缩法的应用技巧放缩法证明数列不等式是高考数学命题的热点和难点。
所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对不等式的局部进行合理的放大和缩小从而向结论转化，其难度在于放缩的合理和适度。
证明数列型不等式，因 其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧从而充满思考性和挑战性。
为了帮助更多的学生突破这 一难点，我们从以下几个方面对放缩法证明数列不等式的基本策略进行分析。
一、 常见的放缩方法证题中经常用到的放缩方法法有：1•“添舍”放缩：对不等式一边添项或舍项以达到放大和缩小的效果；2.分式放缩：分别放缩分式的分子、分母或者同时放缩分子分母以达到放缩的效果； 3•利用重要的不等式或结论放缩：把欲证不等式变形构造，然后利用已知的公式或恒不等式进行放缩，例如均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式、二项式定理、贝努力公式、真分数性质定理等。
4.单调性放缩：挖掘不等式的结构特征和函数内涵来构造单调数列或单调函数，禾U 用单调性、值域产 生的不等关系进行放缩。
二、 常见的放缩控制分析3:分析1中从第二项开始放缩，放的最终有点大。
可以调整放缩的项数，从第三项开始放缩。
由此可见，调整成功。
显然从第三项开始放缩所得的结果比从第二项开始放缩所得的结果又更小些。
以此类推，当放缩的项数越少，放缩后的结果就会越来越精细，越来越逼近目标。
除此之外，还可以调整放缩的次数，通过多次放缩的调整来达到效果；有时也可以根据欲证式子 的结构特点，把相邻的项分组捆绑后进行放缩，也可以达到控制放缩合理和尺度的效果。
当我们选择了正确的放缩方法后，却往往会在放缩的过程中不知不觉间失控,达不到欲证的目标。
那么如何控制好放缩的尺度呢？豹… 1 1117例1 •求证： 2221 2 3 n 41：不等式左边不能直接求和，我们希望通过合适的放缩后可以求和。
“ 1导致放缩的过大或过小,分析若采取则左边 n(n 1)1 1 【1】 分析 证明【2】 很明显,112 2 3放得有点大了,调整放缩的“量” 2:分析1中“放”通过调整放大的1减少1,即二n 1 1 1 ：左边 <1 -('(n 1)11 (nn 2) ”的方法向右端放大,(n 1) n导致传递性失败,1 1 1 1(一—)( ) 1 2 2 3不等式链中断，放缩失败。
1 1 ( )n 1 n那怎么办呢？的大小 的有点过大，因为右“量”来控制放缩的效果。
1 1 1 1 、/ ( (nn 1 2 n 1 n 1、1) (1 1) (j J) + 2 1 3 2 43 52)调整放缩的“项”的起点—,放大了2丄-2n (n 1 321厂，放大了分母减少了 n(n 1) 这样放的量就少了。
1-〜)=1+2(11 n 12 1 18所以可以n ，我们可以把分母只〜)<1 + ；(1 ■)=；n 122 4证明2:左边 1 1— 4 2 3亠1丄(丄丄)(n 1) n 42 3三、常见的问题类型数列型不等式的一边常与求和有关，所以可以通过放缩后求和 面我们通过几道典型例题来体会常见问题的处理手法。
.放缩与“公式法求和”选择恰当的放缩方法，通过“通项”的适度 放缩使之转化为等差或等比数列，从而求和达到简化证题 的目的。
然后求和证明。
其中不等式左边的放缩方法有数种，值得体会研究。
二.放缩与“裂项法求和”在例1中，不等式的左边无法求和，但通过放缩产生裂项相消的求和效果后，使问题解决。
例 2的右边也是利用放缩产生了裂项的效果，然后求和。
下面我们再通过几道例题的证明体会裂项求和效果的运用。
（或求和后放缩）来达到欲证的目标。
下 证明: 因为-kS n说明: 分别利用 求证:1 1!证明: 因为k! 说明: 证明:a k a k 1,23 L，求证:n(n 1)S n(n 1)2,k(kn(kk 1“添舍项”和 丄 2! 13!k(k 1)1)k (k 1)■ k(k 1) s n(n 1)2“均值不等式” 1 n !把通项放缩为等差数列，然后求和得证。
1 k!12^,k 1,2, ,n.1 1! 12! 3! 1 n!21 221 2k 1警2y 22把分母适当变小， 实现分式的放大，把通项放缩为等比数列，然后方便求和。
已知a n 2n1，证明：—2 通项卫丄a k 12k11a kk 1 ak 12k 1 2k2k 1 2 2 1 2(2k 22kk1(i 右a 1a 232 a n a 3a n 1na k3k 1不等式右边得证。
1 4(，1)n 1 , 1 11 n3 2k2n)2 说明：不等式两端的结构特点是本题证明的突破口，利用“添舍项”1 ____ (2k 2)1 11(1歹)把通项放缩为与1 1 13 2k 0 2 3 2k-，不等式左边得证。
31-有关的形式,2例 5.求证：2( . n 1 1)证明：1/k11 .2 31 2..n..n2仁k …k 1),(k2[(、. 2 、1) (：3、2) ( . n n 1)] 2)2( 1 .n) 2. n 1 2. n一一2G. k 1 . k)k I k 1n 1k 1 ik.1) (.3 .2) (.n 1 、n)] 2( .n 1) 2( . n 1 1) 说明：例1分式、例5根式的放缩后裂项相消求和的处理手法是很多灵活题目的原型, 值得体会。
1例6.已知a n ( )n , b n311 a n1,证明:1 a n 1nb kk 12n证明：b n3n 1"T3n3n_J n13n3n 13n3n 1 1 13n 1 1nb k k 1 2n [(1丄31b n1百序※)3n 11R 2n (31 1、3 盯)2n（探）处是本题的关键，根据式子中各项的符号以及分母的幕指数决定放缩为序※）的形式，以实现“相消”求和的效果。
说明：对通项利用“分离变量”化简至例7.已知f （1）2, f(n 1) f 2(n) f (n),求证:n 1k 1 f(k)1证明：f（n1) f(n) [f (n) 1],1f(n 1) f(n) [f( n) 1]1f(n)1f(n) 1f(n) 1 n 1k 1 f(k) 11f (n)1f(n 1)'1]f(1) f(2)f(n 1)]1f(1)1f(n 1)由已知可得 f (n) 0,1k 1 f(k) 1说明：对通项结构特点的分析,很自然的想法了。
决定对已知等式的右边进行因式分解取倒数。
然后再裂项、移项变形就是三.放缩与“并项法求和”2 1 1 例8.已知a n [2n2 ( 1)n1] ,n 1,证明：对任意整数m 4,有3 a4 a5 1 7a m 811 22分析：通项中含有 （1）n 1,1 1扌巴——，捆绑并为一项，然后结合 n 的奇偶性进行适度的放缩。
a n a n 11证明：当n 为奇数时，■ a n a n 11]3 2n 1 2n 2 2“ 112 22n 32n 2 1即当n 为奇数时,当m 为偶数且 m>4 时: a n 土），且 a 4 2,a 4 a 5a m a 4(a 5a 6(丄a m 1丄)a m1 9(丄 32 2 2124当m 为奇数且a 4 a 5 12m 4 )m>4 时:a m a 4 综上可知，对于任意整数 例9.求证1 1 2 分析：观察分母的变化规律, m 1为偶数, a 5 a m a m m>4, 1都有— a 4 把若干项 a 5 3 2n 1 2n 2*1 “捆绑”(n 2, n N) 2 并为一项后进行放缩, 然后求和就很容易实现欲证的目标。
1 1 1 1 1 证明：左边=1 —(-—)(--23456789 101 1)(1 115(异1111 1111 丄丄—12 (4 4) (8 8 8 8) (16 16 16 16)1 (2 =11丄入1 —(共 n 个—)1 -2 2 2 四. 利用递推关系式放缩 利用递推关系式本身蕴含的不等关系或放缩产生的不等关系, 在很多题目中可以起到很好的放缩效果。
例 10.已知 a 1 3, a k 2a k 1 1 1(k 2),求证：一— 1 a 1 a 2 1 —1 a n2 分析：根据欲证不等式的结构特点, 通过递推关系式构造关于 a k 的不等式，然后实现对通项的放缩。
证明： a k 2a k 1 1,a k 1 2(a k 1 1)且a 1a k 1a k1 a k-1a k-11 a k-21a 2 1a 1 1 (a 11) 22k1a k 1 (i )k1左边C 1)2(1)32 2(-)n 12(T ) 2 241 1例11.已知a n 2n 1，证明：丄 丄a 2 a 3分析：通过对a n 的适度放缩产生关于 a n 的不等递推关系式，然后谋求对证明：a n2n1 2n2 2(2n 1 1)n3时， a na na n 1a 3a n 1 a n 2a 2左边 1 -[111 2(;) 1(：n1]32 22五.构造和数列后进行放缩2a n 1,a na n 1 2(n 2) 口 a 〔 1,a 23,」2 亠11 n2 a 223,3 (;)a n 22 1 2(1 n )—3 2n3如果数列不等式没有直接的求和的形式，很多时候可以间接的构造和数列，然后进行放缩处理。
1 1例12.已知一1 hog2 n]，正数列 a n 满足 a 1 b 0,a n(n 2)2 3n 2 n a n 1证明：a n2b (n 2)2 b[log 2n]1分析：根据已知构造关于 —的递推关系式，然后利用“累加法”把不等式的左边转化为和数列的形式。
n证明：na n 11 1ann an 1 a na n 1,11 1 1 n 2时，一( )(a n a na n 1a n 111 rl 】1 2 b[log 2 n][log 2 n] —a n2b 2b 例13.已知函数f(x)12，疋义数列｛x 2111丄5 2)na na n 1n11 1 1 1 1)(— )a n 2a 2a 1 a 1 n n 12b0，an12 b[log 2 n]n } : x 10, x n 1 *f (x n ), n N ，1 *若0 x k^(k2,3,4丄)，证明：对任意m N 都有：x m k X k1 4 证明：由x 1 0得x 2, x 329分析：利用递推式构造关于X k 1 x k 的不等式，利用“绝对值不等式”把X m k X k 放缩为和数列的形式x k 1 x kx k x k 11a n 11—的放缩，转化为熟悉的问题。
a k13 4k 1当 k 2时，Q0 x k 118上面介绍的数列不等式主要与“求和”的形式有关。