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浙江高二上学期期中考试数学

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浙江A9协作体2024年高二11月期中联考数学试题

浙江A9协作体2024年高二11月期中联考数学试题

浙江省A9协作体2024学年第一学期期中联考高二数学试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。

选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.330x y +−=的倾斜角是 A.6πB.3πC.23π D.56π 2.向量(),1,2a x =，()1,,8b y =− ，若a b∥，则A.14x =−，14y = B.14x =，4y =− C.14x =，4y =D.14x =−，4y =−3.若点()1,P m 在圆22:2210C x y x y +−++=内，则m 的取值范围是 A.(),2−∞−B.[]2,0−C.(0,2)D.(2,0)−4.若直线()330ax a y +−+=与直线30x ay +−=垂直，则a 的值是 A.2B.0C.0或2D.2或-25.已知椭圆22149x y +=的下焦点是1F ，上焦点是2F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在x 轴上，那么21:PF PF = A.2:7B.1:7C.1:2D.3:46.已知平面上两定点A ，B ，则满足PA k PB=（常数0k >且1k ≠）的动点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知在PAB △中，4AB =，2PA PB =，则PAB △面积的最大值是A.4B.83C.323D.1637.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A 、B 两点，其中B 为上顶点，且1132AF F B =，则椭圆C 的离心率e =8.一条东西走向的高速公路沿线有三座城市A 、B 、C ，其中A 在C 正西60km 处，B 在C 正东100km 处，台风中心在C 城市西偏南30 方向200km 处，且以每小时40km 的速度沿东偏北30 方向直线移动，距台风中心km 内的地区必须保持一级警戒，则从A 地解除一级警戒到B 地进入一级警戒所需时间（单位：小时）在以下哪个区间内 A.31,2B.3,22C.(2,3)D.1,12二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷

浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷

浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷一、单选题1．在等差数列{}n a 中，已知12a =，315S =，则4a 等于（ ）A ．11B ．13C ．15D ．162．若椭圆2212x y m +=的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则m 的值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．53．若点P 到直线1x =-和它到点()1,0的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ）A ．2x y=B ．2y x=C ．24x y=D ．24y x=4．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列{}n a 满足：11a =，1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数当为奇数，则2024S =（ ）A ．4720B ．4722C ．4723D ．47255．已知函数()f x 是奇函数，函数()g x 是偶函数，且当0x >时，()0f x '>，()0g x '>，则0x <时，以下说法正确的是（ ）A ．()()0f x g x ''+>B ．()()0f xg x ''->C ．()()0f x g x ''>D ．()()0f x g x ''>6．若函数()211kx f x x +=+在[)2,+∞上单调递增，则k 的取值范围为（ ）A ．43k ≥-B ．1k ≤-C ．1k ≤D ．43k ≤-7．已知2023log 2024a =，2024log 2025b =，2025log 2026c =，则（ ）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．c b a>>D ．c a b>>8．已知椭圆22:13627x y C +=，左焦点为F ，在椭圆C 上取三个不同点P 、Q 、R ，且2π3PFQ QFR RFP ∠=∠=∠=，则123FP FQ FR ++的最小值为（ ）A．43B．43C．43D．43二、多选题9．下列选项正确的是（ ）A ．1y x=，21y x '=-B ．2x y =，2ln2x y '=C ．ln y x =，1y x'=D ．cos2y x =，sin2y x=-'10．已知抛物线2:4C y x =，F 为其焦点，直线l 与抛物线交C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 为抛物线上的一点，点B 坐标为()3,1，则AF AB +的最小值为3B ．若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与1x =-相切C ．若直线l 过焦点F ，当MN OF ⊥时，则5OM ON ⋅=D ．设直线MN 的中点坐标为()()000,0x y y ≠，则该直线的斜率与0x 无关，与0y 有关11．数列{}n a 满足11a =，22a =，21n n n a a a ++>+，则下列结论中一定正确的是（ ）A ．1050a >B ．20500a <C ．10100a <D ．20500a >三、填空题12．已知1n a +=11a =，则100a =.13．已知双曲线22221x y a b -=与直线1y x =-相交于A ，B 两点，其中AB 中点的横坐标为23-，则该双曲线的离心率为 .14．已知函数()()()5e ln 155xf x a x a x =++-+-，若()0f x ≥在()0,∞+上恒成立，则实数a的取值范围为 .四、解答题15．已知函数()e xf x x =.(1)求()f x 的最小值；(2)求()f x 在点()1,e 处的切线方程.16．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =-，122n n n S S S ++=+.(1)求数列{}n a 的通项公式.(2)求数列()1nn n a ⎧⎫-⋅⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T .17．已知双曲线22:13y C x -=(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)已知点()0,4P 、()2,0Q ，直线PQ 与双曲线C 交于A 、B 两点，1PQ QA λ=，2PQ QB λ=，求12λλ+的值.18．已知函数()()21ln f x mx x m x=+-∈R ，()21e 1x g x x x x =---，其中()f x 在1x =处取得极值(1)求m 的值；(2)求函数()f x 的单调区间；(3)若()()nx g x f x ≤-恒成立，求实数n 的取值范围.19．在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿（Issac Newton ，1643-1727）在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设r 是函数y =f (x )的一个零点，任意选取0x 作为r 的初始近似值，曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线为1l ，设1l 与x 轴交点的横坐标为1x ，并称1x 为r 的1次近似值；曲线y =f (x )在点(x 1,f (x 1))处的切线为2l ，设2l 与x 轴交点的横坐标为2x ，称2x 为r 的2次近似值.一般地，曲线y =f (x )在点()()(),N n n x f x n ∈处的切线为1n l +，记1n l +与x 轴交点的横坐标为1n x +，并称1n x +为r 的1n +次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取n x 为方程()0f x =的近似解.现在用这种方法求函数()22f x x =-的大于零的零点r 的近似值，取02x =.(1)求1x 和2x ；(2)求n x 和1n x -的关系并证明()*N n ∈；(3)()1*1N i i nx n ∑=<<+∈.。

浙江省高二上学期期中数学试题(解析版)

浙江省高二上学期期中数学试题(解析版)

一、单选题1．直线的倾斜角为（ ） 2x =-A ．0 B ．C ．D ．π4π23π4【答案】C【分析】由倾斜角定义即可判断.【详解】直线与y 轴平行，故倾斜角为. 2x =-π2故选：C2．已知两个向量，，且，则的值为（ ）(2,1,3)a =- (4,,)b m n = //a bm n +A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【分析】由，可知，使，利用向量的数乘运算及向量相等即可得解.//a b R λ∃∈b a λ=【详解】∵，∴，使，得，解得：，所以//a b R λ∃∈b a λ= 423m n λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩226m n λ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩4m n +=故选：C【点睛】思路点睛：在解决有关平行的问题时，通常需要引入参数，如本题中已知，引入参//a b数，使，转化为方程组求解；本题也可以利用坐标成比例求解，即由，得λb a λ= //a b 4213m n==-，求出m ，n .3．抛物线的焦点坐标为（ ） 22y x =-A ．B ．10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．D ．10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】将抛物线方程化为标准方程，由此可得焦点坐标. 【详解】由得：，22y x =-212=-x y 其焦点坐标为.∴10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：A.4．下列椭圆中最接近于圆的是（ ） A ．B ．2213611x y +=221259x y +=C ．D ．221144169x y +=2214x y +=【答案】C【分析】椭圆的离心率越小，则椭圆越圆，则越大，分析各选项中的椭圆中的即可得出答案. b a ba 【详解】椭圆的离心率越小，则椭圆越圆，则越大， baA 中B 中，C 中，D 中， b a =35b a =1213b a =12b a =其中C 中的最大，故选择C 的椭圆最圆，ba故选：C.5．两圆和的位置关系是（ ） 229x y +=228690x y x y +-++=A ．相离 B ．相交 C ．内切 D ．外切【答案】B【分析】先求出两圆的圆心和半径,再根据圆心距与两圆的半径和及半径差之间的大小关系,得出两圆的位置关系即可.【详解】解:由题知, 的圆心为,半径为3, 229x y +=()0,0因为,228690x y x y +-++=即,圆心为,半径为4,()()224316x y -++=()4,3-, 5=因为, 43543-<<+所以两圆相交. 故选:B6．若直线和直线平行，则的值为（ ） ()120x m y ++-=240mx y ++=m A ． B ．C ．或D ．12-12-23-【答案】A【分析】由题知两直线平行，直接列出()即可求得 111222A B C A B C =≠2220,0,0A B C ≠≠≠m 【详解】直线和直线平行，()120x m y ++-=240mx y ++=可得，得.()1212m m m ⎧⨯=+⎨≠-⎩1m =故选：A.【点睛】本题考查了已知两直线平行求参的问题，注意要排除两直线重合的情况，属于基础题.7．已知双曲线：的右焦点为，过的直线与双曲线交于，两点，若C 2212y x -=F F l C A B ，则这样的直线有（ ） 3AB =l A ．0条 B ．2条C ．3条D ．4条【答案】B【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①直线只与双曲线右支相交，②A B 直线与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，综合可得答A B 案．【详解】因为双曲线：中，C 2212y x -=2221,2,3a b c ===过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于，两点， 2221(0)3y x a a-=>F l A B 如果在同一支上，则有， AB 2min 2|43b AB a ==所以右支不存在这样的直线； 双曲线的实轴长为，，C 224AB <<因此直线只能与两只各交于一点时，满足的直线有2条. l ,A B 3AB =故选：B.8．已知是椭圆上的点，为椭圆的右焦点，则使为等腰三角形（为坐标原P 2214x y +=F POF :O 点）的点的个数为（ ） P A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】D【分析】分别以的三条边为底边进行讨论.POF :【详解】，2214x y += 2,1,a b c ∴===则， 2,22OF PO PF =<<<<若以为底边，则有两个，OF若以为底边，则设，PF OP =(,)P x y则，得2222143x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故有4个，若以为底边，则设， PO PF =(,)P x y 则，得 ， (2222143x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故有2个， 综上共有8个， 故选：D.二、多选题9．下列双曲线中，渐近线方程是的为（ ）12y x =±A ．B ．2214x y -=2214y x -=C．D ．22142x y -=2214x y -=【答案】AD【分析】焦点在轴上的双曲线，渐近线为，焦点在轴上的双曲线，渐近线为x b y x a=±y a y xb =±，代入即可求得.【详解】A 选项，，，故A 选项正确； 2,1a b ==12b y x x a =±=±B 选项，，，故B 选项错误； 2,1a b ==2ay x x b=±=±C 选项，，故C 选项错误； 2,b a b y x a ==±=D 选项，，故D 选项正确.11,2,2a ab y x x b ===±=±故选：AD10．已知，为双曲线的焦点，为双曲线的中心，，分别为1F 2F 22221x y a b-=()0,0a b >>O P Q 1OF ，的中点，为双曲线上一点，且，则该双曲线的离心率可能是（ ）2OF M 24a PM QM =⋅AB C ．2 D ．3【答案】BCD【分析】由题意可得，由可得，又因为,0,,022c c P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24a PM QM =⋅ 22220044a c x y +=+为双曲线上一点，代入化简结合，可得，解不等式即可求出()00,M x y 22x a ≥2222224a c a b a c⎛⎫++⋅≥ ⎪⎝⎭答案.【详解】，为双曲线的焦点，所以，1F 2F 22221x ya b-=()0,0a b >>()()12,0,,0F c F c -，分别为，的中点，所以，P Q 1OF 2OF ,0,,022c c P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设，所以由可得：()00,M x y 24a PM QM =⋅ ，0000,,,22c c PM x y QM x y ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，即，2222044c a x y -+=22220044a c x y +=+又因为为双曲线上一点，所以，()00,M x y 2220021x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则， 22222222000221144x b a c x b x b a a ⎛⎫⎛⎫+-=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：，因为， 22222024a c a x b c⎛⎫+=+⋅⎪⎝⎭220x a ≥所以，所以， 2222224a c a b a c⎛⎫++⋅≥ ⎪⎝⎭223c a ≥结合，解得：1e >e 故选：BCD11．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点，线段()220y px p =>F l F ,A B 的中点为，在上的射影分别为，下列结论正确的为（ ）AB M ,,A B M l ,,P Q N A ． B ． NA NB ⊥NF AB ⊥C ． D ．FP FQ ⊥MP MQ ⊥【答案】ABC【分析】根据抛物线定义和梯形中位线性质可求得，知A 正确；根据等腰三角形性12MN AB =质和平行直线的性质可推导得到，进而确定，知B 正确；由角度关PAN MAN ∠=∠ANP ANF ::≌系可推导得到，由此可知C 正确；若D 正确，由圆的性质知22πAFO BFO QFO PFO ∠+∠=∠+∠=，可知不恒成立，则D 错误.MN NF =【详解】对于A ，由抛物线定义可知：，，AP AF =BQ BF =为中点，， M AB ()()111222MN AP BQ AF BF AB ∴=+=+=，A 正确； NA NB ∴⊥对于B ，，， 12MN AB AM == MNA MAN ∴∠=∠，，则，又，， //AP MN MNA PAN ∴∠=∠PAN MAN ∠=∠AM AP =AN AN =，，即，B 正确； ANP ANF ∴::≌π2AFN APN ∴∠=∠=NF AB ⊥对于C ，，，，，BF BQ = AF AP =BQF BFQ ∴∠=∠APF AFP ∠=∠，，， ////AP OF BQ APF PFO ∴∠=∠BQF QFO ∠=∠，，QFO BFQ ∴∠=∠PFO AFP ∠=∠，， 22πAFO BFO QFO PFO ∠+∠=∠+∠= π2QFO PFO ∴∠+∠=即，C 正确；FP FQ ⊥对于D ，若，则由知：在以为圆心，为半径的圆上，MP MQ ⊥FP FQ ⊥,M F N NP ，又，（当且仅当重合时取等号），MN NF ∴=NF AB ⊥NF MN ∴≤,M F 不恒成立，D 错误. MP MQ ∴⊥故选：ABC.12．已知矩形与，为上一点，记二面角的大小为．若存在过点ABCD CDEF P CD A CD F --θP的条直线，，，，其与平面、平面所成的角均为，则的值可能为41l 2l 3l 4l ABCD CDEF 25︒θ（ ） A ． B ．C ．D ．20︒40︒60︒80︒【答案】CD【分析】分两种情况，一是在二面角的平分面上，另一种情况是在邻补二面角的平分面上研究，以角平分线为基准，旋转找符合要求的直线即可.【详解】作二面角的平面角，则，设为的平分线，则当A PE ''A PE θ''∠=1PP A PE ''∠112A PP PPE θ''∠=∠=1PP 以为中心在二面角的平分面上转时，与两平面的夹角变小，会对称出现两条与平面、P 1PP ABCD 平面所成的角相同的直线；CDEF 设为的补角角平分线，则，当以为中心，在二面角的邻2PP A PE ''∠22π2P PA P PE θ-''∠=∠=2PP P 补二面角平分面上转时，与两平面的夹角变小，会对称出现两条与平面、平面所2PP ABCD CDEF 成的角相同的直线；若存在过点的条直线，，，，其与平面、平面所成的角均为，则P 41l 2l 3l 4l ABCD CDEF 25︒，解得，CD 符合条件， 252π252θθ⎧>︒⎪⎪⎨-⎪>︒⎪⎩50130θ︒<<︒故选：CD三、填空题13．直线在轴上的截距为______． 21y x =+x 【答案】##12-0.5-【分析】求出直线与轴交点的横坐标即可. x 【详解】∵直线方程为，21y x =+∴令，得，即直线与轴交于点，0y =12x =-21y x =+x 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭∴直线在轴的截距为.21y x =+x 12-故答案为：.12-14．在空间直角坐标系中，已知点与点，若关于平面的对称点为()1,2,3P ---()1,1,2M -M xOy ，则到点的距离为______． M 'M 'P【分析】根据点关于面对称的坐标特征，结合空间两点间距离公式进行求解即可. 【详解】因为关于平面的对称点为，， M xOy M '()1,1,2M -所以， ()1,1,2M '--所以M P '==15．已知抛物线的焦点为，过的弦满足，则的值为______． 24y x =F F AB 3AF BF =AB 【答案】163【分析】由，分别向抛物线的准线作垂线，垂足为，，根据抛物线定义，，A B A 'B 'AA AF '=，设直线与抛物线的准线交点为，抛物线的准线与轴交于点，根据，BB BF '=AB M x N MBB ':和的相似关系进行求解即可.MAA ':MFN △【详解】如图，由，分别向抛物线的准线作垂线，垂足为，，设直线与抛物线的准线交点为A B A 'B 'AB ，抛物线的准线与轴交于点，则，M x N 2FN p ==设（），则，BF m =0m >33AF BF m ==4AB AF BF m =+=由抛物线的定义，，， 3AA AF m '==BB BF m '==易知， MBB MAA '':::∴，∴，∴， BB MB MB AA MA MB AB '=='+34MB mm MB m=+2MB m =又易知，，MBB MFN ':::∴，∴，∴，BB MB MB FN MF MB BF '==+222m m m m =+43m =∴. 1643AB m ==故答案为：. 16316．已知一个玻璃杯内壁的轴截面是抛物线，其方程为：，现在将一个半径为212y x =()44x -≤≤的小球放入杯中，若小球能触及杯子的最底部，则小球的半径的取值范围是______．r 【答案】(]0,1【分析】分析轴截面，当小球圆心和点距离最小时，即点为时，分析圆心坐标符合的二P P ()0,0次函数对称轴在轴左侧位置时的半径范围.y 【详解】设小球的圆心为，抛物线上任意一点()00,C y 满足.圆心到点的距离的平方 (),P m n 214n m =P ()()2222002d m n y n n y =+-=+-.()220021n y n y =+-+若的最小值在点为即时取到，则小球触及杯底， 2d P ()0,00n =所以此二次函数的对称轴位置应在轴的左侧即，， y 010y -≤01y ∴≤.01r ∴<≤故答案为：(]0,1四、解答题17．中，已知，， ABC :()1,1A -()2,5B ()5,7C -(1)求边上的高所在直线的方程；BC(2)若是的内角平分线，求． AD ABC :AD 【答案】(1) 450x y -+=(2)4【分析】（1）首先根据垂直关系确定边上的高所在直线的斜率，再代入点斜式方程求解； BC （2）首先根据直线的斜率确定角平分线的斜率，联立方程求点的坐标，再根据两点,AB AC AD D 间距离求.AD 【详解】（1）由条件可知，，所以边上的高的斜率是， 75452BC k --==--BC 14所以边上的高所在直线的方程是，即； BC ()1114y x -=+450x y -+=（2），，，154123AB k -==--()714513AC k --==---AB AC k k =-所以的角平分线过点且平行于轴，即直线， BAC ∠()1,1A -x :1AD y =直线的方程是，即，BC ()542y x -=--4130x y +-=联立，得，即，41301x y y +-=⎧⎨=⎩31x y =⎧⎨=⎩()3,1D.4=18．如图，在正方体中，是的中点．1111ABCD A B C D -M BC(1)求异面直线与所成角的余弦值； 1AC DM (2)求二面角的余弦值．11A DM C --【答案】【分析】（1）建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角；（2）由空间向量法求二面角．【详解】（1）以为轴建立空间直角坐标系，如图，调好正方体棱长为1，1,,DA DC DD ,,x y z 则，，，，，， (1,0,0)A (0,1,0)C 1(0,1,1)C 1(,1,0)2M 1(1,0,1)A (0,0,0D ），， 1(1,1,1)AC =- 1(,1,0)2DM =111cos ,AC DM AC DM AC DM ⋅===⋅ 所以异面直线与 1AC DM （2）由（1）知，，1(1,0,1)DA = 1(0,1,1)DC = 设平面的一个法向量是，1A DM 111(,,)m x y z = 则，取得， 111111020m DM x y m DA x z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩12x =(2,1,2)m =-- 设平面的一个法向量是，1C DM 222(,,)n x y z = 则，取，则，221221020n DM x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ 22x=(2,1,1)m =- cos ,m n m n m n⋅=== 所以二面角 11A DM C --19．已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为2，且被直线截得的弦长为C y 4340x y -+=(1)求圆的方程；C (2)过点作圆的切线，求的方程．()2,0P -C l l【答案】(1)()2234x y +-=(2)或2x =-512100x y -+=【分析】（1）利用点到直线的距离公式即可求得圆心从而求得方程.（2）分类讨论借助点到直线的距离公式求得直线方程.【详解】（1）设圆心坐标为，又因为圆的半径为2.()0,,0a a >由勾股定理可得圆心到直线的距离 1d ==所以.43135ad a -==⇒=所以圆的方程为：C ()2234x y +-=（2）由已知：（1）当直线斜率不存在时，直线方程为，显然符合题意.2x =-（2）当直线斜率存在时，设直线方程为，()22y k x kx k =+=+又因为圆心到直线的距离 5212d k ⇒=所以直线的方程为.512100x y -+=综上所述：直线为或.2x =-512100x y -+=20．如图，在四棱锥中，平面，，，，P ABCD -PA ⊥ABCD AD CD ⊥//AD BC 2PA AD CD ===，为的中点，在上，且．3BC =E PD F PC 3PC PF =(1)证明：平面平面；AEF ⊥PCD (2)设点是直线与平面的交点，求直线与平面所成角的正弦值．M PB AEF CM AEF 【答案】(1)证明见解析；.【分析】(1)由线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明平面平⊥AE PCD AEF ⊥面；PCD (2)建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，结合向量夹角公式求直线CM AEF 与平面所成角的正弦值．CM AEF 【详解】（1）因为，为的中点，PA AD =E PD 所以，AE PD ⊥因为平面，平面，PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD 所以，又，，平面，PA CD ⊥AD CD ⊥PA AD A ⋂=,PA AD ⊂PAD 所以平面，又平面，CD ⊥PAD AE ⊂PAD 所以，又，，平面，CD AE ⊥AE PD ⊥PD CD D ⋂=,PD CD ⊂PCD 所以平面，又平面，⊥AE PCD AE ⊂AEF 所以平面平面；AEF ⊥PCD （2）因为平面，，PA ⊥ABCD AD CD ⊥所以如下图，以为原点，分别以，，方向，为轴，轴，轴正方向，建立空间直D DA DC AP x y z 角坐标系，则，，，，，，()0,0,0D ()2,0,0A ()0,2,0C ()1,0,1E ()2,0,2P ()3,2,0B，得， 1222,,3333PF PC ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭424,,333F ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴，而， 224,,333AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0,1AE =- 设为面的一个法向量，则， (),,m x y z = AEF 02240333m AE x z m AF x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩取，则，所以为平面的一个法向量，1x =1,1y z =-=()1,1,1m =- AEF 因为点是直线与平面的交点，M PB AEF 故可设，所以PM PB λ= AM AP PM AP PB λ=+=+ ，设，()()()0,0,21,2,2,2,22AM λλλλ=+-=- AM s AE t AF =+则， ()()224,2,221,0,1,,333s t λλλ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭所以，所以，, 2,2,23s t λ==-=242,,333AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 822,,333CM CA AM ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭设直线与平面所成角为，CM AEF θ则sin cos ,m CM m CM m CMθ⋅=<>===⋅ 所以直线与平面. CM AEF 21．已知双曲线：的离心率为，且右焦点C 22221x y a b-=()0,0a b >>2F (1)求双曲线方程；(2)设为双曲线右支上的动点．在轴负半轴上是否存在定点，使得？若Q C x M 2QFM QMF ∠=∠存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．M 【答案】(1) 2213y x -=(2)存在，()1,0M -【分析】（1）由双曲线的性质以及距离公式得出方程；（2）由三角函数得出，，再由结合倍角00tan 2y QFM x ∠=--00tany QMF x m∠=-2QFM QMF ∠=∠公式得出. m 【详解】（1）由题意可知， 2222c ac a b ⎧=⎪=⎪=+⎪⎩1,2a b c ===即双曲线方程为； 2213y x -=（2）设，，， (),0M m ()00,Q x y 220013y x -=则，. 00tan 2y QFM x ∠=--00tan y QMF x m∠=-因为，所以 2QFM QMF ∠=∠22tan tan tan 21tan QMF QFM QMF QMF∠∠=∠=-∠即，即，得.0002000221y y x mx y x m --=-⎛⎫- ⎪-⎝⎭()204443m x m m +=++1m =-所以，存在点满足题意.()1,0M -22．已知点为直线与椭圆的交点，点为直线椭圆的交点，为A 1y k x =22:14x C y +=B 2y k x =C O 坐标原点．(1)若直线的方程为，求的值；AB 34x y +=12k k (2)是否存在常数，使得当时，的面积恒为定值？若存在，求出的值；若不存λ12k k λ=OAB :λ在，说明理由．【答案】(1)1-(2)存在， 14λ=-【分析】（1）设，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，代入可整理得到:AB y kx m =+121212y y k k x x =，代入，； 22122444m k k k m -=-34k =-m =12k k （2）由可得，由的面积表示为12k k λ=224414k m λλ-=-S =OAB :，可知当为定值时，为定值，由此可构造方程求得的值. 2214m k +S λ【详解】（1）设点的坐标分别为，，直线的方程为，,A B ()11,x y ()22,x y AB y kx m =+由得：， 2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222148440k x kmx m +++-=则，即， ()2216140k m ∆=+->2214m k <+，， 122814km x x k ∴+=-+21224414m x x k -=+； ()()()222212121212122121212444kx m kx m k x x km x x my y m k k k x x x x x x m +++++-====-∴直线的方程为：，即， AB 34x y +=34y x =-+将，代入可得：. 34k =-m =12594415444k k -==-⨯-（2）由得：； 22122444m k k k m λ-==-224414k m λλ-=-点到直线的距离O :AB y kx m =+d =的面积， OAB∴:S ==则当且仅当为定值时，恒为定值， ()()()()222222444414416141414m k k k k k λλλλλ--==+-+--+S ，解得：，此时； 4441614λλλ-∴=--14λ=-1S =当轴时，若，则直线的方程为AB x ⊥1214k k λ==-AB x x =此时的面积也成立；OAB :1S =综上所述：存在，使得的面积恒为定值. 14λ=-OAB :1【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；x y ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；0∆>③利用韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式；④化简所得函数式，消元可得定值.。

浙江省杭州2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析

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杭州2023学年第一学期高二年级期中数学试卷（答案在最后）第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.“2m =”是“直线1l：()310m x my -++=与直线2l ：()120mx m y +--=互相垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两直线垂直求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若直线1l ：()310m x my -++=与直线2l ：()120mx m y +--=互相垂直，则()()310m m m m -+-=，解得0m =或2m =，所以由“2m =”推得出“直线1l ：()310m x my -++=与直线2l ：()120mx m y +--=互相垂直”，即充分性成立；由“直线1l ：()310m x my -++=与直线2l ：()120mx m y +--=互相垂直”推不出“2m =”，即必要性不成立，所以“2m =”是“直线1l ：()310m x my -++=与直线2l ：()120mx m y +--=互相垂直”的充分不必要条件.故选：A2.已知事件,A B 相互独立，()0.5P A =，()0.4P B =，则()P A B +=（）A.0.88 B.0.9C.0.7D.0.72【答案】C 【解析】【分析】根据事件,A B 相互独立得到()()()0.2P AB P A P B ==，结合()()()()P A B P A P B P AB +=+-求出答案.【详解】因为事件,A B 相互独立，故()()()0.50.40.2P AB P A P B ==⨯=，又()0.5P A =，()0.4P B =，所以()()()()0.50.40.20.7P A B P A P B P AB +=+-=+-=.故选：C 3.过点)，且与椭圆2212516y x +=有相同焦点的椭圆的标准方程为（）A.221189x y += B.221189y x += C.221123x y += D.221123y x +=【答案】D 【解析】【分析】设所求椭圆方程为22221y xa b +=()0a b >>，依题意可得22229421a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2a 、2b ，即可求出椭圆方程.【详解】椭圆2212516y x +=的焦点为()0,3或()0,3-，设所求椭圆方程为22221y x a b+=()0a b >>，则22229421a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得22123a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为221123y x +=.故选：D4.已知()()()()0,0,2,1,0,1,1,1,0,0,0,0A B C O -，则点O 到平面ABC 的距离是（）A.11B.11C.5D.5【答案】B 【解析】【分析】利用空间向量计算点面距离即可.【详解】由题意可知()()()1,0,3,1,1,2,0,0,2AB AC AO =-=-=-，设面ABC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则030200n AB x z x y z n AC ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⋅=⎩⎪⎩ ，取13,1z x y =⇒==-，即()3,1,1n =-，所以点O 到平面ABC 的距离是11AO n d n ⋅=== .故选：B5.点(),P x y 在圆222x y +=上运动，则3x y -+的取值范围（）A.[]0,1 B.[]0,4 C.[]1,5 D.[]1,4【答案】C 【解析】(),P x y 到直线30x y -+=的距离d ，求出圆心()0,0O 到直线30x y -+=的距离1d ，从而求出d 的取值范围，即可求出3x y -+的取值范围.【详解】圆222x y +=的圆心为()0,0O ，半径r =因为点(),P x y 在圆222xy +=上运动，又3x y-+=(),P x y 到直线30x y -+=的距离d ，所以3x y -+=，又圆心()0,0O 到直线30x y-+=的距离1322d ==，所以11d rd d r -≤≤+，即22d ≤≤，所以[]31,5x y -+=∈.故选：C6.如图，在边长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，3BC EC =，点P 在底面正方形ABCD 上移动（包含边界），且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为（）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出点P 的轨迹结合函数求最值即可.【详解】依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()110,0,3,1,3,0,3,3,3D E B ，设()[](),,0,0,3P x y x y ∈，所以()()113,3,3,1,3,3B P x y D E =---=-，即1133033B P D E x y x y ⋅=+-=⇒=-，所以[]03330,1y y ≤-≤⇒∈，而1B P =，由二次函数的单调性可知22391061810181010t y y y ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，当1y =时，max 22t =，则1max B P =.故选：B7.已知A ，B 是圆()()()22:330C x m y m -+-=>上两点，且AB =.若存在R a ∈，使得直线1:410l ax y a -++=与2:50l x ay a +-=的交点P 恰为AB 的中点，则实数m 的取值范围为（）A.(0,1⎤-⎦B.(0,2⎤⎦C.(0,1⎤+⎦D.(3⎤+⎦【答案】A 【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长可得AB 中点M 的轨迹为()()2231x m y -+-=，又根据直线1l ，2l 的方程可知12l l ⊥，交点P 的轨迹方程为()()22238x y ++-=，若P 恰为AB 的中点，即圆M 与圆P 有公共点，根据圆与圆的位置关系可得实数m 的取值范围.【详解】圆()()()22:330C x m y m -+-=>，半径为r =，设AB 中点为M ，且直线AB 与圆的相交弦长为AB =即1MC =，所以点M 的轨迹方程为()()()22310x m y m -+-=>，又直线1:410l ax y a -++=过定点()4,1Q -，直线2:50l x ay a +-=过定点()0,5S ，且12l l ⊥，则点P 是两垂线的交点，所以P 在以QS 为直径的圆上，则圆心()2,3-，半径12QS =，所以点P 的轨迹方程为()()22238x y ++-=，由于直线1l 的斜率存在，所以点P 的轨迹要除去点()4,5-，若点P 恰为AB 中点可知圆P 与圆M 有公共点，即11-≤，0m >，即121m -≤+≤+，解得31m -≤≤-，即01m <≤，故选：A.8.已知动点,P Q 分别在正四面体ABCD 的内切球与外接球的球面上，且PQ x AB y AC z AD =++，则2x y z ++的最大值为（）A.1+6B.263C.12+D.83【答案】B 【解析】【分析】计算出正四面体ABCD 的内切球与外接球的半径，求出()2,x y z AT AT ++⋅范围，即可得出2x y z ++的最大值.【详解】由题意，连接,AD EF ，设交点为M ，则点M 是AD 中点设正方体边长为2，由几何知识得，点A 到面BCM 距离即为AM ，设内切球半径为1r ，外接球半径为2r ，三棱锥外接球半径222222232r ++==，而由正三棱锥内切球半径公式，13323r ==，取任意一点P ，使得()22x y z AT xAB y AC z AD xAB y AC z AM ++⋅=++=++，则点T 在面BCM 上，∴()123432333x y z AT PQ r r ++⋅=≤+=+=，点A 到面BCM 距离为=d AM ，则22AT d AM ≥=== ∴()43263232x y z AT x y z AT++⋅++=≤,故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某学校随机抽取100名学生数学周测成绩的频率分布直方图如图所示,据此估计该校本次数学周测的总体情况(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),下列说法正确的是（）A.众数为60或70B.45%分位数为70C.平均数为73D.中位数为75【答案】BC 【解析】【分析】利用众数的概念直接可判断A ，再根据平均数，中位数及百分位数公式可判断BCD.【详解】A 选项：由频率分布直方图可知众数为6070652+=，A 选项错误；B 选项：由频率分布直方图可得0.005100.04100.45⨯+⨯=，所以45%分位数为70，B 选项正确；C 选项：由频率分布直方图可知平均数为550.00510650.0410750.0310850.0210950.0051073⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，C 选项正确；D 选项：由频率分布直方图可得0.005100.04100.450.5⨯+⨯=<，0.005100.04100.03100.750.5⨯+⨯+⨯=>，所以中位数[)70,80a ∈，所以()0.005100.0410700.030.5a ⨯+⨯+-⨯=，解得71.67a ≈，D 选项错误；故选：BC.10.已知点()0,1P 和直线:210l x y ++=,下列说法不正确的是（）A.经过点P 的直线都可以用方程1y kx =+表示B.直线l 在y 轴上的截距等于1C.点P 关于直线l 的对称点坐标为81,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D.直线l 关于点P 对称的直线方程为230x y ++=【答案】ABD 【解析】【分析】当过点P 的直线斜率不存在时，方程为0x =，可判断A 选项，令0x =可判断B 选项，设点P 关于直线l 的对称点为()11,x y ，根据对称的概念列方程，可判断C 选项，设l 上一点()00,x y ，其对称点为(),x y ，根据对称及点()00,x y 在直线l 上，可得直线方程，即可判断D 选项.【详解】A 选项：当过点P 的直线斜率不存在时，方程为0x =，A 选项错误；B 选项：令0x =，得10y +=，即1y =-，所以截距为1-，B 选项错误；C 选项：设点P 关于直线l 的对称点为()11,x y ，所以()111101*********x y y x ++⎧⨯++=⎪⎪⎨-⎪⨯-=--⎪⎩，解得118515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以点P 关于直线l 的对称点坐标为81,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，C 选项正确；设l 上一点()00,x y ，其对称点为(),x y ，则000212x xy y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即002x x y y =-⎧⎨=-⎩，又点()00,x y 在直线l 上，则()()2210x y ⨯-+-+=，即230x y +-=，D 选项错误；故选：ABD.11.如图,棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 分别为棱111,A D AA 的中点,G 为面对角线1B C 上一个动点,则（）A.三棱锥1A EFG -的体积为定值B.点E 到直线1B CC.线段1B C 上存在点G ,使得FG BD⊥D.线段1B C 上不存在点G ,使平面//EFG 平面1BDC 【答案】ACD【解析】【分析】利用等体积法可判定A ，建立合适的空间直角坐标系利用空间向量计算点线距离，线线与面面位置关系可判定B 、C 、D .【详解】由正方体的结构特征可知1//B C 平面AEF ，故点G 到平面AEF 距离2h AB ==不变，所以11113G A EF A EFG A EF V V S h --==⨯⨯ ，又1122222A EF S =⨯⨯ 是定值，故A正确；如图所示，建立空间直角坐标系，则()()()()111,0,2,0,2,0,2,2,2,0,2,2E C B C ，()()2,0,1,2,2,0F B 所以()()11,2,2,2,0,2EC B C =--=--，故点E 到直线1B C的距离2d ==，故B 错误；设()1101B G B C λλ=<< ，则()()()110,2,12,0,22,2,12FG FB B C λλλλλ=+=+--=--，()2,2,0DB = ，所以4401DB FG λλ⋅=-+=⇒=，即G C 、重合，故C 正确；易知()10,2,2DC = ，设平面1BDC 的一个法向量为(),,n x y z =，则102202200n DB x y y z n DC ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩ ，取11y x z =-⇒==，即()1,1,1n =- 而()1,0,1EF =- ，则10,2212004n EF n FG λλλ⋅=⋅=--+-=⇒=-<，故不存在G 使得n FG ⊥，故D 正确.故选：ACD12.已知12(,0),(,0)F c F c -分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，下列说法正确的是（）A.若点P 为椭圆上一点,则21||||PF PF -的最大值是2cB.若点T 的坐标为1(,0)2a ,P 是椭圆上一动点,则线段PT 长度的最小值为12aC.过F 2作垂直于x 轴的直线,交椭圆于A ,B 两点,则22c AF a a=-D.若椭圆上恰有6个不同的点P ,使得12PF F △为等腰三角形,则椭圆E 的离心率的取值范围是111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】A ，结合三角形不等式即可；B ，设出(),P m n ，[],m a a ∈-，则22221m na b+=，表达出22342222221244c a a PT m a b a c c ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭，分3202a a c <<与322a a c≥两种情况，得到不同情况下的线段PT 长度的最小值，B 错误；；C ，x c =代入即可求；D ，选项，先得到上下顶点能够使得12PF F △为等腰三角形，再数形结合得到1F 为圆心，12F F 为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的12,P P 两点，列出不等式组22a c ca c -<⎧⎨≠⎩，求出答案；【详解】对A ，1122||||||PF PF F F -≤，当P 在左顶点时等号成立，则最大值是2c ，A 正确；对B ，设(),P m n ，[],m a a ∈-，则22221m na b+=，22222222222222111244b m c PT m a n m am a b m am a b a a ⎛⎫=-+=-++-=-++ ⎪⎝⎭，2234222221244c a a m a b a c c⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭，若b c <，此时222a c <，3202a a c <<，此时当322a m c =时，2PT 取得最小值，最小值为4222144a a b c+-，线段PT ；若b c ≥，此时222a c ≥，322a a c≥，此时当m a =时，2PT 取得最小值，最小值为214a ，线段PT 长度的最小值为12a ，综上：B 错误；对C ，当x c =时，22221c ya b+=，解得2b y a =±，即22222||b a c c AF a a a a-===-，C 正确；对D ，如图，椭圆左右顶点为,A B ，上下顶点为,C D ，显然上下顶点能够使得12PF F △为等腰三角形，要想椭圆上恰有6个不同的点P ，使得12PF F △为等腰三角形，以1F 为圆心，12F F 为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的12,P P 两点，则要满足11F A FQ <，且111FC F P ≠，即22a c c a c-<⎧⎨≠⎩，解得：13c a >，且12c a ≠，故椭圆E 的离心率的取值范围是111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 正确；故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在两坐标轴上的截距相等，且与圆22(3)(4)2x y -+-=相切的直线有________条.【答案】4【解析】【分析】分横纵截距为零和横纵截距不为零两种情况讨论即可.【详解】圆()()22342x y -+-=的圆心坐标为()3,4，当横纵截距为零时，直线方程为()0y kx k =≠，=，整理得2724140k k -+=，因为22447141840∆=-⨯⨯=>，所以方程2724140k k -+=有两个解，故当横纵截距为零时存在两条直线与圆相切；当横纵截距不为零时，设直线方程为()0x y a a +=≠，=5a =或9，所以横纵截距不为零时存在两条直线与圆相切，综上可得，存在4条截距相等的直线与圆相切.故答案为：4.14.已知矩形ABCD，1,AB BC ==，沿对角线AC 将ABC 折起，若BD =则二面角B AC D --的余弦值为________．【答案】13【解析】【分析】利用空间向量的数量积与模长计算夹角即可.【详解】如图所示，过B D 、分别作,BE AC DF AC ⊥⊥，垂足分别为E F 、，由矩形ABCD 中，1,AB BC ==，可知12,=60,,122AC BAC BE DF AE CF EF =∠⇒===== ，设二面角B AC D --的平面角为α，则,EB FD α=，2222222BD BE EF FD BD BE EF FD BE EF EF FD BE FD=++⇒=+++⋅+⋅+⋅ ()33312=++1+2cos πcos 4443αα⨯⨯-⇒=.故答案为：1315.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为,B O 为坐标原点，椭圆上的点()(),,,M M N N M x y N x y 分别在第一､二象限内，若OAN 与OBM 的面积相等，且2224M N x x b +=，则C的离心率为__________.【答案】2【解析】【分析】根据题意，由两个三角形面积相等可得N M ay bx =，将点N 的坐标代入椭圆方程，结合条件化简即可得到,a b 关系，再根据离心率公式即可得到结果.【详解】因为OAN 与OBM 的面积相等，且()(),,,M M N N M x y N x y ，则1122N M ay bx =，即N M ay bx =，所以2222N M a y b x =，将(),N N N x y 坐标代入2222:1(0)x y C a b a b +=>>，可得22221N N x y a b+=，化简可得222222N N b x a y a b +=，即222222N M b x b x a b +=，所以()22222NM bxx a b +=，且2224MN x x b +=，所以22224b b a b ⋅=，即224a b =，则离心率为2e ===，故答案为:216.某同学回忆一次大型考试中的一道填空题，题目要求判断一条给定直线与给定圆的位置关系，该同学表示，题中所给直线与圆的方程形式分别为:l y kx b =+，222:C x y r +=，但他忘记了方程中的三个参数的具体值，只记得{},,1,2,3,4k b r ∈，并且他填写的结果为直线与圆相交.若数组(,,)k b r 的每一种赋值的可能性都相等，则该同学该题答对的概率为________.【答案】78##0.875【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系结合古典概型分类讨论计算即可.【详解】易知数组(,,)k b r 有3464=种结果，若要直线与圆相交，需圆心()0,0C 到直线l 的距离2221b d r k r =<⇒<+，显然b r ≤时，22211b k r≤<+恒成立，若b r >，①当2,1b r ==，此时1k =不符题意；②当3,1b r ==，此时1,2k =不符题意，当3,2b r ==，此时1k =不符题意；③当4,1b r ==，此时1,2,3k =不符题意，当4,2b r ==，此时1k =不符题意，当4,3b r ==，k 取何值均成立；综上，共有8种情况不符题意，故答对的概率为871648P =-=.故答案为：78四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知, , a b c 是空间中的三个单位向量,且a b ⊥ ,,,60a c b c == .若2OM a b c =+-，OA a b c =++ ,2OB a b c =++ .（1）求MB;（2）求MB 和OA夹角的余弦值.【答案】（1；（2）15【解析】【分析】利用空间向量的数量积公式计算即可.【小问1详解】由已知可得2MB OB OM a b c =-=-++，所以MB =；【小问2详解】由OA a b c OA =++⇒=，所以MB 和OA夹角的余弦值为222cos ,15MB OA MB OA MB OA⋅==⋅ .18.为调查高一、高二学生心理健康情况,某学校采用分层随机抽样方法从高一、高二学生中分别抽取了60人､40人参加心理健康测试(满分10分).经初步统计,参加测试的高一学生成绩i x ()1,2,3,,60i =⋅⋅⋅的平均分8x =,方差22x s =,高二学生成绩i y (i =1,2,…,40)的统计表如下:成绩y 456789频数12915103（1）计算参加测试的高二学生成绩的平均分y 和方差2y s ；（2）估计该学校高一､高二全体学生的平均分z 和方差2z s .【答案】18.7，1.2；19.7.6，1.92.【解析】【分析】（1）利用统计表计算平均数与方差即可；（2）根据分层抽样的平均数与方差公式计算即可.【小问1详解】由表可知41526971581093712915103y ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==+++++，()()()()()()222222214725796715771087397 1.240y s ⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-==；【小问2详解】由已知及（1）可知6040877.6100100z =⨯+⨯=，()()222226040 1.92100100z x y s s x z s y z ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦.19.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为12，收到0的概率为12；发送1时，收到0的概率为13，收到1的概率为23.（1）重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；（2）依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A ：至少收到一个正确信号；②事件B ：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明.【答案】19.2027；20.事件A 与事件B 不互相独立，证明见解析.【解析】【分析】（1）利用事件的相互独立求“至少收到两次1”的概率；（2）利用事件的相互独立性计算()P A ，()P B ，()P AB ，利用独立事件的概率公式验证.【小问1详解】重复发送信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为：(1，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，因为信号的传输相互独立，故“至少收到两次1”的概率为：2222122211222033333333333327⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.【小问2详解】事件A 与事件B 不互相独立，证明如下：若依次发送1，1，0，则三次都没收到正确信号的概率为111133218⨯⨯=，故至少收到一个正确信号的概率为()11711818P A =-=；若依次发送1，1，0，“至少收到两个0”的可能情况为：(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，故()11111112121161332332332332183P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==，若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为：(0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，故()111121211533233233218P AB =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，因为()()()P A P B P AB ≠，所以事件A 与事件B 不互相独立.20.已知圆22:46120C x y x y +---=.（1）求过点()75,且与圆C 相切的直线方程;（2）求经过直线70x y +-=与圆C 的交点,且面积最小的圆的方程.【答案】（1）21202470x y +-=或7x =（2）23π【解析】【分析】（1）由已知可得点()75,在圆外，即有两条切线，当切线斜率存在时，设出切线方程，根据点到直线距离公式可得斜率与方程，当切线斜率不存在时，可判断直线与圆相切；（2）由已知可设圆的方程为()22461270x y x y x y λ+---++-=，可得圆的半径1r =，可知当2λ=-时，1r ，此时面积最小为23π.【小问1详解】由22:46120C x y x y +---=得()()22:2325C x y -+-=，圆心()2,3C ，半径=5r ，又()75,到圆心的距离为5=>，所以点()75,在圆外，所以过点()75,的切线共有两条，当切线斜率存在时，设切线方程为()57y k x -=-，即750kx y k --+=，所以圆心C到直线的距离5d =，解得2120k =-，所以直线方程为()215720y x -=--，即21202470x y +-=，当直线斜率不存在时，直线方程为7x =，与圆C 相切，综上所述，切线方程为21202470x y +-=或7x =.【小问2详解】已知可设圆的方程为()22461270x y x y x y λ+---++-=，即()()22461270x y x y λλλ++-+---=，则圆的半径1r =可知当2λ=-时，1r ，此时面积最小为21π23πS r ==.21.如图，三棱台111ABC A B C -中，AB AC ==，112B C BC ==1AA =，点A 在平面111AB C 上的射影在111B A C ∠的平分线上.（1）求证：111AA B C ⊥；（2）若A 到平面111A B C 的距离为4，求直线AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）35【解析】【分析】（1）利用线面垂直证线线垂直即可；（2）利用棱台的特征补全棱锥，结合等体积法求点面距离，计算即可.【小问1详解】如图所示，补全棱台，延长三条侧棱交于O 点，得到棱锥111O A B C -，由题意可知、、A B C 分别是三条侧棱111OA OB OC 、、的中点，取11B C 的中点D ，连接1A D ，设A 在底面111A B C 的投影为M ，连接AM ，根据题意可知AM ⊥底面111A B C ，且M 在1A D 上，因为11B C ⊂面111A B C ，所以11AM B C ⊥又1111AB AC A B A C =⇒=，所以111A D B C ⊥,而11,A D AM M A D AM ⋂=⊂、平面1AA D ,所以11B C ⊥面1AA D ,因为1AA ⊂面1AA D ，所以111B C AA ⊥；【小问2详解】过O 作ON ⊥底面111A B C ，结合（1）可知N 在1A D 上，且4,8AM ON ==，在111A B C △上，()2211111112225,2225322A B A C B C A D ⎛⎫===⇒=-= ⎪ ⎪⎝⎭，结合题意可知：22111122,2422A M A A AM A N A M DM DN =-===⇒==，则22221166,217OD DN ON OB B D OD =+==+=在11OA B中，22211111111112cos 2A O B O A B OA AA A OB A O B O +-==⇒∠==⋅所以1111sin OA B AOB S ∠=⇒= 设1C 到平面11AA B B 的距离为h ，11A C 与平面11AA B B 的夹角为θ，所以111111111111133O A B C A B C C OA B OA B V ON S V h S --=⋅==⋅ ，解之得：h =，所以11sin 35h A C θ==，因为11//A C AC ，所以直线AC 与平面11AA B B所成角的正弦值为35.22.设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AD 的平行线交AC 于点E.（1）写出点E 的轨迹方程；（2）设点E 的轨迹为曲线1C ，过A 且与l 平行的直线与曲线1C 交于,P Q 两点，求AD PQ ⋅的取值范围.【答案】（1）221(0)43x y y +=≠（2）)⎡⎣【解析】【分析】（1）求得圆A 的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB ED =，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆，求得a ，b ，c ，即可得到所求轨迹方程；（2）联立直线与圆，以及直线与椭圆方程，可得跟与系数的关系，结合向量的坐标运算，即可根据数量积的坐标运算得AD PQ ⋅= .【小问1详解】圆A 的标准方程为22(1)16x y ++=，故半径4r =因为||||4AD AC r ===，//EB AC ，故EBC ADC ACD ∠=∠=∠，所以||||EB ED =，故||||||||||EA EB EA ED AD +=+=，因此||||4EA EB +=，由题设得(1,0)A -，(1,0)B ，||2||||AB EA EB =<+，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：221(0)43x y y +=≠．【小问2详解】设直线CD 的方程为1x ty =+，则直线PQ 的方程为1x ty =-,联立直线CD 与圆的方程2212150x ty x y x =+⎧⎨++-=⎩，消元得()2214120t y ty ++-=，则()2221648164480t t t ∆=++=+>则()2242121t t x t t -±-±==++，联立直线PQ 与圆的方程221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得()2234690t y ty +--=，由于点A 在椭圆内，故该方程一定有两个不相等的实数根，不妨设()()3344,,,P x y Q x y ，则34342269,3434t y y y y t t -+==++，()()()()2222234343422221216944343434t t y y y y y y t t t +-⎛⎫-=+-=-= ⎪++⎝⎭+，()()43434311x x ty ty t y y -=---=-()()43434343,,PQ x x y y ty ty y y =--=-- ，()1,D D AD x y =+ ()()()()()()()()24343434343122D D D D D D AD PQ x ty ty y y y ty ty ty y y y t y y t y y ⋅=+-+-=+-+-=++- ，()22222432121D D t t y y t t t t -±++=+=±+所以2432D D AD PQ t y y t y y ⋅=++-== 令234,4t s s +=≥，则AD PQ ⋅== 令11,04x xs =<≤，则AD PQ ⋅= 由于函数27114y x x =-+的对称轴为1114x =，故27114y x x =-+在10,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦单调递减，故当14x =时，27114y x x =-+取最小值2716，故2277114,416y x x ⎡⎫=-+∈⎪⎢⎣⎭，所以)AD PQ ⎡⋅=⎣ 【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.。

浙江省绍兴市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析

浙江省绍兴市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析

绍兴2023学年第一学期期中考试高二（数学）试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分）1.已知向量()1,2,6a = ，()2,,1b y =- ，若a b ⊥ ，则y =（）A.﹣2B.﹣1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量垂直转化为数量积为0计算即可.【详解】因为向量()1,2,6a = ，()2,,1b y =- ，a b ⊥，所以()122610a b y ⋅=⨯++⨯-=，解得2y =，故选：D.2.已知过()3,1A 、()1,3B -的直线与过()3,C m -、(),2D n 的直线互相垂直，则点(),m n 有（）A.1个B.2个C.3个D.无数个【答案】D 【解析】【分析】根据直线的两个已知点，求得斜率，结合垂直直线的斜率关系，建立方程，可得答案.【详解】由()3,1A 与()1,3B -，则直线AB 的斜率13231AB k +==-，由AB CD ⊥，则直线CD 的斜率存在，即3n ≠-，且112CD AB k k -==-，由()3,C m -与(),2D n ，则2132m n -=-+，整理化简可得27n m =-，显然该方程有无数个解.故选：D.3.“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形挪动高为2.5m ，底面宽为1m ，则该门洞的半径为（）A.1.2mB.1.3mC.1.4mD.1.5m【答案】B 【解析】【分析】设半径为R ，根据垂径定理可以列方程求解即可.【详解】设半径为R ，()22212.52R R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,解得251544R +=,化简得 1.3R =.故选：B.4.已知抛物线()220y px p =>的焦点在圆224x y +=上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A.1B.2C.4D.8【答案】C 【解析】【分析】根据焦点坐标即可求解4p =，由p 的几何意义即可求解.【详解】由于抛物线()220y px p =>的焦点为x 正半轴上，224x y +=与x 正半轴的交点为()2,0，故抛物线的焦点为()2,0，所以242pp =⇒=，因此抛物线的焦点到准线的距离为4p =，故选：C5.已知()2,2A --，()2,6B -，()4,2C -三点，直线l 1：20kx y k --=与直线l 2：20x ky ++=相交于点P ，则222PA PB PC ++的最大值（）A.72B.80C.88D.100【答案】C 【解析】【分析】分析两直线特征，恒过定点，联立两直线方程，消去k ，得到交点P 的轨迹方程，然后借助于P 的坐标范围，求出222PA PB PC ++的最大值.【详解】直线l 1：20kx y k --=变形为()20k x y --=直线恒过定点()2,0，直线l 2：20x ky ++=直线恒过定点()2,0-，直线l 1：20kx y k --=与直线l 2：20x ky ++=相交于点P ，联立2020kx y k x ky --=⎧⎨++=⎩，消去k ，得224x y +=所以P 是以()0,0为圆心，半径为2的圆上一点，设(),P x y 且22y -≤≤，()()()()()()22222222222264+2P x y C x y x B P y A P =++++++-++-++[]22334681246880472,88x y y y y =+-+=-+=-∈，所以222PA PB PC ++的最大值为88，故选：C .6.已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的左焦点为F 1，M 为C 的渐近线上一点，M 关于原点的对称点为N ，若190MF N ∠=︒，且11F N M ，则C 的渐近线方程为（）A.3y x =± B.y = C.6y x =±D.y =【答案】B 【解析】【分析】根据直角三角形的性质即可求解160,MOF ∠=︒即可求解.【详解】如图所示，根据对称性，不妨设M 在左支,由于190MF N ∠=︒，且11F N M ，所以1160,2M F N MN MF ∠=︒=，由于,M N 关于原点对称，所以=OM ON ,结合190MF N ∠=︒可得1||||F OM ON O ==，所以160,MOF ∠=︒故渐近线MN 的倾斜角为60 ，∴双曲线C 的渐近线方程为y =．故选：B7.如图，由点P (3,0)-射出的部分光线被椭圆22:14x C y +=挡住，图中光线照不到的阴影区域（包括边界）为椭圆C 的“外背面”．若()()2251O x y t -+-= ：位于椭圆C 的“外背面”，则实数t 的取值范围为（）A.3085853055t +-≤≤ B.3085853055t ≤≤C.30585555t +-≤≤ D.30585555t -≤≤【答案】B 【解析】【分析】设过点P 的切线方程为(3)y k x =+，进而可得切线方程，利用新定义可求t 的最值，进而可求实数t 的取值范围．【详解】设过点P 的切线方程为(3)y k x =+，联立方程组22(3)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222214243640k x k x k +++-=，则()()()2222244143640k k k ∆=-+-=，即251k =，解得55k =±，所以切线PM 的方程为：(3)5y x =+50y -+=，切线PN 的方程为：(3)5y x =-+50y ++=，若()()2251O x y t -+-= ：位于椭圆C 的“外背面”，则与PN 相切时t 1=，解得5t =-或5t =，结合图形可得t 的最小值为30855-，则与PM 相切时t 1=，解得85305t =或85305t =，结合图形可得t 的最大值为5-，55t -≤≤．故选：B.8.教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量()(),,0u a b c abc =≠，点()0000,,P x y z ，点(),,P x y z ．（1）若直线l 经过点0P ，且以u为方向向量，P 是直线l 上的任意一点，求证：000x x y y z z a b c---==；（2）若平面α经过点0P ，且以u 为法向量，P 是平面α内的任意一点，求证：()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为70x y z -+-=，直线l 是平面230x y +-=与10x z ++=的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（）A.9B.5C.15D.55【答案】A 【解析】【分析】根据题意得出平面的法向量，再求出平面的交线方向向量，最后用线面角公式即可.【详解】 平面α的方程为70x y z -+-=，∴平面α的一个法向量()1,1,1m =-，同理，可得平面230x y +-=的一个法向量()1,2,0n =，平面10x z ++=的一个法向量()1,0,1p = ，设平面230x y +-=与平面10x z ++=的交线的方向向量为(),,q x y z =，则200q n x y q p x z ⋅=+=⎧⎨⋅=+=⎩，取1y =，则()2,1,2q =- 设直线l 与平面α所成角为θ，则sin cos ,9m q m q m qθ⋅===故选：A【点睛】本题属于创新题目，是数学探索创新情境，具体是以平面方程为背景考查直线与平面所成的角，利用的法向量和方向向量的关系.二、选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.10y ++=的倾斜角为120︒B.经过点()2,1P ，且在,x y 轴上截距互为相反数的直线方程为10x y --=C.直线:20l mx y m ++-=恒过定点()1,2-D.直线1:210l x ay ++=，()2:140l a x y ---=，若12l l ⊥，则1a =-【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，根据直线方程，求得其斜率，利用斜率的定义，结合正切函数的定义，可得答案；对于B ，由题意，设出直线的点斜式方程，求出截距，建立方程，可得答案；对于C ，整理函数的一般方程，建立方程组，可得答案；对于D ，利用分类讨论思想，结合垂直直线的关系，建立方程，可得答案.【详解】对于A10y ++=，可得其斜率1k =，设其倾斜角为θ，则tan θ=，由[)0,πθ∈，则解得120θ= ，故A 正确；对于B ，由题意，直线斜率一定存在，可设为()220k k ≠，由过()2,1P ，则()212y k x -=-，令0y =，则212x k =-，令0x =，则212y k =-，由题意可得()221212k k -=--，整理可得2222310k k -+=，解得212k =或1，所以直线方程为20x y -=或10x y --=，故B 错误；对于C ，由直线方程20mx y m ++-=，整理可得()120x m y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点()1,2-，故C 正确；对于D ，当1a =时，直线1:210l x y ++=，则111,2A B ==，直线2:40l y +=，则220,1A B ==，由1212102120A A B B +=⨯+⨯=≠，则此时不符合题意；当1a ≠时，直线1:210l x ay ++=，则111,2A B a ==，直线()2:140l a x y ---=，则221,1A a B =-=-，由12l l ⊥，则()()121211210A A B B a a +=⨯-+⨯-=，解得1a =-，则此时符合题意，故D 正确.故选：ACD.10.已知点P 在⊙O ：x 2+y 2＝4上，点A （3，0），B （0，4），则（）A.线段AP 长度的最大值是5B.满足15PBO ∠= 的点P 有且仅有2个C.过直线AB 上任意一点作⊙O 的两条切线，切点分别为M ，N ，则直线MN 过定点（12，1）D.2|PA |+|PB |的最小值为【答案】AD 【解析】【分析】圆上点到圆外点距离最大值为圆心与圆外点的距离加上半径，判断A ；利用15PBO ∠= 找到PB 直线，求出圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系判断B ；作图通过图象分析判断C ；设设(),P x y ，设存在定点()0,C t ，使得点P 在⊙O 任意移动时均有12PC PB =，进而求出点P 的轨迹方程，结合点P 在⊙O 上个求得答案，判断D.【详解】对于A ，x 2+y 2＝4圆心()0,0O ，半径2r =，3OA ==，所以max 5AP OA r =+=，故A 正确；对于B ，由题意知，当15PBO ∠= 时，()0,0O 到PB 直线距离等于4sin152=< ，此时符合要求PB 一共两条，且直线与⊙O 相交，故满足15PBO ∠= 的点P 有4个，故B 错误；对于C ，如图，显然过直线AB 上任意一点作⊙O 的两条切线，切点分别为M ，N ，则直线MN 不过定点（12，1），故C 错误；对于D ，2PA PB +的最小值，即为122PA PB ⎛⎫+⎪⎝⎭的最小值，假设存在定点()0,C t ，使得点P 在⊙O 任意移动时均有12PC PB =，设(),P x y ，=，化简得()2223381164x y t y t ++-=-，因为224x y +=，则有()2211t y t -=-，即()()1210t y t ---=，所以1t =，()0,1C ，所以()222PA PB PA PC AC +=+=≥，所以D 正确，故选：AD.11.如图，已知抛物线24y x =，过抛物线焦点F 的直线l 自上而下，分别交抛物线与圆()2211x y -+=于,,,A C D B 四点，则（）A.3OA OB ⋅=-B.1AC BD ⋅=C.当直线l643AB AF ⋅= D.418AF BF +≥【答案】ABC 【解析】【分析】根据联立直线方程与抛物线方程，即可得韦达定理，进而由向量的坐标运算即可求解A ，根据焦半径即可求解BC ，结合基本不等式即可求解D.【详解】由题意可得()1,0F 设直线l 方程为1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y 241y xx ty ⎧=⎨=+⎩,则2440y ty --=，所以12124,4y y t y y +==-，对于A ，()21212121231416y y x x y y OA y y OB +=+=-=⋅=- ，故A 正确，对于B ，()()()()()1212212111111116AC BD AF BD x x x y x y ⋅=-⋅-=+-⋅+===-，B 正确，对于C ，当直线l 直线l 方程为)1y x =-，联立直线与抛物线方程可得231030x x -+=，解得1213,3x x ==，所以()12123102,33x x y y +=++=所以()()121166421433AB AF x x x ⋅=+++=⨯=，故C 正确，对于D ，()()()()()1212121212421111111122t y y x x AF BF x x x x ty ty +++++=+==++++++，将12124,4y y t y y +==-代入可得()()()()21221212124114412224t y y t AF BF ty ty t y y t y y ++++===+++++，所以()445549411F AF BF AF BF BF AF AF BF AF B ⎛⎫+=+=+≥+= ⎪+⎪⎝⎭+ ，故D 错误，故选：ABC12.已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方体内及表面上一点，且1AP mAB nAD =+ ，其中[]0,1m ∈，[]0,1n ∈，则下列说法正确的是（）A.当12n =时，1B P 与平面ABCD 所成角的最大值为π3B.当1m n +=时，11A C BP ⊥恒成立C.存在[]0,1n ∈，对任意[]0,1m ∈，CP 与平面11ABB A 平行恒成立D.当1m n +=时，22PA PC +的最小值为74【答案】BC 【解析】【分析】根据题意画出正方体，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行逐项求解判断.【详解】由题意得：以点D 为坐标原点，DA 所在直线为x ，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如下图：则：()1,0,0A ，()11,0,1A ，()1,1,0B ，()11,1,1B ，()0,1,0C ，()10,1,1C ，()10,0,1D ，()0,1,0AB = ，()11,0,1AD =- ，(),,AP n m n =-，得：()1,,P n m n -对于A 项：当12n =时，11,,22P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，111,1,22B P m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，平面ABCD 的一个法向量为：()0,0,1m =，设1B P 与平面ABCD 所成的角为θ，所以：1111·2sin cos ,B P mB P m B P mθ===因为：[]0,1m ∈，所以：()21131222m ≤+-≤，所以：当1m =时，sin θ有最大值2，此时：π4θ=，故A 项错误；对于B 项：()111,1,0A C =- ，(),1,BP n m n =--则：11·10AC BP n m =+-= ，所以：11AC BP ⊥，所以：11A C BP ⊥，故B 项正确；对于C 项：由题意知平面11ABB A 的一个法向量为：()1,0,0n =，()1,1,CP n m n =-- ·1CP n n =- ，所以：当1n =时，·10CP n n =-= ，即：CP n ⊥，且CP 不在平面11ABB A 内，此时：对于任意[]0,1m ∈，CP 与平面11ABB A 平行恒成立，故C 项正确；对于D 项：当1m n +=时，得：(),,1P m m m -，()()()()22222222224111168433PA PC m m m m m m m m +=-++-++-+-=-+=-+⎭，当23m =时，有最小值43，故D 项错误.故选：BC.三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13.两条平行直线3210x y --=与3210x y -+=间的距离______________．【答案】21313【解析】【分析】根据两平行线间距离公式计算．【详解】由题意13d==．故答案为：13．14.已知()2,4,a x=，()2,1,2b=r，()2,2,1c=-r，且,,a b c共面，则x的值为_____．【答案】5【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，建立方程组，可得答案.【详解】设,Rλμ∈，则a b cλμ=+，可得222422xλμλμλμ=-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，解得215xλμ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.故答案为：5.15.已知点()()0020A B，,，，圆()()222440M x y r r-+->=：（）上恰有两点()1,2iP i=满足3i iP A PB⋅=，则r的取值范围是__________．【答案】37r<<【解析】【分析】根据数量积的坐标运算可得点P的轨迹为以点()1,0为圆心，半径为2的圆，即可根据两圆有两个交点求解.【详解】设(),P x y，则()()22,2,23PA PB x y x y x x y⋅=--⋅--=-+=，由2223x x y-+=得()2214x y-+=，故点P的轨迹为以点()1,0为圆心，半径为2的圆，要使圆()()222440M x y r r-+->=：（）上恰有两点()1,2iP i=满足3i iP A PB⋅=，则()2214x y-+=与()()222440M x y r r-+->=：（）两圆有两个交点，故22r r-<+，解得37r<<，故答案为：37r<<16.已知椭圆2221(1)x y mm+=>和双曲线2221(0)x y nn-=>有共同的焦点12,F F，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则221211e e +的值为____________．【答案】2【解析】【分析】利用椭圆与双曲线的定义得到,m n 关于c 的表达式，结合离心率的定义求解即可.【详解】设椭圆与双曲线的半焦距为c ，则22211m n c -=+=，则22221222,c c e e m n==，22221,1m c n c =+=-，所以22222222122211211m n e e c cc c c c ++-=+=+=.故答案为：2．四、解答题（本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.三棱柱111ABC A B C -中，12BM MA =uuu r uuu r ，11C N NB =uuu r uuu r ．设AB a =，AC b =，1AA c =．（1）试用,,a b c 表示向量MN；（2）若1160BAC BAA CAA ∠=∠=∠=︒，11AB AC AA ===，求MN 的长．【答案】（1）111623MN a b c=++（2）56【解析】【分析】（1）根据向量的数乘与加法运算，结合题意，可得答案；（2）根据向量的数量积运算，可得答案.【小问1详解】由12BM MA =uuu r uuu r ，则1113MA BA =uuu r uuu r ，由11C N NB =uuu r uuu r，则11112B N BC =uuu r uuu u r ，由图形知()()111111*********MN MA A B B N BA AB B C c a a b a =++=++=-++-111623a b c =++ ．【小问2详解】由题设条件：1cos cos602a b a b BAC ⋅=∠==or r r r ，同理可得12a b b c ⋅=⋅= ，则()222221111||94612462336MN a b c a b c a b b c a c⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪⎝⎭()1251943623636=+++++=，∴11156236MN a b c =++= .18.如图，在平行四边形OABC 中，点O 是原点，点A 和点C 的坐标分别是()()3013D ，,，,为线段AB 上的动点．（1）当D 运动到AB 中点时，求直线CD 的一般式方程；（2）求线段CD 的中点M 的轨迹方程．【答案】（1）35180x y +-=（2）5629022x y x ⎛⎫--=≤≤ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据斜率公式计算35CD k =-，即可由点斜式求解方程，（2）根据中点坐标公式，代入AB 方程中即可求解.【小问1详解】∵()()1,3,4,3C B ∴,故7322D ⎛⎫⎪⎝⎭，，35CD k =-．所以直线CD 方程为()3315y x -=--，即35180x y +-=∴CD 所在直线方程一般式是35180x y +-=．【小问2详解】设点M 的坐标是(),M x y ，点D 的坐标是()00,D x y ，由平行四边形的性质得()43B ，,∵M 是线段CD 的中点，∴0031,22y x y x ++==，于是有0021,23x x y y -==-，直线AB 的方程为()33y x =-，∵点D 在线段AB 上运动，∴()00039034x y x =≤--≤，，∴()()3212390x y -=---，即5629022x y x ⎛⎫--=≤≤ ⎪⎝⎭．19.已知圆C 过点()8,1A ，且圆C 与两坐标轴均相切．（1）求圆C 的标准方程；（2）若半径小于6的圆C 与直线:0l x y m -+=交于A 、B 两点，____，求m 的值．从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：120ACB ∠= ；条件②：AB =．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．【答案】（1）()()225525x y -+-=或()()221313169x y -+-=（2）条件选择见解析，2m =±【解析】【分析】（1）设圆C 的方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，根据已知条件得出()()22281a b r -+-=，r a b ==，分a b =、=-b a 两种情况讨论，求出a 的值，即可得出圆C 的方程；（2）求出圆C 的方程，选①或选②，过点C 作CD AB ⊥于点D ，求出CD ，即为圆心C 到直线l 的距离，再利用点到直线的距离公式可求出m 的值.【小问1详解】解：设圆C 的方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，因为圆C 过点()8,1A ，所以()()22281a b r -+-=，又因为圆C 两坐标轴均相切，所以r a b ==，若a b =，则()()22281a a a -+-=，整理可得218650a a -+=，解得5a =或13，此时，圆C 的方程为()()225525x y -+-=或()()221313169x y -+-=；若=-b a ，则()()22281a a a -++=，整理可得214650a a -+=，2144650∆=-⨯<，方程214650a a -+=无解.综上所述，圆C 的方程为()()225525x y -+-=或()()221313169x y -+-=.【小问2详解】解：因为圆C 的半径小于6，所以，圆C 的方程为()()225525x y -+-=，如果选择条件①：由120ACB ∠= ，5AC BC ==，得30ACB ABC ∠=∠= ，过点C 作CD AB ⊥于点D ，则D 为AB 的中点，则1522CD AC ==，所以圆心C 到直线l 的距离52d =，则52d ===，解得2m =±；如果选择条件②：AB =，在ABC 中，5AC BC ==，过点C 作CD AB ⊥于点D ，则52CD ==，所以圆心C 到直线l 的距离52d =，则52d ===，解得2m =±.20.已知双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞，点(A 在双曲线上．（1）求双曲线C 的方程；（2）双曲线C 上是否存在点B ，使得对双曲线C 上任意一点P （其中3P x ≠±），都有PA PB k k ⋅为定值？若存在，请求出该定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22144x y -=（2）存在，定值为1【解析】【分析】（1）由离心率，双曲线所过点的坐标，及222+=a b c 列方程组求解可得；（2）设(,)P P P x y是双曲线上任一点，取点(3,B -，计算PA PB k k ⋅得定值．【小问1详解】由题意得22222951 ca abc a b⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2 2 a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故双曲线C 的方程为22144x y-=；【小问2详解】法一：存在点B (3,-，使得对双曲线上任意一点P （其中3P x ≠±），都有PA PB k k ⋅为定值1，证明如下：设(,)P P P x y 是双曲线22144x y -=上任意一点P （其中3P x ≠±），则22144p p x y -=，即22p p x y -=4∴22225513395p p p p PB PAp p p p y y y y k k x x x y ---⋅====+---．法二：设定点为00(,)B x y ，设(,)P P P x y 是双曲线22144x y-=上任意一点P （其中3P x ≠±），则22144p p x y -=，即22p p x y -=4，22001x y -=，22000002200000))3(3)3(3)34P P P P P P PA PBP P P P P P y y y y y y y y y k k x x x x x x x y x x x ---++-++=⋅==---++-+++，由于224P P x y =+，而P y 是任意的实数，要使得它为常数，这个常数只有为1，由00030y x +=+=⎪⎩得003x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩0034x =+，所以存在定点(3,B -，使得PA PB k k 为定值且定值为1.21.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记CM BN a ==(0a <<．（1）问a 为何值时，MN 的长最小？（2）当MN 的长最小时，求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值．【答案】（1）2a =（2）13【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式、配方法进行求解即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，,BC AB BE AB ⊥⊥，根据面面垂直的性质定理易知，CB ⊥平面ABEF ，于是BC BE ⊥，从而,,BC AB BE 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设()1,0,0A ，()0,0,1C ，()1,1,0F ，()0,1,0E ，CM BN a ==，M ∴，N ⎫⎪⎭．MN=MN==当2a=时，MN 最小，最小值为22；【小问2详解】由（1）可知，当M，N为中点时，MN最短，则1111,0,,,,02222M N⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取MN的中点G，连接AG，BG，则111,,244G⎛⎫⎪⎝⎭，2AM AN==，2BM BN==，AG MN∴⊥，BG MN⊥，AGB∴∠是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角．111,,244GA⎛⎫=--⎪⎝⎭，111(,)244GB=---，1·18cos,3·GA GBGA GBGA GB-∴==-．∴平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是13．22.已知椭圆22122:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12e=，且过点31,2P⎛⎫- ⎪⎝⎭.点P到抛物线22:2(0)C y px p=->的准线的距离为32.（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）如图过抛物线2C 的焦点F 作斜率为(0)k k >的直线交抛物线2C 于A ，B 两点（点A 在x 轴下方），直线PF 交椭圆1C 于另一点Q .记FBQ ，APQ △的面积分别记为12S S 、，当PF 恰好平分APB ∠时，求12S S 的值.【答案】（1）221:143x y C +=，22:2=-C y x（2）15(35)56【解析】【分析】（1）由椭圆离心率和经过点P 可得答案；（2）设1:2⎛⎫=+⎪⎝⎭AB y k x ，()2112,2-A t t ，()2222,2-B t t ，设直线,PA PB 的斜率为12,k k ，且A ，F ，B 共线得AB AF k k =，从而()222121212+=++t t t t ，12k k +，12k k ，可求出直线PF 的斜率为0k .当PF 平分APB ∠时，利用0120010211--=++k k k k k k k k ，求出12t t +，从而AB k k =的值，由此直线3:32=--PQ y x ，由于11212211||,,24||+=-=-=-AF tt t t t BF t ，联立直线PQ 和椭圆方程可得||||=-P Q y PF QF y ，再利用||||= APF AFQ S PF S FQ ，||||=AFQ QFBS AF S BF 可得答案.【小问1详解】由于椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12e =，则2222214c a b a a -==，所以2234a b =，故设221:(0)43λλ+=>x y C ，由于椭圆1C 经过点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而13144λ=+=，故椭圆1C 的方程为221:143x y C +=.由于点P 到抛物线22:2(0)C y px p =->的准线2p x =的距离为32，则3122p +=，故1p =，从而抛物线22:2=-C y x .【小问2详解】由于1,02F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1:2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭AB y k x ，()2112,2-A t t ，()2222,2-B t t ，设直线,PA PB 的斜率为12,k k ，由于31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则1112211324322142--==-+-+t t k t t ，22224342-=-+t k t ，由于()1222121222122-==-+-+AB t t k t t t t ，1212122=-+AF t k t ，且A ，F ，B 共线得AB AF k k =，故1212112122=---+t t t t ，从而1214t t =-，()()222212*********+=+-=++t t t t t t t t ，从而()()()()22121212121212222222121212432343434242421-+++++---+=+==-+-+-++t t t t t t t t t t k k t t t t t t ()()()212122121212681+++-=-++t t t t t t ，()()()()12121212122222222121212121612912543434242168481-++-++--=⋅==-+-+-++-++t t t t t t t t k k t t t t t t t t ，由于31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则直线PF 的斜率为0323112==--+k ，当PF 平分APB ∠时，则0120010211--=++k k k k k k k k ，即()()()212012012220++--+=k k k k k k k k ，即()()()()()21212122212121212612593228181⎡⎤+++--++⨯-⨯-⨯-⎢⎥-++-++⎢⎥⎣⎦t t t t t t t t t t ()()()2121221212126081+++-=-++t t t t t t 即()()21212610+++-=t t t t ，从而1212t t +=-或1213+=t t ，从而()1212===-+AB k k t t 或3-，由于0k >，故2k =，由此直线3:21,:32=+=--AB y x PQ y x .由于11212211||,,24||+=-=-=-AF t t t t t BF t ，考虑到()2121212************++-+===--t t t t t t t t t t ，从而12352+=-t t ，从而||35||2=AF BF ，联立2213:32:143PQ y x x y C ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即2131210+-=x x ，从而113=Q x ，则3453226=--=-Q Q y x ，从而3||13245||1526===-P Q PF y QF y ，由此||1326||1530=== APF AFQ S PF S FQ，||3||2+==== AFQ QFB S AF S BF。

浙江省金砖联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题含解析

浙江省金砖联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题含解析

浙江省金砖联盟2024学年第一学期期中联考高二年级数学学科试题（答案在最后）命题：考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系中，点()2,6,3-关于x 轴的对称点的坐标为（）A.()2,6,3--B.()2,6,3---C.()2,6,3- D.()2,6,3【答案】B 【解析】【分析】在空间直角坐标系中，点(),,a b c 关于x 轴对称点的坐标是(),,a b c --．【详解】在空间直角坐标系中，点()2,6,3-关于x 轴对称点的坐标是()2,6,3---．故选：B ．2.已知平面α，β，直线m ，且αβ⊥，则“m α⊥”是“m ∥β”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据线面关系及充分条件和必要条件的定义分析判断.【详解】当αβ⊥，m α⊥时，m ∥β或m α⊂，当αβ⊥，m ∥β时，m 与平面α可能垂直，可能平行，也可能相交不垂直，所以“m α⊥”是“m ∥β”的既不充分也不必要条件.故选：D3.已知复数z 满足236i z z -=+，则z =（）A .32i- B.32i +C.32i -+ D.32i--【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，共轭复数的定义，即可求解．【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，因为236i z z -=+，所以3i 36i a b -=+，所以3a =，2b =-，32i z ∴=-，故选：A ．4.已知0,0a b >>，两直线()12:1210,:320l a x y l x by ---=-+=，若12l l ⊥，则23a b+的最小值为（）A.12B.20C.26D.32【答案】D 【解析】【分析】由垂直关系可构造关于a ,b 的方程，再结合基本不等式即可求得23a b+的最小值.【详解】由12l l ⊥得：(1)1(2)(3)0a b -⋅+--=，化简得：61a b +=，()23231236202032b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当11,48a b ==时等号成立，故选：D.5.已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1,2,3,4，乙罐中有三个相同的小球，标号为1,2,3，从甲罐，乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号之和大于6”，事件B =“抽取的两个小球标号之积小于6”，则下列说法错误的是（）A.事件A 发生的概率为112B.事件,A B 相互独立C.事件,A B 是互斥事件D.事件A B 发生的概率为23【答案】B 【解析】【分析】写出所有的基本事件，再选出事件A ，B 所含有的基本事件，然后根据古典概型，相互独立，互斥事件、求出A B 的概率依次判断选项．【详解】甲罐中小球编号在前，乙罐中小球编号在后，表示一个基本事件，有11，12，13，21，22，23，31，32，33，41，42，43，共12个，事件A 含有的基本事件有：43，共1个．事件B 含有的基本事件有：11，12，13，21，22，31，41，共7个，∴事件A 发生的概率为112，故A 正确；1()12P A =，()712P B =，()()()0P AB P A P B =≠，A ，B 不相互独立，故B 错误；事件,A B 两者不可能同时发生，它们互斥，故C 正确；事件A B 中含有8个基本事件，共有基本事件12个，因此2(312)8P A B == ，故D 正确.故选：B ．6.当圆22:4600C x y x +--=截直线:390l mx y m --+=所得的弦长最短时，实数m =（）A.－1B.C.1D.【答案】C 【解析】【分析】先判断直线l 经过定点M ，且点M 在圆C 内，当直线l 垂直于CM 时，圆被直线截得的弦长最短，计算即得.【详解】由224600x y x +--=得()22264x y -+=，圆心坐标()2,0C ，半径为8，直线的方程化为()1390m x y --+=，由10390x y -=⎧⎨-+=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 过的定点()1,3M ，且()221064123=+<-，所以点M 在圆C 内，要使直线l 被圆C 截得弦长最短，只需()1,3M 与圆心()2,0C 的连线垂直于直线l ，所以3011312m m -⋅=-⇒=-，故选：C7.八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边ABCDEFGH ，其中1OA =给出下列结论，其中正确的结论为（）A.OA 与OH的夹角为π3B.OA OD OB OC+=+C.OA OC DH-= D.OA 在OD上的投影向量为22e -（其中e 为与OD 同向的单位向量）【答案】D 【解析】【分析】对于A ，根据正八边形的性质可求出AOH ∠，对于B ，利用向量的加法法则分析判断，对于C ，根据向量的减法法则结合正八边形的性质分析判断，对于D ，根据投影向量的定义分析判断【详解】由八卦图可知OA 与OH 的夹角为AOH ∠，而284ππAOH ∠==，故A 错由BA DC OA OB OC OD OA OD OC OB ≠⇒-≠-⇒+≠+，故B 错；易知OA OC CA -= ，又π2AOC ∠=，所以CA = ，而22DH OD OA == ，所以OA OC -=，即C 错误；因为3π34AOD AOH ∠=∠=，即AO 与OD 的夹角为3π4，易知OA 在OD上的投影向量为3π11cos 4122OA OD OD OD OD ODODOD O e D⨯⨯⋅=-=-⋅=，即D 正确.故选：D8.已知锐角ABC V ，角,,A B C 的对边分别,,a b c ，且cos cos 2cos a C c A b B +=，则ca的取值范围是（）A.1,22⎛⎫⎪⎝⎭B.,33⎛⎫⎪⎪⎝⎭C.D.3,2⎛ ⎝【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理化简已知条件，由此求得cos B 的值，进而求得B 的大小.再利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得c a 的表达式，进而求得ca的取值范围.【详解】由题设知，cos cos 2cos a C c A b B +=，由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=，即()sin 2sin cos sin 2sin cos A C B B B B B +=⇒=,又0πB <<，所以sin 0B ≠，所以1cos 2B =，得π3B =，所以2π3AC +=，又2π31sin cos sin sin 322sin sin sin A A A c C a A A A⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===，即112tan 2c a A =⋅+，又锐角ABC V ，所以ππ62A <<，所以3tan 3>A ，所以0tan A <<111222tan 2A <⋅+<，所以c a 的取值范围是1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知甲组数据为：2,3,4,4,6,8,8，乙组数据为：1,4,4,7,9，则下列说法正确的是（）A.这两组数据的第80百分位数相等B.这两组数据的极差相等C.这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，均值都不变D.甲组数据比乙组数据分散【答案】AC 【解析】【分析】根据给定条件，利用第80百分位数、极差、平均数、方差的意义依次判断即得.【详解】对于A ，由70.8 5.6⨯=，得甲组数据的第80百分位数为8，由50.84⨯=，乙组数据的第80百分位数为7982+=，故A 正确；对于B ，根据极差定义，极差等于最大子减去最小值，可知甲组数据的极差为826-=，乙组数据的极差为918-=，故B 错误；对于C ，根据均值定义可知甲组原数据均值为5，去掉最值后均值为5，乙组原数据均值为5，去掉最值后均值为5，故C 正确；对于D ，由C 知甲乙两组平均值都为5，根据方差公式甲组()()()()()()()222222221253545456585857s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-⎣⎦[]134941119977=++++++=乙组数据方差为()()()()()222222115454575955s ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦[]138161141655=++++=，则343875<，所以乙组数据分散，故D 错误.故选：AC10.已知椭圆22:142x y C +=，点12,F F 为椭圆两焦点，点P 为椭圆C 上的动点，过点P 作12F PF ∠的外角平分线l ，过椭圆的焦点作直线l 的垂线，垂足是Q .现有一条长度为4的线段MN 在直线:40m x y -+=上运动，且始终满足MQN ∠为锐角，则（）A.点Q 的轨迹方程是224x y +=B.点Q 有可能在以MN 为直径的圆上C.点Q 不可能在直线m 上D.线段MN 的中点的纵坐标的取值范围是()(),04,∞∞-⋃+【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意结合题中条件分析出Q 点满足的几何关系，根据几何关系可直接写出Q 的轨迹方程，在结合Q 的轨迹方程分析其与直线m 的关系.【详解】如图所示，椭圆22142x y +=长轴长为4，延长1F P 与2F Q 的延长线交于E ，连结OQ .由角平分线的性质，2PQE PQF ≅ ，所以2,F E 关于Q 点对称，所以Q 为2EF 中点，且2||||PE PF =，所以OQ 为12EF F 中位线，所以111211||||||)|||)1|(|222OQ EF P PE F P PF F =+=+=，因为P 在椭圆上，由椭圆的定义，12||||24F P PF a +==，所以||2OQ =，故Q 的轨迹是以O 为圆心，半径为2的圆，即224x y +=，故A 正确；若Q 在以MN 为直径的圆上，则90MQN ∠=︒，不符题意，故B 错误；又因为:40m x y -+=与圆相离，故Q 不可能在m 上，故C 正确；如图所示，当线段MN 在11M N 位置时，中点坐标1(0,4)E ，此时以MN 为直径的圆刚好与Q 的轨迹相切，当Q 在切点1(0,2)Q 位置时，90MQN ∠=︒，当线段MN 在22M N 位置时，中点坐标2(4,0)E -，此时以MN 为直径的圆也刚好与Q 的轨迹相切，当Q 在切点2(2,0)Q -位置时，90MQN ∠=︒，所以若要MQN ∠始终为锐角，则MN 的中点E 不能在线段12E E 之内，所以MN 中点纵坐标的取值范围为()(),04,∞∞-⋃+，故D 正确.故选：ACD.11.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，Q 为正方形11BB C C 内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）A.直线1AC ⊥平面1A BDB.三棱锥B ADP -的外接球的表面积为9π4C.直线DP 与直线1AC 所成角的正弦值为9D.若12D Q =，那么Q 点的轨迹长度为π4【答案】ABD 【解析】【分析】以1D 为坐标原点建立坐标系，用空间坐标求解A,C 选项；对B 选项，结合图形即可直接求出三棱锥B ADP -的外接球半径，再由球的表面积公式即可判断；对D 选项:设()(),1,01,01Q x z x z ≤≤≤≤，根据条件求出,x z 满足的方程,判断其轨迹即可.【详解】以1D 为坐标原点，以11111,,D A D C D D分别为,,x y z 轴建立坐标系，则()()()()()1111,0,1,1,0,0,0,0,1,1,1,1,0,1,0,1,1,2A A D B C P ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()11111,0,1,0,1,1,0,1,2A D A B A P ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭ 设平面1A BD 的法向量(),,n x y z =，由110n A D n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得00x z y z -+=⎧⎨+=⎩，令1x =得1,1y z =-=，所以取()1,1,1n =- ，因为()11,1,1AC =-- ，故1//AC n，所以直线1AC ⊥平面1A BD ，故A 正确;由题意得三棱锥B ADP -的外接球半径为324==,所以三棱锥B ADP -的外接球表面积为239π4π44⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确；因为()111,1,,1,1,12DP AC ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以111132cos ,392DP AC DP AC DP AC ⋅===，所以178sin ,9DP AC == ，故C 错误；因为Q 为正方形11BB C C 内一动点（含边界），设()(),1,01,01Q x z x z ≤≤≤≤，由162D Q =得22312x z ++=，即2212x z +=，在正方形11BB C C 内Q 的轨迹为以1C 为圆心，半径为22的四分之一圆周，那么Q 点的轨迹长度为1222ππ424⨯⨯=，故D 正确.故选：ABD.【点睛】对空间几何中的轨迹或最值问题求解时可以建立空间直角坐标系,几何关系转化为代数关系,可从方程上判断轨迹形状,从函数的角度求最值.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若直线l 的一个方向向量(3,n =，则l 的倾斜角大小为________．【答案】5π6【解析】【分析】根据方向向量可求得tan θ，根据直线倾斜角θ的取值范围即可求得结果.【详解】设直线的倾斜角为θ，则3tan 3θ=-，又[]0,πθ∈，所以5π6θ=.故答案为：5π6.13.中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，1111,,,AA BB CC DD 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90︒，则图中平面11ACD 与平面11AB C 所成角的余弦值为________．【答案】1【解析】【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解平面11AB C 与平面11ACD 夹角的余弦值.【详解】设上底面圆心为O '，下底面圆心为O ，连接OO '，OC ，OB ，以O 为原点，分别以OC ，OB ，OO '所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,2,0)A ，1(0,2,2)A ，(1,0,0)C ，1(1,0,2)C ，1(0,1,2)B ，1(2,0,2)D ，则1(0,1,2)AB =- ，1(1,2,2)=-AC ，1(1,0,2)CD = ，11(2,2,0)A D =- ，设(,,)m x y z =为平面11AB C 的一个法向量，则20220y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩，令2y =可得2,1x z ==，所以(2,2,1)m = ，设(,,)n a b c =为平面11ACD 的一个法向量，则20220x z x y -=⎧⎨-=⎩，令2x =可得2,1==y z ，所以(2,2,1)n = 因为m n =，所以平面11//AB C 平面11ACD ，故平面11AB C 与平面11ACD 夹角为0，cos 01=，故答案为：1.14.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ，过F 作x 轴的垂线交双曲线于,B C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的离心率为________．2【解析】【详解】由题意可知：左、右顶点分别是A 1（﹣a ，0），A 2（a ，0），当x ＝c 时，代入双曲线方程，解得：y ＝±2b a，设B （c ，2b a ），C （c ，2b a -），则直线A 1B 的斜率k 1()()220b b a c a a c a -==--+，直线A 2C 的斜率k 2()220b b ac a a c a --==---，由A 1B ⊥A 2C ，则k 1×k 2＝﹣1，即()()22b b a c a a c a ⨯=+-1，则22b a=1，双曲线的离心率e 2212c b a a==+=，故答案为：2．【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.为提高服务质量，某社区居委会进行了居民对社区工作满意度的问卷调查．随机抽取了100户居民的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为：[)[)[)[)[)[)60,65,65,70,70,75,75,80,80,85,85,90（1）求a 的值；（2）求这100户居民问卷评分的中位数；（3）若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在[)65,70和[)70,75内的居民中共抽取6户居民，查阅他们答卷的情况，再从这6户居民中选取4户进行专项调查，求这4户居民中恰有1户的评分在[)65,70内的概率．【答案】（1）0.02；（2）77.5分；（3）815.【解析】【分析】（1）根据已知条件，由频率分布直方图中各组矩形面积之和等1，即可求出a 的值.（2）结合频率分布直方图的性质，以及中位数的定义，即可求解.（3）根据已知条件，结合分层抽样的定义，列举法及古典概型的概率公式，即可求解.【小问1详解】由频率分布直方图，得(0.0120.040.050.06)51a ++++⨯=，解得0.02a =.【小问2详解】由频率分布直方图，得数据落在[60,75)的频率为(0.010.020.04)50.350.5++⨯=<，数据落在[60,80)的频率为(0.010.020.040.06)50.650.5+++⨯=>，因此中位数[75,80)x ∈，有(75)0.060.350.5x -⨯+=,解得77.5x =，所以中位数为77.5分.【小问3详解】评分在[65,70),[70,75)对应的频率为0.1，0.2，从评分在[65,70)和[70,75)内的居民中共抽取6人，则评分在[65,70)占2人，记为,a b ，评分在[70,75)占4人，记为 ⤘঒⤘̛⤘࡙，从6人中选取4人的样本空间{,,,,,,abAB abAD abAC abBD abBC abDC Ω=,,,,,,,,}aABC aABD aADC aBDC bABC bABD bADC bBDC ABCD ，共15个样本点，这4户居民中恰有1户的评分在[)65,70内的事件{,,,M aABC aABD aADC =,,,,}aBDC bABC bABD bADC bBDC ，其8个样本点，所以这4户居民中恰有1户的评分在[)65,70内的概率8()15P M =.16.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin cos sin sin 0a C c A B A C -=．（1）求角B 的大小；（2）若3,7a b ==，角B 的平分线交AC 于点D ，求线段BD 的长．【答案】（1）2π3（2）158【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得1cos B B =，由辅助角公式可得π1sin 62B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质即可求解（2）根据余弦定理可得5c =，利用角平分线定理，结合向量的线性运算以及模长公式求解.【小问1详解】由sin sin cos sin sin 0a C c A B A C -=，由正弦定理可得sin sin sin sin cos sin sin 0A C C A B B A C -=,又()()0,π,0,πA C ∈∈，所以sin sin 0A C ≠，所以1cos B B =，可得π1sin 62B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又()0,πB ∈，所以ππ7π,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π5π66B +=，可得2π3B =，【小问2详解】在ABC V 中，3,7a b ==，由余弦定理得22222cos 3400b a c ac B c c =+-⇒+-=，解得8c =-（舍），或5c =，由ABC BCD ABD S S S =+ ，得12π1π1πsin sin sin 232323ac a AD c =⋅+，即15153588AD AD AD AD =+=⇒=，故线段AD 的长为158.17.如图在四棱锥A BCDE -中，CD BE ∥，1CD =，CB BE ⊥，2AE BE AB BC ====，AD =，Q 是AE 的中点．（1）求证：DQ ∥平面ABC ；（2）在棱AD 上是否存在点M ，使得直线EM 与平面ACD 所成角的正弦值为337，若存在，求AM MD 的值，若不存在，说明理由【答案】（1）证明见解析（2）存在，2或417【解析】【分析】（1）取AB 中点F ，连接CF 、QF ，证明DQ CF ，借助直线与平面平行的判定定理即可证明；（2）假设在棱AD 上存在点M ，建立空间直角坐标系，借助向量运算即可解答.【小问1详解】取AB 的中点F ，连接CF 、QF ，因为Q ，F 分别为AE 、AB 的中点，所以QF BE ，且12QF BE =，又因为CD BE ∥，112CD BE ==，所以QF CD ∥，且QF CD =，所以四边形QFCD 为平行四边形，所以DQ CF ，且CF ⊂平面ABC ，DQ ⊄平面ABC ，所以DQ ∥平面ABC ，【小问2详解】取EB 的中点G ，连接AG 、DG ，因为2AE AB BE ===，所以ABE 是等边三角形，所以BE AG ⊥，且2214132AG AB BE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，因为CD BE ∥，112BG BE CD ===，所以∥BG CD ，且BG CD =，所以四边形BCDG 为平行四边形，又CB BE ⊥，所以四边形BCDG 为矩形，所以,2DG BE DG BC ⊥==，在ADG △中，2222,D AD AG AD G AG G D ====+，所以DG AG ⊥，DG BE ⊥，AG 、BE 在平面ABE 中相交于点G ，所以DG ⊥平面ABE ，以G 为原点，以GA 、GB 、GD 方向分别为x 轴、y 轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系：则)()()(),0,1,2,0,0,2,0,1,0AC D E -，所以)()(),2,2EA AD AC ===，假设在棱AD 上是否存在点M ，设()01AM AD λλ=≤≤，则)()),0,2,1,2EM EA AM EA AD λλλ=+=+=+=，设平面ACD 的一个法向量为 ⤘ ⤘ ，所以,m AD m AD ⊥⊥，则020020m AD z m AD y z ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=++=⎪⎪⎩⎩，令0,2y x ==，则z =，所以平面ACD 的一个法向量为(m =，直线EM 与平面ACD 所成的角θ，则33sin 7EM m EM mθ⋅==⋅，整理得：2635480λλ-+=，解得23λ=，或421λ=，都符合题意，所以2AM MD =，或417AM MD =，故在棱AD 上是存在点M ，使得直线EM 与平面ACD 所成角的正弦值为337，且2AM MD =或417AM MD =18.如图，已知圆()22:10160,4,0,M x x y Q O -++=为坐标原点，过点Q 作直线l 交圆M 于点A B 、，过点A B 、分别作圆M 的切线，两条切线相交于点P ．（1）若直线l 的斜率为1，求AB 的值；（2）求点P 的轨迹方程；（3）若两条切线PA PB 、与轴y 分别交于点S T 、，求ST 的最小值．【答案】（1（2）4x =-（3）【解析】【分析】（1）先将圆方程化为标准方程，得到圆心和半径.根据直线斜率为1且过点(4,0)Q 写出直线方程，然后利用弦长公式L =（其中L 为弦长，r 为圆半径，d 为圆心到直线的距离）来计算||AB .（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)P x y ，根据圆的切线方程的求法以及点P 是两条切线的交点，通过联立方程来求点P 的轨迹方程.（3）先求出切线方程，进而得到与y 轴交点S 、T 的坐标，然后根据两点间距离公式求||ST ，再利用函数最值的求法求最小值.【小问1详解】直线l 为4y x =-，圆22:10160M x x y -++=的半径3r =，圆心(5,0)M 到直线的距离22d ==，所以||AB ==【小问2详解】由（1）知，直线l 的斜率不能为0，故可设直线l 的方程为4x my =+，代入圆M 的方程，消去y ，得：()221280m y my +--=,Δ 香 香 香 n g⤘设()()1122,,,A x y B x y ，则12221m y y m +=+，12281y y m -=+，过点A 的圆的切线方程为：()()11559,x x y y --+=①过点B 的圆的切线方程为：()()22559x x y y --+=,②由①②解得4,9x y m =-=,所以点P 的轨迹是直线4x =-.【小问3详解】①中令0x =,()()11111955954545S x my y m y y y +-++-===+,②中令0x =,()()22222955954545T x my y m y y y +-++-===+,则211212444S T y y ST y y y y y y -=-=-==当0m =时，||ST 最小值为.此时直线l 为4x =-，(4,0)P -.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为2，经过点1F 且倾斜角为02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的直线l 与椭圆交于,A B 两点（其中点A 在x 轴上方），2ABF △的周长为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，将平面xOy 沿x 轴折叠，使y 轴正半轴和x 轴所确定的半平面（平面12AF F ）与y 轴负半轴和x 轴所确定的半平面（平面12BF F ）互相垂直．①若6πθ=，求三棱锥12A BF F -的体积；②是否存在02πθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，使得2ABF △折叠后的周长为与折叠前的周长之比为34?若存在，求tan θ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=（2）①21；②不存在，答案见解析.【解析】【分析】（1）由椭圆定义求得a ，结合离心率求得c ，再求出b 后即得椭圆标准方程；（2）①求得,A B 点坐标，确定折叠后新坐标，然后由体积公式计算体积；②建立解析中所示空间直角坐标系，设折叠前()11,A x y ，()22,B x y ，折叠后A ，B 在新图形中对应点记为A B ''，，()11,,0A x y '，()22,0,B x y '-，由三角形周长求得2AB A B ''-=，设l方程为my x =+理得12y y +，12y y ，用坐标表示2AB A B ''-=变形后代入12y y +，12y y 求出m 值，再检验，从而可得结论．【小问1详解】由椭圆的定义知：122AF AF a +=，122BF BF a +=，所以2ABF △的周长48L a ==，所以2a =，又椭圆离心率为32，所以32c a =，所以c =，2221b a c =-=，由题意，椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆的标准方程为2214x y +=；【小问2详解】①当π6θ=，13(3k F =，则l：(303y x -=+与2214x y +=联立，由2230(314y x x y ⎧-=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得0,1x y =⎧⎨=⎩或717x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以()0,1A （因为点A 在x 轴上方）以及831,77B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，12AF =，127BF =，1121113sin150sin 303221V BF F F AF =⋅︒︒=‖.②O 为坐标原点，折叠后原y 轴负半轴，原x 轴，原y 轴正半轴所在直线为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系，设折叠前()11,A x y ，()22,B x y ，折叠后A ，B 在新图形中对应点记为A B ''，，()11,,0A x y '，()22,0,B x y '-，折叠前2ABF △周长是8，则折叠后2A B F '' 周长是6，由22''''6A F B F A B ++=，228AF BF AB ++=，故2AB A B ''-=，设l方程为my x =+由2214my x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()22410m y +--=，()2212440m m ∆=++>得122234y y m +=+，12214y y m -=+，''A B =，A B =，所以''2AB A B -=-=，（ⅰ）2=，12y y +=-，（ⅱ）由（ⅰ）12112y y =-，因为()()()()22222121212121112x x y y m y y y y ⎛⎫-+-=+-=- ⎪⎝⎭，即()()2122212124]11[12m y y y y y y -⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，所以()222222234111442(4)m m m m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥++=+ ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即4242222216321643681(4)4(4)m m m m m m ++++=++，去分母并整理得到426092170m m +-=.设20n m =≥，则方程变为26092170n n +-=,解得116n =，217()10n =-舍去，所以216m =，π02θ<<，则6m =，检验：当6m =时，212214444286|||2142546m AB y y m ⨯++=-===<++，这与2AB A B ''-=矛盾.故不存在θ满足题意.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是找到折叠前后的联系，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，然后连接方程，利用空间量的知识求解.。

浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．某学校随机抽取100名学生数学周测成绩的频率分布直方图如图所示, 据此估计该校本次数学周测的总体情况(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表), 下列说法正确的是（）
A．众数为60或70B．45%分位数为70
C．平均数为73D．中位数为75
20．已知圆22
C x y x y
+---=.
:46120
(1)求过点()
75,且与圆C相切的直线方程;
(2)求经过直线70
+-=与圆C的交点, 且面积最小的圆的方程.
x y
八、问答题
22．设圆222150
B且与x轴不重合，l交圆A x y x
++-=的圆心为A，直线l过点(1,0)
于,C D两点，过B作AD的平行线交AC于点E.
(1)写出点E的轨迹方程；
)3y -
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.。

浙江省宁波三锋联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

浙江省宁波三锋联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

的方程化为
x
-
y
+
3 2
=
0
，进而根据平行线间的距离公式计算求解即可.
【详解】直线
l2
：
2x
-
2
y
+
3
=
0
化为
x
-
y
+
3 2
=
0
，
又直线 l1 ： x - y +1 = 0 ，所以 l1//l2 ，
l1
l2
所以直线 与直线 的距离是
1
-
3 2
=
12 + (-1)2
2. 4
故选：A.
3．B
【分析】根据曲线表示椭圆，可求得 t 的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.
2c, PF1
=
2a
- 2c,QF1
=
3 2
(a
- c),QF2
=
1 2
a
+
3 2
c
，
在 VPF1F2 和 VQF1F2 中，由余弦定理可得：
PF12 + F1F22 - PF22 2PF1 ´ F1F2
+
QF12 + F1F22 - QF22 2QF1 ´ F1F2
=0，
代值整理可得：
3(a - c) + 2(a - 2c) = 0 ，
故选：AB 10．ABD 【分析】根据圆心距与半径的关系可判断两圆相交，即可判断 A，根据两圆方程相减即可 判断 B，根据弦长公式即可求解 C，根据点点距离公式即可判断 D.
【详解】由题意可知 O1 (-1, 0), r = 1， O2 (1,1), R = 2 ，
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嘉兴一中2014-2015学年高二上学期期中考试数学满分[100]分 ，时间[120]分钟 2014年11月京翰高考网试题（）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.把球的表面积扩大到原的2倍，那么体积扩大到原的（ ） A ．2倍 B ．22倍 倍 倍2.如图所示，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ） A ．6B ．8C ．2＋3 2D ．2＋2 33.如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12．则该几何体的俯视图可以是（ ）4.下列命题中，正确的命题是（ ）（1）有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 （2）四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形（3）有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 （4）四面体都是三棱锥A .②B .① ②C .①②③D .②③④ 5.对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中正确的是（ ） A .若,,m m n α⊥⊥则n α∥ B .若//,//m n αα，则//m nC .若,m n αα⊂∥,则//m nD .若m 、n 与α所成的角相等，则//m n 6.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD ＝a ，则三棱锥D －ABC 的体积 为（ ）A .63aB .123a C .3123a D .3122a 7．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线，C D11A DBHC垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（ ） A ．点H 是1A BD △的垂心 B ．AH 垂直平面11CB D C ．AH 的延长线经过点1C D ．直线AH 和1BB 所成角为458．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，EF 是棱AB 上的一条线段，且 EF ＝b ＜a ，若Q 是11A D 上的定点，P 在11C D 上滑动，则四面体PQEF 的体积（ ） A ．是变量且有最大值 B ．是变量且有最小值 C ．是变量无最大最小值 D ．是常量9.已知异面直线a 、b 所成角为3π，经过定点P 与a 、b 所成的角均为6π的平面有（ ） A ．1个 B . 2个 个 D .无数10.正三棱柱111ABC A B C -中，各棱长均为2，M 为1AA 中点，N 为BC 的中点，则在棱柱的表面上从点M 到点N 的最短距离是（ ）A ．10B .11C .34+D .24+ 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为________.12. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 .13.如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，将△ABD 沿对角线BD 折起到△A ′BD 的位置，使点A ′在平面BCD 内的射影点O 恰好落在BC 边上，则异面直线A ′B 与CD 所成角的大小为________．14.正三棱锥的高为1，底面边长为2，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．则球的表面积为 .15.定点P 不在△ABC 所在平面内，过P 作平面α，使△ABC 的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有 个.16.在四面体ABCD 中，已知4AB =，4AC =，2AD =，且AB 、AC 、AD 两两所成角为060，则四面体ABCD 的体积为_________.17.如图，正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB ∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 ．俯视图左视图主视图1223三．解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（见答题卷） 嘉兴市第一中学2014学年第一学期期中考试 高二数学 答题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）题号12345678910答案 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 11． ． 12． ． 13． ．14． ． 15． ． 16． ．17． ．三．解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 =2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ； （2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明你的结论.19.如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，32==AB AP ，4=AC ，D 为PC 中点，E 为PB 上一点，且//BC 平面ADE ． （1）证明：E 为PB 的中点；（2）若AD PB ⊥，求直线AC 与平面ADE 所成角的正弦值．●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●密 封 线班 级学 号姓 名 （密 封 线 内 不 要 答题）●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●●20.如图，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB ，PD 的中点. （1）求证：AF FPCE «Skip Record If...»21. 在边长为a 的正方形ABCD 中，,M N 分别为DA BC 、上的点，且//MN AB ，连结AC 交MN 于点P ，现沿MN 将正方形ABCD 折成直二面角.（1）求证：无论MN 怎样平行移动（保持//MN AB ），APC 的大小不变并求出此定值； （2）当MN 在怎样的位置时，M 点到面ACD 的距离最大？ABCDPEABDNMP ABC D MNP22.如图，已知平面QBC 与直线P A 均垂直于Rt ABC ∆所在平面，且P A =AB =AC . 若PQ QBC ⊥平面，求二面角Q -PB -A 的余弦值.QPABC18. 证明：（1）如图，∵ ABC —A 1B 1C 1 是直三棱柱，∴ A 1C 1 ＝B 1C 1 ＝1，且∠A 1C 1B 1 ＝90°。

又 D 是A 1B 1 的中点， ∴ C 1D ⊥A 1B 1 .∵ AA 1 ⊥平面A 1B 1C 1 ，C 1D ⊂平面A 1B 1C 1 ， ∴ AA 1 ⊥C 1D ，∴ C 1D ⊥平面AA 1B 1B 。

（2）解：作DE ⊥AB 1 交AB 1 于E ，延长DE 交BB 1 于F ，连结C 1F ，则AB 1 ⊥平面C 1DF ，点F 即为所求，F 为1BB 中点。

∵ C 1D ⊥平面AA 1BB ，AB 1 ⊂平面AA 1B 1B ，∴ C 1D ⊥AB 1 ．又AB 1 ⊥DF ，DF C 1D ＝D ，∴ AB 1 ⊥平面C 1DF 。

19. （Ⅰ）证明：∵//BC 平面ADE ，⊂BC 平面PBC ，平面 PBC 平面DE ADE =，∴DE BC //．∵D 为PC 中点，∴E 为PB 的中点．（Ⅱ）∵AB AP =，E 为PB 的中点，∴PB AE ⊥，又AD PB ⊥，∴⊥PB 平面ADE ，得PB DE ⊥，且平面⊥PBC 平面ADE ．ACDPEH由DE BC //，得PB BC ⊥．20. 证：（1）取PC 中点M ，连ME ，MF∵FMCD 21CD 21«Skip Record If...»⊄⇒⊂17,221,22===PC PD PF PC CDPF FH =17343=FH1=-PEC F V 解法一：设,AM x =则CN=a-x ，2,2()PA x PC a x ==-，22222222222AC AD CD AM DM CD a x ax =+=++=+-222cos 2PA PC AC APC PA PC +-∴∠=•222212222()x a x ==-•-APC ∴∠为定值120过M 作MH DA ⊥于H ，则MH 的长度为点M 到面ACD 的距22()MH x a x =+-而22()()24x a x a x a x +-⎡⎤-≤=⎢⎥⎣⎦即当2a x =取最大值24a 2222()2()22a a x a x x +-=-+2a x =，取最小值22a ，2ax ∴=时，max 24MH a = 22 ．方法一：A BCD HNMP解：（I ）证明：过点Q 作QD BC ⊥于点D ，∵平面QBC ⊥平面ABC ∴QD ⊥平面ABC 又∵PA ⊥平面ABC∴QD ∥PA 又∵QD ⊆平面QBC ∴PA ∥平面QBC （Ⅱ）∵PQ ⊥平面QBC∴90PQB PQC ∠=∠= 又∵,PB PC PQ PQ == ∴PQB PQC ∆≅∆ ∴BQ CQ =∴点D 是BC 的中点，连结AD ，则AD BC ⊥ ∴AD ⊥平面QBC ∴PQ ∥AD ，AD QD ⊥ ∴四边形PADQ 是矩形 设2PA a = ∴2PQ AD a ==，22PB a = ∴6BQ a =过Q 作QR PB ⊥于点R ，∴266222a a QR a a⋅==，2222222PQ a PR a PB a ===取PB 中点M ，连结AM ，取PA 的中点N ，连结RN∵1142PR PB PM ==，12PN PA = ∴MA ∥RN∵PA AB = ∴AM PB ⊥ ∴RN PB ⊥ ∴QRN ∠为二面角Q PB A --的平面角连结QN ，则222223QN QP PN a a a =+=+= 又∵22RN a =∴222222313322cos 2362222a a a QR RN QN QRN QR RN a a +-+-∠===-⋅⋅⋅即二面角Q PB A --的余弦值为33-方法二（I ）同方法一 （Ⅱ）∵PQ ⊥平面QBC∴90PQB PQC ∠=∠=，又∵,PB PC PQ PQ == ∴PQB PQC ∆≅∆ ∴BQ CQ =∴点D 是BC 的中点，连结AD ，则AD BC ⊥ ∴AD ⊥平面QBC ∴PQ ∥AD ，AD QD ⊥ ∴四边形PADQ 是矩形分别以,,AC AB AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -设2PA a =，则(,,2)Q a a a ，(0,2,0)B a ，(0,0,2)P a ， 设平面QPB 的法向量为(,,)n x y z = ∵(,,0)PQ a a =，(0,2,2)PB a a =-∴0(1,1,1)220ax ay n ay az +=⎧⇒=--⎨-=⎩又∵平面PAB 的法向量为(1,0,0)m = 设二面角Q PB A --为θ，则 3|cos ||cos ,|3||||m n m n m n θ=<>==⋅ 又∵二面角Q PB A --是钝角 ∴3cos θ=。

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