不等式(组)的解法及不等式的应用

第4节 不等式(组)的解法及不等式的应用(建议答题时间：60分钟)基础过关1. (2017株洲)己知实数a 、b 满足a ＋1＞b ＋1，则下列选项可能错误的是( ) A. a ＞b B. a ＋2＞b ＋2 C. －a ＜－b D. 2a ＞3b2. (2017眉山)不等式－2x ＞12的解集是( ) A. x ＜－14 B. x ＜－1 C. x ＞－14 D. x ＞－13. (2017安徽)不等式4－2x ＞0的解集在数轴上表示为( )4. (2017益阳)如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是( )第4题图A. ⎩⎨⎧x ≥2x >－3B. ⎩⎨⎧x ≤2x <－3C. ⎩⎨⎧x ≥2x <－3D. ⎩⎨⎧x ≤2x >－35. (2017湖州)一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞x －112x ≤1的解是( )A. x ＞－1B. x ≤2C. －1＜x ≤2D. x ＞－1或x ≤26. (2017山西)将不等式组⎩⎨⎧2x －6≤0x ＋4＞0的解集表示在数轴上，下面表示正确的是( )7. (2017遵义)不等式6－4x ≥3x －8的非负整数解有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个8. (2017金华)若关于x 的一元一次不等式组⎩⎨⎧2x －1>3（x －2）x <m 的解是x <5，则m的取值范围是( )A. m ≥5B. m >5C. m ≤5D. m <59. (2017百色)关于x 的不等式组⎩⎨⎧x －a ≤02x ＋3a ＞0的解集中至少有5个整数解，则正数a 的最小值是( )A. 3B. 2C. 1D. 23 10. (2017上海)不等式组⎩⎨⎧2x ＞6x －2＞0的解集是________．11. (2017龙东)若关于x 的一元一次不等式组⎩⎨⎧x －a ＞01－x ＞x －1无解，则a 的取值范围是________．12. (2017通辽)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞－12x －13≥x －1的整数解是________．13. (2017牡丹江)某种商品的进价为每件100元，商场按进价提高50%后标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则至多可以打________折．14. (2017烟台)运行程序如图所示，从“输入实数x ”到“结果是否＜18”为一次程序操作，第14题图若输入x 后程序操作仅进行了一次就停止，则x 的取值范围是________． 15. (2017宜宾)若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧x －y ＝2m ＋1x ＋3y ＝3的解满足x ＋y ＞0，则m 的取值范围是________．16. (2017绍兴)解不等式：4x ＋5≤2(x ＋1)．17. (2017黄冈)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －5<－2x 3x ＋22≥1.18. (2017北京)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧2（x ＋1）＞5x －7x ＋103＞2x .19. (2017宁夏)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6≥5（x －2）x －52－4x －33＜1.20. (2017甘肃)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧12（x －1）≤11－x <2，并写出该不等式组的最大整数解．21. (2017长沙)解不等式组⎩⎨⎧2x ≥－9－x ，5x －1>3（x ＋1），并把它的解集在数轴上表示出来．第21题图22. (2017呼和浩特)已知关于x 的不等式2m －mx 2＞12x －1.(1)当m ＝1时，求该不等式的解集；(2)m 取何值时，该不等式有解，并求出解集．23. 关注国家政策(2017广西四市联考)为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量(单位：本)，该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本．(1)求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率；(2)已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人，如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%，求a的值至少是多少？24. (2017绥化)甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．(1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？(2)若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元，甲工程队至少修路多少天？25. (2017泰安)某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．(1)大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？(2)该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%.若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？满分冲关1. 如果关于x 的方程x 2－(2m －1)x ＋m 2－3m ＝0有实数根，且关于x 的不等式组⎩⎨⎧2x ＋3＞9x －m ＜0无解，那么符合条件的所有整数m 的个数为( )． A. 2 B. 3 C. 4 D. 52. (2017重庆九龙坡区适应考试)已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧5x －a ＜7－2－x ＜0只有2个非负整数解，且关于x 的分式方程a －6x －1＋a ＝2有整数解，则所有满足条件的整数a 的值的个数为( )A. 5B. 4C. 3D. 23. (2017重庆一中一模)从1，2，3，4，5，6这6个数中，随机抽取一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋1＜a 3x ＋4≤4x 无解，且使关于x 的分式方程2x －ax －2＝12的解为非负数，那么这6个数中所有满足条件的a 的值之积是( )A. 6B. 24C. 30D. 1204. (2017重庆育才三模)2018年俄罗斯世界杯亚洲区12强赛A组第8轮比赛于2017年6月13日进行，中国国家队将客场挑战叙利亚队，“爱我中华”球迷协会准备到现场为中国队加油助威，并计划购买A、B两种球票共600张．(1)若A种票的数量不少于B种票的4倍，求至少购买多少张A种票；(2)“爱我中华”球迷协会从销售处得知，由于团体购票有一定优惠，本场比赛的球票以统一价格(m＋80)元出售给该协会，由于路途遥远，部分球迷放弃现场看球的计划，协会最后购买的票数在原计划的基础上减少(m＋5)%，购票总共用去45600元，求m的值(m＞0)．5. (2017重庆南开阶段测试一)1月份，A型汽油均价为5.7元/升，B型汽油均价为6元/升，某汽车租赁公司购买这两种型号的汽油共支付40800元；2月份，这两种型号的汽油均价都上调了0.6元/升，该公司要购买与1月份A型汽油和B 型汽油数量都相同的汽油就需多支付费用．(1)若多支付的费用不超过4200元，那么该公司1月或2月最多可购买A型汽油多少升？(2)3月份，该公司A型汽油的购买量在(1)小题中2月份最多购买量的基础上减少了m%，但A型汽油的均价在2月份的基础上上调了m10元，因此3月份支付A种型号汽油的费用与(1)小题中2月份支付最多数量A型汽油的费用相同，求m 的值．6. (2017重庆大渡口区二模)某文具店分别以每本5元和6元的价格一次性购进了A、B两种笔记本各若干本，共用去了1960元，A种笔记本按每本获利60%的价格销售，B种笔记本每本售价是A种笔记本每本售价的54倍，经过一段时间后，这两种笔记本都销售完毕，经统计，销售这两种笔记本共获利1240元．(1)该文具店此次购进的A、B两种笔记本各多少本？(2)调查市场需求后，该文具店又以上次相同的价格购进了相同数量的A、B两种笔记本．由于市场原因，该文具店调整了这两种笔记本的销售单价，A种笔记本每本售价下调了a%，B种笔记本售价上调了34a%，若要求销售完这些笔记本后的利润不低于1200元，求a的最大值．7. (2017重庆西大附中月考)手机下载一个APP、缴纳一定数额的押金，就能以每小时0.5到1元的价格解锁一辆自行车任意骑行…，最近的网红非“共享单车”莫属，共享单车为解决市民出行的“最后一公里”难题帮了大忙，人们在享受科技进步，共享经济带来的便利的同时，随意停放、加装私锁、推车下河、大卸八块等毁坏共享单车的行为也层出不穷，某共享单车公司一月投入部分自行车进入市场，一月底发现损坏率不低于10%，二月初又投入1200辆进入市场，使可使用的自行车达到7500辆．(1)一月份该公司投入市场的自行车至少有多少辆？(2)二月份的损坏率为20%，进入三月份，该公司新投入市场的自行车比二月份增长4a%，由于媒体的关注，毁坏共享单车的行为点燃了国民素质的大讨论，三月份的损坏率下降为14a%，三月底可使用的自行车达到7752辆，求a的值．答案基础过关1. D2. A3. D4. D5. C 【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x>x －1 ①12x ≤1 ②，解不等式①得x >－1，解不等式②得x ≤2，所以不等式组的解集为－1<x ≤2.6. A 【解析】解不等式2x －6≤0，得x ≤3，解不等式x ＋4＞0，得x ＞－4，∴不等式组的解集为－4＜x ≤3，解集在数轴上表示为选项A .7. B 【解析】解不等式得x ≤2，则非负整数解有0，1，2，共3个． 8. A 【解析】解不等式2x －1>3(x －2)，得x <5，根据不等式组的解集为x <5，利用同小取小可知m ≥5.9. B 【解析】∵不等式组的解集为－3a2＜x ≤a ，该解集中至少有5个整数解，所以a 比－3a 2至少大5，即 a ≥－3a2＋5，解得a ≥2，所以a 的最小值是2. 10. x ＞311. a ≥1 【解析】由x －a ＞0得x ＞a ，由1－x ＞x －1得x ＜1，∴要使不等式组无解，则a ≥1.12. 0，1，2 【解析】⎩⎨⎧2x ＋1＞－1 ①2x －13≥x －1②解不等式①得，x ＞－1，解不等式②得，x ≤2，∴不等式组的解集为－1＜x ≤2，∴不等式组的整数解为0，1，2. 13. 8 【解析】设至多可以打x 折，由题意得，100(1＋50%)x －100≥100×20%，化简得，150x ≥120，x ≥80%.则至多可以打8折．14. x <8 【解析】根据程序，可得不等式3x －6＜18，解得x <8.15. m >－2 【解析】将两方程等号两边分别相加，得2x ＋2y ＝2m ＋4，∴x ＋y ＝m ＋2，∵x ＋y >0，∴m ＋2>0，∴m >－2.16. 解：去括号得4x ＋5≤2x ＋2，移项，合并同类项，得2x ≤－3， 解得x ≤－32.17. 解：解不等式3x －5<－2x ，移项得3x ＋2x <5， 合并同类项得5x <5， 解得x <1， 解不等式3x ＋22≥1，不等式两边同乘以2得3x ＋2≥2， 合并同类项得3x ≥0， 解得x ≥0，∴原不等式组的解集为0≤x ＜1. 18. 解：解不等式2(x ＋1)＞5x －7， 去括号得2x ＋2＞5x －7， 移项、合并同类项得－3x ＞－9， 解得x ＜3.解不等式x ＋103＞2x ， 去分母得x ＋10＞6x .移项、合并同类项得10＞5x ， 解得x ＜2.∴不等式组的解集为x ＜2.19. 解：令⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6≥5（x －2） ①x －52－4x －33<1 ②，由①得x ≤8， 由②得x >－3，∴不等式组的解集为－3<x ≤8. 20. 解：解不等式12(x －1)≤1.得x ≤3， 解不等式1－x ＜2，得x ＞－1， 则不等式组的解集是－1＜x ≤3， ∴该不等式组的最大整数解为x ＝3. 21. 解：解不等式2x ≥－9－x ，得x ≥－3， 解不等式5x －1＞3(x ＋1)，得x ＞2，∴不等式组的解集为x＞2.其解集在数轴上表示如解图：第21题解图22. 解：(1)当m＝1时，原不等式可变形为2－x2＞x2－1，去分母得2－x＞x－2，移项、合并同类项得2x＜4，∴x＜2.(2)解不等式2m－mx2＞12x－1，移项、合并同类项2m－mx＞x－2，(m＋1)x＜2(m＋1)当m≠－1时，原不等式有解；当m＞－1时，原不等式的解集为x＜2；当m＜－1时，原不等式的解集为x＞2.23. 解：(1)设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x. 根据题意得，7500(1＋x)2＝10800，解得x＝0.2＝20%或x＝－2.2(舍去)．答：该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为20%.(2)2016年的人均借阅量为：10800÷1350＝8(本)．根据题意得，8（1＋a%）×1440－1080010800≥20%，解得a≥12.5.答：a的值至少是12.5.24. 解：(1)设乙工程队每天修路x千米，则甲工程队每天修路(x＋0.5)千米，根据题意列方程15x＝1.5×15x＋0.5，解得x＝1，答：甲工程队每天修路1.5 千米，乙工程队每天修路1千米．(2)设甲工程队修m天，余下的工程由乙工程队修，由两个工程队修路总费用不超过5.2万元，可列不等式为0．5m ＋15－1.5m 1×0.4≤5.2，化简得0.5m ＋6－0.6m ≤5.2，解得m ≥8， 答：甲工程队至少修8天，这样总费用不超过5.2万元．25. 解：(1)设小樱桃的进价为每千克x 元，大樱桃的进价为每千克y 元， 则⎩⎨⎧200x ＋200y ＝8000y －x ＝20，解得⎩⎨⎧x ＝10y ＝30. ∴大樱桃进价为30元/千克，小樱桃进价为10元/千克，200×[(40－30)＋(16－10)]＝3200(元)，答：大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克30元和每千克10元，销售完后，该水果商共赚了3200元．(2)设大樱桃的售价为a 元/千克，由题意可得，(1－20%)×200×16＋200a －8000≥3200×90%，解得a ≥41.6，答：大樱桃的售价最少应为41.6元/千克．满分冲关1. C 【解析】∵关于x 的方程x 2－(2m －1)x ＋m 2－3m ＝0有实数根，∴[－(2m－1)]2－4(m 2－3m )＝8m ＋1≥0，∴m ≥－18；解不等式组⎩⎨⎧2x ＋3＞9x －m ＜0得x ＜m 且x ＞3，又∵关于x 的不等式组无解，∴m ≤3.则m 的取值范围是－18≤m ≤3，满足条件的整数有0，1，2，3共4个．2. C 【解析】解不等式组⎩⎨⎧5x －a ＜7－2－x ＜0得－2＜x ＜a ＋75，∵该不等式组只有2个非负整数解，∴1＜a ＋75≤2，即－2＜a ≤3，解分式方程a －6x －1＋a ＝2，得x ＝4a －2，∵分式方程的解为整数，∴a 可取0，1，3，共3个数．3. C 【解析】解不等式组⎩⎨⎧x ＋1＜a 3x ＋4≤4x得，4≤x ＜a －1，要使其无解，则a －1≤4，即a ≤5；解分式方程2x －a x －2＝12，得x ＝2a －23，∵x 为非负数，∴2a －2≥0，解得a ≥1，又∵x ≠2，解得a ≠4，综上1≤a ≤5且a ≠4，∴这6个数中，满足条件的a 值有1，2，3，5，它们之积为1×2×3×5＝30.4. 解：(1)设购买x 张A 种票，则购买B 种票(600－x )张，由题意得，x ≥4(600－x )，解得x ≥480，∴至少购买480张A 种票．(2)由题意得(m ＋80)×[1－(m ＋5)%]×600＝45600，解得m 1＝15，m 2＝0(舍去)，∴m 的值为15.答：m 的值为15.5. 解：(1)设1月份可购买A 型汽油x 升，则1月份购买B 型汽油的升数为：40800－5.7x 6＝(6800－0.95x )升， 由题意得，0.6x ＋0.6(6800－0.95x )≤4200，解得，x ≤4000，答：该公司1月或2月最多可购买A 型汽油4000升．(2)由题意可列方程，4000(1－m %)×(5.7＋0.6＋m 10)＝4000×(5.7＋0.6)，即4000(1－m %)×(6.3＋m 10)＝4000×6.3，解得m 1＝37，m 2＝0(舍去)，∴m 的值为37.答：m 的值为37.6. 解：(1)设购买A 种笔记本x 本，B 种笔记本y 本，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝1960，5×60%x ＋[5×（1＋60%）× 54－6]y ＝1240. 解得⎩⎨⎧x ＝200y ＝160. 答：购买A 种笔记本200本，B 种笔记本160本．(2)A 原售价为5(1＋60%)＝8(元)，B 原售价为8×54＝10(元)，由题意得，200×8(1－a %)＋160×10(1＋34a %)－1960≥1200.解得a ≤10.答：a 的最大值为10.7. 解：(1)设一月份该公司投入市场的自行车有x 辆， 则7500－1200x≤1－10%， 解得x ≥7000，答：一月份该公司投入市场的自行车至少有7000辆．(2)由题意得[7500(1－20%)＋1200×(1＋4a %)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14a%＝7752， 设a %＝x ，原方程可化为50x 2－125x ＋23＝0， 解得x 1＝2.3(舍去)，x 2＝0.2，由a %＝0.2，得a ＝20.答：a 的值为20.。